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2012-2013学年第一学期河北省保定市高三期末联考数学试题(理科)


2012-2013 学年第一学期河北省保定市高三期末联考 数学试题(理科)
(满分 150 分,考试时间:120 分钟) 本试卷分为第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,共 150 分,考试时间 120 分钟,注意事项: 1.第Ⅰ卷的答案填在答题卷方框里,第Ⅱ卷的答案或解答过程写在答题卷指定处,写 在试题卷上的无效。 2.答题前,考生务必将自己的“姓名”、“班级”、和“考号”写在答题卷上。 3.考试结束,只交答题卷。

第Ⅰ卷(选择题共 60 分)
一、选择题:(本大题共 12 题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的) 1. 已知集合 A ? ?1, 2,3, 4? ,集合 B ? ?2, 4? ,则 A ? B ? ( A. ?2, 4? B. ?1,3? C. ?1, 2,3, 4? ) C. ? p 是真命题 D. ? q 是真命 ) D. ?

2.若 p 是真命题, q 是假命题,则( A. p ? q 是真命题 题 3. (2x ? A.6

B. p ? q 是假命题

x ) 4 的展开式中 x 3 的系数是(
B.12 C.24
?

) D.48

4 在 ?ABC 中,D 为 BC 中点,若 ?A ? 120 , AB ? AC ? ?1 ,则 AD 的最小值是( )

(A) 5. 某程序 的 值 是 A. 5

1 2

(B)

3 2

(C)

2

(D)

2 2

开始 k=0 S = 100

框图如图所示, 该程序运行后输出的 k ( ) B.6 D. 8 C.7

i?0


S>0? S = S-2k k=k+1



输出 k 结束

2 6.数列 {an } 满足 a1 ? 1 , a2 ? 1 , an ? 2 ? (1 ? sin

n? n? )an ? 4 cos 2 , 2 2

则 a9 , a10 的大小关系为( (A) a9 ? a10

) (C) a9 ? a10 (D)大小关系不确定

(B) a9 ? a10

7 下列命题中,错误的是( ) .. (A) 一条直线与两个平行平面中的一个相交,则必与另一个平面相交 (B)平行于同一平面的两个不同平面平行 (C)若直线不平行平面 ? ,则在平面 ? 内不存在与平行的直线 (D) 如果平面 ? 不垂直平面 ? ,那么平面 ? 内一定不存在直线垂直于平面 ?

8 设点 P 是椭圆

x2 y2 ? ? 1(a ? b ? 0) 上一点, F1 , F2 分别是椭圆的左、右焦点, I 为 a2 b2

?PF1 F2 的内心,若 S ?IPF1 ? S ?IPF2 ? 2S ?IF1F2 ,则该椭圆的离心率是 ( )
(A)

1 2

(B)

2 2
2

(C)

3 2

(D)

1 4

9 设 集 合 A ? ( x, y) | x ? a y ? 6 ? 0

?

?

, B ? ?( x, y) | (a ? 2) x ?3ay ? 2a ? 0? , 若

A ? B ? ? ,则实数 a 的值为(C)
(A) 3 或 ? 1 (B) 0 或 3 (C) 0 或 ? 1 (D) 0 或 3 或 ? 1 )

? x ? 0, ? x y 10.已知变量 x, y 满足约束条件 ? y ? 1, 则z ? 4 ? 2 的最大值为( ? x ? y, ?
A.1 B.3 C.4

D.8

11.函数 f ( x ) 的定义域为 D ,若存在闭区间 [a, b] ? D ,使得函数 f ( x ) 满足:① f ( x ) 在

[a, b] 内 是 单 调 函 数 ; ② f ( x) 在 [a, b] 上 的 值 域 为 [ 2a , 2 ], 则 称 区 间 [a ,b ]为 b

y ? f ( x) 的“倍值区间”.下列函数中存在“倍值区间”的有 ( )
① f ( x) ? x ( x ? 0) ;
2

② f ( x) ? e ( x ?R) ;
x

③ f ( x) ?

