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高中数学 导数的概念课件


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1.1.2 导数的概念

? 1 .知道函数的瞬时变化率的概念,理解 导数的概念. ? 2.能利用导数的定义求函数的导数.

? 本节重点:导数的定义. ? 本节难点:用导数的定义求函数的导数.

? 对导数的定义要注意: ? 第一:Δx是自变量x在x0处的改变量,所以 Δx可正可负,但Δ

x≠0;Δy是函数值的改变 量,可以为0; ? 第二:函数在某点的导数,就是在该点的 函数值改变量与自变量改变量之比的极 限.因此,它是一个常数而不是变量; Δy
第三:函数 f(x)在 x0 处可导,是指 Δx→0 时, Δx 有极 Δy 限.如果 不存在极限,就说函数在点 x0 处不可导,或说 Δx 无导数;

第四:f′(x0)的不同表达方式: y′|x = x0 = f′(x0) = li x→ mx0 f(x0+Δx)-f(x0) . Δx f(x)-f(x0) = li Δm x→0 x-x0

? ? ? ? ?

[例1] 已知自由落体的运动方程为s= gt2,求: (1)落体在t0到t0+Δt这段时间内的平均速度; (2)落体在t0时的瞬时速度; (3)落体在t0=2秒到t1=2.1秒这段时间内的平均速度; (4)落体在t=2秒时的瞬时速度.

[分析]

平均速度 v 即平均变化率, 而瞬时速度即是平

均速度 v 在 Δt→0 时的极限值,为此,要求瞬时速度,应 先求出平均速度,再求 v 当 Δt→0 时的极限值.

[解析]

(1)落体在 t0 到 t0+Δt 这段时间内路程的增量为

1 1 2 2 Δs=2g(t0+Δt) -2gt0 因此,落体在这段时间内的平均速度为: 1 1 2 2 g(t +Δt) - gt0 2 Δs 2 0 1 Δt(2t0+Δt) v= = = g· Δt Δt 2 Δt 1 =2g(2t0+Δt).

(2)落体在 t0 时的瞬时速度为 1 v=liΔm t→0 v =liΔm t→0 2g(2t0+Δt)=gt0. (3)落体在 t0=2 秒到 t1=2.1 秒时,其时间增量 Δt=t1 1 - t0 = 0.1 秒,由 (1) 知平均速度为 v = 2 g(2×2 + 0.1) = 2.05g≈2.05×9.8=20.09(米/秒). (4) 由 (2) 知 落 体 在 t0 = 2 秒 的 瞬 时 速 度 为 v = g×2≈9.8×2=19.6(米/秒).

? [点评] 应注意区分平均速度与瞬时速度的 概念、瞬时速度是运动物体在t0到t0+Δt这 一段时间内的平均速度当Δt→0时的极限, 即运动方程s=f(t)在t=t0时对时间t的导数.

[ 解析 ]

? ? ? 1 1 2? 2 ∵Δs =?v0(t0+Δt)-2g(t0+Δt) ? -?v0t0-2gt0? ? ? ? ?

1 =(v0-gt0)Δt- g(Δt)2, 2 Δs 1 Δs ∴ =v0-gt0- gΔt,当 Δt→0 时, →v0-gt0. Δt 2 Δt 故物体在 t0 时刻的瞬时速度为 v0-gt0.
? 以初速度v0(v0>0)竖直上抛的物体,t秒时的高度为s(t)= v0t- gt2,求物体在t0时刻的瞬时速度.

? ? ? ? ?

[例2] 求函数y=x2在点x=3处的导数. [分析] 利用导数定义求导. [解析] (1)求y在点x=3处的增量. 取Δx≠0,Δy=(3+Δx)2-32=6Δx+(Δx)2. (2)算比值.
2 Δy 6Δx+(Δx) =6+Δx. Δx= Δx

Δy (3)Δx 趋近于 0 时,Δx趋近于 6. 因此 y 在点 x=3 处的导数是 6.

