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2011广东各地学校高三上学期期末考试题数学分类汇编:立体几何(理)


2011 广东各地高三上期末考试题分类汇编—立体几何(理)
一、选择、填空题 1、 (佛山 2011 普通高中高三教学质量检测(一) )若一个圆台的的正视图如图所示, 则其侧面积等于 A.6 B. 6? C. 3 5? D. 6 5? 第4题 图

2、 (高州市大井中学 2011 高三上期末考试)如右图所示,一个空间几何体的主视图 和左视图都是边长

为 1 的正方形,俯视图是一个直径为 1 的圆,那么这个几何体的表面 积为 ( ) A. 3? B. 2? C.

3 ? 2

D. 4?
主视图 左视图

俯视图

4 题图 3、 (广州 2011 高三上期末调研测试)一空间几何体的三视图如
3 3

图 2 所示, 该几何体的体积为 12? ? 为 A. 5 B. 4

8 5 ,则正视图中 x 的值 3
x x

4

4 侧视图

C. 3

D. 2

正视图

俯视图 图2

4、 (惠州 2011 高三第三次调研考试)一简单组合体的三视图及 尺寸如右图示( 单位:cm) ,则该组合体的表面积 为 _______

cm2 .
50

10
20 20 20 俯视图

主视图

40 侧视图

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5、 (江门 2011 高三上期末调研测试)如图 1,一个“半圆锥”的主视图是边长为 2

的正三角形,左视图是直角三角形,俯视图是 半圆及其圆心,这个几何体的体积为 A.
3 ? 3

B.

3 ? 6

主视图 ·

左视图

C. 2 3?

D. 3?

6、 (江门 2011 高三上期末调研测试)如图 2, ?PAB 所在的

俯视图

图1

AD BC 平面 ? 和四边形 ABCD 所在的平面 ? 互相垂直, AD ? ? , ? ? , ? 4 , 且

BC ? 8 , AB ? 6 .

?
P A B

若 tan ?ADP ? 2 tan ?BCP ? 1,则动点 P 在平面 ? 内 的轨迹是 A.椭圆的一部分 C.双曲线的一部分 B.线段 D.以上都不是

?

D
图2

C

7、 (揭阳市 2011 届高三上学期学业水平考试) 某路口的机动车隔离墩的三视图如下图所示, 其中正视图、侧视图都是由半圆和矩形组成,根据图中标出的尺寸(单位:cm)可求 得隔离墩的体积为 . 8、 (茂名 2011 高三上期末考试)设 a ,b 是两条直线, ? , ? 是两个平面, 则 a ? b 的一个充分条件是 A. a ? ? , b // ? , ? ? ? C. a ? ? , b ? ? , ? // ? B. a ? ? , b ? ? , ? // ? D. a ? ? , b // ? , ? ? ?

20

30

9、 (汕头10-11学年普通高中毕业班教学质量监测)若 m 、 n 为两条不重合的直线, ? 、 ? 为两个不重合的平面,则下列命题中的真命题个数是( ) ① m 、 n 都平行于平面 ? ,则 m 、 n 一定不是相交直线; 若 ② m 、 n 都垂直于平面 ? ,则 m 、 n 一定是平行直线; 若 ③ 已知 ? 、 ? 互相垂直, m 、 n 互相垂直,若 m ? ? ,则 n ? ? ; ④m 、 n 在平面 ? 内的射影互相垂直,则 m 、 n 互相垂直. A.1 B.2 C.3 D.4 10、 (汕头10-11学年普通高中毕业班教学质量监测)已知三棱锥 P ? ABC 的四个顶点均在 半径为3的球面上,且PA、PB、PC两两互相垂直,则三棱锥 P ? ABC 的侧面积的最大

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值为



11(肇庆中小学教学质量评估 10-11 学年高三上期末)图 1 是一个几何体的三视图,根据图 中数据, 可得该几何体的表面积是 A. 9 ? C. 11 ? B. 10 ? D. 12 ?
2 正视图 3 3 2 2

12(中山 2011 届高三上期末统考)m、n 是不同的直线, ? , ? , ? 是不同的平 面,有以下四个命题 ①?

2 侧视图 图1

俯视图

?? // ? ? ? // ? ?? // ?

②?

?? ? ? ?m?? ?m // ?

]

③?

?m ? ? ?? ? ? ?m // ?

④?

?m // n ? m // ? ?n ? ?

其中为真命题的是 A.①③ B.①④ C.②③ D.②④

13、 (珠海 2011 届高三上期末考试题)已知 ? 、? 、 ? 是三个互不重合的平面, l 是一条直 线,下列命题中正确命题是( ) A. ? ? ? , l ? ? , l // ? 若 则 C.若 l ? ? ,l // ? ,则 ? ? ? B. l 上有两个点到 ? 的距离相等, l // ? 若 则 D.若 ? ? ? , ? ? ? ,则 ? ? ?

答案: 1、 2、 3、 4、解析】 C C C 【 该组合体的表面积为: S主视图 ? 2S侧视图 ? 2S俯视图= 2 12800cm 。
2

5、B 6、C 7、该几何体为圆柱上面叠一半球,其体积 V ? ? ?10 ? 30 ?
2

2 11000 ? ?103 ? ? cm3 3 3

8、C 9、①为假命题,②为真命题,在③中 n 可以平行于 ? ,也可以在 ? 内,是假命

题,④中, m 、 n 也可以不互相垂直,为假命题;故选 A。

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10、依题意知,PA,PB,PC 两两垂直,以 PA,PB,PC 为棱构造长方体,则该长方体







线



















2 PA2 ? PB ? PC ? 4R ?2

3

2

6

,
2 2

2 1 1 PA2 ? PB PB ? PC 2 PC ? PA2 S ? ( PA?PB ? PB?PC ? PC ?PA) ? ( ? ? ) ? 18, 2 2 2 2 2 当PA ? PB ? PC ? 2 3时,取等号.

