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第十二章 选修4系列 含解析


第十二章 52.选修 4-1

选修 4 系列 几何证明选讲

1.(2016· 全国Ⅰ)如图,△OAB 是等腰三角形;∠AOB=120° .以 O 1 为圆心,2OA 为半径作圆. (1)证明:直线 AB 与⊙O 相切; (2)点 C,D 在⊙O 上,且 A,B,C,D 四点共圆,证明:AB∥CD.

2.(2016· 全国Ⅱ)如图,在正方形 ABCD 中,E,G 分别在边 DA, DC 上(不与端点重合),且 DE=DG,过 D 点作 DF⊥CE,垂足为 F. (1)证明:B,C,G,F 四点共圆; (2)若 AB=1,E 为 DA 的中点,求四边形 BCGF 的面积.

1.(2015· 湖北)如图, PA 是圆的切线, A 为切点, PBC 是圆的割线, AB 且 BC=3PB,则AC=________. 2.(2015· 广东)如图,已知 AB 是圆 O 的直径,AB=4, EC 是圆 O 的切线,切点为 C,BC=1,过圆心 O 做 BC 的平 行线,分别交 EC 和 AC 于点 D 和点 P,则 OD=________. 3.(2015· 重庆)如图,圆 O 的弦 AB,CD 相交于点 E,过点 A 作 圆 O 的切线与 DC 的延长线交于点 P, 若 PA=6, AE=9, PC=3, CE∶ED=2∶1, 则 BE=________.

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4.(2014· 广东)如图,在平行四边形 ABCD 中,点 E 在 AB 上 且 EB=2AE, AC 与 DE 交于点 F, 则 △CDF的面积 =________. △AEF的面积

5.(2014· 湖南)如图,已知 AB,BC 是⊙O 的两条弦,AO⊥BC,AB= 3,BC=2 2, 则⊙O 的半径等于________.

第 5 题图

第 6 题图

6.(2014· 陕西)如图,△ABC 中,BC=6,以 BC 为直径的半圆分别交 AB,AC 于点 E,F,若 AC=2AE,则 EF=________. 7.(2014· 重庆)过圆外一点 P 作圆的切线 PA(A 为切点), 再作割线 PBC 依次交圆于 B, C.若 PA=6,AC=8,BC=9,则 AB=________. 8.(2014· 湖北)如图,P 为⊙O 外一点,过 P 点作⊙O 的两条切线, 切点分别为 A,B 过 PA 的中点 Q 作割线交⊙O 于 C,D 两点.若 QC=1,CD=3,则 PB=________. 9.(2015· 新课标全国Ⅰ)如图,AB 是⊙O 的直径,AC 是⊙O 的切线,BC 交⊙O 于 点 E.

(1)若 D 为 AC 的中点,证明:DE 是⊙O 的切线; (2)若 OA= 3CE,求∠ACB 的大小.

10.(2015· 新课标全国Ⅱ)如图,O 为等腰三角形 ABC 内一点,⊙O 与△ABC 的底边
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BC 交于 M、N 两点,与底边上的高 AD 交于点 G,且与 AB、AC 分别相切于 E、F 两点. (1)证明:EF∥BC; (2)若 AG 等于⊙O 的半径,且 AE=MN=2 3,求四边形 EBCF 的面积.

1.(2015· 湖南十三校模拟)如图,已知圆中两条弦 AB 与 CD 相交于点 F,E 是 AB 延 7 长线上一点,且 DF=CF= 2,AF=2BF,若 CE 与圆相切,且 CE= 2 ,则 BE =________.

2.(2015· 湖南长沙模拟)如图,PA 是圆 O 的切线,切点为 A,PO 交圆 O 于 B,C 两 点,PA= 3,PB=1,则∠PAB=________.

3.(2015· 湖北孝感模拟)如图,AB 和 BC 分别与圆 O 相切于点 D,C,AC 经过圆心 O,且 BC=2OC=4,则 AD=________.

4.(2015· 湖北襄阳模拟)如图,△ABC 中 AB=AC,∠ABC=72°,圆 O 过 A,B 且 与 BC 切于 B 点,与 AC 交于 D 点,连 BD.若 BC=2,则 AC=________.

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5.(2016· 广东深圳模拟)如图所示,已知 PC、DA 为⊙O 的切线,C、A 分别为切点, CD 1 AB 为⊙O 的直径,若 DA=2,DP=2,则 AB=________.

6.(2015· 宁夏银川模拟)如图所示,已知⊙O1 和⊙O2 相交于 A、B 两点,过 A 点作 ⊙O1

的切线交⊙O2 于点 C,过点 B 作两圆的割线,分别交⊙O1、⊙O2 于点 D、E,DE 与 AC 相交于点 P. (1)求证:AD∥EC; (2)若 AD 是⊙O2 的切线,且 PA=6,PC=2,BD=9,求 AD 的长.

7.(2015· 吉林省吉林市模拟)如图,AB 是⊙O 的一条切线,切 点为 B,ADE,CFD,CGE 都是⊙O 的割线,已知 AC=AB. (1)证明:AD· AE=AC2; (2)证明:FG∥AC.

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8.(2015· 江西模拟)如图, 圆内接四边形 ABCD 的边 BC 与 AD 的延长线交于点 E,点 F 在 BA 的延长线上. EC 1 ED 1 DC (1)若 EB=3, EA =2,求 AB 的值; (2)若 EF∥CD,证明:EF2=FA· FB.

9.(2016· 山西临汾一模)如图, 在⊙O 中, 弦 AF 交直径 CD 于点 M, 弦 AB 的延长线交 CD 的延长线于点 E,M、N 分别是 AF、AB 的 中点. (1)求证:OE· ME=NE· AE; 1 1 (2)若 OM=2,BE=2AB= 3,求∠E 的大小.

10.(2016· 安徽合肥一模)已知 AB 是圆 O 的直径, 点 C 在圆 O 上(异 于点 A,B),连接 BC 并延长至点 D,使得 BC=CD,连接 DA 交圆 O 于点 E,过点 C 作圆 O 的切线交 AD 于点 F. (1)若∠DBA=60°,求证:点 E 为 AD 的中点; 1 (2)若 CF=2R,其中 R 为圆 C 的半径,求∠DAB.

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53.选修 4-4

坐标系与参数方程

?x=acos t, 1.(2016· 全国Ⅰ)在直角坐标系 xOy 中,曲线 C1 的参数方程为? (t 为参 ?y=1+acos t 数, a>0).在以坐标原点为极点, x 轴正半轴为极轴的极坐标系中, 曲线 C2: ρ=4cos θ . (1)说明 C1 是哪一种曲线,并将 C1 的方程化为极坐标方程; (2)直线 C3 的极坐标方程为θ =α 0, 其中 α0 满足 tan α 0=2,若曲线 C1 与 C2 的公 共点都在 C3 上,求 a.

2.(2016· 全国Ⅱ)在直角坐标系 xOy 中,圆 C 的方程为(x+6)2+y2=25. (1)以坐标原点为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,求 C 的极坐标方程; ?x=tcos α , (2)直线 l 的参数方程是? (t 为参数), l 与 C 交于 A、 B 两点, |AB|= 10, ?y=tsin α 求 l 的斜率.

