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北京市西城区2016届高三二模考试文科数学试题含答案


北京市西城区 2016 年高三二模试卷



学(文科)
共 40 分)

2016.5

第Ⅰ卷(选择题

一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分.在每小题列出的四个选项中,选出符合题目 要求的一项. 1. 设全集 U ? R ,集合 A ? {

x | x ? 0} , B ? {x | x ? 1} ,则集合 (? U A) ? B ? ( (A) ( ??, 0) (C) (1, ??) (B) ( ??, 0] (D) [1, ??) )
?x



2. 下列函数中,既是奇函数又在 R 上单调递减的是( (A) y ?

1 x
3

(B) y ? e

(C) y ? ? x

(D) y ? ln x

? y≤2 x, ? 3. 设 x , y 满足约束条件 ? x ? y≤1, 则 z ? x ? 3 y 的最大值是( ? y ? 1≥0, ?
(A)



4 3 1 3

(B)

7 3

(C) ?

(D)1

4.执行如图所示的程序框图,如果输出的 S ? (A) i ? 3 (B) i ? 4 (C) i ? 5 (D) i ? 6

1 ,那么判断框内应填入的条件是( 15
开始
i ? 2, S ? 1
S ? S? i ?1 i ?1



i ? i ?1

是 否 输出 S 结束

1 c ? 4, a ? 3, 5. 在 ? ABC 中, B, C 所对的边分别为 a, b, c. 若 sin( A ? B ) ? , 角 A, 则 sin A ? ( 3
(A) (C)



2 3 3 4

(B) (D)

1 4 1 6

6. “ m > n > 0 ”是“曲线 mx2 + ny 2 = 1为焦点在 x 轴上的椭圆”的( (A)充分而不必要条件 (C)充分必要条件 (B)必要而不充分条件



(D)既不充分也不必要条件

ì 0<x≤A, ? C, 7.某市家庭煤气的使用量 x(m3)和煤气费 f ( x) (元) 满足关系 f ( x) = ? í ? ? ? C + B( x - A), x > A.
家庭今年前三个月的煤气费如下表: 月份 一月份 二月份 三月份 用气量 4 m3 25 m3 35 m3 煤气费 4 元 14 元 19 元 )

已知某

若四月份该家庭使用了 20 m3 的煤气,则其煤气费为( (A)11.5 元 (C)10.5 元 (B)11 元 (D)10 元

8. 设直线 l : 3x + 4 y + a = 0 ,圆 C: (x - 2)2 + y 2 = 2 ,若在直线 l 上存在一点 M,使得过 M 的圆 C 的 切线 MP , MQ ( P, Q 为切点)满足 ? PMQ (A) [- 18, 6] (C) [- 16, 4]
90o ,则 a 的取值范围是(



(B) [6 - 5 2,6 + 5 2] (D) [- 6 - 5 2, - 6 + 5 2]

第Ⅱ卷(非选择题

共 110 分)

二、填空题:本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分. 9. 已知复数 z ? (2 ? i)(1 ? i) ,则在复平面内,z 对应点的坐标为_____. 10. 设平面向量 a , b 满足 | a |?| b |? 2 , a ? (a ? b) ? 7 ,则向量 a , b 夹角的余弦值为_____. 11. 某四棱锥的三视图如图所示,该四棱锥最长棱的棱长为_____.

2 2 正(主)视图 1 1 侧(左)视图

俯视图

12.设双曲线 C 的焦点在 x 轴上,渐近线方程为 y ? ? 则双曲线 C 的方程为____.

2 x ,则其离心率为____;若点 (4, 2) 在 C 上, 2

? 2? x , x ? 1, 1 13. 设函数 f ( x) ? ? 那么 f [ f ( ? )] ? ____; 若函数 y ? f ( x) ? k 有且只有两个零点, 则 2 ?log 2 x, x ≥1,
实数 k 的取值范围是_____. 14. 在某中学的“校园微电影节”活动中,学校将从微电影的“点播量”和“专家评分”两个角度 来进行评优. 若 A 电影的“点播量”和“专家评分”中至少有一项高于 B 电影,则称 A 电影不 亚于 B 电影. 已知共有 5 部微电影参展,如果某部电影不亚于其他 4 部,就称此部电影为优秀 影片. 那么在这 5 部微电影中,最多可能有____部优秀影片.

