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定积分习题课 选修2-2


定积分习题课

复习:1、定积分是怎样定义?
设函数f(x)在[a,b]上连续,在[a,b]中任意插入n-1个分点:

a ? x0 ? x1 ? x2 ? ? ? xn?1 ? xn ? b 把区间[a,b]等分成n个小区间,
? ?[ xi ?1 , xi ] ?Si ? f (?i )?x 在每个小区间 [ xi

?1 , xi ] 任取 i n
做和式: ? f (?i )?x
i ?1
n

n

? ? f (?i )(b ? a) / n.
i ?1

且有, lim ? f (?i )(b ? a) / n ? A(常数)
n?0 i ?1

则,这个常数A称为f(x)在[a,b]上的定积分(简称积分) 记作 b

?

a

f ( x)dx
b a

即A ?

?

f ( x)dx ? lim ? f (? i ( ) b - a) / n
n ?0 i ?1

n

积分上限

积分和
b n

即A ? ? f ( x)dx ? lim ? f (?i( ) b - a) / n
a n ?0 i ?1
积分下限

被 积 函 数

被 积 表 达 式

积 分 变 量

[a , b] 积分区间

复习:2、定积分的几何意义是什么?
1、如果函数f(x)在[a,b]上连续且f(x)≥0时,那么: 定积分

?

b

a

f ( x)dx 就表示以y=f(x)为曲边的曲边梯形面积。

S1 S2

S3

2、定积分

形面积的代数和来表示。

?

b

a

f ( x)dx 的数值在几何上都可以用曲边梯

?

b

a

f ( x )dx ? S1 ? S 2 ? S 3

说明:
f ( x ) ? 0, f ( x ) ? 0,

?a f ( x )dx ? A ?a f ( x )dx ? ? A
A3
A4
b

b

曲边梯形的面积 曲边梯形的面积的负值

A1

A2

?a f ( x )dx ? A1 ? A2 ? A3 ? A4
b

性质1.

3.定积分的基本性质
b a

?

b

a

kf ( x )dx ? k ? f ( x )dx
b b

性质2.

?

b

a

[ f ( x ) ? g( x )]dx ? ? f ( x )dx ? ? g( x )dx
a a
b c b

性质3.

?

a

f ( x )dx ? ? f ( x )dx ? ? f ( x )dx
a c

练习: 利用定积分的定义, 计算? (?t 2 ? 5) dt.( P45)
0

2

解 令f (t ) ? ?t ? 5.
2

?0,2?上等间隔地插入 (1) 分割 在区间 n ? 1分点,
? 2(i ? 1) 2i ? ?0,2?等分成n个小区间? 把区间 , ? (i ? 1,2,? ? ?, n? ? n 2i 2(i ? 1) 2 n ), 每个小区间的长度为 ?x ? ? ? . n n n

练习: 利用定积分的定义, 计算? (?t 2 ? 5) dt.
0

2

2i ( 2) 近 似 代 替 、 作 和 取? i ? ?i ? 1,2,? ? ?, n ?, n n n 2i 2 2 2 ? 2i ? 则? f (t ) dt ? S n ? ? f ? ? ? ?x ? ? [?( n ) ? 5] ? n 0 i ?1 ?n?
i ?1

8 ? 10 ? 3 n

8 1 i ? 10 ? 3 ? n(n ? 1)(2n ? 1) ? i ?1 n 6
2

n

4 1 1 ? 10 ? (1 ? )(2 ? ) 3 n n

练习: 利用定积分的定义, 计算? (?t 2 ? 5) dt.
0

2

(3)取极限

?

2

0

(?t 2 ? 5) dt ? limSn
n??

4 1 1 ? lim [10 ? (1 ? )(2 ? )] n?? 3 n n 8 22 ? 10 ? ? . 3 3 2 22 2 ? ? ( ? t ? 5) dt ? . 0 3

题型一 利用定积分表示曲边梯形的面积
例1:用定积分表示下列阴影部分的面积.
(1)

S=________. 4

??? sinxdx

(2)

x2 dx ? ?4 2 S=________.
2

(3)

4 S=________.

?? ( ? x )dx

9

例2.用定积分表示图中四个阴影部分面积
y
f(x)=x2

y

f(x)=(x-1)2-1 f(x)=x2

y
f(x)=1

y

0

a

x

-1 0

2

x

a

0

b x
2

-1 0

2 x









(1)在图①中,被积函数 f ( x) ? x 在[0,a] 解: 上连续,且f ( x) ? 0, 根据定积分的几何意 a 2 义,可得阴影部分的面 积为 A ? 0 x dx

?

y

f(x)=x2

y

f(x)=(x-1)2-1
f(x)=x2

y
f(x)=1

y

0

a

x

-1 0

2

x

a

0

b x

-1 0

2 x









2 解: (2)在图②中,被积函数 f ( x) ? x 在[?1 , 2]

上连续,且f ( x) ? 0, 根据定积分的几何意 2 2 义,可得阴影部分的面 积为 A ? ?1 x dx

?