1.(2014· 安徽)以平面直角坐标系的原点为极点,x 轴的正半轴为极轴,建立极坐标 ?x=t+1, 系,两种坐标系中取相同的长度单位.已知直线 l 的参数方程是? (t 为参 ?y=t-3 数),圆 C 的极坐标方程是 ρ=4cos θ ,则直线 l 被圆 C 截得的弦长为( A. 14 B.2 14 C. 2 D.2 2 )

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?x=-1+cos θ , 2.(2014· 北京)曲线? (θ 为参数)的对称中心( ?y=2+sin θ A.在直线 y=2x 上 C.在直线 y=x-1 上 B.在直线 y=-2x 上 D.在直线 y=x+1 上

)

3.(2014· 江西)若以直角坐标系的原点为极点, x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系, 则线段 y=1-x(0≤x≤1)的极坐标方程为( A.ρ = B.ρ = π 1 ,0≤θ ≤ 2 cos θ +sin θ )

π 1 ,0≤θ ≤ 4 cos θ +sin θ

π C.ρ =cos θ +sin θ ,0≤θ ≤ 2 π D.ρ =cos θ +sin θ ,0≤θ ≤ 4 4.(2015· 广东)在平面直角坐标系 xOy 中,以原点 O 为极点,x 轴的正半轴为极轴建 立极坐标系.曲线 C1 的极坐标方程为 ρ(cos θ +sin θ )=-2,曲线 C2 的参数方程
2 ?x=t , 为? (t 为参数),则 C1 与 C2 交点的直角坐标为________. ?y=2 2t

π? ? 5.(2015· 广东)已知直线 l 的极坐标方程为 2ρsin?θ - ?= 2,点 A 的极坐标为 4? ? 7π ? ? A?2 2, ?,则点 A 到直线 l 的距离为________. 4 ? ? π 6.(2015· 安徽)在极坐标系中,圆 ρ=8sin θ 上的点到直线 θ= 3 (ρ∈R)距离的最大 值是________. π? ? 7.(2015· 北京)在极坐标系中,点?2, ?到直线ρ (cos θ + 3sin θ )=6 的距离为 3? ? ________. 8.(2015· 湖南)在直角坐标系 xOy 中,以坐标原点为极点,x 轴的正半轴为极轴建立 极坐标系.若曲线 C 的极坐标方程为 ρ=2sin θ ,则曲线 C 的直角坐标方程为 ________. ?x=1+3cos t, 9.(2015· 重庆)在平面直角坐标系 xOy 中, 圆 C 的参数方程为? (t 为参 ?y=-2+3sin t

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数).在极坐标系(与平面直角坐标系 xOy 取相同的长度单位,且以原点 O 为极点, π? ? 以 x 轴非负半轴为极轴)中,直线 l 的方程为 2ρ sin?θ - ?=m(m∈R). 4? ? ①求圆 C 的普通方程及直线 l 的直角坐标方程; ②设圆心 C 到直线 l 的距离等于 2,求 m 的值.

10.(2015· 新课标全国Ⅰ)在直角坐标系 xOy 中,直线 C1:x=-2,圆 C2:(x-1)2 +(y-2)2=1,以坐标原点为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系. (1)求 C1,C2 的极坐标方程; π (2)若直线 C3 的极坐标方程为 θ= 4 (ρ∈R), 设 C2 与 C3 的交点为 M, N, 求△C2MN 的面积.

?x=tcos α , 11.(2015· 新课标全国Ⅱ)在直角坐标系 xOy 中,曲线 C1:? (t 为参数,t ?y=tsin α ≠0),其中 0≤α<π ,在以 O 为极点,x 轴正半轴为极轴的极坐标系中,曲线 C2: ρ=2sin θ ,曲线 C3:ρ=2 3cos θ . (1)求 C2 与 C3 交点的直角坐标; (2)若 C1 与 C2 相交于点 A,C1 与 C3 相交于点 B,求|AB|的最大值.

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π? ? 1.(2015· 江西重点协作体模拟)在极坐标系中,过点?2, ?且垂直于极轴的直线的 6? ? 极坐标方程是( A.ρ = 3sin θ C.ρ sin θ = 3 ) B.ρ = 3cos θ D.ρ cos θ = 3

π? ? 2.(2015· 四川成都模拟)在极坐标系中,过点?2, ?且与极轴平行的直线方程是 2? ? ( ) π B.θ = 2 C.ρ cos θ =2 D.ρ sin θ =2

A.ρ =2

?x= 2cos t, 3.(2015· 江西师大模拟)已知曲线 C 的参数方程为? (t 为参数), C 在点(1, ?y= 2sin t 1)处的切线为 l,以坐标原点为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,则 l 的极 坐标方程为( ) π? ? B.ρ sin?θ + ?= 2 4? ? π? ? D.ρ =sin?θ + ? 4? ?

π? ? A.ρ = 2sin?θ + ? 4? ? π? ? C.ρ sin?θ + ?=2 4? ?

π? 2 ? 4.(2016· 广东深圳模拟)在极坐标系中,直线 m 的方程为 ρsin?θ + ?= 2 ,则点 4? ? 7π ? ? A?2, ?到直线 m 的距离为________. 4 ? ? ?x= t, 5.(2015· 湖南十三校模拟)在直角坐标系 xOy 中,曲线 C 的参数方程为? (t ?y=2t 为参数),在以原点 O 为极点,x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系,直线 l 的极 坐标方程为 ρcos θ -ρsin θ +1=0.则 l 与 C 的交点直角坐标为________. 6.(2015· 湖北襄阳模拟)已知曲线 C 的极坐标方程为 ρ=6sin θ ,以极点为原点,极 1 x=2t, ? ? 轴为 x 轴的非负半轴建立平面直角坐标系, 直线 l 的参数方程为? (t 为参 3 ? ?y= 2 t+1 数),求直线 l 被曲线 C 截得的线段长度________.
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?x=t-3, 7.(2015· 湖南长沙模拟)已知直角坐标系 xOy 中,直线 l 的参数方程为? (t ?y= 3t 为参数). 以直角坐标系 xOy 中的原点 O 为极点,x 轴的非负半轴为极轴,圆 C 的 极坐标方程为 ρ2-4ρcos θ +3=0,则圆心 C 到直线 l 距离为________. 5 ? ?x=t- , 2 (t 为参数),曲线 C 8.(2015· 安徽江南十校模拟)已知直线 l 的参数方程是? ? ?y=2t 的极坐标方程是 ρ=8cos θ +6sin θ ,则曲线 C 上到直线 l 的距离为 4 的点个数 有________个. 1 x=1+2t, ? ? 9.(2015· 山西师大模拟)已知直线 l:? (t 为参数), 3 ? ?y= 2 t (θ 为参数). (1)设 l 与 C1 相交于 A,B 两点,求|AB|; 1 3 (2)若把曲线 C1 上各点的横坐标压缩为原来的2倍,纵坐标压缩为原来的 2 倍,得 到曲线 C2,设点 P 是曲线 C2 上的一个动点,求它到直线 l 的距离的最小值. ?x=cos θ , 曲线 C1:? ?y=sin θ

π? ? 10.(2015· 吉林省吉林市模拟)在极坐标系中,已知圆 C 的圆心 C? 2, ?,半径 r 4? ? = 3 . (1)求圆 C 的极坐标方程; ?x=2+tcos α , π? ? (2)若 α∈?0, ?,直线 l 的参数方程为? (t 为参数),直线 l 交圆 C 4? ? ?y=2+tsin α 于 A、B 两点,求弦长|AB|的取值范围.