三、解答题:本大题共 6 小题,共 80 分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤. 15.(本小题满分 13 分) 已知函数 f ( x) ? (1 ? 3 tan x)cos 2 x . (Ⅰ)求函数 f ( x) 的定义域和最小正周期;

π (Ⅱ)当 x ? (0, ) 时,求函数 f ( x) 的值域. 2

16.(本小题满分 13 分) 已知数列 {an } 的前 n 项和 Sn 满足 4an ? 3Sn ? 2 ,其中 n ? N? . (Ⅰ)求证:数列 {an } 为等比数列; (Ⅱ)设 bn ? an ? 4n ,求数列 {bn } 的前 n 项和 Tn .
1 2

17.(本小题满分 14 分) 如图, 在周长为 8 的矩形 ABCD 中,E , F 分别为 BC , DA 的中点. 将矩形 ABCD 沿着线段 EF 折 起,使得 ?DFA ? 60 . 设 G 为 AF 上一点,且满足 CF // 平面 BDG .
?

(Ⅰ)求证: EF ? DG ; (Ⅱ)求证: G 为线段 AF 的中点; (Ⅲ)求线段 CG 长度的最小值.

D C F

C D C F A G B C E

E

?

A

B

18.(本小题满分 13 分)

某中学有初中学生 1800 人,高中学生 1200 人. 为了解学生本学期课外阅读时间,现采用分层 抽样的方法,从中抽取了 100 名学生,先统计了他们课外阅读时间,然后按“初中学生”和“高中学
[0,10) , [10, 20) , [20,30) , [30, 40) , 生”分为两组, 再将每组学生的阅读时间 (单位: 小时) 分为 5 组: [40,50] ,并分别加以统计,得到如图所示的频率分布直方图.
频率 组距
频率 组距

0.040 a 0.020 0.035 0.030 0.025

0.005

0.005
时间(小时)

(Ⅰ)写出 a 的值;

O 10 20 30 40 50 初中生组

O 10 20 30 40 50 高中生组

时间(小时)

(Ⅱ)试估计该校所有学生中,阅读时间不小于 30 个小时的学生人数; (Ⅲ)从阅读时间不足 10 个小时的样本学生中随机抽取 2 人,求至少抽到 1 名高中生的概率.

19.(本小题满分 13 分) 已知函数 f ( x) ?
x?a . ( x ? a)2

(Ⅰ)若 f ?(a) ? 1 ,求 a 的值; (Ⅱ)设 a≤0 ,若对于定义域内的任意 x1 ,总存在 x 2 使得 f ( x2 ) ? f ( x1 ) ,求 a 的取值范围.

20.(本小题满分 14 分) 已知抛物线 C : x ? 4 y ,过点 P(0, m)(m ? 0) 的动直线 l 与 C 相交于 A, B 两点,抛物线 C 在点 A 和点 B 处的切线相交于点 Q,直线 AQ, BQ 与 x 轴分别相交于点 E , F . (Ⅰ)写出抛物线 C 的焦点坐标和准线方程; (Ⅱ)求证:点 Q 在直线 y ??m 上; (Ⅲ)判断是否存在点 P,使得四边形 PEQF 为矩形?若存在,求出点 P 的坐标;若不存在, 说明理由.
2

北京市西城区 2016 年高三二模试卷参考答案及评分标准

高三数学(文科)
一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分. 1.B 5.B 2.C 6.D 3.B 7.A 4.C 8.C

2016.5

二、填空题:本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分. 9. (3,1) 11.3 13. 10. 12.