11、D 12、A 13、C 二、解答题 1、 (佛山 2011 普通高中高三教学质量检测(一) )如图,已知 E , F 分别是正方形 ABCD 边 BC 、 CD 的中点, EF 与 AC 交于点 O , PA 、 NC 都垂直于平面 ABCD ,且 PA ? AB ? 4 , NC ? 2 , M 是线段 PA 上一动点. (Ⅰ)求证:平面 PAC ? 平面 NEF ; (Ⅱ)若 PC // 平面 MEF ,试求 PM : MA 的值; (Ⅲ)当 M 是 PA 中点时, 求二面角 M ? EF ? N 的余弦值.

第 19 题图

2、 (高州市大井中学 2011 高三上期末考试)如图,四棱锥 P ? ABCD的底面为正方形, 侧棱 PA ? 底面 ABCD ,且 PA ? AD ? 2 , E, F , H 分别是线段 PA, PD, AB 的中点. (Ⅰ)求证: PB //平面 EFH ; (Ⅱ)求证: PD ? 平面 AHF ; (Ⅲ)求二面角 H ? EF ? A 的大小.

3、 (广州 2011 高三上期末调研测试) 如图 4, 在四棱锥 P ? ABCD 中, 底面 ABCD 是矩形, PA ? 平面 ABCD , PA ? AD ? 2 , AB ? 1 , BM ? PD 于点 M . (1) 求证: AM ? PD ;

P

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M

(2) 求直线 CD 与平面 ACM 所成的角的余弦值.

4、 (惠州 2011 高三第三次调研考试)已知梯形 ABCD 中,AD∥BC,∠ABC =∠BAD =

? , 2

A

D

AB=BC=2AD=4,E、F 分别是 AB、CD 上的点,EF∥BC,AE = x,G 是 BC 的中点.沿 EF 将梯 形 ABCD 翻折,使平面 AEFD⊥平面 EBCF (如图). (1)当 x=2 时,求证:BD⊥EG ; (2)若以 F、B、C、D 为顶点的三棱锥的体积记为 f ( x ) , 求 f ( x ) 的最大值; (3)当 f ( x ) 取得最大值时,求二面角 D-BF-C 的余弦值.
A

E

F

B
D

C

E F

B

G

C

5、 (江门 2011 高三上期末调研测试)如图 5,多面体 EF ? ABCD 中, ABCD 是梯形,

AB // CD , ACFE 是矩形,面 ACFE ? 面 ABCD , AD ? DC ? CB ? AE ? a ,

?ACB ?

?
2


F

⑴求证: BC ? 平面 ACFE ; ⑵若 M 是棱 EF 上一点, AM // 平面 BDF ,求 EM ; E ⑶求二面角 B ? EF ? D 的平面角的余弦值.
D

C

A

图5

B

6、 (揭阳市 2011 届高三上学期学业水平考试)如图甲,在平面四边形 ABCD 中,已知

?A ? 45? , ?C ? 90? , ?ADC ? 105? , AB ? BD ,现将四边形 ABCD 沿 BD 折起,
使平面 ABD ? 平面 BDC(如图乙) ,设点 E、F 分别为棱 AC、AD 的中点. ? 平面 ABC; (1)求证:DC
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(2)求 BF 与平面 ABC 所成角的正弦; (3)求二面角 B-EF-A 的余弦.

A

A

F E

D

B

D C 乙

B

C



图乙 图甲在 7、 (茂名 2011 高三上期末考试)如图,在四棱锥 P ? ABCD 中,底面 ABCD 为菱形,

?BAD ? 60? ,Q 为 AD 的中点。 (1)若 PA ?PD ,求证:平面 PQB ? 平面 PAD ;
(2)点 M 在线段 PC 上, PM ? tPC ,试确定 t 的值,使 PA // 平面 MQB ; (3)在(2)的条件下,若平面 PAD ? 平面 ABCD,且 PA ? PD ? AD ? 2 , 求二面角 M ? BQ ? C 的大小。

8、 (汕头10-11学年普通高中毕业班教学质量监测)已知几何体 A ? BCDE 的三视图如图所 示,其中俯视图和侧视图都是腰长为4的等腰直角三角形,正视图为直角梯形. (Ⅰ )求此几何体的体积; (Ⅱ )求异面直线 DE 与 AB 所成角的余弦值; (Ⅲ )探究在 DE 上是否存在点Q,使得 AQ ? BQ ,并说明理由.

9、 (肇庆中小学教学质量评估 10-11 学年高三上期末)如图 3,在四棱锥 P—ABCD 中,底

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面为直角梯形,AD//BC,?BAD=90?,PA?底面 ABCD,且 PA=AD=AB=2BC=2,M,N 分别 为 PC、PB 的中点. (1)求证:PB?DM; (2)求 BD 与平面 ADMN 所成角的大小;
N M A D B 图3 C P

(3)求二面角 B—PC—D 的大小.