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11.(2015· 宁夏银川模拟)圆的直径 AB 上有两点 C,D,且|AB|=10,|AC|=|BD|=4, P 为圆上一点,求|PC|+|PD|的最大值.

12.(2015· 江西模拟)在直角坐标系 xOy 中,以坐标原点为极点,x 轴正半轴为极轴 建立极坐标系,已知某圆的极坐标方程为:ρ2-4ρcos θ +2=0. (1)将极坐标方程化为普通方程; (2)若点 P(x,y)在该圆上,求 x+y 的最大值和最小值.

3 ? ?x=-2- 2 t, 13.(2016· 河南郑州一模)已知曲线 C1 的参数方程为? 曲线 C2 的极坐 1 ? ?y=2t, π? ? 标方程为 ρ=2 2cos?θ - ?,以极点为坐标原点,极轴为 x 轴正半轴建立平面直 4? ? 角坐标系. (1)求曲线 C2 的直角坐标方程; (2)求曲线 C2 上的动点 M 到曲线 C1 的距离的最大值.

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?x=cos α , 14.(2016· 广东广州五校联考 )在直角坐标系 xOy 中,已知曲线 C1:? (α 2 ?y=sin α π? ? 为参数),在以 O 为极点,x 轴正半轴为极轴的极坐标系中,曲线 C2:ρcos?θ - ? 4? ? 2 =- 2 ,曲线 C3:ρ=2sin θ . (1)求曲线 C1 与 C2 的交点 M 的直角坐标; (2)设点 A,B 分别为曲线 C2,C3 上的动点,求|AB|的最小值.

54.选修 4-5

不等式选讲

? 1? ? 1? 1.(2016· 全国Ⅱ)已知函数 f(x)=?x-2?+?x+2?, ? ? ? ? M 为不等式 f(x)<2 的解集. (1)求 M; (2)证明:当 a,b∈M 时,|a+b|<|1+ab|.

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2.(2016· 全国Ⅲ)已知函数 f(x)=|2x-a|+a. (1)当 a=2 时,求不等式 f(x)≤6 的解集; (2)设函数 g(x)=|2x-1|.当 x∈R 时,f(x)+g(x)≥3,求 a 的取值范围.

1.(2015· 山东)不等式|x-1|-|x-5|<2 的解集是( A.(-∞,4) C.(1,4)

)

B.(-∞,1) D.(1,5) )

2.(2014· 安徽)若函数 f(x)=|x+1|+|2x+a|的最小值为 3,则实数 a 的值为( A.5 或 8 C.-1 或-4 B.-1 或 5 D.-4 或 8 )

3.(2014· 江西)对任意 x,y∈R,|x-1|+|x|+|y-1|+|y+1|的最小值为( A.1 B.2 C.3 D.4

4.(2015· 重庆)若函数 f(x)=|x+1|+2|x-a|的最小值为 5,则实数 a=________. 5.(2014· 广东)不等式|x-1|+|x+2|≥5 的解集为________. 1 6.(2014· 重庆)若不等式|2x-1|+|x+2|≥a2+2a+2 对任意实数 x 恒成立,则实数 a 的取值范围是________. 7.(2015· 新课标全国Ⅱ)设 a,b,c,d 均为正数,且 a+b=c+d.证明: (1)若 ab>cd,则 a+ b> c+ d; (2) a+ b> c+ d是|a-b|<|c-d|的充要条件.

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8.(2015· 新课标全国Ⅰ)已知函数 f(x)=|x+1|-2|x-a|,a>0. (1)当 a=1 时,求不等式 f(x)>1 的解集; (2)若 f(x)的图象与 x 轴围成的三角形面积大于 6,求 a 的取值范围.

9.(2015· 福建)已知 a>0,b>0,c>0,函数 f(x)=|x+a|+|x-b|+c 的最小值为 4. (1)求 a+b+c 的值; 1 1 (2)求4a2+9b2+c2 的最小值.

10.(2015· 陕西)已知关于 x 的不等式|x+a|<b 的解集为{x|2<x<4}. (1)求实数 a,b 的值; (2)求 at+12+ bt的最大值.

1.(2015· 湖南长沙模拟)不等式|x-4|+|x-3|≤a 有实数解的充要条件是________. 2.(2015· 江西师大模拟)若关于 x 的不等式|x-1|+|x-3|≤a2-2a-1 在 R 上的解集 为?,则实数 a 的取值范围是( A.a<-1 或 a>3 C.-1<a<3 ) B.a<0 或 a>3 D.-1≤a≤3

3.(2015· 江西重点协作体模拟)若存在 x∈R,使|2x-a|+2|3-x|≤1 成立,则实数 a 的取值范围是( A.[2,4] C.[5,7] ) B.(5,7) D.(-∞,5]∪[7,+∞)

4.(2015· 湖北襄阳模拟)已知 a, b 均为正数且 acos2θ +bsin2θ ≤6, 则 acos2θ + b

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sin2θ 的最大值为________. 5.(2015· 湖南十三校模拟)设 x,y,z∈R,2x+2y+z+8=0 则(x-1)2+(y+2)2+(z -3)2 的最小值为________. 6.(2015·吉林省吉林市模拟)已知函数 f(x)=m-|x-2|,m∈R,且 f(x+2)≥0 的解 集为[-1,1]. (1)求 m 的值; 1 1 1 (2)若 a,b,c∈(0,+∞),且a+2b+3c=m,求证:a+2b+3c≥9.

7.(2015· 山西师大模拟)设函数 f(x)=|2x-1|-|x+2|. (1)求不等式 f(x)≥3 的解集; (2)若关于 x 的不等式 f(x)≥t2-3t 在[0,1]上无解,求实数 t 的取值范围.

8.(2015· 宁夏银川模拟)已知 a,b 均为正数,且 a+b=1,证明:(1)(ax+by)2≤ax2 +by2; 1?2 ? 1?2 25 ? (2)?a+a? +?b+b? ≥ 2 . ? ? ? ?

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9.(2015· 江西模拟)已知函数 f(x)=|x|,g(x)=-|x-4|+m. (1)解关于 x 的不等式 g[f(x)]+2-m>0; (2)若函数 f(x)的图象恒在函数 g(x)图象的上方,求实数 m 的取值范围.

10.(2016· 河北三市二模)设函数 f(x)=|x+2|-|x-1|. (1)求不等式 f(x)>1 的解集; (2)若关于 x 的不等式 f(x)+4≥|1-2m|有解,求实数 m 的取值范围.

11.(2016· 广东汕尾模拟)已知函数 f(x)=|x-2|. (1)求证:f(m)+f(n)≥|m-n|; (2)若不等式 f(2x)+f(-x)≥a 恒成立,求实数 a 的取值范围.

