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新课标理科数学第二章第八节函数与方程


新课标 ·理科数学(广东专用)

自 主 落 实 · 固 基 础

第八节

函数与方程

高 考 体 验 · 明 考 情

典 例 探 究 · 提 知 能

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自 主 落 实 · 固 基 础

1.函数零点 f(x)=0 (1)定义:对于函数y=f(x)(x∈D),把使__________成立 的实数x叫做函数y=f(x)(x∈D)的零点. (2)函数零点与方程根的关系:方程f(x)=0有实根?函

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x轴 数y=f(x)的图象与_____有交点?函数y=f(x)有零点 _______.
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(3)零点存在性定理:如果函数y=f(x)在区间[a,b]上的

图象是连续不断的一条曲线,并且有______________,那么 f(a)·f(b)<0
(a,b) 函数y=f(x)在区间_________内有零点,即存在x0∈(a,b), f(x0)=0 使得_____________.

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2.二次函数y=ax2+bx+c(a>0)的图象与零点的关系
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Δ=b2-4ac

Δ>0

Δ=0

Δ<0

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二次函数 y=ax2+bx+c (a>0)的图象
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与x轴的交点
零点个数

1 2 ___________________

(x ,0),(x ,0) 2

1 __________

(x ,0) 1

无交点
0

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3.二分法

对于在区间[a,b]上连续不断且________________的函 f(a)·f(b)<0
数y=f(x),通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间 一分为二 零点 __________,使区间的两个端点逐步逼近______,进而 得到零点近似值的方法叫做二分法.

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1.函数的零点是函数y=f(x)的图象与x轴的交点吗?

【提示】

不是.函数的零点是一个实数,是函数y=

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f(x)的图象与x轴交点的横坐标.

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2.“f(a)·f(b)<0”是“函数y=f(x)(函数图象连续)在 区间(a,b)内有零点”的什么条件?

【提示】

f(a)·f(b)<0?函数y=f(x)在区间(a,b)内有

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零点,反之不一定成立,如函数f(x)=x2-2x+1在区间(0, 2)内有零点x=1,但f(0)f(2)>0,因此,“f(a)·f(b)<0”是
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“函数f(x)(函数图象连续)在区间(a,b)内有零点”的充分不 必要条件.
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1.(人教 A 版教材习题改编)用二分法求函数 y=f(x)在 区间(2,4)上的近似解,验证 f(2)·f(4)<0,给定精确度 ε 2+4 =0.01,取区间(2,4)的中点 x1= =3,计算得 f(2)· 1) f(x 2 <0,则此时零点 x0 所在的区间为( ) A.(2,4) B.(3,4) C.(2,3) D.(2.5,3)

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【解析】 【答案】

由零点存在性定理知x0∈(2,3),故选C. C

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2.若函数f(x)=ax+b有一个零点是2,那么函数g(x)= bx2-ax的零点是( ) 1 A.0,2 B.0, 2 1 1 C.0,- D.2,- 2 2
【解析】 由题意知2a+b=0,即b=-2a. a 1 令g(x)=bx2-ax=0得x=0或x= =- . b 2

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【答案】

C





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(

1 1 x 3.(2012· 北京高考)函数f(x)=x 2 -( ) 的零点的个数为 2 ) A.0 B.1 C.2 D.3

【解析】

1 在同一平面直角坐标系内作出 y1=x2与 y2

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1x =( ) 的图象如图所示, 易知, 两函数图象只有一个交点. 因 2 1 1x 此函数 f(x)=x2-( ) 只有 1 个零点. 2

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【答案】
菜 单

B

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4.已知函数f(x)=x2+x+a在区间(0,1)上有零点,则

实数a的取值范围是________.

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【解析】

函数f(x)=x2+x+a在(0,1)上递增.

由已知条件f(0)f(1)<0,即a(a+2)<0,解得-2<a<0.
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【答案】

(-2,0)

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(1)(2012· 天津高考)函数f(x)=2x+x3-2在区间(0,1)内 的零点个数是( ) A.0 B.1 C.2 D.3 1 x-2 3 (2)(2013· 湛江模拟)设函数y=x 与y=( ) 的图象的交 2 点为(x0,y0),则x0所在的区间(端点值为连续整数的开区间) 是________.

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【思路点 拨】

(1)先根据零点存在性定理证明有 零

点,再根据函数的单调性判断零点的个数. (2)画出两个函数的图象寻找零点所在的区间.
菜 单

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【尝试解答】

(1)因为f′(x)=2xln 2+3x2>0,所以函数

f(x)=2x+x3-2在(0,1)上递增,且f(0)=1+0-2=-1<0,
f(1)=2+1-2=1>0,所以有1个零点.
1 x-2 (2)设f(x)=x -( ) , 2 则x0是函数f(x)的零点. 在同一坐标系下画出函 1 x-2 3 数y=x 与y=( ) 的图 2 象,如图所示.
3

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1 -1 ∵f(1)=1-( ) =-1<0, 2 10 f(2)=8-( ) =7>0 2 ∴f(1)f(2)<0, ∴x0∈(1,2).