10、 (中山 2011 届高三上期末统考)在四棱锥 P—ABCD 中,底面 ABCD 是一直角梯形,
?BAD ? 90? , AD // BC, AB ? BC ? a ,

AD ? 2a, PA ? 底面ABCD, PD 与底面成 30° 角.
(1)若 AE ? PD, E 为垂足,求证: BE ? PD ; (2)在(1)的条件下,求异面直线 AE 与 CD 所成 角的余弦值; (3)求平面 PAB 与平面 PCD 所成的锐二面角的正切值.

11、 (珠海 2011 届高三上期末考试题)如图,四边形 ABCD 是边长为 1 的正方形, MD ? 平面 ABCD , NB ? 平面 ABCD ,且 MD ? NB ? 1, (1)以向量 AB 方向为侧视方向,侧视图是什么形状? (2)求证: CN // 平面 AMD ; (3) (理)求面 AMN 与面 NBC 所成二面角的余弦值.

??? ?

M N

D A B

C

答案: 1、解:法 1: )连结 BD ,∵PA ? 平面 ABCD , BD ? 平面 ABCD ,∴PA ? BD , (Ⅰ 又∵BD ? AC , AC ? PA ? A ,∴BD ? 平面 PAC , 又∵E , F 分别是 BC 、 CD 的中点,∴EF // BD , ∴EF ? 平面 PAC ,又 EF ? 平面 NEF ,
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∴ 平面 PAC ? 平面 NEF ;---------------------------------------4 分 (Ⅱ )连结 OM ,∵PC // 平面 MEF ,平面 PAC ? 平面 MEF ? OM ,∴PC // OM ,

PM OC 1 ? ? ,故 PM : MA ? 1: 3 -------------------------------8 分 PA AC 4 (Ⅲ )∵EF ? 平面 PAC , OM ? 平面 PAC ,∴EF ? OM , 在等腰三角形 NEF 中,点 O 为 EF 的中点,∴NO ? EF , ∴ ?MON M ? E F 的 N平 面 角 , ? 为 所 求 二 面 角
∴ ---------------------------------------10 分 ∵ M 是 PA 的中点,∴AM ? NC ? 2 , 点 所 以 在 矩 形 MNCA 中 , 可 求 得 MN ? AC ? 4 2 , NO ? 6 , MO ? 22 , --------------------12 分 在 ?MON 中,由余弦定理可求得 cos ?MON ? ∴ 二 面 角

MO 2 ? ON 2 ? MN 2 33 , ?? 2 ? MO ? ON 33
的 余 弦 值 为

M ? EF ? N

?

33 . 33

---------------------------------------14 分

法 2: )同法 1; (Ⅰ (Ⅱ )建立如图所示的直角坐标系,则 P(0, 0, 4) , C (4, 4,0) , E (4, 2,0) , F (2, 4,0) , ∴PC ? (4, 4, ?4) , EF ? (?2,2,0) , 设点 M 的坐标为 (0,0, m) ,平面 MEF 的法向量为 n ? ( x, y, z ) ,则 ME ? (4, 2, ?m) ,

??? ?

??? ?

?

????

? ???? ?n ? ME ? 0 ?4 x ? 2 y ? mz ? 0 6 6 ? ? 所以 ? ? ??? ,即 ? ,令 x ? 1 ,则 y ? 1 , z ? ,故 n ? (1,1, ) , ? m m ??2 x ? 2 y ? 0 ?n ? EF ? 0 ?
24 ? 0 ,解得 m ? 3 , m 故 AM ? 3 , 即 点 M 为 线 段 PA 上 靠 近 P 的 四 等 分 点 ; 故 PM : MA ? 1: 3
∵PC // 平面 MEF ,∴PC ? n ? 0 ,即 4 ? 4 ? --------------------------8 分 (Ⅲ N (4, 4, 2) ,则 EN ? (0, 2, 2) ,设平面 NEF 的法向量为 m ? ( x, y, z) , )

??? ? ?

??? ?

??

?? ???? ?m ? EN ? 0 ?2 y ? 2 z ? 0 ? 则 ? ?? ??? ,即 ? ,令 x ? 1 , ? ??2 x ? 2 y ? 0 ?m ? EF ? 0 ?
则 y ? 1 , z ? ?1 ,即 m ? (1,1, ?1) , 当 M 是 PA 中点时, m ? 2 ,则 n ? (1,1,3) ,

??

?

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∴cos ? m, n ??

?? ?

1?1? 3 33 , ?? 33 3 ? 11
33 .-------14 分 33

∴ 二面角 M ? EF ? N 的余弦值为 ?

2 、 解 法 一 :( Ⅰ ) 证 明 : ∵ E , H 分 别 是 线 段 PA , AB 的 中 点 , ∴

EH // PB .

???????2 分 平 面 EFH , PB ? 平 面 EFH , ∴ PB // 平 面

又 ∵ EH ?

EFH .

???????????4 分

(Ⅱ)解:? F 为 PD 的中点,且 PA ? AD , 又? PA ? 底面 ABCD , BA ? 底面 ABCD , 又? 四边形 ABCD 为正方形,? AB ? AD .

? PD ? AF , ? AB ? PA .
又? PA ? AD ? A ,

? AB ? 平面 PAD . ??????????????7 分
又? PD ? 平面 PAD , ? A B ? P D. 又? AB ? AF ? A ,? PD ? 平面 AHF . ??????????????8 分 ??????????????9 分

(Ⅲ)? PA ? 平面 ABCD , PA ? 平面 PAB ,? 平面 PAB ? 平面 ABCD ,

? AD ? 平面 ABCD ,平面 PAB ? 平面 ABCD ? AB , AD ? AB , ? AD ? 平面 PAB ,

? E , F 分别是线段 PA , PD 的中点,? EF // AD ,? EF ? 平面 PAB .
? EH ?
平 面

PAB



EA ?