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第十二章 52.选修 4-1
【三年高考真题演练】 [2016 年高考真题] 1.证明 (1)设 E 是 AB 的中点,连接 OE. 因为 OA=OB,∠AOB=120°, 所以 OE⊥AB,∠AOE=60°,

选修 4 系列 几何证明选讲

1 在 Rt△AOE 中,OE=2AO,即 O 到直线 AB 的距离等于⊙O 的半径,所以直线 AB 与⊙O 相切. (2)因为 OA=2OD,所以 O 不是 A,B,C,D 四点所在圆的圆心.设 O′是 A,B,C, D 四点所在圆的圆心,作直线 OO′.由已知得 O 在线段 AB 的垂直平分线上,又 O′ 在线段 AB 的垂直平分线上,所以 OO′⊥AB. 同理可证,OO′⊥CD,所以 AB∥CD. 2.(1)证明 因为 DF⊥EC,则∠EFD=∠DFC=90°,易得∠DEF=∠CDF,所以

△DEF∽△CDF,则有∠GDF=∠DEF=∠FCB, DF DE DG CF=CD= CB , 所以△DGF∽△CBF,由此可得∠DGF=∠CBF. 因此∠CGF+∠CBF=180°,所以 B,C,G,F 四点共圆. (2)解 由 B,C,G,F 四点共圆,CG⊥CB 知 FG⊥FB.连接 GB. 由 G 为 Rt△DFC 斜边 CD 的中点,知 GF=GC, 故 Rt△BCG≌Rt△BFG.因此,四边形 BCGF 的面积 S 是△GCB 的面积 S△GCB 的 2 倍,即 1 1 1 S=2S△GCB=2×2×2×1=2. [两年经典高考真题] 1 1 1.2 [由切割线定理知 PA2=PB· PC,且 BC=3PB,所以 PA=2PB=2PC.由弦切角 AB PA 1 定理知∠PAB=∠PCA,又∠APC=∠BPA,所以△PAB∽△PCA.所以AC=PC=2.]

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2.8 [如图所示,连接 OC,因为 OD∥BC,又 BC⊥AC,所以 1 1 OP⊥AC.又 O 为 AB 线段的中点, 所以 OP=2BC=2.在 Rt△OCD 1 OC2 22 中,OC=2AB=2,由直角三角形的射影定理可得 OC2=OP· OD,即 OD= OP = 1 2 =8,故应填 8.] 62 3.2 [首先由切割线定理得 PA =PC· PD,因此 PD= 3 =12,CD=PD-PC=9,
2

又 CE∶ED=2∶1, 因此 CE=6,ED=3,再有相交弦定理 AE· EB=CE· ED,所以 BE= =2.] 4.9 [依题意得△CDF∽△AEF,由 EB=2AE 可知 AE∶CD=1∶3. 故 △CDF的面积 ?CD?2 =? ? =9.] △AEF的面积 ? AE ? CE·ED 6×3 AE = 9

3 5.2 [如右图, 由已知 AO⊥BC, 可得 E 是 BC 的中点, 即 BE= 2, 故 AE= AB2-BE2=1,在 Rt△BOE 中,OB2=BE2+OE2,即 r2 3 =( 2)2+(r-1)2,解得 r=2.] 6.3 [∵四边形 BCFE 内接于圆,∴∠AEF=∠ACB,又∠A 为 公共角, ∴△AEF∽△ACB, EF AE ∴BC=AC, 又∵BC=6,AC=2AE, ∴EF=3.] 7.4 [设 PB=x,由切割线定理得 x(x+9)=62,解得 x=3 或 x=-12(舍去).又易 AB PB AB 3 知△PAB∽△PCA,于是AC= PA ,即 8 =6?AB=4.] 8.4 [由切割线定理得 QA2=QC· QD=1×(1+3)=4,∴QA=2, ∵Q 为 PA 的中点,∴PA=2QA=4.故 PB=PA=4.]

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9.(1)证明

连接 AE,由已知得,AE⊥BC,AC⊥AB.

在 Rt △AEC 中,由已知得,DE=DC,故∠DEC=∠DCE. 连接 OE,则∠OBE=∠OEB. 又∠ACB+∠ABC=90°,所以∠DEC+∠OEB=90°, 故∠OED=90°,DE 是⊙O 的切线. (2)解 设 CE=1,AE=x,由已知得 AB=2 3,BE= 12-x2. 由射影定理可得,AE2=CE· BE,所以 x2= 12-x2,即 x4+x2-12=0.可得 x= 3, 所以∠ACB=60°. 10.(1)证明 由于△ABC 是等腰三角形,AD⊥BC,所以 AD 是

∠CAB 的平分线. 又因为⊙O 分别与 AB,AC 相切于点 E,F,所以 AE=AF,故 AD ⊥EF. 从而 EF∥BC. (2)解 由(1)知,AE=AF,AD⊥EF,故 AD 是 EF 的垂直平分线,又 EF 为⊙O 的 弦,所以 O 在 AD 上. 连接 OE,OM,则 OE⊥AE. 由 AG 等于⊙O 的半径得 AO=2OE,所以∠OAE=30°.因此△ABC 和△AEF 都是 等边三角形. 因为 AE=2 3,所以 AO=4,OE=2. 1 10 3 因为 OM=OE=2,DM=2MN= 3,所以 OD=1.于是 AD=5,AB= 3 . 1 ?10 3?2 3 1 3 16 3 ? × - ×(2 3)2× = 所以四边形 EBCF 的面积为2×? 2 2 2 3 . ? 3 ? 【两年模拟试题精练】 1 1 1.2 [由 AF· BF=DF· CF 得 BF=1,又 CE2=BE· AE,得 BE=2.] 2.30° [连接 AO,PA 为圆 O 切线,A 为切点,∴∠PAO=90°,

∴AP2+AO2=PO2,即 3+r2=(1+r)2?r=1. 由 AP= 3,PO=2,AO=1 及∠PAO=90°可得∠POA=60°,∴AB=1,AB= PB,∠P=30°,∴∠PAB=30°.]

- 19 -

8 3.3 [由题意可知 BD 与 BC 相等,BD=BC=4, 1 5 OB= OC2+BC2=2 5,∴sin2∠B= 5 , 1 3 cos∠B=1-2sin22∠B=5, ∵AC⊥BC,∴AB= BC 20 =3, cos∠B

20 8 ∴AD=AB-BD= 3 -4=3.] 4.1+ 5 [设 AB=AC=x,在△ABC 中,由余弦定理,得 AB2+BC2-2AB· BCcos 72°=AC2, 即 x2+4-4xcos 72°=x2,∴x= 1 ,而由 sin 36°=cos 54°, cos 72°

得 2sin 18°cos 18°=4cos318°-3cos 18°,2sin 18°=4cos218°-3, 2sin 18°=4-4sin218°-3,4sin218°+2sin 18°-1=0,解得 sin 18°= 所以 x= 5.4 3 1 4 = = 5+1,即 AC= 5+1.] sin 18° 5-1 5-1 4 ,

[∵DA、DC 均为过圆外一点 D 的切线,

∴DA=DC=2,又∵CD∶DP=1∶2, ∴DP=4,故有 CP=6. 在直角三角形 DAP 中,PA= DP2-DA2=2 3, 由线割线定理得 PC2=PA· PB, 解得 PB=6 3,则 AB=PB-PA=4 3.故答案为:4 3.] 6.(1)证明 连接 AB,∵AC 是⊙O1 的切线,∴∠BAC=∠D,

又∵∠BAC=∠E,∴∠D=∠E,∴AD∥EC. (2)解 设 BP=x,PE=y,∵PA=6,PC=2, ∴xy=12.① 9+x 6 DP AP ∵AD∥EC,∴ PE =PC,∴ y =2② ?x=3, ?x=-12, 由①②可得? 或? (舍去). ?y=4, ?y=-1

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∴DE=9+x+y=16,∵AD 是⊙O2 的切线. ∴AD2=DB×DE=9×16,∴AD=12.