4x ( x ? 0) ; x ?1
2

x ④ f ( x) ? log a (a ? )( a ? 0, a ? 1)

1 8

(A)①②③④ (B)①②④ (C)①③④ (D)①③ 12.已知圆 O 的半径为 2,PA,PB 为该圆的两条切线,A,B 为两切点,设 ?APO ? ? . 那 么 2S?PAB ? cot 2? 的最小值为( ) A. ?16 ? 4 2 B. ?12 ? 4 2 C. ?16 ? 8 2 D. ?12 ? 8 2

第 II 卷(非选择题共 90 分)
二、填空题:(本大题共 4 小题,每小题 5 分,满分 20 分.) 13.如图是一个组合几何体的三视图,则该几何体的体积 是

.

14.从某小学随机抽取 100 名同学,将他们的身高(单位:厘 米)数据绘制成频率分布直方图(如图)。由图中数据可知 a = 。若要从身高在[ 120 , 130),[130 ,140) , [140 ,

150]三组内的学生中,用分层抽样的方法选取 18 人参加一项活 动 , 则 从 身 高 在 [140 , 150] 内 的 学 生 中 选 取 的 人 数 应 为 。

15. 已知函数 是

f ( x) ?| x 2 ? 2 x ? 1 | ,若 a ? b ? ?1 ,且 f (a) ? f (b) ,则 ab ? a ? b 的取值范围
.

16.已知 F 是椭圆 C :

x2 y 2 ? ? 1 (a ? b ? 0) 的右焦点,点 P 在椭圆 C 上,线段 PF 与圆 a 2 b2


x2 ? y 2 ?

? ? 1 2 b 相切于点 Q ,且 PQ ? QF ,则椭圆 C 的离心率为 4

三、解答题:(本大题共 6 小题,共 70 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17. (本题满分 10 分) 设 △ABC 的内角 A, B, C 所对的边长分别为 a, b, c ,且 a cos B ? b cos A ? (Ⅰ )求

1 c. 2

tan A 的值; tan B (Ⅱ )求 tan(A ? B) 的最大值,并判断当 tan(A ? B) 取最大值时 △ABC 的形状.

18.(本题满分 12 分) 如图,已知矩形 ACEF 的边 CE 与正方形 ABCD 所在平面垂直,

AB ? 2 , AF ? 1 , M 是线段 EF 的中点。
(1)求证: CM // 平面 BDF ; (2)求二面角 A ? DB ? F 的大小。

19. (本小题满分 12 分) 某产品按行业生产标准分成 8 个等级,等级系数 ξ 依次为 1, 2,…,8 ,其中 ξ ? 5 为标准

A ,ξ ? 3 为标准 B ,产品的等级系数越大表明产品的质量越好,已知某厂执行标准 B 生产
该产品,且该厂的产品都符合相应的执行标准. (1)从该厂生产的产品中随机抽取 30 件,相应的等级系数组成一个样本,数据如下: 3 5 3 3 8 5 5 6 3 4 6 3 4 7 5 3 4 8 5 3 8 3 4 3 4 4 7 5 6 7 该行业规定产品的等级系数 ξ ? 7 的为一等品,等级系数 5 ? ξ ? 7 的为二等品,等级系数 3 ? ξ ? 5 的为三等品,试分别估计该厂生产的产品的一等品率、二等品率和三等品率; (2)已知该厂生产一件该产品的利润 y(单位:元)与产品的等级系数 ξ 的关系式为:

?1, ? y ? ? 2, ? 4. ?

3?? ?5 5 ? ? ? 7 ,从该厂生产的产品中任取一件,其利润记为 X ,用这个样本的频 ? ?7

率分布估计总体分布,将频率视为概率,求 X 的分布列和数学期望.