PAB



? EF ?

EH



? EF ? EA ,

????????10 分 ????????12 分

? ?HEA 就是二面角 H ? EF ? A 的平面角.
在 Rt ?HAE 中, AE ?

1 1 PA ? 1, AH ? AB ? 1, ??AEH ? 45? , 2 2
???14 分

? 所以二面角 H ? EF ? A 的大小为 45 .

解法二:建立如图所示的空间直角坐标系 A ? xyz ,

? A(0,0,0), B(2,0,0), C(2, 2,0), D(0, 2,0) , P(0,0,2) , E (0,0,1) , F (0,1,1) ,

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H (1,0,0) . ??2 分
(Ⅰ)证明:∵ PB ? (2,0, ?2) , EH ? (1,0, ?1) ,∴ PB ? 2EH , ∵ PB ? 平面 EFH ,且 EH ? 平面 EFH , ∴ PB //平面 EFH . ????????4 分 ????????5 分

??? ?

????

??? ?

????

(Ⅱ)解: PD ? (0, 2, ?2) , AH ? (1,0,0) , AF ? (0,1,1) , ????????6 分

??? ?

????

??? ?

??? ??? ? ? PD ? AF ? 0 ? 0 ? 2 ? 1 ? (?2) ? 1 ? 0, ??? ???? ? PD ? AH ? 0 ? 1 ? 2 ? 0 ? (?2) ? 0 ? 0.
, 又

????????8 分

? PD ? AF , PD ? AH
A

?A ? F

?A

H,

A ? PD ?





H.?????????9 分 F

(Ⅲ)设平面 HEF 的法向量为 n ? ( x, y, z) , 因为 EF ? (0,1,0) , EH ? (1,0, ?1) ,

??? ?

????

? ??? ? ?n ? EF ? y ? 0, ? 则 ? ? ???? 取 n ? (1,0,1). n ? EH ? x ? z ? 0, ? ?
又 因 为 平 面

????????????12 分

AEF











m ? (1,0,0),





c

?? ? ?? ? ? m?n 1 ? ?0 0 1 2 ?13 分 , ? m sn ?? ?? ? ? o , ? ? 2 | m n| | 2 ? 1 | 2
所 以 二 面 角

?? ? ? ?? m, n ?? 45? ,
45? .

H ? EF ? A









???????14 分

3、(1)证明:∵ PA ? 平面 ABCD , AB ? 平面 ABCD ,∴ PA ? AB . ∵ AB ? AD , AD ? PA ? A, AD ? 平面 PAD , PA ? 平面 PAD , ∴ AB ? 平面 PAD .∵ PD ? 平面 PAD ∴ AB ? PD , ∵ BM ? PD , AB ? BM ? B , AB ? 平面 ABM , ??3 分 z
P

BM ? 平面 ABM ,∴ PD ? 平面 ABM .
∵ AM ? 平面 ABM ,∴ AM ? PD . ??6 分

M

(2)解法 1:由(1)知, AM ? PD ,又 PA ? AD , 则 M 是 PD 的中点,在 Rt△ PAD 中, 得 AM ?
B

A D y

C∴ 2 , 在 Rt △ CDM 中 , 得 MC ? MD2 ? DC 2 ? 3 , x 1 6 . S?ACM ? AM ? MC ? 2 2 设点 D 到平面 ACM 的距离为 h ,由 VD? ACM ? VM ? ACD , ??8 分

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1 1 1 6 S?ACM ?h ? S ?ACD ? PA .解得 h ? , 3 3 2 3

??10 分

设直线 CD 与平面 ACM 所成的角为 ? ,则 sin ? ? ∴ cos ? ?

h 6 , ? CD 3

??12 分

3 . 3

∴ ??14 分

直 线 CD 与 平 面 A C M 所 成 的 角 的 余 弦 值 为

解法 2: 如图所示,以点 A 为坐标原点,建立空间直角坐标系 A ? xyz , 则 A? 0,0,0? , P ? 0,0,2? , B ?1,0,0 ? , C ?1,2,0? , D ? 0, 2,0? , M ? 0,1,1? . ∴ AC ? ?1, 2,0 ? , AM ? ? 0,1,1? , CD ? ? ?1,0,0 ? . 设平面 ACM 的一个法向量为 n ? ( x, y, z) , n ? A n ?M 由 C, A 令 z ? 1 ,得 x ? 2, y ? ?1 .∴ n ? (2, ?1,1) .

3 . 3

??? ?

???? ?

??? ?

??8 分

?

?

??? ? ?

???? ?

可得:?

?

? x ? 2 y ? 0, ? y ? z ? 0.

??10 分 ??12 分

??? ? ? CD ? n 6 设直线 CD 与平面 ACM 所成的角为 ? ,则 sin ? ? ??? ? ? . ? 3 CD n
∴ cos ? ?

3 3 .∴直线 CD 与平面 ACM 所成的角的余弦值为 . ??14 分 3 3

4、 (1)方法一:∵ 平面 AEFD ? 平面 EBCF ,? EF // AD , ?AEF ? EF,∴ AE⊥ 平面 EBCF ,AE⊥ EF,AE⊥ BE, ? AE⊥ 又 BE⊥ EF,故可如图建立空间坐标系 E-xyz.