7.证明 (1)∵AB 是⊙O 的一条切线,AE 为割线, ∴AB2=AD· AE, 又∵AB=AC,∴AC2=AD· AE; AD AC (2)由(1)有 AC = AE, ∵∠EAC=∠CAD,∴△ADC∽△ACE, ∴∠ADC=∠ACE, ∵∠ADC=∠EGF,∴∠EGF=∠ACE, ∴GF∥AC.

8.(1)解

A,B,C,D 四点共圆,∴∠EDC=∠EBF,

又∵∠CED=∠AEB,∴△CED∽△AEB, EC ED DC ∴ EA= EB = AB , EC 1 ED 1 ∵ EB=3, EA =2, DC 6 ∴ AB = 6 . (2)证明 ∵EF∥CD, ∴∠FEA=∠EDC, 又∵A,B,C,D 四点共圆, ∴∠EDC=∠EBF, ∴∠FEA=∠EBF, 又∵∠EFA=∠BFE, ∴△FAE∽△FEB, EF FB ∴ FA =FE,∴EF2=FA· FB.
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9.(1)证明

∵M、N 分别是弦 AF、AB 的中点,

∴∠AME=∠ONE=90°, 又∵∠E=∠E,∴△AME∽△ONE, AE ME ∴OE= NE ,∴OE·ME=NE· AE; (2)解 设 OE=x,(x>0), 1 ∵BE=2AB= 3,∴NE=2 3,AE=3 3, 1 ? 1? 又∵OM=2,∴x·?x+2?=2 3·3 3, ? ? 即(x-4)(2x+9)=0, ∵x>0,∴x=4,即 OE=4, NE 2 3 3 则在 Rt△ONE 中,cos∠E=OE= 4 = 2 , ∴∠E=30°. 10.(1)证明 ∵AB 为圆 O 的直径,

∴AC⊥BD,而 BC=CD.∴AB=AD,而∠DBA=60°, ∴△ABD 为等边三角形,连 BE.由 AB 为圆 O 的直径. ∴AD⊥BE,∴E 为 AD 中点. (2)解 连 CO,易知 CO∥AD,∵CF 为圆 O 的切线,∴CF⊥CO, ∴CF⊥AD,又 BE⊥AD, 1 1 ∴BE∥CF,且 CF=2BE,由 CF=2R 知 BE=R, ∴∠DAB=30°.

53.选修 4-4
【三年高考真题演练】 [2016 年高考真题]

坐标系与参数方程

1.解 (1)消去参数 t 得到 C1 的普通方程 x2+(y-1)2=a2,C1 是以(0,1)为圆心,a 为半径的圆. 将 x=ρcos θ , y=ρsin θ 代入 C1 的普通方程中, 得到 C1 的极坐标方程为 ρ2-2ρsin θ +1-a2=0.

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(2)曲线 C1,C2 的公共点的极坐标满足方程组
2 2 ?ρ -2ρsin θ +1-a =0, ? ?ρ =4cos θ .

若 ρ≠0,由方程组得 16cos2θ -8sin θ cos θ +1-a2=0,由已知 tan θ =2,可 得 16cos2θ -8sin θ cos θ =0,从而 1-a2=0,解得 a=-1(舍去),a=1. a=1 时,极点也为 C1,C2 的公共点,在 C3 上. 所以 a=1. 2.解 (1)由 x=ρcos θ ,y=ρsin θ 可得圆 C 的极坐标方程 ρ2+12ρcos θ +11= 0. (2)在(1)中建立的极坐标系中,直线 l 的极坐标方程为θ =α(ρ∈R). 设 A, B 所对应的极径分别为 ρ1, ρ 2, 将 l 的极坐标方程代入 C 的极坐标方程得 ρ2 +12ρcos α +11=0. 于是 ρ1+ρ2=-12cos α ,ρ 1ρ 2=11. |AB|=|ρ1-ρ2|= (ρ1+ρ2)2-4ρ1ρ = 144cos2α -44. 3 15 由|AB|= 10得 cos2α = ,tan α =± . 8 3 15 15 所以 l 的斜率为 3 或- 3 . [两年经典高考真题] ?x=t+1, 1.D [由? 消去 t 得 x-y-4=0, ?y=t-3 C:ρ=4cos θ?ρ2=4ρcos θ,∴C:x2+y2=4x, 即(x-2)2+y2=4,∴C(2,0),r=2. ∴点 C 到直线 l 的距离 d= |2-0-4| = 2, 2
2

∴所求弦长=2 r2-d2=2 2.故选 D.] ?x=-1+cos θ, 2.B [曲线? (θ 为参数)的普通方程为(x+1)2+(y-2)2=1,该曲线 ?y=2+sin θ 为圆,圆心(-1,2)为曲线的对称中心,其在直线 y=-2x 上,故选 B.]

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?x=ρcos θ, 3.A [∵? ∴y=1-x 化为极坐标方程为 ρcos θ+ρsin θ=1,即 ρ= ?y=ρsin θ, 1 .∵0≤x≤1,∴线段在第一象限内(含端点), cos θ+sin θ π ∴0≤θ≤ 2 .故选 A.] 4.(2,-4) [∵曲线 C1 的极坐标方程为 ρ(cos θ+sin θ)=-2,∴曲线 C1 的直
2 ? ?x=t , 角坐标方程为 x+y=-2.曲线 C2 的参数方程为? (t 为参数),则其直角坐标 ? ?y=2 2t

?x+y=-2, 方程为 y2=8x,联立? 2 解得 x=2,y=-4,即 C1,C2 的交点坐标为(2, ?y =8x, -4).] 5 2 5. 2 π? 7π? ? ? ?可化为 l:x-y+1 [依题已知直线 l:2ρsin?θ- ?= 2和点 A?2 2, 4? 4 ? ? ? |2-(-2)+1| 5 2 = 2 .] 12+(-1)2

=0 和 A(2,-2),所以点 A 到直线 l 的距离为 d=

6.6 [圆 ρ=8sin θ化为直角坐标方程为 x2+y2-8y=0,即 x2+(y-4)2=16,直线 π θ= 3 (ρ∈R)化为直角坐标方程为 y= 3x, 结合图形知圆上的点到直线的最大距离 可转化为圆心到直线的距离再加上半径. 圆心(0,4)到直线 y= 3x 的距离为 上的点到直线的最大距离为 6.] π? ? 7.1 [在平面直角坐标系下,点?2, ?化为(1, 3), 3? ? 直线方程为:x+ 3y=6,∴点(1, 3)到直线的距离为 d= =1.] 8.x2+y2-2y=0 [将极坐标方程 ρ=2sin θ两边同乘 ρ 得 ρ2=2ρsin θ, ∴x2+y2 |1+ 3× 3-6| |-2| = 2 2 =2,又圆的半径 r=4,所以圆 ( 3)2+12 4