20(本题满分 12 分)

x2 2 .已知椭圆 C : 2 ? y ? 1(a ? 0) 的右顶点为 A , 上顶点为 B , 直线 y ? t 与椭圆交于不同的 a 两点 E , F ,若 D( x, y) 是以 EF 为直径的圆上的点,当变化时, D 点的纵坐标 y 的最大值
为2 . (Ⅰ)求椭圆 C 的方程; (Ⅱ)过点 (0, 2 ) 且斜率 k 为的直线与椭圆 C 交于不同的两点 P, Q ,是否存在 k ,使得向 量 OP ? OQ 与 AB 共线?若存在,试求出 k 的值;若不存在,请说明理由.

??? ??? ? ?

??? ?

21.(本题满分 12 分) 设数列 ?an ? 的各项都为正数,其前 n 项和为 S n ,已知对任意 n ? N * ,

2 Sn 是 an ? 2 和 an 的等比中项.
(Ⅰ )证明:数列 ?an ? 为等差数列,并求数列 ?an ? 的通项公式; (Ⅱ )证明:

1 1 1 1 ? ? ??? ?1; 2 S1 S2 Sn

(Ⅲ )设集合 M ? {m m ? 2k , k ? Z ,且 1000 ? k ? 1500 ,若存在 m ∈M ,使对满足 }

n ? m 的一切正整数 n ,不等式 2S n ? 4200 ?
有多少个?

2 an 恒成立,试问: 这样的正整数 m 共 2

22.(本题满分 12 分) 已知 f ( x) ? ax ? ln x, x ? (0, e], g ( x) ?

ln x ,其中 e 是自然常数, a ? R. x

(Ⅰ )当 a ? 1 时, 研究 f ( x ) 的单调性与极值; (Ⅱ )在(Ⅰ )的条件下,求证: f ( x ) ? g ( x ) ?

1 ; 2

(Ⅲ )是否存在实数 a ,使 f ( x ) 的最小值是 3?若存在,求出 a 的值;若不存在,说明理由.

高三数学试卷答案
一、选择题 ADCDC CCACD DD 二、填空题
13. 36 ? 128? ;14。答案:0.030

3;15。(-1,1);16。

5 3

17.解:(1)由 a cos

B ? b cos A ?

1 c 可得 2

2 sin A cos B ? 2 sin B cos A ? sin( A ? B) ? sin A cos B ? cos A sin B

? sin A cos B ? 3 sin B cos A ?

tan A =3 tan B

??????????????????4

分 (2)设 tan B ? t ,则 tan A ? 3t 且 t ? 0

tan(A ? B) ?

3t ? t 2t ? ? 2 1 ? 3t 1 ? 3t 2

2 3t ? 1 t

?

3 ??????????????????10 3

分 此时 t ?

? 3 ? ? ? B ? ? A ? ,故 C ? ,△ABC 为直角三角形??????12 分 2 3 6 3

18 :(1)建立如图所示的空间直角坐标系,则

C (0, 0, 0), M (

2 2 , ,1), D( 2, 0, 0), B(0, 2, 0), F ( 2, 2,1) ?????? 2 分 2 2

???? ? ??? ? ???? 2 2 CM ? ( , ,1), DB ? ? 2, 2, 0 , DF ? (0, 2,1) 设 2 2

?

?

平 面 D B F 一 个 法 向 量 为 n ? ( p, q, r ) , 则 的

?

? ??? ? ?? 2 ? q 2 ?n?DB ? 0 p ? ? ? ?? ? ???? ? ?n?DF ? 0 ? 2q ? r ? 0 ? ?

0

取 p ? 1, q ? 1, r ? ? 2 , 得 平 面 D B F 的 一 个 法 向 量 为

? n ? (1,1, ? 2) ,????????????????????????????6 分

???? ? ? 2 2 CM ?n ? ? ? 2 ? 0, 2 2
所以 CM ? n ,又因为直线 CM 不在平面 DBF 内,所以 CM // 平面 BDF 。 ?????????????????6 分 (2)由(1)知平面 BDF 的一个法向量为 n ? (1,1, ? 2) ,而平面 ABD 的一个法向量为

???? ?

?

?

?? n1 ? (0,0,1) , ?? ? n1 ?n ? 2 2 cos ? ? ?? ? ? ?? , ???????????????????????? 11 1?2 2 n1 ?n
分 所以向量 AB 与向量 n 的夹角 ? ?

