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湖北江陵实验高中2012-2013学年上学期高二数学选修2-3综合测试题


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湖北江陵实验高中 2012-2013 学年上学期高二数学选修 2-3 综合 测试题
独立性检验有关数据: P(K2≥k0) 0.50 0.40 k0 若X 0.25 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001

0.455 0.

708 1.323 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828

N (? , ? 2 ) ,则 P(? ? ? ? X ? ? ? ? ) ? 0.6826 ,

P(? ? 2? ? X ? ? ? 2? ) ? 0.9544 , P(? ? 3? ? X ? ? ? 3? ) ? 0.9974

一、选择题:本大题共 10 个小题,每小题 5 分,共 50 分。在每小题给出的四个 选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.工人工资(元)依劳动生产率(千元)变化的回归方程为 y=50+80x,下列判断中正确 的是( ) A.劳动生产率为 1000 元时,工资为 130 元 B.劳动生产率平均提高 1000 元时,工资平均提高 80 元 C.劳动生产率平均提高 1000 元时,工资平均提高 130 元 D.当工资为 250 元时,劳动生产率为 2000 元 2.最小二乘法的原理是( ) A.使得 ?[yi-(a+bxi)]最小
i=1 n

B.使得 ?[yi-(a+bxi)2]最小
i=1

n

2 C.使得 ?[y2 i -(a+bxi) ]最小 i=1

n

D.使得 ?[yi-(a+bxi)]2 最小
i=1

n

1? ? 3 3.设 ? 3 x ? ? 的展开式的各项系数的和为 P,所有二项式系数的和为 S,若 P+S=272, x? ?

n

则 n 为( A.4

) B.5

C.6

D.8

1 ) ,k ? 1 , 2, ,n ,则 P(2 ? X ≤ 4) 为( 2k A.3∕16 B.1∕4 C.1∕16 D.5∕16 5.两位同学一起去一家单位应聘,面试前单位负责人对他们说: “我们要从面试的人中招 聘 3 人,你们俩同时被招聘进来的概率是 1∕70” .根据这位负责人的话可以推断出参 加面试的人数为( ) A.21 B.35 C.42 D.70 6.有外形相同的球分装三个盒子,每盒 10 个.其中,第一个盒子中 7 个球标有字母 A、3 个球标有字母 B;第二个盒子中有红球和白球各 5 个;第三个盒子中则有红球 8 个,白 球 2 个.试验按如下规则进行:先在第一号盒子中任取一球,若取得标有字母 A 的球, 则在第二号盒子中任取一个球;若第一次取得标有字母 B 的球,则在第三号盒子中任 取一个球.如果第二次取出的是红球,则称试验成功,那么试验成功的概率为( )
4.已知随机变量 X 的分布列为 P( X ? k ) ?
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A.0.59 B.0.54

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D.0.15

C.0.8

7.某班主任对全班 50 名学生进行了作业量多少的调查,数据如下: 认为作业多 喜欢玩电脑游戏 不喜欢玩电脑游戏 总计 18 8 26 认为作业不多 9 15 24 总结 27 23 50

则认为喜欢玩电脑游戏与认为作业多少有关系的把握大约为 A 99% B 97.5% C 95% D 无充分依据 8. 省内某电视台连续播放 6 个广告,三个不同的商业广告,两个不同的亚运宣传广告,一 个公益广告, 要求最后播放的不能是商业广告, 且亚运宣传广告与公益广告不能连续播 放, 两个亚运宣传广告也不能连续播放, 则不同的播放方式有 ( ) A.48 种 B.98 种 C.108 种 D.120 种 9. (1 ? x3 )(1 ? x)10 的展开式中, x 5 的系数是( A. ?297 B. ?252 C.297 ) D.207

10. 已知:? ? {( x, y ) | ?

