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线代代数B模拟试卷


线性代数 B 模拟试卷参考答案 模拟试卷一 一、 (15 分)填空题:

?1 2 3 ? ? ? 1.设 A ? 4 5 ?6 ,则 ? ? ? ? 1 1 0 ? ? 3 ?27 ? ? 6 3 ?27 ? ?6 ? ? -1 ?1 ? ?6 ?3 18 ? , A*= ?6 ?3 18 ,A = ? ? ? ?. 9 ? ? ?3 ? ? ?1 1 ?3

? ? ? ?1 1 ?
0 ,

|A|=

-9

2.设 4 维向量α =(1,2,0,-3)T, β =(2,-1,5,0)T,则α 与β 的内积(α ,β )= 夹角<α ,β >= 90o . 3.齐次线性方程组

? ax1 ? 2 x2 ? 3 x3 ? x4 ? 0 ? x ? 2x ? 4x ? x ? 0 ? 1 2 3 4 有非零解,则 a= ? ?2 x1 ? x2 ? 5 x3 ? 2 x4 ? 0 ? ? x1 ? x2 ? x3 ? x4 ? 0
(由系数行列式为 0 推得) 4.设矩阵

29/6

.

?1 0 ?1? ? 1 2 3? ? 1 2 2? ? ? A?? ? , B ? ? ?4 5 10? ,初等矩阵 P 满足:AP=B,则 P= ? 0 1 0 ? . ? 4 5 6 ? ? ? ? ? ?0 0 1 ? ?
(A 的第 3 列-第 1 列得 B,所以 P 为 E 的第 3 列-第 1 列所得初等阵) 5. α 1,α 2,α 3,α 4 均为 3 维向量,则向量组α 1,α 2,α 3,α 4 必线性 相 关. (ch3/Th7/推论 2) 二、 (15 分)选择题: 1.设 3 阶行列式

a1 ? x1

a2 ? x2

a3 ? x3 b3 ? y3 则( c3 ? z3 x1 x2 y2 z2 x3 y3 ; z3 x1 a2 ? x2 a3 ? x3 b3 ? y3 c3 ? z3
B ).

D ? b1 ? y1 b2 ? y2 c1 ? z1 c2 ? z2 a1
(A) D ? b1

a2 b2 c2

a3

c1 a1
(B) D ? b1

b3 ? y1 c3 z1

a2 ? x2 b2 ? y2 c2 ? z2

a3 ? x3

c1

b3 ? y3 ? y1 b2 ? y2 c3 ? z3 z1 c2 ? z2

a1
(C) D ? b1

a2 b2 c2

x3

a1

x2 y2 z2

a3

x1

a2 b2 c2

a3 b3 . c3

c1

y3 ? b1 z3 c1

b3 ? y1 c3 z1

(ch1/行列式性质 5) 2.设矩阵 A 的秩 R(A)=r,则( B ). (A)A 中只有一个 r 阶子式不为零,其余的 r 阶子式全为零; (B) A 中存在一个 r 阶子式不为零,所有的 r+1 阶子式(若有)全为零; (C) A 中所有的 r 阶子式均不为零,而高阶子式全为零. 3. 设线性方程组

? ax1 ? x2 ? x3 ? 1 ? ? x1 ? ax2 ? x3 ? a 有唯一解,则( ? x ? x ? ax ? a 2 3 ? 1 2

C

).

(A)a=1;(B)a=-2;(C)a≠1 且 a≠-2. 4.设 向量组α 1,α 2,…,α s 线性相关,则( C ). (A) α 1 一定可由α 2,α 3,…,α s 线性表示; (B) α 1 一定不可由α 2,α 3,…,α s 线性表示; (C) 其中至少有一个向量可由其余 s-1 个向量线性表示. 5.n 阶方阵 A 与对角阵相似,则( C ). (A)A 有 n 个不同的特征值;(B) A 有 n 个相同的特征值;(C) A 有 n 个线性无关的特征向量. 三、 (14 分)设 n 维向量α T=(1/2,0,…,0,1/2),又 A=E-α α T, B=E+2α α T,其中 E 为 n 阶单位 矩阵,求 AB,A-1,B-1,并写出 A-1 与 B-1 的具体形式. 解:AB=( E-α α T) (E+2α α T)= E-α α T+2α α T-2α α Tα α T = E+α α T -2α (α Tα )α T

?1? ?2? ? ? ?0? 1 ?? ? 1 1 1 ?1 T α α =? 0 ... 0 ? ... ? ? ? 2 ?? ? 4 4 2 ?2 ?0? ?1? ? ? ?2?
∴AB= E+α α
T

-α α T=E.