=2y,故曲线 C 的直角坐标方程为 x2+y2-2y=0.] 9.解 ①消去参数 t,得到圆 C 的普通方程为(x-1)2+(y+2)2=9. π? ? 由 2ρ sin?θ - ?=m,得 4? ?
- 24 -

ρ sin θ -ρcos θ -m=0. 所以直线 l 的直角坐标方程为 x-y+m=0. ②依题意,圆心 C 到直线 l 的距离等于 2, 即 |1-(-2)+m| =2, 2

解得 m=-3± 2 2. 10.解 (1)因为 x=ρcos θ ,y=ρsin θ ,所以 C1 的极坐标方程为 ρcos θ =-2,

C2 的极坐标方程为 ρ2-2ρcos θ -4ρsin θ +4=0. π (2)将 θ= 4 代入 ρ2-2ρcos θ -4ρsin θ +4=0, 得 ρ2-3 2ρ +4=0,解得 ρ1=2 2,ρ 2= 2. 故 ρ1-ρ2= 2,即|MN|= 2. 由于 C2 的半径为 1,所以△C2MN 为等腰直角三角形, 1 所以△C2MN 的面积为2. 11.解 (1)曲线 C2 的直角坐标方程为 x2+y2-2y=0,曲线 C3 的直角坐标方程为 x2 +y2-2 3x=0.

? 3 2 2 ?x +y -2y=0, ?x=0, ?x= 2 , 联立? 2 2 解得? 或? 3 ?y=0, ?x +y -2 3x=0, ? ?y=2.
? 3 3? 所以 C2 与 C3 交点的直角坐标为(0,0)和? , ?. ? 2 2? (2)曲线 C1 的极坐标方程为 θ=α(ρ∈R,ρ ≠0),其中 0≤α<π . 因此 A 的极坐标为(2sin α ,α ),B 的极坐标为(2 3cos α ,α ). π ?? ? ? 所以|AB|=|2sin α -2 3cos α |=4?sin?α - ??. 3 ?? ? ? 5π 当 α= 6 时,|AB|取得最大值,最大值为 4. 【两年模拟试题精练】 π 1.D [由题可知 ρcos θ=2×cos 6 即 ρcos θ= 3.]

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π? ? 2.D [先将极坐标化成直角坐标表示,?2, ?化为(0,2), 2? ? 过(0,2)且平行于 x 轴的直线为 y=2,再化成极坐标表示,即 ρsin θ=2.故选 D.] ?x= 2cos t, 3.B [由? (t 为参数),两式平方后相加得 x2+y2=2, y = 2sin t ? ∴曲线 C 是以(0,0)为圆心,半径等于 2的圆. C 在点(1,1)处的切线 l 的方程为 x+y=2, 令 x=ρcos θ,y=ρsin θ, π? ? 代入 x+y=2,并整理得 ρcos θ+ρsin θ-2=0,即 ρsin?θ+ ?= 2或 4? ? π? ? ρcos?θ- ?= 2, 4? ? π? π? ? ? 则 l 的极坐标方程为 ρsin?θ+ ?= 2或 ρcos?θ- ?= 2,故选 B.] 4? 4? ? ? 2 4. 2 7π? ? [点 A?2, ?的直角坐标为( 2,- 2), 4 ? ?

2 ? π? 直线 l:ρsin?θ+ ?= 2 ,即 ρsin θ+ρcos θ=1,化为直角坐标方程为 x+y-1 4 ? ? =0. 由点到直线的距离公式得 d= | 2- 2-1| 2 = 2 .] 1+1

5.(1,2) [ 曲线 C 的普通方程为 y=2x2,直线 l 的直角坐标方程是 y=x+1,二者 联立,求出交点坐标.] 6.4 2 [曲线 C 的直角坐标方程为 x2+y2-6y=0,x2+(y-3)2=9 ,它表示以(0,

3)为圆心,3 为半径的圆;直线 l 的直角坐标方程为 3x-y+1=0,圆心到直线 l 的距离为 d= =1,所以直线 l 被曲线 C 截得的线段长度为 ( 3)2+(-1)2 |-3+1|

2 r2-d2=2 9-1=4 2.] 5 3 7. 2 [直线 l 的普通方程为 y= 3(x+3)? 3x-y+3 3=0,

5 3 圆 C 的普通方程为(x-2)2+y2=1,圆心 C 到直线 l 距离为 d= 2 .] 8.2 [直线 l 的方程是 2x-y+5=0, 曲线 C 的方程: (x-4)2+(y-3)2=25, 即以(4,
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3)为圆心,5 为半径的圆. 又圆心到直线 l 的距离是 d= 的点有 2 个.] 9.解 (1)l 的普通方程为 y= 3(x-1), C1 的普通方程为 x2+y2=1. ?y= 3(x-1), 联立方程组? 2 2 解得 l 与 C1 的交点为 A(1,0), ?x +y =1, ?1 3? B? ,- ?,则|AB|=1. 2? ?2 1 ? ?x=2cos θ , ?1 (2)C2 的参数方程为? (θ 为参数).故点 P 的坐标是? cos θ ?2 3 y = sin θ ? ? 2 从而点 P 到直线 l 的距离是 d= ? 3 ? 3 ? cos θ - sin θ - 3? 2 2 π? ? ? ? 3? ? = 4 ? 2sin?θ - ?+2?, 2 4? ? ? ? π? 6 ? 由此当 sin?θ - ?=-1 时,d 取得最小值,且最小值为 4 ( 2-1). 4? ? 10.解 (1)设圆上任意一点坐标(ρ,θ ),由余弦定理得: ? 3 , 2 sin θ ?, ? |2×4-3+5| =2 5,故曲线 C 上到直线 l 的距离为 4 5

π? ? ( 3)2=ρ2+( 2)2-2ρ× 2×cos?θ - ?, 4? ? 整理得:ρ2-2ρ(cos θ +sin θ )-1=0. (2)∵x=ρcos θ ,y=ρsin θ ,∴ x2+y2-2x-2y-1=0, 将直线的参数方程代入到圆的直角坐标方程中得: (2+tcos α )2+(2+tsin α )2 -2(2+tcos α )-2(2+tsin α )-1=0, 整理得:t2+(2cos α +2sin α )t-1=0 , ∴t1+t2=-2cos α -2sin α ,t1·t2=-1, ∴|AB|=|t1-t2|= (t1+t2)2-4t1t2 = 8+4sin 2α , π? π? ? ? ∵α ∈?0, ?,∴2α ∈?0, ?,∴|AB|∈[2 2,2 3). 4 2? ? ? ?

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11.解 如图建立直角坐标系,因为|AB|=10,所以圆的参数方 ?x=5cos θ , 程为:? (θ 为参数), ?y=5sin θ 因为|AC|=|BD|=4,所以 C,D 的坐标为 C(-1,0),D(1,0), 因为点 P 在圆上,所以设点 P 的坐标为(5cos θ ,5sin θ ), 所以,(|PC|+|PD|)2= ( 26+10cos θ + 26-10cos θ )2=52+2 262-100cos2θ , 当 cos θ =0 时,(|PC|+|PD|)2 max=104,所以(|PC|+|PD|)max=2 26. 12.解 (1)ρ2=x2+y2,ρ cos θ =x,ρ sin θ =y,

ρ 2-4ρcos θ +2=x2+y2-4x+2, ∴圆的普通方程为 x2+y2-4x+2=0.(2)由 x2+y2-4x+2=0?(x-2)2+y2=2 设 ?x=2+ 2cos α , ? ?y= 2sin α (α 为参数),

π? ? x+y=2+ 2(cos α +sin α )=2+2sin?α + ? 4? ? 所以 x+y 的最大值为 4,最小值为 0. 13.解 π? ? (1)ρ=2 2cos?θ - ?=2(cos θ +sin θ ), 4? ?