? ?y ? 0 ? ?y ? 4 ? x
2

} ,直线 y ? mx ? 2m 和曲线 y ? 4 ? x 2 有两个不同

的交点, 它们围成的上半平面区域为 M , 向区域 ? 内随机投一点 A , 点 A 落在区域 M 内的概率为 P( M ) ,若 P ( M ) ? [ A. [0,1] B. [0,

3 ] 3

? ?2 ,1] ,则实数 m 的取值范围为( 2? 1 3 C. [ D. [ ,1] ,1] 2 3

)

二、填空题(本大题共5小题,每小题 5 分,共 25分)
x 3 x -2 11.已知 C10 ,则 x ? __________. = C10

12.从 800 件产品中抽取 60 件进行质检,利用随机数表法抽取样本时,先将 800 件产品按 001,002,?,800 进行编号.如果从随机数表第 8 行第 8 列的数 8 开始往右读数,则最 先抽取的 4 件产品的编号依次是_ __、__ _ _、 、_ _. (下面摘录了随机 数表第 7 行至第 9 行各数) 84 42 17 53 31 57 24 55 06 88 77 04 74 47 67 21 76 33 50 25 83 92 12 06 76 63 01 63 78 59 16 95 56 67 19 98 10 50 71 75 12 86 73 58 07 44 39 52 38 79 33 21 12 34 29 78 64 56 07 82 52 42 07 44 38 15 51 00 13 42 99 66 02 79 54 13.以正方体的顶点为顶点,能作出的三棱锥的个数是__________. 14. 已知 ? ~N (4, ? ) , 且 P(2 ? ? ? 6) ? 0.6826 , 则? =
2

,P( ? ? 2 ? 4) =



15.形如 45132 这样的数叫做“五位波浪数” ,即十位数字、千位数字均比它们各自相邻的 数字大,则由数字 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9 可构成无重复数字的“五位波浪数”的 个数为 . 三、解答题:本大题共 6 小题,共 75 分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步 骤. 16.已知 An ? 56Cn ,且(1-2x)n=a0+a1x+a2x2+a3x3+??+anxn.
5 7

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(Ⅰ)求 n 的值; (Ⅱ)求 a1+a2+a3+??+an 的值. 17. 根据下面的要求,求满足 1+2+3+?+n > 500 的最小的自然数 n。 (1)画出执行该问题的程序框图; (2)以下是解决该问题的一个程序,但有几处错误,请找出错误并予以更正。 解:(1) (2) i = 1 S=1 n=0 DO S < = 500 S=S+i i=i+1 n=n+1 WEND PRINT n + 1 END

18.已知某类型的高射炮在它们控制的区域内击中具有某种速度敌机的概率为

1 . 5

(Ⅰ)假定有 5 门这种高射炮控制某个区域,求敌机进入这个区域后被击中的概率; (Ⅱ)要使敌机一旦进入这个区域内有 90%以上的概率被击中,至少需要布置几门这 类高射炮?(参考数据 lg 2 ? 0.301 , lg3 ? 0.4771 )

19.今有甲、乙两个篮球队进行比赛,比赛采用 7 局 4 胜制.假设甲、乙两队在每场比赛中 获胜的概率都是

1 .并记需要比赛的场数为 ξ. 2

(Ⅰ)求 ξ 大于 5 的概率; (Ⅱ)求 ξ 的分布列与数学期望.

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20.袋中装有大小相同的黑球、白球和红球共 10 个。已知从袋中任意摸出 1 个球,得到黑 球的概率是

2 7 ;从袋中任意摸出 2 个球,至少得到 1 个白球的概率是 . 5 9

(1)求袋中各色球的个数; (2)从袋中任意摸出 3 个球,记得到白球的个数为ξ ,求随机变量ξ 的分布列及数学期 望 Eξ 和方差ξ ; (3)若 ? ? a? ? b, E? ? 11 , D? ? 21, 试求a, b 的值。

21.如图所示,流程图给出了无穷等差整数列 {an }满足的条件 , a1 ? N? , 且当k ? 5 时, 输出的 S ? ? , 当k ? 10 时,输出的 S ? ? (I)求数列 {an } 的通项公式 (II)是否存在最小的正数 m,使得 ?n ? N? , 都有T ? m 成立?若存在,求出 m 的值, 若不存在,请说明理由。

5 9

10 . (其中 d 为公差) 99

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江陵实验高中高二数学选修 2-3 综合测试题
参考答案 一、
二、 选择题 BBAAA ABCDA 填空题 11.1 或 3 12.169 ; 556; 671; 105 13.58 14.2;0.84 15. 3402 种 【 解 析 】有 0 参与时,0 不能放在万位数,最大的两个放在一起,或分别放在千位和十位,
4 1 2 1 2 故有 C10 (C2 ?1 ? A2 A2 A2 ) 种,没有 0 时,最大两个数字放在一起,或分别放在千位和十位 5 2 3 2 5 2 3 2 4 1 2 1 2 位置,有 C10 (2 ? A2 ? A3 A2 ) 种,共有 C9 (2 ? A2 ? A3 A2 ) =3402 种. (C2 ?1 ? A2 A2 A2 ) + C9