??? ?

?

3? ,从图中可以看出二面角 A ? DB ? F 为锐二面角,所 4

以所求二面角 A ? DB ? F 的大小是

? 。 4

????? 12 分

19. 解:(1)由样本数据知,30 件产品中等级系数 ξ ? 7 有 6 件,即一等品有 6 件,二等 品有 9 件,三等品有 15 件---------------------------------------------------------------------------------3 分 ∴样本中一等品的频率为 二等品的频率为

6 ? 0.2 ,故估计该厂生产的产品的一等品率为 0.2 ,------4 分 30

9 ? 0.3 ,故估计该厂生产的产品的二等品率为 0.3 ;-------------------5 分 30 15 ? 0.5 ,故估计该厂生产的产品的三等品的频率为 0.5 .-------------6 分 三等品的频率为 30 (2)∵ X 的可能取值为:1,2,4
用样本的频率分布估计总体分布,将频率视为概率,由(1)可得

P( X ? 1) ? 0.5 , P( X ? 2) ? 0.3 , P( X ? 4) ? 0.2 -----------

X

1 0.5

2 0.3

4 0.2

8分 P( X ) X ∴ 可 得 的 分 布 列 如 右 : -------------------------------------------10 分 其数学期望 EX ? 1? 0.5 ? 2 ? 0.3 ? 4 ? 0.2 ? 1.9 (元)---------12 分 20.解:(1)由 ?

?y ? t ?x ? a y ? a
2 2 2 2

? x 2 ? a 2 (1 ? t 2 ) , ? 1 ? t ? 1

r?

EF 2

? a 1 ? t 2 ,圆心为 (0, t ) 以 EF 为直径的圆的方程为: x 2 ? y 2 ? a 2 (1 ? t 2 )

? y ? t ? a 1 ? t 2 (当 x ? 0 时取等)令 t ? cos? (? ? (0, ? )) 则

? y ? cos? ? a sin ? ? a 2 ? 1 sin(? ? ? )
椭圆 C 的方程为:

依题 a ? 1 ? 2 ? a ? 3
2 2

x2 ? y2 ? 1 3

????????????????????????6 分 (2) l : y ? kx ? 2 ,由 ?

? y ? kx ? 2 ? 消去 y: (1 ? 3k 2 ) x 2 ? 6 2kx ? 3 ? 0 2 2 ?x ? 3 y ? 3 ?
3 设 P( x1 , y1 ), Q( x2 , y 2 ) ,PQ 的中点 M ( x0 , y0 ) 3
差 法 :

? ? 72k 2 ? 12(1 ? 3k 2 ) ? 0 ? k ?

2 2 2


2

x1 ? x2 ? ?3( y1 ? y 2 ) ?
即k ?

y1 ? y 2 x1 ? x2 ? ??????????????8 分 x1 ? x2 ? 3( y1 ? y 2 )
M 在直线上 ? y0 ? kx0 ? 2 ②

x0 ? x0 ? ?3ky0 ① ? 3 y0
?

又 A( 3,0), B(0,1) ? AB ? (? 3,1) ,而 OP ?OQ 与 AB 共线,可得 OM // AB

?

?

?

?

?

? x0 ? ? 3y0

③,

由①②③得 k ?

3 , 3

这与 k ?

3 矛盾,故不存在 3

????12 分
2 21.解:(Ⅰ )由已知, 4S n ? an ? 2an ,且 an ? 0 . …………………………………1 分

2 当 n ? 1 时, 4a1 ? a1 ? 2a1 ,解得 a1 ? 2 .
2 当 n ? 2 时,有 4S n?1 ? an?1 ? 2an?1 .

…………………………………2 分

2 2 2 2 于是 4S n ? 4S n?1 ? an ? an?1 ? 2an ? 2an?1 ,即 4an ? an ? an?1 ? 2an ? 2an?1 . 2 2 于是 an ? an?1 ? 2an ? 2an?1 ,即 (an ? an?1 )(an ? an?1 ) ? 2(an ? an?1 ) .