?1? ?2? ?1/ 4 ? ? ? 0 ?0? ? 1 1 ? ? ? ... A-1=B= E ? 2 ? ... ? ? 0 ... 0 ? E ? 2 ? ? ?? 2 2? ? ?0? ? 0 ?1? ? ?1/ 4 ? ? ?2?

0 ... 0 1/ 4 ? 0 ... 0 0 ? ? ... ... ... ... ? ? 0 ... 0 0 ? 0 ... 0 1/ 4 ? ?

?1/ 2 0 ... 0 1/ 2 ? ?3 / 2 0 ... 0 1/ 2 ? ? 0 ? 0 ... 0 0 ? 1 ... 0 0 ? ? ? ? 0 ? = E ? ? ... ... ... ... ... ? ? ? ... ... ... ... ... ? ? ? ? ? 0 ... 0 0 ? ? 0 0 ... 1 0 ? ? 0 ? ?1/ 2 0 ... 0 1/ 2 ? ? ? ?1/ 2 0 ... 0 3 / 2 ? ?

?1? ?2? ?1/ 4 ? ? ? 0 ?0? ? 1? ?1 ? ... B -1= A = E ? ? ... ? ? 0 ... 0 ? E ? ? ? ?? 2 2? ? ?0? ? 0 ?1? ? ?1/ 4 ? ? ?2?
? 3 / 4 0 ... 0 ?1/ 4 ? ? 0 1 ... 0 0 ? ? ? ... ... ... ... ? . = ? ? ... ? ? 0 ... 1 0 ? ? 0 ? ? ?1/ 4 0 ... 0 3 / 4 ? ?

0 ... 0 1/ 4 ? 0 ... 0 0 ? ? ... ... ... ... ? ? 0 ... 0 0 ? 0 ... 0 1/ 4 ? ?

四、 (16 分)设向量组α 1=(1,2,3,4)T, α 2=(2,3,4,5)T, α 3=(3,4,5,6)T, α 4=(4,5,6,7)T,求该向量 组的秩及一个最大无关组,并将其余向量表示成最大无关组的线性组合.

?1 ?2 解: 【α 1, α 2, α 3, α 4】? ? ?3 ? ?4 ?1 ?0 ? ?0 ? ?0

2 3 4 5

3 4 5 6

4? ri ? ri ?1 5? ? ? 6 ? i ? 4,3,2 ? 7?

?1 ?1 ? ?1 ? ?1

2 1 1 1

3 1 1 1

4? r4 ? r2 r3 ? r2 1? ?? 1 ? r2 ? r1 ? 1?

?1 2 3 4 ? ?0 ?1 ?2 ?3? r1 ? 2 r2 ? ? ? ?0 0 0 0 ? r2 ?( ?1) ? ? ?0 0 0 0 ?

0 ?1 ?2 ? 1 2 3? ? ,秩为 2,α 1, α 2 为一个最大无关组, 0 0 0? ? 0 0 0?
2.

α 3= -α 1+2α 2,α 4= -2α 1+3α

五、 (14 分)求非齐次线性方程组

? 2 x1 ? x2 ? 5 x3 ? 4 x4 ? 6 ? ? x1 ? 2 x2 ? 3 x3 ? 5 x4 ? 8 的通解. ?4 x ? 3 x ? x ? 6 x ? 22 2 3 4 ? 1

? 2 1 ?5 4 6 ? ?1 0 ?7 / 5 3 / 5 4 ? ? ? r ? ? ? x1 ? 4 ? 7 / 5 x3 ? 3 / 5 x4 解: ? 1 ?2 3 ?5 8 ? ? ? 0 1 ?11/ 5 14 / 5 ?2 ? . ? ? x2 ? ?2 ? 11/ 5 x3 ? 14 / 5 x4 ? ? ? ? 4 ? 3 1 ? 6 22 0 0 0 0 0 ? ? ? ?

