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二次函数的竞赛题型及其解题策略


二次函数的竞赛题型及其解题策略
二次函数是初中数学的重要内容,由于它题材丰富,又易成为多种数学思想 方法的载体,因此,深受各级各类竞赛命题者的亲睐,成为近几年各地竞赛的热 点问题之一.本文拟对二次函数的竞赛题型及其解题策略作粗略概括,仅供大家 参考. 一、二次函数的系数 a、b、c 及相关代数式的取值问题 抛物线 y=ax +bx+c 中二次项系数 a 描述抛物线的开口

,a>0 向上,a<0 向下; 常数项 c 描述抛物线与 y 轴的交点(0,c),c>0 时交点处 x 轴上方,c<0 时交点 处 x 轴的下方,c=0 时时处原点;由对称轴公式 x=-
b 知 b 与 a 一起来描述抛 2a
2

物线的对称轴;b2-4ac 大于 0,等于 0 或小于 0,决定抛物线和 x 轴交点的个数, 等等. 上面性质反之亦成立.我们还可以通过考察如 x=±1 时 y 的值的情况,来确 定 a±b+c 等的符号问题. 例1 抛物线 y=ax +bx+c 的顶点为(4,-11),且与 x 轴的两个交点的横坐 ) D、有 a 和 b
2

标为一正一负.则 a、b、c 中为正数的( A、只有 a B、只有 b C、只有 c

解:由顶点为(4,-11),抛物线交 x 轴于两点,知 a>0.设抛物线与 x 轴的 两个交点的横坐标分别为 x1,x2,即 x1、x2 为方程 ax2+bx+c=0 的两个根,由题设

x1x2<0 知 <0,所以 c<0,又对称轴为 x=4 知-
二、二次函数与整数问题

c a

b >0,故 b<0.故选(A). 2a

二次函数与整数问题的联姻主要表现在系数 a、b、c 为整数、整点以及某范 围内的参数的整数值等.解题时往往要用到一些整数的分析方法. 例 2 已知 二次 函数 f(x)=ax2+bx+c 的 系数 a、 b、 c 都 是整 数, 并且 .

f(19)=f(99)=1999,|c|<1000,则 c=

解: 由已知 f(x)=ax2+bx+c, f(19)=f(99)=1999, 且 因此可设 f(x)=a(x-19)(x
1

-99)+1999, 所以 ax +bx+c=a(x-19)(x-99)+1999 =ax -(19+99)x+19×99a+1999,故 c=1999+1881a. 因为|c|<1000,a 是整数,a≠0,经检验,只有 a=-1 满足,此时 c=1999- 1881=118. 例3 已知 a,b,c 是正整数,且抛物线 y=ax2+bx+c 与 x 轴有两个不同的交
2 2

点 A,B,若 A、B 到原点的距离都小于 1,求 a+b+c 的最小值. 解:设 A、B 的坐标分别为 A(x1,0),B(x2,0),且 x1<x2,则 x1,x2 是方程

ax2+bx+c=0 的两个根.
b ? ? x1 ? x 2 ? ? a ? 0, ? ∴? ∴x1<0,x2<0 ? x x ? c ? 0, ? 1 2 a ?
2 又由题设可知△=b -4ac>0,∴b>2 ac



∵|OA|=|x1|<1,|OB|=|x2|<1,即-1<x1,x2<0, ∴
c =x1x2<1,∴c<a a



∵抛物线 y=ax2+bx+c 开口向上,且当 x=-1 时 y>0, ∴a(-1)2+b(-1)+c>0,即 a+c>b. ∵b,a+c 都是整数,∴a+c≥b+1 ③

2 由①,③得 a+c>2 ac +1,∴( a ? c ) >1,又由②知,

a ? c >1, a ? c +1,即 a>( c +1)2≥( 1 +1)2=4

∴a≥5,又 b>2 ac ≥2 5 ? 1 >4,∴b≥5 取 a=5,b=5,c=1 时,抛物线 y=5x2+5x+1 满足题意. 故 a+b+c 的最小值为 5+5+1=11. 三、二次函数的图象与面积问题
2

求抛物线的顶点、两坐标轴的交点以及抛物线与其它图象的交点等点所构成 的面积,关键是用含系数 a、b、c 的代数式表示出点的坐标或线段长,使面积问 题与系数 a、b、c 建立联系. 例4 如果 y=x -(k-1)x-k-1 与 x 轴的交点为 A, 顶点为 C, B, 那么△ABC ) C、3 D、4
2

的面积的最小值是( A、1 B、2

解:由于△=(k-1)2+4(k+1)=(k+1)2+4>0,所以对于任意实数 k,抛物线与 x 轴总有两个交点,设两交点的横坐标分别为 x1,x2,则: |AB|= ( x1 ? x 2 ) 2 ? ( x1 ? x 2 ) 2 ? 4 x1 x 2 ? k 2 ? 2k ? 5 又抛物线的顶点 c 坐标是(
k ?1 k 2 ? 2k ? 5 ), , ? 2 4

因此 S△ABC=

k 2 ? 2k ? 5 1 1 2 ? (k 2 ? 2k ? 5) 3 ·? k ? 2k ? 5 4 8 2

因为 k2+2k+5=(k+1)2+4≥4,当 k=-1 时等于成立, 所以,S△ABC≥
1 3 4 ? 1 ,故选 A. 8

四、二次函数的最值问题 定义域是闭区间时,二次函数存在两个最值(最大值和最小值).如果顶点横 坐标在区间内,则在顶点处与距顶点较远的端点处各取一个最值;如果顶点横坐 标不在区间内,则在区间两端点处各取一个最值.定义域是开区间时,二次函数 只有其顶点横坐标在区间内的才在顶点处取得一个最值,否则不存在最值. 例5 已知二次函数 y=x2-x-2 及实数 a>-2.求:
y