y

f(x)=x2

y

f(x)=x2

y
f(x)=1

y

f(x)=(x-1)2-1

0

a

x

-1 0

2

x

a

0

b x

-1 0

2 x









(3)在图③中,被积函数 f ( x) ? 1在[a,b] 解:

上连续,且f ( x) ? 0, 根据定积分的几何意 义,可得阴影部分的面 积为 A ? b dx

?

a

y

f(x)=x2

y

f(x)=(x-1)2-1
f(x)=x2

y
f(x)=1

y

0

a

x

-1 0

2

x

a

0

b x

-1 0

2 x









解: (4)在图④中,被积函数 f ( x) ? ( x ? 1) 2 ? 1在[?1 , 2]
上连续,且在 [?1 , 0]上f ( x) ? 0, 在[0, 2]上f ( x) ? 0, 根据定积分的几何意义 可得阴影部分的面积为

A ? ? [( x ? 1) ? 1]dx ? ? [( x ? 1) ? 1]dx
0 ?1 2 2 0 2

题型二 利用定积分的几何意义求定积分
例3:利用定积分的几何意义,求下列各式的值.

(1) ?

2
b

?2

4 ? x 2 dx;
a

(2)? 2? sinxdx;
? 2

?

分析:定积分

所围成图形面积的代数和,其中x轴上方部分为正,x轴下方部分为负.

?

f ( x)dx 的几何意义是:介于直线x=a,x=b,x轴及y=f(x)

解 : ?1?由y ? 4 ? x 2 知, x 2 ? y 2 ? 4 ? y ? 0 ? , 其图象如下图.
被积函数的曲线是圆心在原点,半径为2的半圆, 由定积分的几何意义知,此定积分为半圆的面积, 所以

?

2

?2

4 ? x 2 dx ?

? 22
2

? 2? .

例3:利用定积分的几何意义,求下列各式的值.

(2)? 2? sinxdx;
? 2

?

y
?
2

解: 在右图中,被积函数 f ( x) ? sin x
在[?

f(x)=sinx
?

? ?

, ]上连续,且在 [? , 0]上 2 2 2

?

1

sin x ? 0, 在[0, ]上sin x ? 0,并有 2 ? A1 ? A2 , 所以 2

?

A1 -1

A2

? 2

x

?

?

?

f ( x)dx ? A2 ? A1 ? 0

2

1.利用定积分的几何意义,判断下列定积分 练习:

值的正、负号。
1).

?

?

2 0

sin xdx

2).

?
?
0

2

?1

x dx
?

2

2.利用定积分的几何意义,说明下列各式成立: 1).

?

2?

0

sin xdx ? 0

2). sin xdx ? 2

?

?

2 0

sin xdx

3.试用定积分表示下列各图中影阴部分的面积。 y y=x2 y y=f(x)

0 1 2

x

0 a

y=g(x) b x

练习4 : 利用定积分的几何意义求下列定积分. (1) ? (sinx ? x3 )dx.
?1 1 1

(2) ? 1 ? x 2 dx;
0

解:

?1?
1 ?1

函数y ? sinx ? x 3在 ? ?1,1? 上为奇函数

? ? (sinx ? x 3 )dx ? 0.

练习4(2): 计算积分

?

1

0

1 ? x dx
2

解:由定积分的几何意 义知,该积分值等于
曲 线y ? 1 ? x 2 , x轴 ,x ? 0及x ? 1所 围 的面积(见下图)

面积值为圆的面积的

1 4

y

所 以?

1

0

1 ? x dx ?
2

?
4
1 x

正确理解定积分的概念几何意义
(2) ? f ( x)dx, ? | f ( x) | dx与 | ? f ( x)dx | 在几何意义上有不同的含义,
b a a a b b

绝不能等同看待,由于被积函数f ? x ? 在闭区间? a, b ? 上可正可负, 也就是它的图象可以在x轴上方, 也可以在x轴下方, 还可以在x 轴的上下两侧, 所以? f ( x)dx表示由x轴, 函数f ? x ?的曲线及直
a b

线x ? a, x ? b(a ? b)之间各部分面积的代数和; 而 f ? x ? 是非负的, 所以? | f ( x) | dx表示在区间? a, b ? 上所有以 f ? x ? 为曲边的正
b a

曲边梯形的面积; 而 | ? f ( x)dx | 则是? f ( x)dx的绝对值,
a a

b

b

三者的值在一般情况下是不相同的.

衔接高考:
(2009广东(理)) 8.已知甲、乙两车由同一起点同时 出发,并沿同一路线(假定为直线) 行驶.甲车、乙车的速度曲线分别 为 v甲 和 v乙 (如图2所示).那么对 于图中给定的 t 0 和 t 1 ,下列判断 中一定正确的是 A
?

y

v甲

?
? ?

A. 在 t 1 时刻,甲车在乙车前面 B. t 1 时刻后,甲车在乙车后面 C. 在 t 0 时刻,两车的位置相同 D. t 0 时刻后,乙车在甲车前面

v乙

t 0 t1 x


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