? x1 ? ? 4 ? 7c1 ? 3c2 ? ? 4 ? ?7? ? ?3 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? x2 ? ? ?2 ? 11c1 ? 14c2 ? ?2 11? ?14 ? ? x3 ? 5c1 ? ? ? ? ? ? 令? ,则 = . ?c ?c ? x3 ? ? ? ? 0 ? 1? 5 ? 2? 0 ? 5c1 ? x4 ? 5c2 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 5c2 ? x4 ? ? ? ?0? ?0? ? 5 ?
?2 0 0 ? ? ? 六、 (18 分)设 A= 0 3 2 ? ? ? ? 0 2 3 ? ?
1. 求 A 的特征值与特征向量; 2.求正交矩阵 Q,使得 QTAQ =Λ 解:

? ?2
1.|λ E-A|=

0

0 ?2 =(λ -1) (λ -2) (λ -5)=0. ? ?3

0 0

? ?3
?2

得 A 的特征值 1,2,5.

0 ? ?1 0 0? ? ?1 0 ?0? r ? x1 ? 0 ? ? ? ? ? ? 对λ =1,λ E-A= 0 ?2 ?2 ? 0 1 1 , ? ,基础解系 ?1 ? ? 1 ? ,属于 1 ? ? ? ? x ? ? x 3 ? ?1 ? ? 0 ?2 ? 2 ? ? ? ? 0 0 0? ? ? 2 ? ? ?
的全部特征向量为 c1 ?1 ,c1 为任意非零常数;

?0 0 0 ? ?0 1 0? ? ? r ? ? ? x2 ? 0 , x 是自由未知量,基础解系 对 λ =2 , λ E-A= 0 ?1 ?2 ? 0 0 1 , ? 1 ? ? ? ? x3 ? 0 ? ? ? ? ? 0 0 0? ? ?0 ?2 ?1? ?1? ? ?2 ? ? ? 0 ? ,属于 2 的全部特征向量为 c2 ?2 ,c2 为任意非零常数; ?0? ? ? 0 ? ?1 0 0 ? ?3 0 ?0? r ? x1 ? 0 ? ? ? ? ? ? 对λ =5,λ E-A= 0 2 ?2 ? 0 1 ?1 , ? ,基础解系 ? 3 ? ? 1 ? ,属于 5 的 ? ? ? ? ? x2 ? x3 ?1? ? ? 0 ?2 2 ? ? ? ?0 0 0 ? ? ? ?
全部特征向量为 c3 ?3 ,c3 为任意非零常数。 2.

?1 , ?2 , ?3 是 A 的两两正交的特征向量,将其单位化,得 A 的两两正交的单位特征向量:

?0? ?1? ? 0? 1 1 ? ? 1 1 ? ? ? ? q1 ? ?1 ? 1 ? , q2 ? ? 2 ? ? 0 ? , q3 ? ?3 ? 1? , 2 2? 2 2? ? ?1? ?0? ?1? ? ? ? ? ? ?

? ? 0 ? ? 1 Q=【q1 q2 q3】= ? 2 ? ? 1 ? ? ? 2

1 0 0

? 0 ? ? ?1 0 0 ? 1 ? ? ? 为正交阵,且 QTAQ = 0 2 0 =Λ . ? ? ? 2 ? ? ? 0 0 5 ? ? 1 ? 2? ?

七、 (8 分)证明:若为 A 正交矩阵,则 A 的伴随矩阵 A*也为正交矩阵. 证:A*=|A|A-1, (A*)T A*=(|A|A-1)T |A|A-1=|A|2E=E.所以 A*也为正交矩阵. 模拟试卷二 一、 (15 分)填空题: 1.在 4 阶行列式 det[aij]中,含有因子 a11a32 的项有:-a11a32 a23a44,a11a32 a43a24.

? 1 3? ?10 3 5? ?5 5 ? ? ? T T ? A ? ? 0 1? A 为 A 的转置矩阵,则矩阵乘积 AA = ? 3 1 1 ? ,ATA= ? . ? 5 11? ? ? ? ? ? 5 1 5? ? ? 2 1? ? ?1 0 3 2 ? ? ? 3. 矩阵 A ? 1 1 0 0 的秩= ? ? ?0 0 0 0 ? ? ?
4.设 B,C 为可逆矩阵,分块矩阵

2

.

? O C ?1 ? ?O B ? -1 A?? ? , 则 A = ? B ?1 O ? . ? ? ?C O ?
二、 (15 分)选择题: 1.设α =(1,2,3)T, β =(1,1/2,1/3)T,A=α β T,则 A10=(

B

).

