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【赢在高考】2014届高考数学第一轮复习配套课件:7.3 简单的线性规划问题


第3讲

简单的线性规划问题

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考 纲 展 示
1. 会 从 实 际 情 境 中 抽 象 出二元一次不等式组. 2. 了 解 二 元 一 次 不 等 式 的几何意义, 能用平面区 域表示二元一次不等式 组. 3. 会 从 实 际 情 境 中 抽 象 出一些简单的二元线性 规

划问题, 并能加以解决.

考 纲 解 读
1.求二元一次不等式(组)表示的平面区 域的面积、求目标函数的最值及简单的 线性规划实际应用问题是命题的热点. 2.题型多为选择、填空题, 着重考查平面 区域的画法及目标函数最值问题, 注重 考查等价转化、数形结合思想.

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1.二元一次不等式表示的平面区域 ( 一般地, 1) 二元一次不等式 Ax+By+C>0 在平面直角坐标系中 表示直线 Ax+By+C=0 某一侧所有点组成的平面区域.我们把直线 画成虚线以表示区域不包括边界直线.当我们在坐标系中画不等式 Ax+By+C≥0 所表示的平面区域时, 此区域应包括边界直线, 则把边 界直线画成实线. ( 由于对直线 Ax+By+C=0 同一侧的所有点( y)把它的坐标 2) x, , ( y) x, 代入 Ax+By+C 所得到实数的符号都相同, 所以只需在此直线的 某一侧取一个特殊点( 0, 0)由 Ax0+By0+C 的符号即可判断 x y , Ax+By+C>0 表示直线 Ax+By+C=0 哪一侧的平面区域.

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确定二元一次不等式表示的平面区域时, 经常采用 “直线定界, 特殊点定域”的方法. (1)直线定界, 即若不等式不含等号, 则应把直线画成虚线; 若不 等式含有等号, 把直线画成实线. (2)特殊点定域, 即在直线 Ax+By+C=0 的某一侧取一个特殊点 (x0, 0)作为测试点代入不等式检验, y 若满足不等式, 则表示的就是包 括该点的这一侧, 否则就表示直线的另一侧.特别地, C≠0 时, 当 常把 原点作为测试点, C=0 时, 当 常选点( 0)或者(0, 1, 1)作为测试点.

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2.线性规划相关概念 名称 意义 约束条件 由变量 x, 组成的一次不等式 y 线性约束条 由 x, 的一次不等式( y 或方程) 组成的不等式组 件 欲求最大值或最小值的函数 目标函数 线性目标函 数 可行解 可行域 最优解 线性规划问 题 关于 x, 的一次解析式 y 满足线性约束条件的解 所有可行解组成的集合 使目标函数取得最大值或最小值的可行解 在线性约束条件下求线性目标函数的最大值或最小 值问题
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3.利用线性规划求最值, 一般用图解法求解, 其步骤是: ( 在平面直角坐标系内作出可行域. 1) ( 考虑目标函数的几何意义, 2) 将目标函数进行变形. ( 确定最优解: 3) 在可行域内平行移动目标函数变形后的直线, 从 而确定最优解. ( 求最值: 4) 将最优解代入目标函数即可求出最大值或最小值.

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1.不等式 x+3y-1<0 表示的平面区域在直线 x+3y-1=0 的( ) A.右上方 B.右下方 C.左下方 D.左上方 【答案】 C 【解析】 取点( 0) 把它的坐标代入 x+3y-1 得-1<0. 0, , 又∵ 直线的斜率 k<0, ∴ 不等式 x+3y-1<0 表示的平面区域在直线 x+3y-1=0 的左下方.

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+ -1 < 0, 2.下面给出的四个点中, 位于 表示的平面区域内的点是 - + 1 > 0 ( ) A.( 2) 0, B.( 0) -2, C.( -2) 0, D.( 0) 2, 【答案】 C + -1 < 0, 【解析】 所表示的平面区域, 如图所示. - + 1 > 0

由图可知点( -2) 0, 在此平面区域内.
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3.如图所示的平面区域( 阴影部分)用不等式表示为( ,

)

A.2x-y-3<0 B.2x-y-3>0 C.2x-y-3≤0 D.2x-y-3≥0 【答案】 B 【解析】 将原点( 0) 0, 代入 2x-y-3 得 2×0-0-3=-3<0, 所以不等式为 2x-y-3>0.