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【答案】
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(1)B

(2)(1,2)
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1.函数零点的判定常用的方法有:(1)零点存在性定
理;(2)数形结合;(3)解方程f(x)=0. 2.求函数的零点,从代数角度思考就是解方程f(x)= 0;从几何角度思考就是研究其图象与x轴交点的横坐标.通 过画出函数的图象,观察图象与x轴在给定区间上的交点判

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定.

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(1)函数f(x)= x-cos x在[0,+∞)内( A.没有零点 C.有且仅有两个零点

)

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B.有且仅有一个零点 D.有无穷多个零点 2 (2)(2013· 汕头模拟)函数f(x)=ln(x-2)- 的零点所在的 x 大致区间是( ) A.(1,2) B.(2,3) C.(3,4) D.(4,5)

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【解析】 (1)令f(x)= x-cos x=0,则 x=cos x,设 函数y= x 和y=cos x,在同一坐标系下作出在[0,+∞)的 图象,显然两函数的图象的交点有且只有一个. 函数f(x)= x-cos x在[0,+∞)内有且仅有一个零点. (2)由题意知函数f(x)的定义域为{x|x>2}. 2 1 ∵f(3)=- <0,f(4)=ln 2- >0, 3 2 2 f(5)=ln 3- >0, 5 ∴f(3)· f(4)<0,f(4)· f(5)>0, ∴函数f(x)的零点在(3,4)之间.
【答案】
菜 单

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(1)B

(2)C

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若函数f(x)=x3+x2-2x-2的一个正数零点附近的函 数值用二分法计算,参考数据如下:

f(1)=-2

f(1.5)=0.625

f(1.25)=-0.984

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f(1.375)=-2.60 f(1.437 5)=0.162 f(1.406 25)=-0.054
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那么方程x3+x2-2x-2=0的一个近似根(精确度0.1)为

(

)
A.1.25 B.1.375

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C.1.406 25
菜 单

D.1.5

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【思路点拨】

(1)二分法求近似零点,需将区间一分

为二,逐渐逼近;(2)必须满足精确度要求,即|a-b|<0.1.
【尝试解答】 1.437 5之间, 又|1.437 5-1.406 25|=0.031 25<0.1, 根据题意知函数的零点在1.406 25至

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故方程的一个近似根可以是1.406 25. 【答案】 C
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1.解答本题一要从图表中寻找数量信息,二要注意
“精确度”的含义,切不可与“精确到”混淆. 2.(1)用二分法求函数零点的近似解必须满足①y=f(x) 的图象在[a,b]内连续不间断,②f(a)·f(b)<0.(2)在第一步 中,尽量使区间长度缩短,以减少计算量及计算次数.

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在用二分法求方程x3-2x-1=0的一个近似解时,现在 已经将根锁定在区间(1,2)内,则下一步可断定该根所在的

区间为________.
【解析】 1, 3 在(1,2)内取中点x0= ,令f(x)=x3-2x- 2

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3 27 ∵f( )= -4<0,f(2)=8-4-1>0,f(1)<0, 2 8 3 ∴f(x)=0的根在( ,2)内. 2

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【答案】
菜 单

3 ( ,2) 2

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(2013· 潮州模拟)已知函数f(x)=-x2+2ex+m-1,g(x) e2 =x+ (x>0). x (1)若g(x)=m有实数根,求m的取值范围; (2)确定m的取值范围,使得g(x)-f(x)=0有两个相异实 根.
【思路点拨】 从而数形结合求解. 解答(1)可用基本不等式求出最值或数

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形结合法求解,(2)转化为两个函数f(x)与g(x)有两个交点,

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e2 【尝试解答】 (1)∵g(x)=x+ ≥2 e2=2e, x 等号成立的条件是x=e,故g(x)的值域是[2e,+∞), 因此,只需m≥2e,则g(x)=m就有零点.
(2)若g(x)-f(x)=0有两个相 异的实根,即g(x)与f(x)的图象有 两个不同的交点,作出g(x)=x+ e2 (x>0)的大致图象. x

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∵f(x)=-x2+2ex+m-1=-(x-e)2+m-1+e2,

∴其图象的对称轴为x=e,开口向下,最大值为m-1
+e2,故当m-1+e2>2e,即m>-e2+2e+1时,g(x)与f(x) 有两个交点,即g(x)-f(x)=0有两个相异实根.∴m的取值 范围是(-e2+2e+1,+∞).