? ?1 1 1/ 2 1/ 3 ? ? ? ? 10 9 ? 10 1 2 / 3? ; (A)3 ; (B) 3 2 (C) ? 2 ? ? ? ? ?3 3 / 2 1 ? ? ? 310 ? ?

1 210 1 3 ( )10 2

1 ? 310 ? ? 2 10 ? ( ) . 3 ? ? 1 ? ? ?

x1 ? x2 ? x3 ? 1 ? ? .2.设线性方程组 ? 2 x1 ? ( a ? 2) x2 ? (b ? 2) x3 ? 3 有无穷多组解,则( ? ?3ax ? (a ? 2b) x ? ?3 2 3 ?
(A)a=b≠0;(B) a≠0 且 a≠b;(C)a=b=0. . 向量组α 1,α 2,…,α s 线性无关的充要条件为( C ). (A) α 1 不能由α 2,α 3,…,α s 线性表示;(B)α 1,α 2,…,α s 的秩小于 s; (C) α 1,α 2,…,α s 的秩等于 s.

A

).

? 1 ? 3 4.设 A ? ? ? ? a ?
(A)a=

? b ? ? 为正交矩阵,则( ?1 ? 3? ?

B

).

2 2 2 , b= ? ; (B) a=b= ? ; (C) a=b=0. 3 3 3

5.设 3 阶方阵 A 与对角阵

?1 0 0 ? ? 0 2 0 ? 相似,则( ? ? ? ? 0 0 ?3 ? ?

B

).

(A)A-1 有特征值 1,2,-3;(B) A+E 有特征值 2,3,-2;(C) A2 有特征向量 1,2,-3 三、 (18 分)设矩阵

?1 ?5 A?? ?3 ? ?1

2 1 1 0

0 2 0 0 2 1 1 0

1? 0? ? ,,试求 1.|A|;2.A-1;3.|A4|. 0? ? 0? 0 2 0 0 1 5 1 2 0 1 2 ??3 1 0 ? ? 2. 0 1 0 1 0 0 0
1? ? 2 0 1 1 0 0 ?1? 1 0 0 0 0 1 ?3? ? 1 2 0 0 1 0 ?5 ? ? 0 0 00 0 0 0 0

1 5 解: 1.|A|= 3 1
2.

?1 ? 5 [ A | E] ? ? ?3 ? ? ?1 ?1 ? r 0 ?? ?0 ? ?0 ?

2 0 1 1 0 0 0 ? ?1 ? ? 1 2 0 0 1 0 0 ? r ?0 ? 1 0 0 0 0 1 0 ? ?0 ? ? 0 0 0 0 0 0 1? ? ? ?0 0

1 ? ?1 ? ? 1 0 0 0 0 1 ?3? r ?0 ? 0 0 1 1 0 ?2 5 ? ?0 ? ? 0 2 0 0 1 ?1 ?2 ? ? ? ?0 0 0 00 0

1? ? 1 0 00 0 1 ?3? , 0 1 0 0 1/ 2 ?1/ 2 ?1? ? 0 0 11 0 ?2 5? ? 0 0 00

0 1? ?0 0 ?0 0 1 ?3? ?. ∴A-1= ? ?0 1/ 2 ?1/ 2 ?1? ? ? ?2 5? ?1 0
3.|A4|=|A|4=16.

四、 (16 分)求齐次线性方程组

? 2 x1 ? x2 ? 5 x3 ? 4 x4 ? 6 ? ? x1 ? 2 x2 ? 3 x3 ? 5 x4 ? 8 的通解. ?4 x ? 3 x ? x ? 6 x ? 22 2 3 4 ? 1

? 2 1 ?5 4 6 ? ?1 0 ?7 / 5 3 / 5 4 ? ? ? r ? ? ? x1 ? 4 ? 7 / 5 x3 ? 3 / 5 x4 解: ? 1 ?2 3 ?5 8 ? ? ? 0 1 ?11/ 5 14 / 5 ?2 ? . ? ? x2 ? ?2 ? 11/ 5 x3 ? 14 / 5 x4 ? 0 0 0? ? 4 ?3 1 ?6 22 ? ? ? ?0 0 ?