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--2 ≤ 0, 4.设实数 x, 满足 + 2-4 ≥ 0,则的最大值是 y 2-3 ≤ 0, 【答案】 2
3

.

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--2 ≤ 0, 【解析】 画出 + 2-4 ≥ 0,的可行域如图. 2-3 ≤ 0



+ 2-4 = 0, 3 得交点 P 1, 2 . 2-3 = 0,
3

2-0 ∴ 的最大值为 1-0

= .

3 2

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T 题型一不等式(组)所表示的平面区域
- + 5 ≥ 0, 例 1 画出不等式组 + ≥ 0, 表示的平面区域, 并回 ≤ 3 答下列问题: ( 指出 x, 的取值范围; 1) y ( 平面区域内有多少个整点? 2) ( 不等式组表示的平面区域是各个不等式所表示的 1) 平面点集的交集, 因而是各个不等式所表示的平面区域的公共部分, 但要注意是否包含边界. ( 整点是指横坐标、纵坐标均为整数的点. 2)

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【解】 ( 不等式 x-y+5≥0 表示直线 x-y+5=0 上及右下方的点 1) 的集合.x+y≥0 表示直线 x+y=0 上及右上方的点的集合, 表示直 x≤3 线 x=3 上及左方的点的集合. - + 5 ≥ 0, 所以, 不等式组 + ≥ 0, 表示的平面区域如图所示. ≤ 3

结合图中可行域得 x∈ - ,3 , -3, . y∈[ 8]

5 2

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( 由图形及不等式组知 2)

- ≤ ≤ + 5, -2 ≤ ≤ 3,且∈Z.

当 x=3 时, -3≤y≤8, 12 个整点; 有 当 x=2 时, -2≤y≤7, 10 个整点; 有 当 x=1 时, -1≤y≤6, 8 个整点; 有 当 x=0 时, 0≤y≤5, 6 个整点; 有 当 x=-1 时, 1≤y≤4, 4 个整点; 有 当 x=-2 时, 2≤y≤3, 2 个整点. 有 故平面区域内的整点共有 2+4+6+8+10+12=42( . 个)

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本题主要考查不等式表示的平面区域及不等式的应用等基础 知识, 考查了数形结合的方法和逻辑推理能力. 在封闭区域内找整点数目时, 若数目较小时, 可画网格逐一数出; 若数目较大, 则可分 x=m 逐条分段统计.

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- + 6 ≥ 0, 1.求不等式 + ≥ 0, 表示的平面区域的面积. ≤ 3 【解】 不等式 x-y+6≥0 表示直线 x-y+6=0 上及其右下方的点 的集合, x+y≥0 表示直线 x+y=0 上及其右上方的点的集合.x≤3 表示 - + 6 ≥ 0, 直线 x=3 上及其左方的点的集合, 所以不等式组 + ≥ 0, 表示 ≤ 3 的平面区域如图所示.

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因此其区域面积也就是△ABC 的面积. 显然, △ABC 为等腰直角三角形, ∠A=90°AB=AC, 点坐标为 , B ( -3) 3, . 由点到直线的距离公式
|3×1+(-3)×(-1)+6| 2 1 12 12 ∴ △ABC= × × =36. S 2 2 2

|AB|=

=

12 2

.

- + 6 ≥ 0, 故不等式组 + ≥ 0, 表示的平面区域的面积等于 36. ≤ 3

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T 题型二简单的线性规划
- ≤ 10, 例 2 设变量 x, 满足 0 ≤ + ≤ 20,则 2x+3y 的最大值 y 0 ≤ ≤ 15, 为( ) A.20 B.35 【答案】 D C.45 D.55

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【解析】 不等式组表示的平面区域如图所示, 则 2x+3y 在 A( 15) 5, 处取得最大值, 故选 D.

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(1)线性目标函数的最大(小)值一般在可行域的顶点处 取得, 也可能在边界处取得. (2)求线性目标函数的最优解, 要注意分析线性目标函数所表示 的几何意义——在 y 轴上的截距或其相反数.