?
2

,

A

z
D

? EA ? 2,? EB ? 2 ,又? G 为 BC 的中点,BC=4,
E

? BG ? 2 .则 A(0,0,2) ,B(2,0,0) ,G(2,2,0) ,D(0,2,
2) ,E(0,0,0) ,
B G

F

y

C

??? ? ??? ? BD ? (-2,2,2) EG ? (2,2,0) , ,

x

??? ??? ? ? BD ? EG ? (-2,2,2) ?(2,2,0)=0,∴BD ? EG .??????4 分
方法二: DH⊥ 于 H, BH, 作 EF 连 GH, 由平面 AEFD ? 平面 EBCF 知: DH⊥ 平面 EBCF, 而 EG ? 平面 EBCF,故 EG⊥ DH.

? EF // BC ,? ?AEH ? ?EBC ?

?
2

,? AE ? EF ,? AE // DH . ? AD // EF ,? AEHD

为平行四边形,? EH ? AD ? 2,? EH // BC , EH ? BC , 且

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?EBC ?

?
2

, BE ? BC ? 2 ,? 四边形 BGHE 为正方形,∴ EG⊥ BH,BH ? DH=H,
A D

故 EG⊥ 平面 DBH, 而 BD ? 平面 DBH,∴EG⊥ BD.???4 分 (或者直接利用三垂线定理得出结果)

E

H
F

(2) AD∥ BFC, ∵ 面 所以 f ( x) ? V D ? BCF =VA-BFC=

1 1 1 ? S ?BCF ? AE ? ? ? 4(4 ? x) x B G 3 3 2

C

2 8 8 8 ? ? ( x ? 2) 2 ? ? ,即 x ? 2 时 f ( x) 有最大值为 . ???8 分 3 3 3 3 ?? (3)设平面 DBF 的法向量为 n1 ? ( x, y, z) ,∵ AE=2, B(2,0,0) ,D(0,2,2) ,
F(0,3,0) BF ? (?2,3,0), ???10 分 ,∴

??? ?

??? ? BD ? (-2,2,2) , ?? ??? ? ?n1 ?BD ? 0 ? 则 , ? ? ?? ??? ? n1 ?BF ? 0 ?
即?

( ?( x, y, z )? ?2, 2, 2) ? 0 ??2 x ? 2 y ? 2 z ? 0 ,? ( ? ( x, y, z )? ?2,3,0) ? 0 ? ?2 x ? 3 y ? 0

取 x ? 3, y ? 2, z ? 1 ,∴n1 ? (3,2,1)

??

?? ? ? AE ? 面BCF ,? 面 BCF 一个法向量为 n2 ? (0,0,1) ,???12 分
?? ?? ? ?? ?? ? n1 ?n2 14 ? 则 cos< n1 , n2 >= ??? ??? ? ,???13 分 | n1 || n2 | 14
由于所求二面角 D-BF-C 的平面角为钝角,所以此二面角的余弦值为-

14 .???14 分 14

5、证明与求解:⑴面 ACFE ? ABCD ? AC , ?ACB ?

?
2

,从而 BC ? AC ??1

分,又因为 BC ? 面 ABCD ,面 ACFE ? 面 ABCD ,所以 BC ? 平面 ACFE ??3 分。 ⑵连接 BD ,记 AC ? BD ? O ,在梯形 ABCD 中,因为 AD ? DC ? CB ? a ,
AB // CD ,所以 ?ACD ? ?CAB ? ?DAC ??4 分,

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? ? ?ABC ? ?BCD ? ?DAB ? ?ACD ? ?ACB ? 3?DAC ?
分,从而 ?CBO ?

?
2

, ?DAC ?

?
6

??5

3 a ??6 分, 6 2 3 连接 FO ,由 AM // 平面 BDF 得 AM // FO ??7 分,因为 ACFE 是矩形,所以 3 EM ? CO ? a ??8 分。 3 ⑶以 C 为原点, CA 、 CB 、 CF 分别为 x 轴、 y 轴、 z 轴建立空间直角坐标

?

,又因为 ?ACB ?

?

, CB ? a ,所以 CO ?

系??9 分,则 C (0 , 0 , 0) , A( 3a , 0 , 0) , B(0 , a , 0) , D(

3 a a , ? , 0) , 2 2 F (0 , 0 , a) , E( 3a , 0 , a) ? ? 10 分 , 设 平 面 DEF 的 一 个 法 向 量 为

? 3a ? r ? 0 ?n1 ? EF ? 0 ? ? ??11 分,即 ? 3 ,解 n1 ? (r . s . t ) ,则有 ? a ? a?r ? ? s ? a?t ? 0 ?n1 ? DF ? 0 ? ? 2 ? 2

得 n1 ? (0 . 2 . ? 1) ? ? 12 分 , 同 理 可 得 平 面 BEF 的 一 个 法 向 量 为

n2 ? (0 . 1. 1) ??13 分,观察知二面角 B ? EF ? D 的平面角为锐角,所以其余弦
值为 cos? ?
| n1 ? n2 | | n1 || n2 | ? 10 ??14 分。 10
? ? ?

6、 (1)证明:在图甲中∵ AB ? BD 且 ?A ? 45 ∴ ?ADB ? 45 , ?ABC ? 90

即 AB ? BD --------------------------------------------------------------------------------------2 分 在图乙中,∵平面 ABD ? 平面 BDC , 且平面 ABD ? 平面 BDC=BD ∴AB⊥底面 BDC,∴AB⊥ C D.------------------------------------------4 分
? 又 ?DCB ? 90 ,∴DC⊥ BC,且 AB ? BC ? B ∴DC ? 平面 ABC. ---------------------5

分 (2)解法 1:∵E、F 分别为 AC、AD 的中点∴EF//CD,又由(1)知,DC ? 平面 ABC, ∴ EF⊥平 面 ABC , 垂 足 为 点 E ∴ ∠ FBE 是 BF 与 平 面 ABC 所 成 的 角 -----------------------------7 分 在图甲中,∵ ?ADC ? 105 ,
?