因为 an ? an?1 ? 0 ,所以 an ? an?1 ? 2(n ? 2) . 故数列 ?an ? 是首项为 2,公差为 2 的等差数列,且 an ? 2n .……………………4 分 (Ⅱ )因为 an ? 2n ,则

1 1 1 1 , ? ? ? S n n(n ? 1) n n ? 1

…………………………5 分

1 1 1 1 1 1 所以 1 ? 1 ? ? ? 1 ? (1 ? ) ? ( ? ) ? ? ? ( ? ) ?1? ? 1 .……7 分 2 2 3 n n ?1 n ?1 S1 S 2 Sn

因为 1 ?

1 1 随着 n 的增大而增大,所以当 n ? 1 时取最小值 . 2 n ?1
………………10 分
2 an ,得 2n(n ? 1) ? 4200? 2n 2 ,所以 n ? 2100 . … 12 分 2

故原不等式成立. (Ⅲ )由 2S n ? 4200 ?

由题设, M ? { 2000, 2002 ,…, 2008 , 2010 , 2012 ,…, 2998 . 因为 m ∈ M,所以 m ? 2100 , 2102 ,…, 2998 均满足条件.………………14 分且 这些数组成首项为 2100 ,公差为 2 的等差数列. 设这个等差数列共有 k 项,则 2100? 2(k ? 1) ? 2998,解得 k ? 450 . 故集合 M 中满足条件的正整数 m 共有 450 个. . 解 : ( Ⅰ ) …………………16 分

22

?

f ( x) ? x ? ln x



f ?( x) ? 1 ?

1 x ?1 ? …………………………………………1 分 x x ∴ 0 ? x ? 1 时, f / ( x) ? 0 ,此时 f ( x ) 单调递减 当 1? x ? e 时 , 当 , 此 时 f ( x) f / (x ? ) 0







增 …………………………………… …………3 分 ∴ f ( x ) 的极小值为 f (1) ? 1 (Ⅱ ? f ( x ) 的极小值为 1,即 f ( x ) 在 (0, e] 上的最小值为 1, ) ∴ f ( x) ? 0 , f ( x)min ? 1……5 分 令

h( x ) ? g ( x ) ?

1 ? ln x , ………………………………………………6 分 x2 当 0 ? x ? e 时 , h ?( x) ? 0 , h( x) 在 (0, e] 上 单 调 递 增 1 1 1 1 ∴h( x) max ? h(e) ? ? ? ? ? 1 ?| f ( x) | min ………9 分 e 2 2 2 1 ∴ 在(1)的条件下, f ( x ) ? g ( x ) ? ……………………………10 分 2 (Ⅲ )假设存在实数 a ,使 f ( x) ? ax ? ln x ( x ? (0, e] )有最小值 3, 1 ax ? 1 f / ( x) ? a ? ? x x / ① 当 a ? 0 时, x ? ?0, e?,所以 f ( x) ? 0 , 所以 f (x) 在 (0, e] 上单调递减, 4 f ( x) min ? f (e) ? ae ? 1 ? 3 , a ? (舍去), e 所以,此时 f (x) 无最小值. ……12 分 1 1 1 ② 0 ? ? e 时, f (x) 在 (0, ) 上单调递减,在 ( , e] 上单调递增 当 a a a 1 f ( x) min ? f ( ) ? 1 ? ln a ? 3 , a ? e 2 ,满足条件. ……14 分 a h / ( x) ?

1 ln x 1 ? ? 2 x 2



③当

1 ? e 时, x ? ?0, e?,所以 f / ( x) ? 0 , a
4 (舍去), e ……15 分

所以 f (x) 在 (0, e] 上单调递减, f ( x) min ? f (e) ? ae ? 1 ? 3 , a ? 所以,此时 f (x) 无最小值.

综上,存在实数 a ? e 2 ,使得当 x ? (0, e] 时 f ( x ) 有最小值 3 .……16 分


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