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2 + -2 ≥ 0, 2.(2012·天津卷, 设变量 x, 满足约束条件 -2 + 4 ≥ 0,则 2) y -1 ≤ 0, 目标函数 z=3x-2y 的最小值为( ) A.-5 B.-4 C.-2 D.3 【答案】 B

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【解析】 由约束条件可得可行域:

对于目标函数 z=3x-2y, 可化为 y= x- z, 要使 z 取最小值, 可知过 A 点时取得. 2 + -2 = 0, = 0, 由 得 即 A( 2) 0, , = 2, -2 + 4 = 0 ∴ z=3×0-2×2=-4.
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3 1 2 2

T 题型三线性规划问题的拓展应用
- + 2 ≥ 0, 例 3 已知 + -4 ≥ 0,求: 2--5 ≤ 0, ( z=x+2y-4 的最大值; 1) ( z=x2+y2-10y+25 的最小值; 2)
2+1 ( z= +1 的范围. 3)

( z=x+2y-4 表示直线的纵截距问 1) 题; 2) 2+y2-10y+25 表示距离的平方问题; 3) +1 表示两点连线 ( z=x ( z= 的斜率问题.
2+1

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【解】 作出可行域如图, 并求出顶点的坐标 A( 3) B( 1) C( 9) 1, , 3, , 7, .

( 易知可行域内各点均在直线 x+2y-4=0 的上方, x+2y-4>0, 1) 故 将 C( 9) 7, 代入 z=x+2y-4 得 z 的最大值为 21. ( z=x2+( 2 表示可行域内任一点( y) 2) y-5) x, 到定点 M( 5) 0, 的距离的 平方, M 作直线 AC 的垂线, 过 易知垂足 N 在线段 AC 上, 故 z 的最小值是|MN|2= .
9 2

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- -2 ( z=2· 3) 表示可行域内任一点( y) x, 与定点 Q -(-1)

1

-1,- 2 连线

1

的斜率的两倍, 因为 kQA=4, QB=8, z 的范围为 4 , 2 . k 故 线性规划求最值问题, 要充分理解目标函数的几何意义, 例如直线的截距、两点间的距离( 或平方)、点到直线的距离、过已 知两点的直线斜率等.
7 3 3 7

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3.(2012·江苏卷, 14)已知正数 a, c 满足: b, 5c-3a≤b≤4c-a, cln b≥a+cln
c, 的取值范围是 则

.
b≥ +ln
b≥c·e , 所以, 原问

【答案】 [ 7] e,

【解析】 由 cln b≥a+cln c, ln 得 c, 即 + 3 ≥ 5, 题可化为满足约束条件 + ≤ 4, 的线性规划问题, 如图所示, 可 ≥ ·e 行域为阴影部分.

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故可求得 A 2 , 2 .目标函数可视为可行域内的点与原点连线 的斜率.下面求曲线 b=c·e 过原点的切线, b'=e , 设切点为( 0, 0) 则 a b , 0 = c, = = 0 = e.将 a0=c 代入两条直线 0 b+a=4c, b+3a=5c, 可知切点在点 B, 之间. C
有 0 0
0 e , 可得

7



0 ·e

所以目标函数线过 A 点取得最大值, = 2 max 2 e 取得最小值 = =e, 的取值范围为[ 7] 故 e, . min

7

=7, 过切点( ec) c,

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T 题型四线性规划的实际应用问题
例 4 某农户计划种植黄瓜和韭菜, 种植面积不超过 50 亩, 投入资金不超过 54 万元, 假设种植黄瓜和韭菜的产量、成本和售价 如下表:
年产量/亩 年种植成本/亩 每吨售价 黄瓜 4 吨 1.2 万元 0.55 万元 韭菜 6 吨 0.9 万元 0.3 万元 为使一年的种植总利润( 总利润=总销售收入-总种植成本) 最大, 那 么黄瓜和韭菜的种植面积( 单位: 分别为( 亩) ) A.50, 0 B.30, 20 C.20, 30 D.0, 50 【答案】 B

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【解析】 设黄瓜和韭菜的种植面积分别为 x 亩、y 亩, 总利润 为 z 万元, 则 z 关于 x, 的关系式为 z=4x×0.55-1.2x+6y×0.3-0.9y=x+0.9y, y ≥ 0, ≥ 0, 且 x, 满足约束条件为 y + ≤ 50, 1.2 + 0.9 ≤ 54. 画可行域, 如图所示:

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设 l0: y=- x, l0 上下平移可知, 将 当直线 z=x+0.9y 过点 A( 20) 注: 30, ( 可联立方程组 + -50 = 0, 解得点 A 的坐标) z 取最大值, 时, 因此当总利润 z 1.2 + 0.9-54 = 0, 最大时, x=30, y=20, 即黄瓜的种植面积为 30 亩, 韭菜的种植面积为 20 亩.