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已知函数有零点求参数取值范围常用的方法和思路
(1)直 接 法 : 直 接根 据题设条件构建关于参数的不 等 式,再通过解不等式确定参数范围; (2)分离参数法:先将参数分离,转化成求函数值域问

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题加以解决; (3)数形结合法:先对解析式变形,在同一平面直角坐 标系中,画出函数的图象,然后数形结合求解.
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x+2 (2013· 武汉模拟)设函数f(x)=log3 -a在区间(1,2) x 内有零点,则实数a的取值范围是( ) A.(-1,log32) B.(0,log32) C.(log32,1) D.(1,log34)

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【解析】 ∵函数f(x)在区间(1,2)内有零点, x+2 ∴方程log3 =a在区间(1,2)上有解, x x+2 x+2 由1<x<2,得2< <3,∴log32<log3 <1, x x 所以log32<a<1.
【答案】
菜 单

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C

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用二分法求函数零点近似值的口诀为:定区间,找中 点 ,中 值 计 算 两 边 看 . 同号 去 , 异号 算 ,零 点 落 在 异 号 间.周而复始怎么办?精确度上来判断.

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1.函数的零点不是点,是方程f(x)=0的实根.
2.函数零点的存在性定理只能判断函数在某个区间上

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的变号零点,而不能判断函数的不变号零点,而且连续函数
在一个区间的端点处函数值异号是这个函数在这个区间上存 在零点的充分不必要条件.
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从近两年高考试题看,函数的零点、方程的根的问题是
高考的热点,题型以客观题为主,主要考查学生转化与化归
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及函数与方程的思想.
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思想方法之六

用函数与方程思想解决图象公共点问题

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1 (2012· 山东高考)设函数f(x)= x ,g(x)=ax2+bx(a, b∈R,a≠0).若y=f(x)的图象与y=g(x)的图象有且仅有两 个不同的公共点A(x1,y1),B(x2,y2),则下列判断正确的 是( ) A.当a<0时,x1+x2<0,y1+y2>0 B.当a<0时,x1+x2>0,y1+y2<0 C.当a>0时,x1+x2<0,y1+y2<0 D.当a>0时,x1+x2>0,y1+y2>0

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1 【解析】 由题意知函数f(x)= ,g(x)=ax2+bx(a, x b∈R,a≠0)的图象有且仅有两个公共点A(x1,y1),B(x2, 1 y2),等价于方程 =ax2+bx(a,b∈R,a≠0)有两个不同的 x 根x1,x2,即方程ax3+bx2-1=0有两个不同非零实根x1, x2, 因而可设ax3+bx2-1=a(x-x1)2(x-x2), 2 即ax3+bx2-1=a(x3-2x1x2+x 1 x-x2x2+2x1x2x- 2 x2x1), ∴b=a(-2x1-x2),x2+2x1x2=0,-ax2x2=-1, 1 1 ∴x1+2x2=0,ax2>0,

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当a>0时,x2>0,∴x1+x2=-x2<0,x1<0,∴y1+y2= 1 1 x1+x2 + = >0. x1 x2 x1x2 当a<0时,x2<0,∴x1+x2=-x2>0,x1>0, 1 1 x1+x2 ∴y1+y2= + = <0. x1 x2 x1x2
【答案】 B

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易错提示:(1)不能把函数图象的交点问题转化为方程 的根的问题,找不到解决问题的切入点. (2)不能把方程根的情况与相应函数的极值大小联系起 来,思维受阻,无法解答. 防范措施:(1)明确函数图象的交点、方程的根与函数

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的零点三者之间的关系是解决问题的关键所在.
(2)方 程 的 根 的 情况 与函数的极值的大小有密切的 关 系,求解时应注意寻找它们之间的关系.

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1.(2012·湖北高考)函数f(x)=xcos x2在区间[0,4]上的
零点个数为( A.4 ) B.5 C.6 D.7

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【解析】 根据x2的范围判断y=cos x2在区间[0,4]上 的零点个数. 当x=0时,f(x)=0.又因为x∈[0,4],所以0≤x2≤16. 11π π 3π 2 2 因为5π<16< ,所以函数y=cos x 在x 取 , , 2 2 2 5π 7π 9π , , 时为0,此时f(x)=0,所以f(x)=xcos x2在区 2 2 2 间[0,4]上的零点个数为6.

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【答案】
菜 单

C

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2.(2013·佛山质检)若关于x的方程2-|x|-x2+a=0有两个

不等的实数解,则a的取值范围是________.
【解析】 由题意得方程2-|x|=x2-a

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有两个不等的实数解,即函数y=2-|x
|与y=x2-a有两个不同的交点,如图,
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要使图象有两个交点,通过数形结合思想,可知-a<1,
∴a>-1,即a的取值范围为(-1,+∞).

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【答案】
菜 单

(-1,+∞)

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课后作业(十二)

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