(1)函数在-2<x≤a 的最小值; (2)函数在 a≤x≤a+2 的最小值. 解:函数 y=x2-x-2 的图象如图 1 所示. (1)若-2<a<
1 , 2
3

-2 -1

0

1

2

x

·

1 9 ( ,? ) 2 4

图1

当 x=a 时,y 最小值=a -a-2
9 1 1 ,当 x= 时,y 最小值=- . 2 2 4 3 1 (2)若-2<a 且 a+2< ,即-2<a<- ,当 x=a+2 时, y 最小值=(a+2)2-(a+2) 2 2 1 3 1 9 1 -2=a2+3a,若 a< ≤a+2,即- ≤a< ,当 x= 时,y 最小值=- . 2 2 2 2 4 1 2 若 a≥ ,当 x=a 时,y 最小值=a -a-2. 2

2

若 a≥

例6

当|x+1|≤6 时,函数 y=x|x|-2x+1 的最大值是
2


2

解:由|x+1|≤6,得-7≤x≤5,当 0≤x≤5 时,y=x -2x+1=(x-1) ,此时

y 最大值=(5-1)2=16.
当-7≤x<0,y=-x -2x+1=2-(x+1) ,此时 y 最大值=2. 因此,当-7≤x≤5 时,y 的最大值是-16. 说明:对于含有绝对值的二次函数,通常是先分区间讨论,去掉绝对值符号, 求出各区间的最值,然后通过比较得出整个区间函数的最值. 五、二次函数及其图像的应用. 有些方程及不等式等有关问题, 直接求解十分困难, 若能构造二次函数关系, 借助函数图像使之形象化,直观化,以形助数,会简化求解过程. 例7 当 a 取遍 0 到 5 的所有实数时,满足 3b=a(3a-8)的整数 b 有几个?
2 2

8 解:由 3b=a(3a-8)有 b=a2- a,即 3 4 2 16 2 b=(a- ) ? ,因为,当 a=0 时,b=0 时;当 a=5 时,b=11 3 9 3 16 2 利用二次函数图象可知- ≤b≤11 9 3

所以 b 可取到的整数值为-1,0,1,…,11,共有 13 个. 例 8 已 知 a<0 , b≤0 , c>0 , 且
y C(0, c) A x1 O

b 2 ? 4ac =b-2ac,求 b2-4ac 的最小值.

解: y=ax2+bx+c, 令 由于 a<0, ≤0, >0, b c 则△=b2-4ac>0,
4

B x2

x

图2

所以,此二次函数的图像是如图 2 所示的一条开口向下的抛物线,且与 x 轴 有两个不同的交点 A(x1,0),B(x2,0). 因为 x1x2= |x1|=
c b <0,不妨设 x1<x2,则 x1<0<x2,对称轴 x=- ≤0,于是 a 2a

? b ? b 2 ? 4ac b ? b 2 ? 4ac ? ? c, 2a 2a

b ? b 2 ? 4ac b 2 ? 4ac 4ac ? b 2 故 ≥c= ≥- 2a 2a 4a

∴b -4ac≥4,当 a=-1,b=0,c=1 时,等号成立. 因此,b -4ac 的最小值为 4.
y
2

2

练习题: 1、已知二次函数 y=ax2+bx+c 图像如图 3 所示,并设 M=|a+b+c|-|a-b+c|+|2a+b|-|2a-b|,则( A、M>0 C、M<0 (答案:C) 2、已知二次函数 y=ax2+bx+c(其中 a 是正整数)的图象经过点 A(-1,4)与点 B(2,1),且与 x 轴有两个不同的示点,则 b+c 的最大值为 (答案:-4) 3、如图 4,已知直线 y=-2x+3 与抛物线 y=x 相交 于 A、B 两点,O 为坐标原点,那么△OAB 的面积等 于 . (答案:6)
O B A x y=-2x+3
2



-1

O

1 x

B、M=0 D、不能确定 M 为正、为负或为 0
图3


y

4、设 m 为整数,且方程 3x2+mx-2=0 的两根都大于 9 3 图4 - 而小于 ,则 m= . 5 7 9 3 (提示:设 y=3x2+mx-2,由题设可知 x=- 时 y>0,且 x= 时 y>0.答案: 5 7
5

4) 5、已知函数 y=(a+2)x -2(a -1)x+1,其中自变量 x 为正整数,a 也是正整 数,求 x 为何值时,函数值最小.
?1, ? ?a ? 1, (答案:x= ? ?2或3, ?a ? 1, ? 当a ? 1时, 当 ? a ? 4时, 1 当a ? 4时, 当a ? 4时,
2 2 2

(其中 a 为正整数),函数值最小.

6、 已知关于 x 的方程 x -(2m-3)x+m-4=0 的二根为 α 1, 2, α 且满足-3<α 1< -2,α 2>0,求 m 的取值范围. (答案:
4 6 ?m? ) 7 5

7、已知关于正整数 n 的二次式 y=n2+an(a 为实数),若当且仅当 n=5 时,y 有最小值,则实数 a 的取值范围是 (答案:-11<a<-9) .

6


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