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2012年苏州大学自主招生数学试题-有答案


2012 年苏州大学自主招生数学试题
一、选择题 1、 如果关于 x 的方程 x ? ax ? a ? 3 ? 0 至少有一个正根, 则实数 a 的取值范围是 (
2 2



A、 ? 2 ? a ? 2

B、 3 ? a ? 2

C、 ? 3 ? a ? 2
<

br />D、 ? 3 ? a ? 2

2、如图,已知:点 E 、 F 分别是正方形 ABCD 的边 AB、BC 的中点, BD、DF 分别 交 CE 于 点 G、H , 若 正 方 形 ABCD 的 面 积 是 240 , 则 四 边 形 BFHG的 面 积 等 于……………………( ) E B A A、26 B、28 C、24 D、30 G 3 、设 x、y、z 是两两不等的实数,且满足下列等式:
6 3 3 6 3 x ( y ? x) ? 6 x ( z ? x) ? 6 y ? x ? x ? z ,则代数式 3

F H

3 3 3 x ? y ? z ? 3xyz 的值是………………… (



D

C

A、0

B、1

C、3

D、条件不足,无法计算
D

4、如图,四边形 BDCE 内接于以 BC 为直径的⊙ A ,已知:

3 BC ? 10, cos ?BCD ? , ?BCE ? 30? ,则线段 DE 的长 5
是………………… ( A、 89 B、7 3 ) C、4+3 3 D、3+4 3
B C A

5、某学校共有 3125 名学生,一次活动中全体学生被排成 E 一个 n 排的等腰梯形阵,且这 n 排学生数按每排都比前一排 多一人的规律排列,则当 n 取到最大值时,排在这等腰梯形阵最外面的一周的学生总人数 是………………… ( ) A、296 B、221 C、225 D、641 二、填空题: 6、已知:实常数 a、b、c、d 同时满足下列两个等式:⑴ a sin? ? b cos? ? c ? 0 ; ⑵ a cos? ? b sin? ? d ? 0 (其中 ? 为任意锐角) ,则 a、b、c、d 之间的关系式是: 。 7、函数 y ? x ? 1 ? 2 x ? 2 ? 3 x ? 3 ? 4 x ? 4 的最小值是 。
1

8、已知一个三角形的周长和面积分别是 84、210,一个单位圆在它的内部沿着三边匀速无 摩擦地滚动一周后回到原来的位置(如图) ,则这个三角形的内部以及边界没有被单位圆 滚过的部分的面积是 。 9、已知: x ?

3 5? 2

,则 2 可用含 x 的

有理系数三次多项式来表示为: 2 = 。 10、设p、q、r 为素数,则方程 p ? p ? q ? r
3 2 2 2

的所有可能的解p、q、r组成的三元 。

数组( p, q, r )是 三、解答题

11、 赵岩,徐婷婷,韩磊不但是同班同学,而且是非常要好的朋友,三个人的学习成绩不相伯 仲, 且在整个年级中都遥遥领先, 高中毕业后三个人都如愿的考入自己心慕以久的大学. 后 来三个人应母校邀请给全校学生作一次报告.报告后三个人还出了一道数学题:有一种密 码把英文按字母分解,英文中的 a,b,c, ??,z 26 个字母(不论大小写)依次用 1, 2, 3, ?, 26 这 26 个自然数表示,并给出如下一个变换公式:

? x ? [ ] ? 1(其中x是不超过26的正奇数) ;已知对于任意的实数 x ,记号[ x ]表 y?? 2 x ?1 ?[ ] ? 13(其中x是不超过26的正偶数) ? 2 8 ?1 示不超过 x 的最大整数;将英文字母转化成密码,如 8 ? [ ] ? 13 ? 17 ,即 h变成q , 2 11 再如 11 ? [ ] ? 1 ? 6 ,即 k变成f 。他们给出下列一组密码: etwcvcjw ej ncjw 2
wcabqcv,把它翻译出来就是一句很好的临别赠言。现在就请你把它翻译出来,并简单地
写出翻译过程。 12、 如果有理数 m 可以表示成 2 x ? 6 xy ? 5 y (其中 x、y 是任意有理数)的形式,我们就
2 2