? x1 ? ? 4 ? 7c1 ? 3c2 ? ? 4 ? ?7? ? ?3 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? x2 ? ? ?2 ? 11c1 ? 14c2 ? ?2 11? ?14 ? ? x3 ? 5c1 ? ? ? ? ? ? 令? ,则 = . ?c ?c ? x3 ? ? ? ? 0 ? 1? 5 ? 2? 0 ? 5c1 ? x4 ? 5c2 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 5c2 ? x4 ? ? ? ?0? ?0? ? 5 ?
五、 (16 分)设向量组α 1=(1,2,3,4)T, α 2=(-1,1,-1,0)T, α 3=(2,-1,3,1)T, α 4=(0,3,2,4)T,求该向量组的秩及一个最大无关组, 并将其余向量表示成最大无关组的线性组合.

?1 ?1 2 ? 2 1 ?1 解: 【α 1, α 2, α 3, α 4】 ? ? ? 3 ?1 3 ? ?4 0 1
?2 0 0? ? ? 六、 (20 分)设对称矩阵 A= 0 1 2 ? ? ? ? 0 2 1 ? ?

0 ? ?1 ?1 2 0 ? ?1 ? ? r ? r 3? ? ? ?0 3 ?5 3 ? ? ?0 2? ?0 2 ?3 2 ? ?0 ? ? ? ? 4 ? ?0 ?2 3 ?2? ?0
2.

0 1 0 0

0 0 1 0

1? 1? ? 0? ? 0?

秩为 3,α 1, α 2,α 3 为一个最大无关组,α 4=α 1+α

1.求 A 的特征值与特征向量;2.求一个正交矩阵 Q 和对角阵Λ ,使得 Q-1AQ=Λ .

? ?2
解:1. |λ E-A|=

0

0 ?2 =(λ -2) (λ -3) (λ +1)=0. ? ?1

0 0

? ?1
?2

得 A 的特征值 2,3,-1.

?0 0 0 ? ?0 1 0? ? ? r ? ? ? x2 ? 0 , x 是自由未知量,基础解系 对 λ =2 , λ E-A= 0 1 ?2 ? 0 0 1 , ? 1 ? ? ? ? x3 ? 0 ? ? ? 0 ?2 1 ? ? ? ? 0 0 0? ? ?1? ? ?1 ? ? ? 0 ? ,属于 2 的全部特征向量为 c1 ?1 ,c1 为任意非零常数; ?0? ? ?

? 1 0 0 ? ?1 0 0 ? ?0? r ? x1 ? 0 ? ? ? ? ? ? 对λ =3,λ E-A= 0 2 ?2 ? 0 1 ?1 , ? ,基础解系 ? 2 ? ? 1 ? ,属于 3 的 ? ? ? ? ? x2 ? x3 ?1? ? ? 0 ?2 2 ? ? ? ?0 0 0 ? ? ? ?
全部特征向量为 c2 ?2 ,c2 为任意非零常数;

? ?3 0 0 ? ?1 0 0? ?0? r ? x1 ? 0 ? ? ? ? ? ? 对λ =-1,λ E-A= 0 ?2 ?2 ? 0 1 1 , ? ,基础解系 ?3 ? ? 1 ? ,属于 ? ? ? ? x ? ? x3 ? ?1 ? ? ? ? ? 0 0 0? ? ? 2 ? 0 ?2 ?2? ? ?
-1 的全部特征向量为 c3 ?3 ,c3 为任意非零常数。 2.

?1 , ?2 , ?3 是 A 的两两正交的特征向量,将其单位化,得 A 的两两正交的单位特征向量:

?1? ? 0? ?0? 1 1 ? ? 1 1 ? ? ? ? q1 ? ?1 ? ? 0 ? , q2 ? ?2 ? 1 ? , q3 ? ?3 ? 1 ?, 2 2? 2 2? ?0? ?1? ? ?1? ? ? ? ? ? ?

? ?1 ? ? Q=【q1 q2 q3】= ? 0 ? ? 0 ? ?

0 1 2 1 2

? 0 ? ? ?2 0 0 ? 1 ? ? ? -1 为正交阵,且 Q AQ = 0 3 0 =Λ . ? ? ? 2 ? ? 0 0 ?1? ? ? 1 ? ? 2? ?

模拟试卷三 一、 (15 分)填空题: 1.设 n 阶方阵 A 的行列式|A|=2,则 A 的伴随阵的行列式|A*|= 2n-1 2.设矩阵

.