3 4
6 2

x2 y 2 ? ?1 8 4

1 2

1 ( , ??) 2

14.5

注:第 12,13 题第一问 2 分,第二问 3 分. 三、解答题:本大题共 6 小题,共 80 分. 其他正确解答过程,请参照评分标准给分. 15.(本小题满分 13 分)
π (Ⅰ)解:函数 f ( x) 的定义域为 {x | x ? R ,且 x ? kπ ? , k ? Z} . 2

?????? 2 分

又因为 f ( x) ? (1 ? 3 tan x)cos2 x

? (1 ? 3

sin x ) cos 2 x cos x

?????? 3 分

? cos2 x ? 3 sin x cos x

?

1 ? cos 2 x 3 ? sin 2 x 2 2

?????? 7 分 ?????? 9 分

π 1 ? sin(2 x ? ) ? , 6 2
所以 f ( x) 的最小正周期为 T ?

2π ? π .(验证知其定义域与之相符) ????? 10 分 2

π π π 7π (Ⅱ)解:由 x ? (0, ) ,得 ? 2 x ? ? , 6 6 6 2 1 π 所以 ? ? sin(2 x ? )≤1 , 2 6 π 3 所以当 x ? (0, ) 时, f ( x) ? (0, ] , 2 2
π 3 即函数 f ( x) 在区间 (0, ) 的值域为 (0, ] . 2 2

?????? 11 分

?????? 13 分

16.(本小题满分 13 分) (Ⅰ)证明:因为 4an ? 3Sn ? 2 , 所以当 n ? 1 时, 4a1 ? 3S1 ? 2 ,解得 a1 ? 2 ; 当 n ≥ 2 时, 4an?1 ? 3Sn?1 ? 2 , 1 —○ 2 ,得 4an ? 4an?1 ? 3(Sn ? Sn?1 ) ? 0 , 由○ 所以 an ? 4an?1 , 由 a1 ? 2 ,得 an ? 0 , 所以 2 ○ 1 ○ ??????? 2 分 ???????3 分

an ? 4 ,其中 n ≥ 2 . an ?1
???????6 分 ??????? 8 分

故 {an } 是首项为 2,公比为 4 的等比数列.
n ?1 (Ⅱ)解:由(Ⅰ),得 an ? 2 ? 4 .

所以 bn ?

1 an ? 4n ? 4n ?1 ? 4n . 2

0 1 n?1 则 {bn } 的前 n 项和 Tn ? (4 ? 4) ? (4 ? 8) ? ?? (4 ? 4n)

? (40 ? 41 ? ? ? 4n?1 ) ? (4 ? 8 ? ? ? 4n)
? 1 ? 4n n(4 ? 4n) ? 1? 4 2

?????? 10 分

?

4n ? 1 ? 2n 2 ? 2n . 3

??????13 分

17.(本小题满分 14 分) (Ⅰ)证明:因为在折起前的矩形 ABCD 中, E , F 分别为 BC , DA 的中点, 所以 EF ? FD , EF ? FA , 又因为 FD ? FA ? F , 所以 EF ? 平面 DFA . 又因为 DG ? 平面 DFA , 所以 EF ? DG . ??????4 分 ??????2 分

(Ⅱ)证明:因为在折起前的矩形 ABCD 中, E , F 分别为 BC , DA 的中点, 所以在立体图中, AB //EF //CD . 即在立体图中,四边形 ABCD 为平行四边形.

连接 AC ,设 AC ? BD ? O ,则 AO ? CO .

