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2[1].2.1双曲线及其标准方程学案


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2.2.1《双曲线及其标准方程》导学案
组别: 姓名:

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【学习目标】了解双曲线的定义,掌握双曲线的标准方程,会利用定义和标准方程解决一些简单的问题. 【重点难点】重点:双曲线的定义
难点:双曲线标准方程的推导

【知识链接】
1

、什么叫椭圆?

2、椭圆的标准方程有哪两种形式?其中的 a, b, c 的关系式是什么?

【引入新课】 一、双曲线的定义与标准方程:
1. 双曲线的定义:平面内到两定点 F1 , F2 的距离的差的绝对值为常数(小于 F1 F2 )的动点的轨迹叫 即 MF ? MF2 ? 2a ,这两个定点叫做双曲线的 1 (1)将定义中的“绝对值”去掉,动点轨迹是什么? 例如|MF1|-|MF2|=2a,表示哪支呢? 而|MF2|-|MF1|=2a 呢? (2)将定义中的常数令为零,动点轨迹是什么? (3)将定义中的“小于”换为“等于”,动点轨迹是什么? (4)将定义中的“小于”换为“大于”,动点轨迹是什么? ,两焦点间的距离叫做 。 ,

2.双曲线的标准方程:
1)以 O 的坐标分别是 F1 为 轴,以 、F2 、O 为 。 轴,建立直角坐标系 XOY(如下图) ,则 F1、F2、

2)设 M(x,y)是双曲线上的任意一点, 由双曲线的定义有: MF1 ? 由两点距离公式有: MF1 = 代入(*)式: 化简得到焦点在 X 轴上的双曲线的标准方程为: 其中焦点坐标为 ; , , = , (*)
F _1

y _
M _ O _ F _2

x _

, MF2 =



类似的得到焦点在 Y 轴上的双曲线的标准方程为: 其中焦点坐标为 。

3.双曲线的标准方程的特点:
1

(1)焦点在 x 轴上时,双曲线的标准方程为: 焦点在 y 轴上时,双曲线的标准方程为: 标准方程左边的两项用 (2) a, b, c 的关系:

; 。

号连接,这点与椭圆有什么不同? ,而椭圆标准方程中 a, b, c 的关系是: 。

4.焦点的位置:从椭圆的标准方程不难看出椭圆的焦点位置可由方程中含字母 x 2 、 y 2 项的分母的大小来确
定,分母大的项对应的字母所在的轴就是焦点所在的轴 而双曲线是根据项的正负来判断焦点所在的位置,
王新敞
奎屯 新疆

即 x 项的系数是正的,那么焦点在

2

轴上; y 2 项的系数是正的,那么焦点在

轴上。

二、例题选讲 例 1.已知双曲线的两个焦点分别为 F1 0,5),F2 0,5), 双曲线上一点 P 到 F1 , F2 距离差的绝对 ( ( 值等于 8,求双曲线的标准方程

例 2.已知 A、B 两地相距 800m,在 A 地听到炮弹爆炸声比在 B 地晚 2s,且声速为 340m\s,求 炮弹爆炸点的轨迹方程

例 3.如图,在 A、B 的坐标分别是(-5,0)(5,0)直线 AM、BM 相交于点 M,且它们斜率之积 、 是
4 ,试求点 M 的轨迹方程. 9

y M A B x
S 三、当堂检测 1、求适合下列条件的双曲线的标准方程。
2

(1)焦点在在 x 轴上, a ? 4, c ? 5 ; (2)焦点在在 y 轴上, a ? 3, b ? 4 ; (3)焦点为 F1(-3,0)、F2(3,0),且过点(2,0)
? ,15 ? ? ,,2 ? (4)焦点在在 x 轴上,经过点 - 2 - 3 , ? 3 ? ? ?

?

?

2、如果方程

x2 y2 ? ? 1 ,表示焦点在 x 轴上的双曲线,求 m 的范围。 m ? 2 m ?1

四、知识小结 名称 双曲线

定义

图形

标准方程 焦点坐标 a,b,c 的关系 焦点位置的判断 五、基础达标
3

1.“ ab ? 0 是方程 ax2 ? by2 ? c 表示双曲线”的(



A、充分不必要条件

B、必要不充分条件

C、充要条件

D、既不充分也不必要条件 )

2.若双曲线 5x 2 ? ky 2 ? 5 的一个焦点是(2,0) ,则 k 的值为( A.

5 3 5 3 B. C. D. 3 5 3 5 3. 某 圆 锥 曲 线 C 是 椭 圆 或 双 曲 线 , 若 其 中 心 坐 标 为 原 点 , 对 称 轴 为 坐 标 轴 , 且 过 点 3 ( A - 2,2 3), B( , 5) ,则曲线 C 是( ) 2 A.可以是椭圆也可以是双曲线 B.双曲线 C.椭圆 D.不存在

4.已知 F1、F2 是双曲线

x2 ? y 2 ? 1 的左、右焦点,P、Q 是右支上的两点,且直线 PQ 经过 F2 , 2

则 PF ? QF1 ? PQ 等于( 1 A.8 B. 2 2

) C. 4 2 D.不确定

5.已知 F1、F2 是双曲线 3x 2 ? 5 y 2 ? 75 的左、右焦点,点 P 是双曲线上一点,且 ?F1 PF2 ? 1200 求 ?F1 PF2 的面积

6. 已知 F 是双曲线

x2 y2 ? ? 1 的左焦点,平面内存在一点 A(1,4) 是双曲线右支上的动点, ,P 4 12

求 PF ? PA 的最小值.

4


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