? 1 2 3? ? 1 2 1? ?1 0 0 ? ? ? ? ? ? -1 A ? ? 1 ?1 0 ? , B ? ? 1 ?1 1 ? , 矩阵 X 满足: AX=B,则 X=A B= ? ?0 1 ?1? , . ? ? ? ? ?1 1 1 ? ? ? ?1 1 0 ? ? ?0 0 1 ? ?
3. 设ξ 1=(2,0,-1)T, ξ 2=(1,0,0)T 为线性方程组

? x1 ? 2 x2 ? 1x3 ? 1 ? ? 2 x1 ? x2 ? 2 x3 ? 2 ? ax ? bx ? cx ? 5 2 3 ? 1
的两个解向量,则方程的通解为 ξ 1+c(ξ 1-ξ 2) . (方程解不唯一,故系数行列式|A|=0,R(A)=2,AX=0 基础解系有 n- R(A)=3-2=1 个 解向量, ξ =ξ 1-ξ 2=(1,0,-1)T 为基础解系) 4. 向量组α 1=(1,2,-3)T, α 2=(-2,1, 0)T, α 3=(0,5,-6)T,线性 相 关. -1 5. 设 n 阶方阵 A 与 B 相似,A 有特征值 1,2,-3,则 B +E 有特征值 2,3/2,2/3 .

二、 (15 分)多项选择题: 1.设 A,B 均为 n 阶可逆方阵,则( A, C ). -1 (A)齐次线性方程组 ABX=0 只有零解; (B)(A+B) =A-1+B-1; (C) A 的特征值全不为零. 2.设 A,B 均为 n(n≠1)阶矩阵则( B ). T T T (A)(AB) =A B ;(B)|AB|=|A||B|;(C)|2A|=2|A|. 3.设 λ 为 n 阶可逆矩阵 A 的特征值,则( A,B,C (A)1/λ 为 A-1 的特征值;(B) λ 2 为 A2 的特征值; (C)φ (λ ) 为φ (A)的特征值,其中φ (x) 为 x 的多项式. 4.n 阶行列式

).

a b ... b

b a ... b

... ... ... ...

b b 的值为( B ... a

,C

).

(A)(a+nb)(a-b)n-1;(B) (a-b)n+nb(a-b)n-1;(C)[a+(n-1)b](a-b)n-1. 5.设α 1=(1,-2,5)T, α 2=(-2,4,-10)T,则( A, C ). (A)(α 1,α 2)= -60;(B) α 1 与α 2 正交;(C) α 1,α 2 线性相关. 三、 (10 分)求非齐次线性方程组

? 2 x1 ? x2 ? x3 ? x4 ? 1 ? ? 4 x1 ? 2 x2 ? 2 x3 ? x4 ? 2 的通解. ? 5 x ? x ? 3x ? 2 x ? 0 3 4 ? 1 2

? 2 1 ?1 1 1 ? ?1 0 2 / 7 0 1/ 7 ? ? ? r ? ? 解: ? 4 2 ?2 1 2 ? ? ?0 1 ?11/ 7 0 5 / 7 ? ? 0 1 0 ? ? 5 ?1 3 ?2 0 ? ? ? ?0 0 ?
? x1 ? 1/ 7 ? 2 / 7 x3 ? . ? x2 ? 5 / 7 ? 11/ 7 x3 ?x ? 0 ? 4

? x1 ? ? 1/ 7 ? 2c ? ? 1/ 7 ? ? ?2 ? ? ? ? ? ? ? ? x2 ? ? 5 / 7 ? 11c ? 5 / 7 ? ? 11 ? ? ? ? ? 令 x3 ? 7c ,则 = . ?c ? x3 ? ? ? ? 0 ? ? 7? 7c ? ? ? ? ? ? ? ? 0 ? ? 0 ? ? 0? ? x4 ? ?
四、 (10 分)求向量组α 1=(1,1,2,3)T, α 2=(1,-1, 1,1)T, α 3=(1,3,3,5)T, α 4=(4,4,8,12)T,的秩及 一个最大无关组,并将其余向量表示成最大无关组的线性组合.

?1 1 ?1 ?1 解: 【α 1, α 2, α 3, α 4】 ? ? ?2 1 ? ?3 1

1 4 ? ?1 1 1 ? r 3 4? ? ? ?0 ?2 2 3 8 ? ?0 ?1 1 ? ? 5 12 ? ?0 ?2 2
2.