? [点评] 求函数y=f(x)在点x0处的导数的方法. ? 由导数的意义可知,求函数y=f(x)在点x0处的导数 的方法是:
(1)求函数的增量 Δy=f(x0+Δx)-f(x0); Δy f(x0+Δx)-f(x0) (2)求平均变化率 = ; Δx Δx Δy (3)Δx 趋近于 0 时,若Δx趋近于一个常数,则这个常 数就是函数在该点处的导数.

(1)求函数 y= x在点 x=1 处的导数; (2)求函数 y=x2+ax+b 在点 x=x0 处的导数.
[解析] (1)Δy= 1+Δx-1,

1+Δx-1 Δy 1 = . Δx= Δx 1+Δx+1 liΔm x→0 1 1 1 = ,所以 y′|x=1= . 2 1+Δx+1 2

(2)y′|x=x0 (x0+Δx)2+a(x0+Δx)+b-(x2 0+ax0+b) =liΔm x→0 Δx

=liΔm x→0
2 2 x2 0+2x0Δx+(Δx) +ax0+aΔx+b-x0-ax0-b Δx

2x0Δx+aΔx+(Δx)2 =liΔm x→0 Δx =liΔm x→0 (2x0+a+Δx)=2x0+a.

[例 3]

若函数 f(x)在 x=a 处的导数为 A,求:

f(a+Δx)-f(a-Δx) (1)liΔm ; x→0 Δx f(a+4t)-f(a+5t) (2)litm . →0 t

? [分析] 已知函数f(x)在x=a处的导数为A, 要求所给的极限值,必须将已给极限式转 化为导数的意义.

[解析]

f(a+Δx)-f(a) (1)∵liΔm =A, x→0 Δx

f(a-Δx)-f(a) 则 liΔm x→0 Δx f[a+(-Δx)]-f(a) =-liΔm =-A x→0 -Δx f(a+Δx)-f(a-Δx) ∴liΔm x→0 Δx f(a+Δx)-f(a)+f(a)-f(a-Δx) =liΔm x→0 Δx f(a+Δx)-f(a) f(a)-f(a-Δx) =liΔm +liΔm x→0 x→0 Δx Δx

=A+A=2A. f(a+4t)-f(a+5t) (2)litm →0 t f(a+4t)-f(a)+f(a)-f(a+5t) =litm →0 t f(a+4t)-f(a) f(a+5t)-f(a) =4litm -5litm →0 →0 4t 5t =4A-5A=-A.

? [点评] 概念是分析解决问题的重要依据, 只有熟练掌握概念的本质属性,把握其内 涵与外延,才能灵活地应用概念进行解题, 解决这类问题的关键是等价变形,使问题 转化.

f(x0-2Δx)-f(x0) 已知 f′(x0)=A, 则 liΔm =____. x→0 Δx f(x0-2Δx)-f(x0) [解析] liΔm x→0 Δx
f[x0+(-2Δx)]-f(x0) =-2liΔm =-2A. x→0 -2Δx

? [答案] -2A

[例 4] s)

若一物体运动方程如下:(位移:m,时间:

2 ? ?3t +2 s=? 2 ? 29 + 3( t - 3) ?

(t≥3) ① . (0≤t<3) ②

? 求:(1)物体在t∈[3,5]内的平均速度; ? (2)物体的初速度v0; ? (3)物体在t=1时的瞬时速度.

? [分析] 由题目可获取以下主要信息: ? ①物体的运动方程已知; ? ②求物体在某一时间段的平均速度和物体 在某一时刻的瞬时速度. ? 解答本题可先根据要求的问题选好使用的 函数解析式,再根据求平均变化率和瞬时 变化率的方法求解平均速度和瞬时速度.

? [解析] (1)∵物体在t∈[3,5]内的时间变化 量为 ? Δt=5-3=2, ? 物体在t∈[3,5]内的位移变化量为 ? Δs=3×52+2-(3×32+2)=3×(52-32)= Δ s 48 48 , Δt = 2 =24(m/s). ? ∴物体在t∈[3,5]上的平均速度为

? (2) 求物体的初速度 v0 即求物体在 t = 0 时的瞬时速 度. ? ∵物体在t=0附近的平均变化率为
Δs f(0+Δt)-f(0) Δt = Δt 29+3[(0+Δt)-3]2-29-3(0-3)2 = =3Δt-18, Δt ∴物体在 t=0 处的瞬时变化率为 Δs lim lim Δ t→0 Δt =Δ t→0 (3Δt-18)=-18, 即物体的初速度为-18m/s.