称 m 为“世博数” 。 ⑴ 个“世博数” a、b 之积也是“世博数”吗?为什么? ⑵ 证明:两个“世博数” a、b ( b ? 0 )之商也是“世博数” 。

2

13、如图,在四边形 ABCD 中,已知△ ABC 、△ BCD 、△ ACD 的面积之比是 3∶1∶4, 点 E 在边 AD 上, CE 交 BD 于 G ,设 ⑴求 7 k ? 20 的值;
3 2

BG DE ? ?k。 GD EA

⑵若点 H 分线段 BE 成

BH ? 2 的两段,且 AH 2 ? BH 2 ? DH 2 ? p 2 ,试用含 p 的代数 HE

式表示△ ABD 三边长的平方和。

A

H B C G

E

D

3

14、

1 ? 1,1 ? 2 ? 5,1 ? 2 ? 3 ? 14,1 ? 2 ? 3 ? 4 ? 30,??? 。 观察下列各个等式:
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

⑴你能从中推导出计算 1 ? 2 ? 3 ? 4 ? ? ? n 的公式吗?请写出你的推导过程;
2 2 2 2 2

⑵请你用⑴中推导出的公式来解决下列问题: 已知: 如图, 抛物线 y ? ? x ? 2 x ? 3 与 x 、 y 轴的正半轴分别交于点 A、B , 将线段 OA
2

?、An?1 ,分别过这 n ? 1 个点 n 等分,分点从左到右依次为 A1、A2、A3、A4、A5、A6、 ?、Bn ?1 ,设△ OBA1 、 作 x 轴的垂线依次交抛物线于点 B1、B2、B3、B4、B5、B6、
△ A1 B1 A2 、 △ A2 B2 A3 、 △ A3 B3 A4 、 … 、 △ An ?1 Bn ?1 A 的 面 积 依 次 为

S1、S 2、S 3、S 4、 ?、Sn 。
①当 n ? 2010 时,求 S1 ? S2 ? S3 ? S4 ? S5 ? ? ? S2010 的值; ②试探究:当 n 取到无穷无尽时,题中所有三角形的面积和将是什么值?为什么?

4

15、 有如图所示的五种塑料薄板(厚度不计) :①两直角边分别为 3、4 的直角三角形 ABC ; ②腰长为 4、顶角为 36? 的等腰三角形 JKL ; ③腰长为 5、顶角为 120 ? 的等腰三角形 OMN ; ④两对角线和一边长都是 4 且另三边长相等的凸四边形 PQRS ; ⑤长为 4 且宽(小于长)与长的比是黄金分割比的黄金矩形 WXYZ 。 它们都不能折叠,现在将它们一一穿过一个内、外径分别为 2.4、2.7 的铁圆环。 我们规定:如果塑料板能穿过铁环内圈,则称为此板“可操作” ;否则,便称为“不可操 作” 。 ⑴证明:第④种塑料板“可操作” ; ⑵求:从这五种塑料板中任意取两种至少有一种“不可操作”的概率。
J A C M P S

N B K L

O

Q

R

W

Z

X

Y

5

16、 定义:和三角形一边和另两边的延长线同时相切的圆叫做三角形这边上的旁切圆。 如图所示,已知:⊙ I 是△ ABC 的 BC 边上的旁切圆, E、F 分别是切点, AD ? IC 于 点D。 ⑴试探究: D、E、F 三点是否同在一条直线上?证明你的结论。 ⑵设 AB ? AC ? 5, BC ? 6, 如果△ DIE 和△ AEF 的面积之比等于 m , 出分别以

DE ? n ,试作 EF

m n 、 为两根且二次项系数为 6 的一个一元二次方程。 n m

D

C I E

A B F

6

参考答案 一、选择题 1、 如果关于 x 的方程 x ? ax ? a ? 3 ? 0 至少有一个正根, 则实数 a 的取值范围是 (
2 2

C )