4 ? ?1 ? r 0? ? ? ?0 0 ? ?0 ? ? 0 ? ?0

0 2 1 ?1 0 0 0 0

4? 0? ? 0? ? 0?

秩为 2,α 1, α 2,为一个最大无关组,α 3=2α 1-α 五、 (15 分)问 a,b 为何值时,线性方程组

α 4=4α

1

? ax1 ? x2 ? x3 ? 4 ? ? x1 ? bx2 ? x3 ? 3 有唯一解?有无穷多组解?无解? ? x ? 2bx ? x ? 4 2 3 ? 1 a
解 1: | A |? 1

1

1

b 1 ? 1 0 1 ?? b(a ? 1) r2 ? r3 1 2b 1 0 b 0

r3 ? r2

a 1 1

1)当 a ? 1 且 b ? 0 ,|A| ? 0,方程组有唯一解

?1 1 1 4 ? ?0 1 0 2 ? ?1 0 1 2 ? ? ? r3 ? r2 ? ? r1 ? r2 ? ? 2)当 a=1,增广阵 B= ?1 b 1 3 ? ? ?1 0 1 2 ? ? ?0 1 0 2 ? , r2 ? r3 r3 ?br2 r ?r ? ? ?1 2b 1 4 ? ?1 2? ?0 b 0 1 ? ? ?0 0 0 1 ? 2b ? ?
∴当 a=1 且 b≠1/2,R(A)=2,R(B)=3,系数阵与增广阵秩不相等,无解。 ∴当 a=1 且 b=1/2,R(A)=2=R(B) ,有无穷多组解.

? x1 ? ? 2 ? c ? ? 2 ? ? ?1 ? ? ? ? ? ? ? ? ? 通解为 ? x2 ? ? ? 2 ? = ? 2 ? ? c ? 0 ? . ? x ? ? c ? ?0? ? 1 ? ? 3? ? ? ? ? ? ?

? a 1 1 4 ? ? a 1 1 4 ? ?1 0 1 3 ? ? ? r ? ? r ? ? 3)当 b=0,增广阵 B= ? 1 0 1 3 ? ? ?1 0 1 3 ? ? ?0 1 1 ? a 4 ? 3 a ? ,. ? 0 1 ? ?1 0 1 4 ? ? ? ?0 0 0 1 ? ? ? ?0 0 ?
R(A)=2,R(B)=3,系数阵与增广阵秩不相等,无解。 解 2:

?a 1 1 4? ? 0 1 1 ? a 4 ? 2a ? ? ? r3 ? r2 ? ? r1 ? r2 1 2 ? ? 增广阵 B= ? 1 b 1 3 ? ? ?1 0 r2 ? r3 r3 ?br2 r1 ? ar2 ? ? ? ? 1 2 b 1 4 0 b 0 1 ? ? ? ?

?1 0 1 2 ? ? ? 1? a 4 ? 2a ? ?0 1 ? ?0 0 ?b(1 ? a) 1 ? 4b ? 2ab ? ?

1)当 a ? 1 且 b ? 0 ,R(A)=R(B)=3,方程组有唯一解 2)当 a=1,且 b≠1/2,R(A)=2,R(B)=3,系数阵与增广阵秩不相等,无解。 ∴当 a=1 且 b=1/2,R(A)=2=R(B) ,有无穷多组解.

? x1 ? ? 2 ? c ? ? 2 ? ? ?1 ? ? ? ? ? ? ? ? ? 通解为 ? x2 ? ? ? 2 ? = ? 2 ? ? c ? 0 ? . ? x ? ? c ? ?0? ? 1 ? ? 3? ? ? ? ? ? ?
3)当 b=0,R(A)=2,R(B)=3,系数阵与增广阵秩不相等,无解。

?1 2 0? ? ? 六、 (20 分)设对称矩阵 A= 2 ?2 0 ? ? ? ? 0 0 1 ? ?
1.求 A 的特征值与全部特征向量;2.求一个正交矩阵 Q 和对角阵Λ ,使得 Q-1AQ=Λ .

? ?1
解:1. |λ E-A|= ?2

?2

0 0 =(λ -1) (λ -2) (λ +3)=0. ? ?1

??2
0

0
得 A 的特征值 1,2,-3.