∴ ?BDC ? 60 , ?DBC ? 30
?

?

设 CD ? a 则 BD ? 2a, BC ? 3a , BF ? 2BD ? 2 2a , EF ?

1 1 CD ? a -9 分 2 2

1 a EF 2 ? 2 ? ∴在 Rt△FEB 中, sin ?FBE ? FB 4 2a
即 BF 与平面 ABC 所成角的正弦值为

2 .---------------------------------10 分 4

解法 2:如图,以 B 为坐标原点,BD 所在的直线为 x 轴建立空间直角坐标系如下图示,

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设 CD ? a ,则 BD ? AB ? 2a, BC ? 3a , AD ? 2 2a ----------------6 分
Z

可得 B(0,0,0), D(2a,0,0) , A(0, 0, 2a) , C ( a,

3 2

3 a, 0) , F (a,0, a) , 2
F E

A

??? ? 1 ??? ? 3 ∴ CD ? ( a, ? a, 0) , BF ? (a,0, a) -------------8 分 2 2
设 BF 与平面 ABC 所成的角为 ? ,由(1)知 DC ? 平面 ABC

X

B D C y



1 2 ??? ??? ? ? a ? CD ? BF 2 ??? ? ???? ? 2 ? cos( ? ? ) ? ? 2 4 | CD | ? | BF | a ? 2a



sin ? ?

2 --------------------------------------10 分 4

(3)由(2)知 FE⊥ 平面 ABC,又∵BE ? 平面 ABC,AE ? 平面 ABC,∴FE⊥ BE, FE⊥ AE, ∴∠AEB 为二面角 B-EF-A 的平面角----------------------------------------------12 分 在 △ AEB 中 ,

AE ? BE ?

1 1 7 AC ? AB 2 ? BC 2 ? a 2 2 2



cos ?AEB ?

AE 2 ? BE 2 ? AB 2 1 ?? 2 AE ? BE 7
1 .-------------------14 分 (其他解法请参照给分) 7

即所求二面角 B-EF-A 的余弦为 ?

7.解: (1)连 BD,四边形 ABCD 菱形, ∵AD⊥AB, ∠BAD=60° △ABD 为正三角形, Q 为 AD 中点, ∴AD⊥BQ ∵PA=PD,Q 为 AD 的中点,AD⊥PQ 又 BQ∩PQ=Q ∴AD⊥平面 PQB, AD ? 平面 PAD ∴平面 PQB⊥平面 PAD (2)当 t ?

1 时, PA // 平面 MQB 3

下面证明,若 PA // 平面 MQB ,连 AC 交 BQ 于 N 由 AQ // BC 可得, ?ANQ ∽ ?BNC ,?

AQ AN 1 ? ? BC NC 2

? PA // 平面 MQB , PA ? 平面 PAC ,平面 PAC ? 平面 MQB ? MN ,? PA // MN

PM AN 1 ? ? PC AC 3

即: PM ?

1 PC 3

?t ?

1 3

(3)由 PA=PD=AD=2, Q 为 AD 的中点,则 PQ⊥AD。 又平面 PAD⊥平面 ABCD,所以 PQ⊥平面 ABCD,
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以 Q 为坐标原点,分别以 QA、QB、QP 所在的直线为 x, y , z 轴,建立如图所示的坐 标系,则各点坐标为 A(1,0,0) ,B( 0, 3,0 ) ,Q(0,0,0) ,P(0,0, 3 ) 设平面 MQB 的法向量为 n ? ( x, y,1) ,可得

?

? ??? ? ? ??? ? ? ?n ? QB ? 0 ?n ? QB ? 0 ? ? ,解得 n ? ( 3,0,1) ,? PA // MN ,? ? ? ??? ? ? ? ? ???? ?n ? MN ? 0 ?n ? PA ? 0 ? ?
取平面 ABCD 的法向量 m ? (0,0,1)

??

?? ? 1 c o s m n ?? 故二面角 M ? BQ ? C 的大小为 60° ? , , 2

8 . 解 : Ⅰ ) 由 该 几 何 体 的 三 视 图 可 知 AC 垂 直 于 底 面 BCED , 且 (
EC ? BC ? AC ? 4 , BD ? 1 ,

1 1 1 40 ,此几何体的体积 ? S BCED ? ? (4 ? 1) ? 4 ? 10 , V ? S BCED ? AC ? ? 10 ? 4 ? 2 3 3 3 40 为 ; ?? 5 分 3 E
B 解法一: (Ⅱ)过点 B 作 BF // ED 交 EC 于 F ,连接 AF ,则 ?F A 或
F

其补角即为异面直线 DE 与 AB 所成角,在 ?BAF 中, AB ? 4 2 ,

BF ? AF ? 16 ? 9 ? 5 ,

D

? cos?ABF ?

BF 2 ? AB2 ? AF 2 2 2 ? ; 即异面直线 DE 与 AB 所成 2 BF ? AB 5 2 2 。 ?? 9 分 5
A

C

B

角的余弦值为

(Ⅲ)在 DE 上存在点 Q,使得 AQ ? BQ ;取 BC 中点 O ,过点 O 作 OQ ? DE 于 点 Q ,则点 Q 为所求点;连接 EO 、 DO ,在 Rt?ECO 和 Rt?OBD 中,
E

?