??????6 分

又因为 CF // 平面 BDG , CF ? 平面 ACF ,平面 ACF ? 平面 BDG ? OG , 所以 CF //OG , 所以在 ?ACF 中, OG 为中位线, 即 G 为线段 AF 的中点. (Ⅲ)解:因为 G 为线段 AF 的中点, ?DFA ? 60? 所以 ?DFA 为等边三角形,且 DG ? FA , 又因为 EF ? DG , EF ? FA ? F , 所以 DG ? 平面 ABEF . 设 BE 的中点为 H ,连接 GH , CH , 易得四边形 DGHC 为平行四边形, 所以 CH ? 平面 ABEF , 所以 CG 2 ? GH 2 ? CH 2 . 设 DF ? x ,由题意得 CH ? DG ? ??????11 分 A D C G F O B H ??????9 分 C C E

3 x , GH ? CD ? 4 ? 2 x , 2
??????13 分

所以 CG 2 ? (4 ? 2 x)2 ? ( 所以当 x ?

3 2 19 2 x) ? x ? 16 x ? 16 , 2 4

32 48 时, CG 2 min ? . 19 19

所以线段 CG 长度的最小值为

4 57 . 19

??????14 分

18.(本小题满分 13 分) (Ⅰ)解: a ? 0.03 . (Ⅱ)解:由分层抽样,知抽取的初中生有 60 名,高中生有 40 名. ??????3 分 ??????4 分

因为初中生中,阅读时间不小于 30 个小时的学生频率为 (0.02 ? 0.005) ?10 ? 0.25 , 所以所有的初中生中,阅读时间不小于 30 个小时的学生约有 0.25 ?1800 ? 450 人, ??????6 分 同理,高中生中,阅读时间不小于 30 个小时的学生频率为 (0.03 ? 0.005) ?10 ? 0.35 ,学生人 数约有 0.35 ?1200 ? 420 人.

所以该校所有学生中,阅读时间不小于 30 个小时的学生人数约有 450 ? 420 ? 870 人. ??????8 分 (Ⅲ)解:记“从阅读时间不足 10 个小时的样本学生中随机抽取 2 人,至少抽到 1 名高中生”为事 件A, ??????9 分

初中生中,阅读时间不足 10 个小时的学生频率为 0.005 ?10 ? 0.05 ,样本人数为 0.05 ? 60 ? 3 人. 高中生中,阅读时间不足 10 个小时的学生频率为 0.005 ?10 ? 0.05 ,样本人数为 0.05 ? 40 ? 2 人. 记这 3 名初中生为 A1 , A2 , A3 ,这 2 名高中生为 B1, B2 , ??????10 分

( A1, A2 ) , 则从阅读时间不足 10 个小时的样本学生中随机抽取 2 人, 所有可能结果有 10 种, 即: ( A1, A3 ) , ( A1 , B1 ) , ( A1, B2 ) , ( A2 , A3 ) , ( A2 , B1 ) , ( A2 , B2 ) , ( A3 , B1 ) , ( A3 , B2 ) , ( B1, B2 ) , ( A1, B2 ) , ( A2 , B1 ) , ( A2 , B2 ) , ( A3 , B1 ) , ( A3 , B2 ) , ( B1, B2 ) , 而事件 A 的结果有 7 种, 它们是 ( A1 , B1 ) ,
所以 P ( A) ?

7 . 10

??????13 分

19.(本小题满分 13 分)
(Ⅰ)证明:函数 y ? f ( x) 的定义域 D ? {x | x ? R且x ? ?a} , 由题意, f ?(a ) 有意义,所以 a ? 0 . 求导,得 f ?( x) ? 所以 f ?(a) ?

( x ? a)2 ? ( x ? a) ? 2( x ? a) ( x ? a) ? ( x ? 3a) ?? . 4 ( x ? a) ( x ? a) 4

??????3 分

4a 2 1 ? 2 ? 1, 4 16a 4a
??????5 分

解得 a ? ? .

1 2

(Ⅱ)解: “对于定义域内的任意 x1 ,总存在 x 2 使得 f ( x2 ) ? f ( x1 ) ”等价于“ f ( x) 不存在最小 值”. ① 当 a ? 0 时, 由 f ( x) ? ??????6 分

1 ,得 f ( x) 无最小值,符合题意. x

??????8 分

② 当 a ? 0 时,

令 f ?( x) ? ?