即 ρ2=2(ρcos θ +ρsin θ ),可得 x2+y2-2x-2y=0, 故 C2 的直角坐标方程为(x-1)2+(y-1)2=2. (2)C1 的普通方程为 x+ 3y+2=0,由(1)知曲线 C2 是以(1,1)为圆心的圆, 且圆心到直线 C1 的距离 d= |1+ 3+2| 12+( 3) = 2 3+ 3 2 ,

所以动点 M 到曲线 C1 的距离的最大值为 14.解

3+ 3+2 2 . 2

?x=cos α (1)曲线 C1:? ,消去参数 α,得 y+x2=1,x∈[-1,1].① 2 ?y=sin α

π? 2 ? 曲线 C2:ρcos?θ - ?=- 2 ?x+y+1=0,② 4 ? ? 联立①②,消去 y 可得:x2-x-2=0?x=-1 或 x=2(舍去),所以 M(-1,0). (2)曲线 C3:ρ=2sin θ ?x2+(y-1)2=1,是以(0,1)为圆心,半径 r=1 的圆.

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设圆心为 C,点 C,B 到直线 x+y+1=0 的距离分别为 d,d′,则 d= 2,|AB|≥d′≥d-r= 2-1, 所以|AB|的最小值为 2-1.

|0+1+1| = 2

54.选修 4-5
【三年高考真题演练】 [2016 年高考真题] -2x,x≤-2, ? ? 1 1 f(x)=?1,-2<x<2, ? ?2x,x≥1 2. 1

不等式选讲

1.(1)解

1 当 x≤-2时,由 f(x)<2 得-2x<2, 1 解得 x>-1,所以,-1<x≤-2; 1 1 当-2<x<2时,f(x)<2; 1 1 当 x≥2时,由 f(x)<2 得 2x<2,解得 x<1,所以,-2<x<1. 所以 f(x)<2 的解集 M={x|-1<x<1}. (2)证明 由(1)知,当 a,b∈M 时,-1<a<1,-1<b<1,从而(a+b)2-(1+ab)2= a2+b2-a2b2-1=(a2-1)(1-b2)<0,即(a+b)2<(1+ab)2,因此|a+b|<|1+ab|. 2.解 (1)当 a=2 时,f(x)=|2x-2|+2. 解不等式|2x-2|+2≤6 得-1≤x≤3. 因此 f(x)≤6 的解集为{x|-1≤x≤3}. (2)当 x∈R 时, f(x)+g(x)=|2x-a|+a+|1-2x|≥|2x-a+1-2x|+a=|1-a|+a.所以当 x∈R 时, f(x) +g(x)≥3 等价于|1-a|+a≥3. 当 a≤1 时,①等价于 1-a+a≥3,无解. 当 a>1 时,①等价于 a-1+a≥3,解得 a≥2. 所以 a 的取值范围是[2,+∞).

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[两年经典高考真题] 1.A [①当 x≤1 时,原不等式可化为 1-x-(5-x)<2, ∴-4<2,不等式恒成立,∴x≤1. ②当 1<x<5 时,原不等式可化为 x-1-(5-x)<2, ∴x<4,∴1<x<4, ③当 x≥5 时,原不等式可化为 x-1-(x-5)<2,该不等式不成立. 综上,原不等式的解集为(-∞,4),故选 A.] a 2.D [令 x+1=0 得 x1=-1;令 2x+a=0 得 x2=-2, a ①当-1>-2,即 a>2 时,

? ? a f(x)=? 其图象如图所示, x+a-1,-2≤x≤-1, ? ?3x+a+1,x>-1,
? a? ? a ? 则 fmin(x)=f?-2?=?-2+1?+ ? ? ? ? |-a+a|=3,解得 a=8. a ②当-1<-2,即 a<2 时,

a -3x-a-1,x<-2,

? ?-x+1-a,-1≤x≤-a 2, f(x)=? a ? ?3x+a+1,x>-2,
-3x-a-1,x<-1, 其图象如图所示, ? a? ? a ? 则 fmin(x)=f?-2?=?-2+1?+ ? ? ? ? |-a+a|=3 解得 a=-4. a ③当-1=-2,即 a=2 时,f(x)=3|x+1|≥0 不符合题意. 综上所述,a=-4 或 8.] 3.C [∵|x-1|+|x|+|y-1|+|y+1|=(|1-x|+|x|)+(|1-y|+|1+y|)≥|(1-x)+x|+|(1

-y)+(1+y)|=1+2=3,
- 30 -

当且仅当(1-x)· x≥0,(1-y)· (1+y)≥0,即 0≤x≤1,-1≤y≤1 时等号成立, ∴|x-1|+|x|+|y-1|+|y+1|的最小值为 3.] 4.4 或-6 2|x-a|, 当 a>-1 时,f(x) [由于 f(x)=|x+1|+

?-3x+2a-1 (x<-1), =?-x+2a+1(-1≤x≤a), ?3x-2a+1(x>a).
作出 f(x)的大致图象如图所示,由函数 f(x)的图象可知 f(a)=5,即 a+1=5,∴a =4.同理,当 a≤-1 时,-a-1=5, ∴a=-6.] 5.{x|x≥2 或 x≤-3} ?x≥1, (1)? ?x-1+x+2≥5; ?x≤-2, (2)? ?1-x-(x+2)≥5; ?-2<x<1, (3)? ?1-x+x+2≥5 解(1)得 x≥2;解(2)得 x≤-3; (3)无解,因此原不等式的解集为{x|x≥2 或 x≤-3}.] 1? ? 6.?-1,2? ? ? 1 -1≤a≤2.] 7.解 (1)因为( a+ b)2=a+b+2 ab,( c+ d)2=c+d+2 cd, 由题设 a+b=c+d,ab>cd 得( a+ b)2>( c+ d)2. 因此 a+ b> c+ d. (2)①若|a-b|<|c-d|,则(a-b)2<(c-d)2, 即(a+b)2-4ab<(c+d)2-4cd. 因为 a+b=c+d,所以 ab>cd. 由(1)得 a+ b> c+ d. ②若 a+ b> c+ d,则( a+ b)2>( c+ d)2,即 a+b+2 ab>c+d+2 cd. 5 1 5 [令 f(x)=|2x-1|+|x+2|, 易求得 f(x)min=2, 依题意得 a2+2a+2≤2? [原不等式可化为以下三个不等式组:

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因为 a+b=c+d,所以 ab>cd,于是 (a-b)2=(a+b)2-4ab<(c+d)2-4cd=(c-d)2. 因此|a-b|<|c-d|. 综上, a+ b> c+ d是|a-b|<|c-d|的充要条件. 8.解 (1)当 a=1 时,f(x)>1 化为|x+1|-2|x-1|-1>0. 当 x≤-1 时,不等式化为 x-4>0,无解; 2 当-1<x<1 时,不等式化为 3x-2>0,解得3<x<1; 当 x≥1 时,不等式化为-x+2>0,解得 1≤x<2.
? ?2 ? 所以 f(x)>1 的解集为?x?3<x<2?. ? ? ?