? 0 ?2 0 ? ? 1 0 0 ? ? ? r ? ? ? x1 ? 0 , x 是自由未知量,基础解系 对 λ =1 , λ E-A= ?2 3 0 ? 0 1 0 , ? 3 ? ? ? ? x2 ? 0 ? ? ? 0 0 0? ? ? ? 0 0 0? ? ?0? ? ?1 ? ? ? 0 ? ,属于 1 的全部特征向量为 c1 ?1 ,c1 为任意非零常数; ?1? ? ? ? 1 ?2 0 ? ?1 ?2 0 ? ?2? r ? x1 ? 2 x2 ? ? ? ? ? ? 对λ =2,λ E-A= ?2 4 0 ? 0 0 1 , ? ,基础解系 ? 2 ? ? 1 ? ,属于 2 ? ? ? ? ? x3 ? 0 ?0? ? ? 0 0 1? ? ? ?0 0 0 ? ? ? ?
的全部特征向量为 c2 ?2 ,c2 为任意非零常数;

? ?4 ?2 0 ? ?1 1/ 2 0 ? ? ? ?1 ? 1 r ? x1 ? ? x2 ? ? ? ? ? ? 0 1? , ? 对λ =-3,λ E-A= ?2 ?1 0 ? 0 2 ,基础解系 ?3 ? ? 2 ? , ? ? ? ?0? ? ? ? 0 0 ?4 ? ? ? ?0 0 0 ? ? ? x3 ? 0 ? ?
属于-1 的全部特征向量为 c3 ?3 ,c3 为任意非零常数。 2.

?1 , ?2 , ?3 是 A 的两两正交的特征向量,将其单位化,得 A 的两两正交的单位特征向量:

?0? ? 2? ? ?1? 1 1 ? ? 1 1 ? ? ? ? q1 ? ?1 ? ? 0 ? , q2 ? ?2 ? ? 1 ? , q3 ? 5 ?3 ? 5 ? 2 ? , 5 5 ?1? ?0? ?0? ? ? ? ? ? ?

? ?0 ? ? Q=【q1 q2 q3】= ? 0 ? ?1 ? ?

2 5 1 5 0

?

1 ? 5? ? ?1 0 0 ? 2 ? ? ? 为正交阵,且 Q-1AQ = 0 2 0 =Λ . ? ? ? 5 ? ? ? 0 0 ? 3 ? ? 0 ? ? ?

七、证明题:1.(7 分)设 A,B 均为 n 阶正交矩阵,试证 A-1B 也是正交矩阵.2.(8 分)设向 量组α 1,α 2,…,α s(s>1)线性无关,又β 1=α 2+α 3+…+α s ,β 2=α 1+α 3+…+α s ,β 3= α 1+α 2+α 4+…+α s ,… ,β s=α 1+α 2+…+α s-1 ,证明向量组β 1, β 2,…,β s 线性无关 . 1. 证:A,B 为 n 阶正交矩阵,∴A-1=AT,B -1=BT, ∴( A-1B)TA-1B= BT(A-1)TA-1B= B-1AA-1B= B-1B=E. ∴A-1B 也是正交矩阵. 2.证:设 x1?1 ? x2 ?2 ? x3 ?3 ? ... ? xs ?s ? 0 -------(1)

即 x1 (?2 ? ... ? ?s ) ? x2 (?1 ? ?3 ? ... ? ?s ) ? ... ? xs (?1 ? ?2 ? ... ? ?s ?1 ) ? 0 , 整理得 ( x2 ? ... ? xs )?1 ? ( x1 ? x3 ? ... ? xs )?2 ? ... ? ( x1 ? x2 ? ... ? xs ?1 )?s ? 0
? x2 ? x3 ? ... ? xs ? 0 ? x ? x ? ... ? x ? 0 ? 1 3 s 因为 ?1 , ?2 ,..., ? s 线性无关,所以 ? ......................... ? ? ? x1 ? x2 ? ... ? xs ?1 ? 0

(2) ,

0 1 系数行列式 D= ... 1

1 0 ... 1

... ... ... ...

1 1 1 1 0 ?1 ? ( s ? 1) ... ... ... 0 0 0

... 1 ... 0 ? ( s ? 1)( ?1) s ?1 ? 0 ,齐次方程 ... ... ... ?1

(2) 只 有 唯 一 的 零 解 :x1=x2=…=xs=0. 由 线 性 无 关 的 定 义 , 知 向 量 组

?1 , ?2 ,..., ?s 也线性无关.


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