EC OB ? ? 2 ,? Rt?ECO ∽ Rt?OBD ,? ?CEO ? ?BOD , CO BD
0 0 0

Q D

? ?EOC ? ?CEO ? 90 ,? ?EOC ? ?DOB ? 90 , ?EOD ? 90 ,
C O B

?

OE ? CE 2 ? CO 2 ? 2 5



OD ? OB2 ? BD2 ? 5


A

OE ? OD 2 5 ? 5 ? ? 2, ? OQ ? ED 5
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? 以 O 为圆心, BC 为直径的圆与 DE 相切,切点为 Q ,连接 BQ 、 CQ ,可得
BQ ? CQ ;

? AC ? 平面BCED , BQ ? BCED ,? AC ? BQ ,? BQ ? ACQ , ? AQ ? 平面ACQ ,? AQ ? BQ ;
解法二: (Ⅰ)同上。 (Ⅱ)以 C 为原点,以 CA 、CB 、CE 所在直线为 x 、 y 、 z 轴
E

???????? 14 分

z

建立如图所示的空间直角坐标系,则 A(4,0,0) , B(0,4,0) ,
D(0,4,1) , E (0,0,4) , 得 DE ? (0,?4,3) , AB ? (?4,4,0) , ???? ??? ? ???? ??? ? DE ? AB 2 2 ,又异面直线 DE 与 AB 所 cos ? DE , AB ?? ???? ??? ? ? ? 5 DE ? AB

D

C

B

y

成角为锐角,可得异面直线 DE 与 AB 所成角的余弦值为
2 2 。 5
A

x

(Ⅲ)设存在满足题设的点 Q ,其坐标为 (0, m, n) , 则 AQ ? (?4, m, n) , BQ ? (0, m ? 4, n) , QD ? (0,4 ? m,1 ? n) ,

? AQ ? BQ ,? m(m ? 4) ? n 2 ? 0

①;

? 点 Q 在 ED 上,? 存在 ? ? R(? ? 0) 使得 EQ ? ?QD ,
即 (0, m, n ? 4) ? ? (0,4 ? m,1 ? n) ,化简得 m ? ②代入①得 (
4? 4?? ,n ? 1? ? 1? ?

②,

??4 2 16? ,得 ?2 ? 8? ? 16 ? 0 , ? ? 4 ; ) ? 2 1? ? (1 ? ? )
16 8 , )。 5 5

? 满足题设的点 Q 存在,其坐标为 (0,

9、解:建立如图 3 所示的空间直角坐标系,依题意,得 A(0,0,0) ,B(2,0,0) ,C(2,1,0) ,D(0,2,0) ,P(0,0,2). (2 分) (1)因为 M 为 PC 的中点,所以 M(1,

1 ,1). 2
N

z P

M A D y

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B x 图3

C

3 PB ? (2,0,?2) , DM ? (1,? ,1) . 2
因为 PB ? DM ? 2 ? 0 ? 2 ? 0 ,所以 PB?DM.

(3 分) (5 分)

(2) AD ? (0,2,0) , DB ? (2,?2,0) .因为 PB ? AD ? 0 ,所以 PB?AD. 又由(1)知 PB?DM,且 AD?DM=D,所以 PB?平面 ADMN, 即 PB 为平面 ADMN 的法向量. 因此 ? PB, DB ? 的余角等于 BD 与平面 ADMN 所成的角. 因为 cos ? PB , DB ?? (6 分) (7 分)

PB ? DB | PB || DB |

?

1 ? ,所以 ? PB , DB ?? , 2 3

(8 分)

所以 BD 与平面 ADMN 所成的角

? . 6

(9 分)

(3) PB ? (2,0,?2) , BC ? (0,1,0) ,设平面 PBC 的法向量为 n1 ? ( x1 , y1 , z1 ) ,则 由?

?PB ? n1 ? 0, ? ?BC ? n1 ? 0, ?

得?

?2 x1 ? 2 z1 ? 0, ? x1 ? z1 , 解得 ? 令 z1 ? 1 ,得 n1 ? (1,0,1) ? y1 ? 0, ? y1 ? 0 .

(10

分)

PD ? (0,2,?2) , DC ? (2,?1,0) ,设平面 PCD 的法向量为 n2 ? ( x2 , y2 , z 2 ) ,则
? PD ? n2 ? 0, ?2 y 2 ? 2 z 2 ? 0, ? 由 ? 得? 解得 ?2 x 2 ? y 2 ? 0, ? DC ? n2 ? 0, ?
(11 分) 因为 cos ? n1 , n2 ??

1 ? ? x2 ? z 2 , 令 z 2 ? 2 , 得 n2 ? (1,2,2) . 2 ? ? y2 ? z2 . ?

n1 ? n2 | n1 || n2 |

?

2 , 2
3? . 4

(12 分)

所以,依题意可得二面角 B—PC—D 的大小为 10.解:解法一: (1)? ?BAD ? 90 ,
?

(14 分)

? BA ? AD

? PA ? 底面ABCD,

BA ? PA.又? PA ? AD ? A,? BA ? 平面PAD. 又? PD ? AE, 且BA ? AE ? A,? PD ? 平面BAE.

? PD ? 平面PAD.? PD ? BA.