( x ? a) ? ( x ? 3a) ? 0 ,得 x ? ?a 或 x ? 3a . ( x ? a)4

??????9 分

随着 x 的变化时, f ?( x ) 与 f ( x) 的变化情况如下表:

x

(??,3a)

3a

(3a, ?a)

?a

(?a, ??)

f ?( x )
f ( x)

?


0 极小

?


不存在 不存在

?


??????11 分 所以函数 f ( x) 的单调递减区间为 (??,3a) , (?a, ??) ,单调递增区间为 (3a, ?a) . 因为当 x ? a 时, f ( x) ? 所以 f ( x)min ? f (3a) . 所以当 x1 ? 3a 时,不存在 x 2 使得 f ( x2 ) ? f ( x1 ) . 综上所述,a 的取值范围为 a ? {0} . ??????13 分
x?a ? 0 ,当 x ? a 时, f ( x) ? 0 , ( x ? a)2

20.(本小题满分 14 分) (Ⅰ)解:焦点坐标为 (0,1) ,准线方程为 y ? ?1 . (Ⅱ)证明:由题意,知直线 l 的斜率存在,故设 l 的方程为 y ? kx ? m . 由方程组 ? ??????2 分

? y ? kx ? m,
2 ? x ? 4 y,

得 x 2 ? 4kx ? 4m ? 0 ,

由题意,得 ? ? 16k 2 ? 16m ? 0 . 设 A( x1 , y1 ) , B( x2 , y2 ) ,则 x1 ? x2 ? 4k , x1 x2 ? ?4m , 由抛物线方程 x ? 4 y ,得 y ?
2

??????4 分

1 1 2 x ,所以 y ? ? x , 2 4

所以抛物线在点 A 处的切线方程为 y ? 化简,得 y ?

1 2 1 x1 ? x1 ( x ? x1 ) , 4 2
1 ○ 2 ○ ??????6 分

1 1 2 x1 x ? x1 , 2 4

1 1 2 x2 x ? x2 . 2 4 1 1 1 1 联立方程○ 1 ○ 2 ,得 x1 x ? x1 2 ? x 2 x ? x 2 2 , 2 4 2 4 1 1 即 ( x1 ? x 2 ) x ? ( x1 ? x 2 )( x1 ? x 2 ) , 2 4
同理,抛物线在点 B 处的切线方程为 y ?

因为 x1 ? x 2 ,所以 x ?

1 ( x1 ? x 2 ) , 2

1 1 ,得 y ? x1 x2 ? ?m , 代入○ 4

所以点 Q(

x1 ? x2 , ?m) ,即 Q(2k , ?m) . 2

所以点 Q 在直线 y ? ?m 上. (Ⅲ)解:假设存在点 P,使得四边形 PEQF 为矩形, 由四边形 PEQF 为矩形,得 EQ ? FQ ,即 AQ ? BQ ,

??????8 分

1 1 x1 ? x 2 ? ?1 . 2 2 1 1 由(Ⅱ),得 x1 x 2 ? (?4m) ? ?1 , 4 4
所以 k AQ ? k BQ ? ?1,即 解得 m ? 1 . 所以 P(0,1) . 以下只要验证此时的四边形 PEQF 为平行四边形即可.
1 1 中,令 y ? 0 ,得 E ( x1 ,0) . 在○ 2

??????10 分

1 同理得 F ( x 2 ,0) . 2
所以直线 EP 的斜率为 k EP ? 1 ? 0

直线 FQ 的斜率 k FQ

1 x1 2 0 ? (?1) ?2 , ? ? x1 ? x 2 1 x1 x2 ? 2 2 0?

?

?2 , x1

??????12 分

所以 k EP ? k FQ ,即 EP // FQ . 同理 PF // EQ . 所以四边形 PEQF 为平行四边形. 综上所述,存在点 P(0,1) ,使得四边形 PEQF 为矩形. ??????14 分


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