?x-1-2a,x<-1, (2)由题设可得,f(x)=?3x+1-2a,-1≤x≤a, ?-x+1+2a,x>a.
?2a-1 ? 所以函数 f(x)的图象与 x 轴围成的三角形的三个顶点分别为 A? B(2a+1, ,0?, ? 3 ? 0),C(a,a+1), 2 △ABC 的面积为3(a+1)2. 2 由题设得3(a+1)2>6,故 a>2. 所以 a 的取值范围为(2,+∞). 9.解 (1)因为 f(x)=|x+a|+|x-b|+c≥|(x+a)-(x-b)|+c=|a+b|+c,当且仅当- a≤x≤b 时,等号成立. 又 a>0,b>0,所以|a+b|=a+b. 所以 f(x)的最小值为 a+b+c. 又已知 f(x)的最小值为 4,所以 a+b+c=4. (2)由①知 a+b+c=4,由柯西不等式得 ?1 2 1 2 2? ?4a +9b +c ?(4+9+1) ? ? b ?a ?2 ≥?2×2+3×3+c×1? =(a+b+c)2=16, ? ?

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1 1 8 即4a2+9b2+c2≥7. 1 1 a 2 3b c 8 18 2 当且仅当 2 = 3 =1,即 a=7,b= 7 ,c=7时等号成立. 1 1 8 故4a2+9b2+c2 的最小值为7. 10.解 (1)由|x+a|<b,得-b-a<x<b-a,

?-b-a=2, 则? 解得 a=-3,b=1. ?b-a=4, (2) -3t+12+ t = 3 4-t+ t≤ [( 3)2+12][( 4-t)2+( t)2] =2 4-t+t=4, 当且仅当 4-t t = 1 ,即 t=1 时等号成立, 3

故( -3t+12+ t)max=4. 【两年模拟试题精练】 1.a≥1 2.C [a≥|x-4|+|x-3|有解?a≥(|x-4|+|x-3|)min=1.]

[|x-1|+|x-3|的几何意义是数轴上与 x 对应的点到 1、 3 对应的两点距离之和,

故它的最小值为 2, ∵原不等式解集为?, ∴a2-2a-1<2. 即 a2-2a-3<0, 解得-1<a<3. 故选 C.] 3.C [∵|2x-a|+2|3-x|=|2x-a|+|6-2x|≥|2x-a+6-2x|=|a-6|,∴|a-6|≤1,

∴5≤a≤7.] 4. 6 [由于(ac+bd)2≤(a2+b2)(c2+d2),所以( acos2θ+ bsin2θ)2≤(acos2θ+

bsin2θ)(cos2θ+sin2θ)≤6, ∴ acos2θ+ bsin2θ≤ 6,所以 acos2θ+ bsin2θ的最大值为 6. ] 5.9 [[(x-1)2+(y+2)2+(z-3)2](22+22+12)≥[2(x-1)+2(y+2)+(z-3)]2=(2x+ 2y+z-1)2=81.] 6.(1)解 因为 f(x+2)=m-|x|,

所以 f(x+2)≥0 等价于|x|≤m, 由|x|≤m 有解,得 m≥0,且其解集为{x|-m≤x≤m}.

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又 f(x+2)≥0 的解集为[-1,1],故 m=1. 1 1 1 (2)证明 由(1)知a+2b+3c=1,又 a,b,c∈(0,+∞), ?1 1 1 ? ∴a+2b+3c=(a+2b+3c)?a+2b+3c?≥ ? ? ? ? ? 1 a·a+ 1 2b · 2b+ 1 ?2 ? =9.∴a+2b+3c≥9. 3c· 3c?

7.解

? 1 ? ? ?x≥ , 1,所以原不等式转化为? 2 (1)f(x)=? 或 -3x-1,-2≤x<2 ? ?x-3≥3, ? ?3-x,x<-2,

1 x-3,x≥2,

1 ? ?-2≤x< , ?x<-2, 4? ? 2 ? 或? 所以原不等式的解集为?-∞,-3?∪[6,+∞). ? ? ?3-x≥3, ? ?-3x-1≥3, (2)只要 f(x)max<t2-3t, 由(1)知 f(x)max=-1<t2-3t 解得 t> 3+ 5 3- 5 或 t < 2 2 .

? ? 3- 5? ?3+ 5 ?∪? ?. 即 t 的取值范围是?-∞, ,+∞ 2 ? ? 2 ? ? 8.证明 (1)(ax+by)2-(ax2+by2)=a(a-1)x2+b(b-1)y2+2abxy, 因为 a+b=1,所以,a-1=-b,b-1=-a,故 (ax+by)2-(ax2+by2)=a(a-1)x2+b(b-1)y2+2abxy =-ab(x2+y2-2xy)=-ab(x-y)2≤0, 当且仅当 a=b 时等号成立. 1?2 ? 1?2 ? ?1 1? (2)?a+a? +?b+b? =4+a2+b2+?a2+b2? ? ? ? ? ? ? (a+b)2 (a+b)2 =4+a +b + + a2 b2
2 2

2b b2 a2 2a =4+a +b +1+ a +a2+b2+ b +1
2 2 2 2 (a+b)2 25 ?b a? ?b a ? =4+(a2+b2)+2+2?a+b?+?a2+b2?≥4+ + 2 + 4 + 2 = 2 2 .当且仅当 a= ? ? ? ?

b 时等号成立. 9.解 (1)由 g[f(x)]+2-m>0 得||x|-4|<2,
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∴-2<|x|-4<2,∴2<|x|<6, 故不等式的解集为[-6,-2]∪[2,6]. (2)∵函数 f(x)的图象恒在函数 g(x)图象的上方, ∴f(x)>g(x)恒成立,即 m<|x-4|+|x|恒成立. ∵|x-4|+|x|≥|(x-4)-x|=4, ∴m 的取值范围为 m<4.

10.解

?-3,x≤-2, (1)函数 f(x)可化为 f(x)=?2x+1,-2<x<1, ?3,x≥1,

当 x≤-2 时,f(x)=-3<0,不合题意; 当-2<x<1 时,f(x)=2x+1>1,得 x>0,即 0<x<1; 当 x≥1 时,f(x)=3>1,即 x≥1. 综上,不等式 f(x)>1 的解集为(0,+∞). (2)关于 x 的不等式 f(x)+4≥|1-2m|有解等价于(f(x)+4)max≥|1-2m|, 由(1)可知 f(x)max=3(也可由|f(x)|=||x+2|-|x-1||≤|(x+2)-(x-1)|=3,得 f(x)max= 3), 即|1-2m|≤7,解得-3≤m≤4. 11.(1)证明 f(m)+f(n)=|m-2|+|n-2|≥|(m-2)-(n-2)|=|m-n|. (2)解 设 g(x)=f(2x)+f(-x)=2|x-1|+|x+2|, 当 x≤-2 时,g(x)=-3x,此时 g(x)min=6; 当-2<x≤1 时,g(x)=-x+4,此时 g(x)min=3; 当 x>1 时,g(x)=3x,此时 g(x)>3; 故实数 a 的取值范围是:(-∞,3].

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