? (3)物体在t=1时的瞬进速度即为函数在t=1 处的瞬时变化率. ? ∵物体在t=1附近的平均变化率为
Δs f(1+Δt)-f(1) Δt = Δt 29+3[(1+Δt)-3]2-29-3(1-3)2 = =3Δt-12. Δt ∴物体在 t=1 处的瞬时变化率为 Δs lim lim Δ t→0 Δt =Δ t→0 (3Δt-12)=-12. 即物体在 t=1 时的速度为-12m/s.

? [点评]

? 如果一个质点从固定点 A 开始运动,在时 间t的位移函数y=s(t)=t3+3. ? 求:(1)t=4时,物体的位移s(4); ? (2)t=2到t=4的平均速度; ? (3)t=4时,物体的速度v(4).
[解析] (1)s(4)=43+3=67. (2)t=2 到 t=4 的平均速度为
3 3 Δs s(4)-s(2) 4 +3-2 -3 64-8 = = = =28. Δt 2 2 4-2

3 3 (4 + Δ t ) + 3 - (4 +3) Δs (3)∵ = Δt Δt

=48+12Δt+(Δt)2, Δs ∴当 Δt 无限趋近于 0 时, 无限趋近于 48. Δt ∴v(4)=48.

一、选择题 f(1+Δx)-f(1) 1. 设函数 f(x)可导, 则 liΔm 等于( x→0 3Δx A.f′(1) 1 C.3f′(1) B.3f′(1) D.f′(3) )

? [答案] C
[解析] f(1+Δx)-f(1) 1 1 原式=3liΔm =3f′(1). x→0 Δx

? 2 . 设 f(x) = ax + 4 , 若 f′(1) = 2 , 则 a 等 于 ( ) ? A.2 B.-2 ? C.3 D.-3 ? [答案] A
f(x)-f(1) [解析] f′(1)=lixm =lixm →1 →1a=a=2. x-1

f(x0-k)-f(x0) 3.若 f′(x0)=2,则 likm 等于( →0 2k A.-1 C.1 B.-2 1 D. 2

)

? [答案] A

f(x0-k)-f(x0) [解析] likm →0 2k f[x0+(-k)]-f(x0) 1 =-2likm →0 -k 1 1 =- f′(x0)=- ×2=-1,故应选 A. 2 2

? 二、填空题 ? 4 . 自由 落体运 动在 t = 4s 的 瞬 时速度 是 ________. ? [答案] 39.2m/s
1 2 [解析] s= gt 2 1 1 2 2 g(t+Δt) - gt 2 Δs 2 1 = =gt+ g·Δt Δt Δt 2 1 =4g+2g·Δt. Δs 1 所以 v=s′(t)=liΔm t→0 Δt =liΔm t→0 (4g+2gΔt) =4g≈4×9.8=39.2(m/s).

? 5.对于函数y=x2,其导数等于原来的函数 值的点是______________. ? [答案] (0,0)和(2,4)
[ 解 析 ] 2x·Δx+(Δx)2 Δx =liΔm x→0 (2x+Δx)=2x. 令 2x=x2,得 x=0 或 x=2,此时 y=0 或 y=4,即所 求点为(0,0)和(2,4). y′ = li Δm x→0 (x+Δx)2-x2 = li Δm x→0 Δx

三、解答题 1 6.用导数的定义求函数 f(x)= 在 x=1 处的导数. x 1 1 [解析] ∵Δy=f(1+Δx)-f(1)= - 1 1+Δx

1- 1+Δx -Δx = = , 1+Δx 1+Δx· (1+ 1+Δx) -1 Δy ∴Δx= , 1+Δx· (1+ 1+Δx) Δy ∴liΔm x→0 Δx=liΔm x→0 -1 1+Δx· (1+ 1+Δx)

-1 1 = =-2, 1+0· (1+ 1+0) 1 ∴f′(1)=- . 2


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