A、 ? 2 ? a ? 2

B、 3 ? a ? 2

C、 ? 3 ? a ? 2

D、 ? 3 ? a ? 2

2、如图,已知:点 E 、 F 分别是正方形 ABCD 的边 AB、BC 的中点, BD、DF 分别 交 CE 于 点 G、H , 若 正 方 形 ABCD 的 面 积 是 240 , 则 四 边 形 BFHG的 面 积 等 于……………………( B ) E B A A、26 B、28 C、24 D、30 G 3 、设 x、y、z 是两两不等的实数,且满足下列等式:
6 3 3 6 3 3 x ( y ? x) ? 6 x ( z ? x) ? 6 y ? x ? x ? z ,则代数式

F H

3 3 3 x ? y ? z ? 3xyz 的值是………………… ( A )

D

C

A、0

B、1

C、3

D、条件不足,无法计算
D

4、如图,四边形 BDCE 内接于以 BC 为直径的⊙ A ,已知:

3 BC ? 10, cos ?BCD ? , ?BCE ? 30? ,则线段 DE 的长 5
是………………… ( A、 89 B、7 3 D ) C、4+3 3 D、3+4 3
B C A

5、某学校共有 3125 名学生,一次活动中全体学生被排成 E 一个 n 排的等腰梯形阵,且这 n 排学生数按每排都比前一排 多一人的规律排列,则当 n 取到最大值时,排在这等腰梯形阵最外面的一周的学生总人数 是………………… ( B ) A、296 B、221 C、225 D、641 二、填空题: 6、已知:实常数 a、b、c、d 同时满足下列两个等式:⑴ a sin? ? b cos? ? c ? 0 ; ⑵ a cos? ? b sin? ? d ? 0 (其中 ? 为任意锐角) ,则 a、b、c、d 之间的关系式是:

a2 ? b2 ? c2 ? d 2


7

7、函数 y ? x ? 1 ? 2 x ? 2 ? 3 x ? 3 ? 4 x ? 4 的最小值是

8



8、已知一个三角形的周长和面积分别是 84、210,一个单位圆在它的内部沿着三边匀速无 摩擦地滚动一周后回到原来的位置(如图) ,则这个三角形的内部以及边界没有被单位圆 滚过的部分的面积是 9、已知: x ? 84— ? 。

3 5? 2

,则 2 可用含 x 的

有理系数三次多项式来表示为: 2 =

?

1 3 11 x ? x 6 6



10、设p、q、r 为素数,则方程 p ? p ? q ? r
3 2 2

2

的所有可能的解p、q、r组成的三元

数组( p, q, r )是

(3,3,3)



三、解答题 11、 赵岩,徐婷婷,韩磊不但是同班同学,而且是非常要好的朋友,三个人的学习成绩不相伯 仲,且在整个年级中都遥遥领先,高中毕业后三个人都如愿的考入自己心慕以久的大学, 后来三个人应母校邀请给全校学生作一次报告。报告后三个人还出了一道数学题:有一种 密码把英文按字母分解,英文中的 a,b,c, ??,z 26 个字母(不论大小写)依次用 1, 2, 3, ?, 26 这 26 个自然数表示,并给出如下一个变换公式:

? x ? [ 2 ] ? 1(其中x是不超过26的正奇数) ;已知对于任意的实数 x ,记号[ x ]表 y?? x ?1 ?[ ] ? 13(其中x是不超过26的正偶数) ? 2 8 ?1 示不超过 x 的最大整数。将英文字母转化成密码,如 8 ? [ ] ? 13 ? 17 ,即 h变成q , 2 11 再如 11 ? [ ] ? 1 ? 6 ,即 k变成f 。他们给出下列一组密码: etwcvcjw ej ncjw 2
wcabqcv,把它翻译出来就是一句很好的临别赠言。现在就请你把它翻译出来,并简单地
写出翻译过程。 略解:由题意,密码 etwcvcjw对应的英语单词是 interest, ej 对应的英语单词是 is,
8

ncjw 对应的英语单词是 best, wcabqcv对应的英语单词是 teacher.

