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两角和与差的正弦、余弦和正切


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第5讲
[考纲]

两角和与差的正弦、余弦和正切

1.会用向量的数量积推导出两角差的余弦公式. 2.能利用两角差的余弦公式导出两角差的正弦、正切公式. 3.能利用两角差的余弦公式导出两角和的正弦、余弦、正切公式,导出二倍角的正弦、余弦、正 切公式,了解它们的内在联系.

知 识 梳 理
1.两角和与差的正弦、余弦和正切公式 sin(α± β)=sin_αcos_β± cos_αsin_β. cos(α?β)=cos_αcos_β± sin_αsin_β. tan(α± β)= tan α± tan β . 1?tan αtan β

2.二倍角的正弦、余弦、正切公式 sin 2α=2sin_αcos_α. cos 2α=cos2α-sin2α=2cos2α-1=1-2sin2α. tan 2α= 2tan α . 1-tan2α

3.有关公式的逆用、变形等 (1)tan α± tan β=tan(α± β)(1?tan_αtan_β). (2)cos2α= 1+cos 2α 1-cos 2α ,sin2α= . 2 2

? π? ?. (3)1+sin 2α=(sin α+cos α)2,1-sin 2α=(sin α-cos α)2,sin α± cos α= 2sin?α± ? 4? b 4.函数 f(α)=asin α+bcos α(a,b 为常数),可以化为 f(α)= a2+b2sin(α+φ),其中 tan φ=a.

辨 析 感 悟
1.对两角和与差的三角函数公式的理解 (1)两角和与差的正弦、余弦公式中的角 α,β 是任意的. ( (2)存在实数 α,β,使等式 cos(α+β)=cos α+cos β. ) ( )

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www.xinghuo100.com 1 (3)(教材练习改编)cos 80° cos 20° -sin 80° sin 20° =cos(80° -20° )=cos 60° =2. ( ) (4)(教材习题改编) 1-tan θ ?π ? =tan?4+θ?. ( ? ? 1+tan θ ) )

(5)设 tan α,tan β 是方程 x2-3x+2=0 的两根,则 tan(α+β)=-3. ( 2.对二倍角公式的理解 θ θ (6)cos θ=2cos22-1=1-2sin22. α 3 1 (7)若 sin 2= 3 ,则 cos α=-3. (8)y=sin 2xcos 2x 的最大值为 1. ( ) ( ( (

) )

?π ? (9)设 sin 2α=-sin α,α∈?2,π?,则 tan 2α= 3. ? ?

)

[感悟· 提升] 一个防范 运用公式时要注意审查公式成立的条件,要注意和差、倍角的相对性,要注意升幂、降

幂的灵活运用.

考点一 【例 1】 (1)4cos 50° -tan 40° =( A. 2 C. 3 (2) B. 2+ 3 2

三角函数式的化简、求值问题 ).

D.2 2-1

cos2α-sin2α =________. ?π ? 2?π ? 2tan?4-α?cos ?4-α? ? ? ? ?

规律方法 (1)技巧:①寻求角与角之间的关系,化非特殊角为特殊角; ②正确灵活地运用公式,通过三角变换消去或约去一些非特殊角的三角函数值; ③一些常规技巧:“1”的代换、和积互化等. (2)常用方法:异名三角函数化为同名三角函数,异角化为同角,异次化为同次,切化弦,特殊值

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www.xinghuo100.com 与特殊角的三角函数互化. 【训练 1】 (1)化简:[2sin 50° +sin 10° (1+ 3tan 10° )]· 2sin280° =________. θ θ? ? ?1+sin θ+cos θ??sin 2-cos 2? ? ? (2)化简: (0<θ<π)=____; 2+2cos θ

考点二

三角函数的给角求值与给值求角问题

β? π 1 ? ?α ? 2 【例 2】 (1)已知 0<β<2<α<π,且 cos?α-2?=-9,sin?2-β?=3,求 cos(α+β)的值; ? ? ? ? 1 1 (2)已知 α,β∈(0,π),且 tan(α-β)=2,tan β=-7,求 2α-β 的值.

规律方法 (1)给值求值问题一般是正用公式将所求“复角”展开,看需要求相关角的哪些三角函数 值,然后根据角的范围求出相应角的三角函数值,代入展开式即可. (2)通过求所求角的某种三角函数值来求角,关键点在选取函数,常遵照以下原则:①已知正切函 π? ? 数值,选正切函数;②已知正、余弦函数值,选正弦或余弦函数;若角的范围是?0,2?,选正、余 ? ? ? π π? 弦皆可;若角的范围是(0,π),选余弦较好;若角的范围为?-2,2?,选正弦较好. ? ? 1 13 π 【训练 2】 已知 cos α=7,cos(α-β)=14,且 0<β<α<2, (1)求 tan 2α 的值; (2)求 β.

考点三

三角变换的简单应用

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www.xinghuo100.com 1 ? ? ? π? ? π? 【例 3】 已知 f(x)=?1+tan x?sin2x-2sin?x+4?· sin?x-4?. ? ? ? ? ? ? (1)若 tan α=2,求 f(α)的值; ? π π? (2)若 x∈?12,2?,求 f(x)的取值范围. ? ?

