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1.2.2 函数的表示法(1)


函数的三种表示法:
列表法: 列出表格来表示两个变量之间的对应关系 . 图像法: 用图象表示两个变量之间的对应关系 . 解析法: 用数学表达式表示两个变量之间的对应关系 .
国民生产总值 1990 年份 生产总值 18544.7 1991 21665.8 单位:亿元 1992 1993 26651.4 34476.7

h =294t-4.9 t2

列表法: 列出表格来表示两个变量的函数关系。
优点:

不需要计算就可以直接看出与自变量相应的函数值 . 国民生产总值 1990 年份 生产总值 18544.7 单位:亿元 1991 1992 1993 21665.8 26651.4 34476.7

图像法: 就是用图像表示两个变量之间的对应关系。 优点: ? 直观形象地表示随着自变量的变化,相应函数 值变化的趋向.

解析法:用数学表达式表示两个 变量之间的对应关系.

h ? 294? 23.77 ? 4.9 ? 23.772 ? 4219 .81679

h ? 294 t ? 4.9t (0 ? t ? 60)
优点: (1)简明、全面地概括了变量间的关系; (2)可通过解析式求出每个自变量对应的 函数值.

2

常用的函数的三种表示法各自的优点:
1)列表法: 列出表格来表示两个变量的函数关系. 优点: 不需要计算就可以直接看出与自变量相应的函数值. 2)图像法: 用函数图象表示两个变量之间的关系。 ?优点: ? 直观形象地表示随着自变量的变化,相应函数值变化的 趋向 . 3)解析法:就是用数学表达式表示两个变量之间的对应关系. 优点: (1)简明、全面地概括了变量间的关系; (2)可通过解析式求出每个自变量对应的函数值.

例3. 某种笔记本的单价是5元,买x(x∈{1,2,3,4,5}) 个笔记本需要y元;试用函数的三种表示法表示函数y=f (x) .
分析:你知道 “y=f (x)”的 含义吗? 它可以是解析表达式,可以是图像,也可以是对应值表. 解:这个函数的定义域是数集{1,2,3,4,5}.

如何运用函数的三种表示法表示函数?

用解析法可将函数y=f (x)表示为: y=5 x, x∈{1 , 2 , 3 , 4 , 5 } 用列表法可将函数y=f (x)表示为: 笔记本数 x 钱数 y 1 5 2 3 10 15 4 20 5 25

用图象法可将函数y=f (x)表示为: 题后思考1: 若例3中的函数y=f(x)的定义域 改为 [1,5],则其图象将会发生 怎样的变化?

题后思考2: 函数图像可以是连续的曲线,也可以是直线、折线、 离散的点等等;那么,如何判断在坐标平面中的图象是 否为函数图象呢? 练习一.下列四个图像中,不是函数图像的是( ) ( 2)

题后思考3: 每一个函数都能用这三种方法表示吗?

(1) 出生率与时间的函数关系.

这个函数能不能用解析法 ?
出生率 (?)
4.5 4.0 3.5 3.0 2.5 2.0 1.5 1.0 0.5 1950 1955 1960 1970 1975 1980 1985 时间(年)

? 1 , ( x为有理数) ( 2) y ? ? ? ? 1,(x为无理数)

这个函数能不能用图像法 ?

如何选用恰当的函数表示法表示函数关系, 并进一步解决一些简单问题?
例4.下表是某校高一(1)班三位同学在高一学年度几次数 学测试的成绩及班级平均分表: 第一次 第二次 第三次 第四次 第五次 第六次 98 87 91 92 88 95 王 伟 90 76 88 75 86 80 张 城 68 65 73 72 75 82 赵 磊 班平均分 88.2 78.3 85.4 80.3 75.7 82.6 请你对这三个同学在高一学年度的数学学习情况做一个分析.

解:从表中可知每位同学在每次测试中的成绩,
但不易分析每位同学的成绩变化情况 . 若将“成绩”与“测试序号”之间的关系用函数图象 表示出来,那么将…..

若将“成绩”与“测试序号”之间的关系用函数图象表示出 来, 直观反映成绩变化:

分析上图: 王伟同学的数学成绩始终高于班平均水平, 学习情况较为稳定且成绩优秀; 张成同学数学成绩不稳定, 总在班平均水平上下波动,且波动幅度较大; 赵磊同学数学成绩低于班级平均水平, 但他的成绩呈上升趋势,表明他的成绩在稳步提高.

例6.某市“招手即停”公共汽车的票价按下列规则制定: (1)5公里以内(含5公里),票价2元; (2)5公里以上,每增加5公里票价增加1元(不足5公里 按5公里算).如果某条线路的总里程 为20公里,请根据题意,写出票价 与里程之间的函数解析式,并画出 函数图像。 解:设票价为y,里程为x, 则x∈(0,20], 所以依题意可得: ?2 , 0 ? x ? 5 ? 3 , 5 ? x ? 10 y?? 4 , 10 ? x ? 15 ? ?5 , 15 ? x ? 20

动感演示

里程 x
票价 y

0 ? x ? 5 5 ? x ? 10 10 ? x ? 15 15 ? x ? 20
2 3 4 5

1.下图中哪几个图像与下述三件事分别吻合得最好 ? 请你为剩下的那个图象写一件事. (1) 我离家不久, 发现自己把作业本放在家里了,于 是返回家找到作业本再上学; D (2) 我骑着车一路匀速行驶, 只是在途中遇到一次 交通堵塞, 耽搁了一些时间; A (3) 我出发后, 心情轻松, 缓缓行进, 后来为了赶时 间开始加速. B

(C):我一开始看错时间,越走越快,后来想起自己 的表比北京时间快十分钟,才放慢脚步.

?2 , 0 ? x ? 5 ? 3 , 5 ? x ? 10 y?? 4 , 10 ? x ? 15 ? ?5 , 15 ? x ? 20 分段函数:
函数在它的定义域中,对于 自变量x的不同取值范围,对应 关系不同.

题后思考2: 分段函数的解析式有何特点,如何正确书写?

? 2 x , x ? ?1 ? y ? ?x ? 2 , ? 1 ? x ? 0 ? x2 , x ? 0 ?

? y ? 2 x , x ? ?1 ?? 2 x ( x ? ?1) ? ? ? y ? x ? 2 , ? 1 ? x ? 0 y ? ? x ? 2 ( ?1 ? x ? 0) ? y ? x2 , x ? 0 ? ? x 2 ( x ? 0) ? ?

小 结: 一、明确函数的三种表示方法及各自的优点; 列表法:不需要计算就可以直接看出与自变量相应的函 数值. 图象法:能直观形象地表示出函数的变化情况 . 解析法: (1)简明、全面地概括了变量间的关系; (2)可通过解析式求出每个自变量对应的函数值 . 二、在实际情境中,会根据不同的需要选择恰当的 方法表示函数; 三、注意分段函数的表示方法及其图象的画法, 并 能简单应用. 四、以后解决函数问题时, 还要注意三种方法的有 机结合.


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