(9

分) 所以,翻译出来的一句英语是 Interest is best teacher,意思是“兴趣是最好的老 师” 。 (3 分) 12、如果有理数 m 可以表示成 2 x ? 6 xy ? 5 y (其中 x、y 是任意有理数)的形式,我
2 2

们就称 m 为“世博数” 。 ⑴ 个“世博数” a、b 之积也是“世博数”吗?为什么? ⑵ 证明:两个“世博数” a、b ( b ? 0 )之商也是“世博数” 。 略解:? m ? 2 x ? 6 xy ? 5 y = ( x ? 2 y) ? ( x ? y) ,其中 x、y 是有理数,
2 2 2 2

,只须 p ? x ? 2 y, q ? x ? y ?“世博数”m ? p 2 ? q 2 (其中 p、q 是任意有理数) 即可。 (3 分)

?对于任意的两个两个“世博数” a、b ,不妨设 a ? j 2 ? k 2 , b ? r 2 ? s 2 , 其中 j、
k、r、s 为任意给定的有理数,
2 2 2 2

(3 分)
2 2

则 ab ? ( j ? k )( r ? s ) ? ( jr ? ks) ? ( js ? kr) 是“世博数” ; (3 分)

a j 2 ? k 2 ( j 2 ? k 2 )( r 2 ? s 2 ) ( jr ? k s) 2 ? ( js ? k r) 2 ? 2 ? ( 3 分) ? b r ? s2 (r 2 ? s 2 ) 2 (r 2 ? s 2 ) 2
=(

jr ? ks 2 js ? kr 2 。 ) ?( 2 ) 也是“世博数” 2 2 r ?s r ? s2

(3 分)

13、如图,在四边形 ABCD 中,已知△ ABC 、△ BCD 、△ ACD 的面积之比是 3∶1∶4, 点 E 在边 AD 上, CE 交 BD 于 G ,设 ⑴求 7 k ? 20 的值;
3 2

BG DE ? ?k。 GD EA

⑵若点 H 分线段 BE 成

BH ? 2 的两段,且 AH 2 ? BH 2 ? DH 2 ? p 2 ,试用含 p 的代数 HE

式表示△ ABD 三边长的平方和。

9

略 解 : ⑴ 不 妨 设 △ ABC 、 △ BCD 、△ ACD 的面积分别为 3、1、4, ∵

BG DE ? ?k, GD EA

∴△ ABD 的面积是 6,△ BDE 的面积是

6k , k ?1

△ CDG 的面积是

6k 1 4k , △ CDE 的面积为 ,△ DEG 的面积是 。 k ?1 k ?1 (k ? 1) 2 6k 1 4k 2 + = ,即 4k ? 3k ? 1 ? 0 ,∴ k ? 1 (3 分) 2 k ? 1 (k ? 1) k ? 1
(1 分)

(3 分)由此可得:

∴ 7 k ? 20 =3
3 2

⑵由⑴知: E、G 分别为 AD、BD 的中点,又∵点 H 分线段 BE 成

BH ? 2 的两段, HE

∴点 H 是△ ABD 的重心。 (2 分) 而当延长 BE 到 K ,使得 BE ? EK ,连结 AK、DK 后便得到平行四边形 ABDK , 再利用“平行四边形的四边平方和等于两对角线的平方和”就可得:

?2( BD 2 ? AD 2 ) ? AB 2 ? 4 DM 2 2( AB ? BD ) ? AD ? 4 BE ,类似地有 ? , 2 2 2 2 ? 2( AB ? AD ) ? BD ? 4 AG
2 2 2 2

其中点 M 为边 AB 的中点。∴ 3( AB ? BD ? AD ) ? 4( BE ? DM ? AG ) 。
2 2 2 2 2 2

2 2 2 AG, BH ? BE, DH ? DM ,AH 2 ? BH 2 ? DH 2 ? p 2 , 3 3 3 9 2 2 2 2 2 2 2 2 ∴ BE ? DM ? AG ? p ,∴ AB ? BD ? AD ? 3 p 。 (3 分) 4
(3 分) ∵ AH ? 14、

1 ? 1,1 ? 2 ? 5,1 ? 2 ? 3 ? 14,1 ? 2 ? 3 ? 4 ? 30,??? 。 观察下列各个等式:
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

⑴你能从中推导出计算 1 ? 2 ? 3 ? 4 ? ? ? n 的公式吗?请写出你的推导过程;
2 2 2 2 2

10

⑵请你用⑴中推导出的公式来解决下列问题: 已知: 如图, 抛物线 y ? ? x ? 2 x ? 3 与 x 、 y 轴的正半轴分别交于点 A、B , 将线段 OA
2