10 9

解线性规划应用问题的一般步骤是: 分析题意, (1) 设出未知 量; (2)列出线性约束条件和目标函数; 作出可行域并利用数形结合 (3) 求解; 作答. (4)

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4.(2013 届·浙江温州模拟) 某加工厂用某原料由甲车间加工出 A 产品, 由乙车间加工出 B 产品.甲车间加工一箱原料需耗费工时 10 小时, 可加工出 7 千克 A 产品, 每千克 A 产品获利 40 元.乙车间加工 一箱原料需耗费工时 6 小时, 可加工出 4 千克 B 产品, 每千克 B 产品 获利 50 元.甲、乙两车间每天共能完成至多 70 箱原料的加工, 每天 甲、 乙两车间耗费工时总和不得超过 480 小时, 甲、 乙两车间每天总 获利最大的生产计划为( ) A.甲车间加工原料 10 箱, 乙车间加工原料 60 箱 B.甲车间加工原料 15 箱, 乙车间加工原料 55 箱 C.甲车间加工原料 18 箱, 乙车间加工原料 50 箱 D.甲车间加工原料 40 箱, 乙车间加工原料 30 箱 【答案】 B
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【解析】 设甲车间加工原料 x 箱, 乙车间加工原料 y 箱, + ≤ 70, 根据题意, 得约束条件 10 + 6 ≤ 480,画出可行域如图. ≥ 0, ≥ 0,

7 目标函数 z=280x+200y, y=- x+ . 即 5 200 7 作直线 y=-5x 平移, 得最优解 A( 55) 15, .

所以当 x=15, y=55 时, 取最大值. z
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1.如图, 表示图中阴影部分的二元一次不等式组是( ≥ -1 A. 2- + 2 ≥ 0 ≥ -1 B. 2- + 2 ≤ 0 ≤ 0 ≥ -1 C. 2- + 2 ≥ 0 ≤ 0 ≥ -1 D. 2- + 2 ≤ 0 【答案】 C

)

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2.在平面直角坐标系 xOy 中, 已知平面区域 A={( y) x, |x+y≤1, 且 x≥0, y≥0}, 则平面区域 B={( x+y, |( y) x-y) x, ∈A}的面积为( ) A.2 B.1 C.2 【答案】 B
1

D.4

1

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= + , 【解析】 令 则 - = -, = , 2 ≤ 1, + ≤ 1, ∵ ≥ 0, ∴ + ≥ 0,作出此不等式组表示的平面区域如图 ≥ 0, - ≥ 0, 中阴影部分所示, 是等腰直角三角形, 可求出其面积 S=2×2×1=1, 选 B.
1

= 2 ,

+

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≥ 0, 3.(2012·安徽卷, 8)若 x, 满足约束条件 + 2 ≥ 3,则 z=x-y 的最小 y 2 + ≤ 3, 值是( ) A.-3
3 C. 2

B.0 D.3

【答案】 A 【解析】 作出可行域如图所示,

令 z=0, l0: 得 x-y=0, 平移 l0, l0 过点 A( 3) 当 0, 时满足 z 最小, 此时 zmin=0-3=-3.
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- + 2 ≤ 0, ≥ 1, 则 的取值范围是( 4.已知变量 x, 满足约束条件 y + -7 ≤ 0, A.
9 ,6 5

)

B.

9 -∞, 5

∪[ +∞) 6,

C.( 3] 6, -∞, ∪[ +∞) D.( 6] 3, 【答案】 A 【解析】 作出可行域( 如图中阴影部分所示) 可看作可行域内的点 .
9 与原点连线的斜率, 由图易得 的取值范围为 ,6 5

.

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- + 1 ≥ 0, 5.(2012·浙江卷, 14)设 z=x+2y, 其中实数 x, 满足 + -2 ≤ 0,则 z y ≥ 0, ≥ 0, 的取值范围是 . 【答案】 0,
7 2

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【解析】 不等式组表示的可行域如图阴影部分,

结合图象知, 点, 点分别使目标函数取得最小值、最大值, O C 代 入得最小值为
7 0, 最大值为2.

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