? PD ? BE,即BE ? PD.
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(2)过点 E 作 EM//CD 交 PC 于 M,连结 AM,则 AE 与 ME 所成角即为 AE 与 CD 所成角.
? PA ? 底面ABCD, 且PD与底面ABCD成30? 角.??PDA ? 30?. ? 在Rt ?PAD中, ?PAD ? 90? , ?PDA ? 30? , AD ? 2a ? PA ? 2 3 4 3 a, PD ? a. 3 3

2 3 2 3 2 a ? 2a ( a) PA ? AD PA2 3 3 ? AE ? ? ? a.? PE ? ? 3 ? a, CD ? 2a. PD PD 3 4 3 4 3 a a 3 3 3 2a ? a CD ? PE 3 ? 2 a. ? ME ? ? PD 4 4 3 a 3

连结AC.? 在?ACD中AD ? 2a, AC ? 2a, CD ? 2a,? AD 2 ? AC 2 ? CD 2 , ??ACD ? 90? , ? CD ? AC , ? ME ? AC. ? ME ? PA. ME 2 ? . AE 4 又 ? PA ? 底面ABCD,? PA ? CD, ? ME ? 平面PAC.

? MA ? 平面PAC ,? ME ? AM .? 在Rt ?AME中, cos ?MEA ?

∴异面直线 AE 与 CD 所成角的余弦值为

2 4

(3)延长 AB 与 DC 相交于 G 点,连 PG,则面 PAB 与面 PCD 的交线为 PG, 易知 CB⊥平面 PAB, B 作 BF ? PG于F点, 连CF , 则CF ? PG, 过

??CFB为二面角C ? PG ? A的平面角,? CB //

1 AD, 2

2 3 a, AG ? 2a. 3 1 a a ??PGA ? 30? ,? BF ? GB ? , tan BFC ? ? 2, a 2 2 2 ? GB ? AB ? a, ?PDA ? 30? , PA ?
∴平面 PAB 与平面 PCD 所成的二面角的正切值为 2. 解法二: (1)如图建立空间直角坐标系,

=

1 3 2 3 则A(0, 0, 0), B(a, 0, 0), E (0, a, a), C (a, a, 0), D(0, 2a, 0), P(0, 0, a) 2 2 3 ??? ? ? 1 3 ??? 2 3 ? BE ? (?a, a, a), PD ? (0, 2a, ? a), 2 2 2 ??? ??? ? ? 1 3 2 3 ? BE ? PD ? (?a) ? 0 ? a ? 2a ? a ? (? ) ? 0, 2 2 2
? BE ? PD
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(2)由(1)知, AE ? (0,

1 3 a, a), CD ? (?a, a,0) 2 2

设 AE与CD所成角为? 则 cos? ? AE ? CD | AE | ? | CD | ? 1 3 a?a ? a?0 2 2 2 ? , 4 1 2 3 2 0 2 ? ( a) ? ( a) ? (?a) 2 ? a 2 ? 0 2 2 2 0 ? (?a) ?
2 4

∴异面直线 AE 与 CD 所成角的余统值为

(3)易知, CB ? AB, CB ? PA, ,则 CB ? 平面PAB . 量.

? BC是平面PAB 的法向

??? ? ?? ? BC ? (0, a, 0).又设平面PCD的一个法向量为m ? ( x, y, z ), ?? ?? ??? ? ? ?? ??? ? ?? ??? ? 2 3 ??? 则m ? PC , m ? CD.而PC ? (a, a, ? a), CD ? (?a, a, 0),?由m ? PC ? 0, m ? CD ? 0. 3 ? 2 3 ?? ? az ? 0, ? x ? y, ?ax ? ay ? 得? ?? 令y ? 1, ? m ? (1,1, 3) 3 ? z ? 3 y. ? ??ax ? ay ? 0. ? ??? ?? ? 设向量 BC与m所成角为? , ??? ?? ? BC ? m 0 ?1 ? a ?1 ? 0 ? 3 a 5 ? ?? ? 则 cos ? ? ??? ? ? .? tan ? ? 2. 5 | BC | ? | m | 02 ? a 2 ? 02 ? 12 ? 12 ? ( 3) 2 a ? 5
∴平面 PAB 与平面 PCD 所成锐二面角的正切值为 2. 11、 【解析】 (1)因为 MD ? 平面 ABCD , NB ? 平面 ABCD , BC ? MD ? NB ,所以侧视图是正方形及其两条对角线;(4 分) (2)? ABCD 是正方形, BC // AD,? BC // 平面 AMD ;(5 分) 又 MD ? 平面 ABCD , NB ? 平面 ABCD ,? MD // NB,? NB // 平面 AMD ,(6 分) 所以平面 BNC // 平面 AMD ,故 CN // 平面 AMD ;(8 分)
M N

(理科)以 D 为坐标原点,DA,DC,DM 分别为 x,y,z 轴建立图示空间直角坐标系, 则:A(1,0,0),B(1,1,0),C(0,1,0). N (1,1,1), M (0,0,1),

AM ? (?1,0,1), AM ? (0,1,1), AB ? (0,1,0)(9 分)
A

??? ?

??? ?

???

D O B

C

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??? ? ? ?AM ? ? 0 ??x ? z ? 0 n ? 设平面 AMN 的一个法向量为 n ? (x ,y ,z ),由 ? ??? ? 得: ? (10 分) ? ?y ?z ? 0 ?AN ? ? 0 n ? ? 令 z=1 得: n ? (1,?1,1).

?

易知:

AB ? (0,1,0)是平面 NBC 的一个法向量. (12 分)

???

??? ? ?1 3 (13 分) cos AB ,n ? ? ? 3 3
∴面 AMN 与面 NBC 所成二面角的余弦值为

3 (14 分) 3

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