?、An?1 , n 等分, 分点从左到右依次为 A1、A2、A3、A4、A5、A6、 分别过这 n ? 1 个点作 ?、Bn ?1 ,设△ OBA1 、 x 轴的垂线依次交抛物线于点 B1、B2、B3、B4、B5、B6、
△ A1 B1 A2 、 △ A2 B2 A3 、 △ A3 B3 A4 、 … 、 △ An ?1 Bn ?1 A 的 面 积 依 次 为

S1、S 2、S 3、S 4、 ?、Sn 。
①当 n ? 2010 时,求 S1 ? S2 ? S3 ? S4 ? S5 ? ? ? S2010 的值; ②试探究:当 n 取到无穷无尽时,题中所有三角形的面积和将是什么值?为什么?

略解:⑴∵ n ? (n ? 1) ? 3n ? 3n ? 1,∴当式中的 n 从 1、2、3、…依次取到 n 时,就
3 3 2

可得下列 n 个等式:

(2 分)

13 ? 0 3 ? 3 ? 3 ? 1,2 3 ? 13 ? 3 ? 2 2 ? 3 ? 2 ? 1,33 ? 2 3 ? 3 ? 32 ? 3 ? 3 ? 1,??, n 3 ? (n ? 1) 3 ? 3n 2 ? 3n ? 1,将这 n 个等式的左右两边分别相加得: n 3 ? 3 ? (12 ? 2 2 ? 32 ? ? ? n 2 ) ? 3 ? (1 ? 2 ? 3 ? ? ? n) ? n
(2 分)
11

n 3 ? 3(1 ? 2 ? 3 ? ? ? n) ? n n(n ? 1)( 2n ? 1) 即1 ? 2 ? 3 ? 4 ? ? ? n = 。 (3 分) ? 3 6
2 2 2 2 2

?、An?1 ⑵先求得 A、B 两点的坐标分别为 (3,0)、 ∴点 A1、A2、A3、A4、A5、A6、 (0,3) ,

3 6 9 3(n ? 1) ?、Bn ?1 的纵坐 ,点 B1、B2、B3、B4、B5、B6、 、、、 ?、 n n n n 3 3 6 6 3(n ? 1) 2 3(n ? 1) 标分别为 ? ( ) 2 ? 2( ) ? 3、 ? ( ) 2 ? 2( ) ? 3、 ?、 ?[ ] ? 2? ? 3。 n n n n n n
的横坐标分别为 (3 分)∴

9 9(n 2 ? 2n ? 3) 9(n 2 ? 4n ? 12) 9[n 2 ? 2(n 2 ? n) ? 3(n ? 1) 2 ] S1 ? , S2 ? , S3 ? ,? , S n ? 2n 2n 3 2n 3 2n 3


S1 ? S 2 ? S 3 ? ? ? S n ?

9{n 3 ? 2n(1 ? 2 ? 3 ? ? ? n ? 1) ? 3[12 ? 2 2 ? 32 ? ? ? (n ? 1) 2 ]} 2n 3

n(n ? 1) n(n ? 1)( 2n ? 1) ? 3? 9(2n 2 ? n ? 1) 2 6 = 。 ? 2n 3 4n 2 ∴①当 n ? 2010 时, 9[n 3 ? 2n ?

(3 分)

9(2 ? 20102 ? 2009) 72739881 S1 ? S 2 ? S 3 ? S 4 ? S 5 ? ? ? S 2008 = ? ; 16160400 4 ? 20102
②∵ S1 ? S 2 ? S 3 ? ? ? S n ?