规律方法 (1)将 f(x)化简是解题的关键,本题中巧妙运用“1”的代换技巧,将 sin 2α,cos 2α 化为关 于正切 tan α 的关系式,为第(1)问铺平道路. (2)把形如 y=asin x+bcos x 化为 y= a2+b2sin(x+φ),可进一步研究函数的周期、单调性、最值与 对称性. ? π? 【训练 3】 已知函数 f(x)=4cos x· sin?x+6?-1. ? ? (1)求 f(x)的最小正周期; ? π π? (2)求 f(x)在区间?-6,4?上的最大值和最小值. ? ?

1.重视三角函数的“三变”:“三变”是指“变角、变名、变式”;变角:对角的分拆要尽可能

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www.xinghuo100.com 化成同名、同角、特殊角;变名:尽可能减少函数名称;变式:对式子变形一般要尽可能有理化、 整式化、降低次数等.在解决求值、化简、证明问题时,一般是观察角度、函数名、所求(或所证 明)问题的整体形式中的差异,再选择适当的三角公式恒等变形. 2.已知和角函数值,求单角或和角的三角函数值的技巧:把已知条件的和角进行加减或二倍角后 再加减,观察是不是常数角,只要是常数角,就可以从此入手,给这个等式两边求某一函数值,可 使所求的复杂问题简单化. 3.熟悉三角公式的整体结构,灵活变换.本节要重视公式的推导,既要熟悉三角公式的代数结构, 更要掌握公式中角和函数名称的特征,要体会公式间的联系,掌握常见的公式变形,倍角公式应用 是重点,涉及倍角或半角的都可以利用倍角公式及其变形。

三角函数求值中的变角问题 π? 4 π? ? ? 【典例】 (2012· 江苏卷)设 α 为锐角,若 cos?α+6?=5,则 sin?2α+12?的值为________. ? ? ? ?

[反思感悟] 解题的关键是找出条件中的角与结论中的角的联系,通过适当地拆角、凑角来利用所 α+β ? β? ? α ? π π ?π ? 给条件.常见的变角技巧有: 2 =?α-2?-?2-β?;α=(α-β)+β 等;4+α=2-?4-α?;15° = ? ? ? ? ? ? 45° -30° 等. 【自主体验】 π? 1 1 ? 已知 cos α=3,cos(α+β)=-3,且 α,β∈?0,2?,则 cos(α-β)的值为________. ? ?

基础巩固题组 一、选择题

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www.xinghuo100.com 1.计算 cos 42° cos 18° -cos 48° sin 18° 的结果等于( ).

1 A.2

3 B. 3

2 C. 2

3 D. 2 ).

?π ? 1 2.已知 sin?2+α?=3,则 cos(π+2α)的值为( ? ? 7 A.-9 7 B.9 2 C.9 2 D.-3 ).

?π ? 3 3.已知 cos?4-x?=5,则 sin 2x=( ? ? 18 A.25 7 B.25 7 C.-25

16 D.-25 ).

3 ? 4 ? ?π ? 4.已知 α∈?π,2π?,且 cos α=-5,则 tan?4-α?等于( ? ? ? ? A.7 1 B.7 1 C.-7 D.-7

sin 2α-2cos2α π? 1 π ? 5.已知 tan?α+4?=-2,且2<α<π,则 π? 等于( ? ? ? sin?α-4? ? ? 2 5 A. 5 3 5 B.- 10 2 5 C.- 5 3 10 D.- 10

).

二、填空题 tan 12° - 3 6.计算: =________. 2 ?4cos 12° -2?sin 12° 7.设 f(x)= 1+cos 2x ? π? 2 ?x+4?的最大值为 2+3,则常数 a=________. + sin x + a sin ? ? ?π ? 2sin?2-x? ? ?

π? π? 2 ? ? 8.已知 cos4 α-sin4 α=3,且 α∈?0,2?,则 cos?2α+3?=________. ? ? ? ?

三、解答题 ? π? ?π ? 9.已知函数 f(x)=cos?x-3?-sin?2-x?. ? ? ? ? (1)求函数 f(x)的最小正周期; π? π? 3 ? ? (2)若 α∈?0,2?,且 f?α+6?=5,求 f(2α)的值. ? ? ? ?

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10.已知函数 f(x)=- 3sin2 x+sin xcos x. ?25π? (1)求 f? 6 ?的值. ? ? 3 ?α? 1 (2)设 α∈(0,π),f?2?=4- 2 ,求 sin α 的值. ? ?

能力提升题组 一、选择题 π? 1 π? 2 ? ? 1.已知 tan(α+β)=5,tan?β-4?=4,那么 tan?α+4?等于( ? ? ? ? 13 A.18 13 3 B.22 C.22 1 D.6 ).

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www.xinghuo100.com π? ? 2.已知 α,β∈?0,2?,满足 tan(α+β)=4tan β,则 tan α 的最大值是( ? ? 1 A.4 3 3 B.4 C.4 2 3 D.2 ).

二、填空题 π? ? ?π ? 3.若 sin?α+6?=3sin?2-α?,则 tan 2α=________. ? ? ? ? 三、解答题 π? ? 4.已知函数 f(x)=2cos?ωx+6?(其中 ω>0,x∈R)的最小正周期为 10π. ? ? (1)求 ω 的值; π? ? 5 ? 5 ? 16 6 ? ? (2)设 α,β∈?0,2?,f?5α+3π?=-5,f?5β-6π?=17,求 cos(α+β)的值. ? ? ? ? ? ?

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