9(2n 2 ? n ? 1) 9 9 9 ? ? ? 2 2 2 4n 4n 4n

∴当 n 取到无穷无尽时,上式的值等于

9 9 ,即所有三角形的面积和等于 。 (3 分) 2 2

15、 有如图所示的五种塑料薄板(厚度不计) :①两直角边分别为 3、4 的直角三角形 ABC ; ②腰长为 4、顶角为 36? 的等腰三角形 JKL ; ③腰长为 5、顶角为 120 ? 的等腰三角形 OMN ; ④两对角线和一边长都是 4 且另三边长相等的凸四边形 PQRS ; ⑤长为 4 且宽(小于长)与长的比是黄金分割比的黄金矩形 WXYZ 。 它们都不能折叠,现在将它们一一穿过一个内、外直径分别为 2.4、2.7 的铁圆环。 我们规定:如果塑料板能穿过铁环内圈,则称为此板“可操作” ;否则,便称为“不可操
12

作” 。 ⑴证明:第④种塑料板“可操作” ; ⑵求:从这五种塑料板中任意取两种至少有一种“不可操作”的概率。

略解:⑴由题意可知四边形 PQRS 必然是等腰梯形, (2 分)不妨设

QS ? PR ? QR ? 4, PQ ? PS ? RS = x ,分别过点 S、Q 作 QR、RS 的垂线,垂足为

RI RS ,即 ? I、F ,则由△ QRF ∽△ RSI 得到 RF QR

4? x 2 ? x ,解得 x ? 2 5 ? 2 。 x 4 2

∴ SI ?

RS 2 ? IR 2 ? x 2 ? (

4? x 2 ) ? 10 ? 2 5 <2.4, 2

∴第④种塑料板“可操作” 。 (5 分) ⑵如上图所示, 分别作直角三角形 ABC 斜边 BC 上的高 AH 、 等腰三角形 JKL 的腰 JL 上 的高 KE 、等腰三角形 OMN 底边上的高 MG ,易求得: AH =2.4, MG =2.5. (2 分) 又由⑴可得等腰梯形 PQRS 的锐角底角是 72? ,△ JKL ≌△ PQR ,∴ KE = SI . 而黄金矩形 WXYZ 的宽等于 4 ?

5 ?1 ? 2 5 ? 2 >2.4, (4 分) 2

∴第①②④三种塑料板“可操作” ;而第③⑤两种塑料板“不可操作” 。 ∴从这五种塑料板中任意取两种至少有一种“不可操作”的概率 P ?

7 。 (3 分) 10

16、定义:和三角形一边和另两边的延长线同时相切的圆叫做三角形这边上的旁切圆。
13

如图所示,已知:⊙ I 是△ ABC 的 BC 边上的旁切圆, E、F 分别是切点, AD ? IC 于 点D。 ⑴试探究: D、E、F 三点是否同在一条直线上?证明你的结论。 ⑵设 AB ? AC ? 5, BC ? 6, 如果△ DIE 和△ AEF 的面积之比等于 m , 出分别以

DE ? n ,试作 EF

m n 、 为两根且二次项系数为 6 的一个一元二次方程。 n m

略解:⑴结论: D、E、F 三点是同在一条直线上。 (1 分) 证明:分别延长 AD、BC 交于点 K ,由旁切圆的定义及题中已知条件得: (3 分) AD ? DK , AC ? CK ,再由切线长定理得: AC ? CE ? AF , BE ? BF , ∴ KE ? AF 。∴ 线。

KD AF BE ? ? ? 1 ,由梅涅劳斯定理的逆定理可证 D、E、F 三点共 DA FB EK

(3 分)

⑵∵ AB ? AC ? 5, BC ? 6, ∴ A、E、I 三点共线, CE ? BE ? 3, AE ? 4 ,连结 IF , 则△ ABE ∽△ AIF ,△ ADI ∽△ CEI , A、F、I、D 四点共圆。 (2 分) 设⊙ I 的半径为 r ,则:

3 4 AD 3 ? , r ? 6, ∴ AI ? 10, ? , 即 AD ? 2 5 , ID ? 4 5 , r 8 ID 6
4 5 2 5 DE 4 5 5 ) ? , ? ? , DE ? 2 5 , 8 4 AE 8 2

∴ 由 △ AEF ∽ △ DEI 得 : m ? (

IE 5 12 5 ? , EF ? 5 ,∴ n ? 。 (4 分) EF 2 5 6
14

? m n 13 ? ? ? 6 m n ∴? n m ,因此,由韦达定理可知:分别以 、 为两根且二次项系数为 6 的一 m n n m ? ? ?1 ? n m
个一元二次方程是 6 x ? 13 x ? 6 ? 0 。
2

(3 分)

15


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