三、解答题:
7 16. (Ⅰ)由 A5 n ? 56Cn 得:

n(n-1) (n-2) (n-3) (n-4)=56 ·

n(n ? 1)( n ? 2)( n ? 3)( n ? 4)( n ? 5)( n ? 6) 7 ? 6 ? 5 ? 4 ? 3 ? 2 ?1

即(n-5) (n-6)=90 解之得:n=15 或 n=-4(舍去) . ∴ n=15. (Ⅱ)当 n=15 时,由已知有: (1-2x)15=a0+a1x+a2x2+a3x3+??+a15x15, 令 x=1 得:a0+a1+a2+a3+??+a15=-1, 令 x=0 得:a0=1, ∴a1+a2+a3+??+a15=-2. 17. 解: (1)程序框图如图所示: 开始 S=0 i=1

或者:

开始 S=0 i=1

S=S+i i=i+1 否 S>500 是 输出 i-1 结束
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i=i+1

S=S+i S<=500 否 输出 i-1 结束 是

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(2)①DO 应改为 WHILE; ②PRINT n+1 应改为 PRINT n; ③S=1 应改为 S=0 18. (Ⅰ)设敌机被各炮击中的事件分别记为 A1、A2、A3、A4、A5,那么 5 门炮都未击中敌 机的事件为 C ? A1 ? A2 ? A3 ? A4 ? A5 ,因各炮射击的结果是相互独立的,所以

? 1? ? 4? P(C ) ? P( A1 ) ? P( A2 ) ? P( A3 ) ? P( A4 ) ? P( A5 ) ? [P( A)] ? [1 ? P( A)] ? ?1 ? ? ? ? ? ? 5? ? 5?
5 5

5

5

因此敌机被击中的概率为 P(C ) ? 1 ? P(C ) ? 1 ? ? ? ?

?4? ?5?

5

2101 . 3125

(Ⅱ)设至少需要置 n 门高射炮才能有 90%以上的概率击中敌机,由①可知

9 1 ?4? ?4? ,即 ? ? ? , 1? ? ? ? ? 5 ? 10 ? 5 ? 10
两边取常用对数,得 n ?

n

n

1 1 ? ? 10.3 , ∴n≥11. 1 ? 3 lg 2 1 ? 3 ? 0.3010

即至少需要布置 11 门高射炮才能有 90%以上的概率击中敌机. 19. (Ⅰ)依题意可知,ξ 的可能取值最小为 4. 当 ξ=4 时,整个比赛只需比赛 4 场即结束,这意味着甲连胜 4 场,或乙连胜 4 场,于 是,由互斥事件的概率计算公式,可得

?1? ?1? 1 P(ξ=4)=2 C ? ? ? ? = . ?2? ?2? 8
4 4

4

0

当 ξ=5 时,需要比赛 5 场整个比赛结束,意味着甲在第 5 场获胜,前 4 场中有 3 场获 胜,或者乙在第 5 场获胜,前 4 场中有 3 场获胜.显然这两种情况是互斥的,于是,

? 3 ? 1 ?3 ? 1 ? 4 ?3 ? 1 1 P(ξ=5)=2 ?C4 ? ? ? ? ? ? = , ? ?2? ?2? ? ? 2 4 ?
∴ P(ξ>5)=1-[P(ξ=4)+P(ξ=5)]=1-[ 即 ξ>5 的概率为

1 1 5 + ]= . 8 4 8

5 . 8

(Ⅱ)∵ ξ 的可能取值为 4,5,6,7,仿照(Ⅰ) ,可得

? 3 ? 1 ?3 ? 1 ?5 ?3 ? 1 5 P(ξ=6)=2 ?C5 ? ? ? ? ? ? = , 16 2 2 2 ? ? ? ? ? ? ? ?

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? 3 ? 1 ?3 ? 1 ? 6 ?3 ? 1 5 P(ξ=7)=2 ?C6 ? ? ? ? ? ? = , 16 2 2 2 ? ? ? ? ? ? ? ?
∴ξ 的分布列为: ξ P 4 5 6 7

1 8

1 4

5 16

5 16

1 1 5 5 93 +5· +6· +7· = . 8 4 16 16 16 2 20.解: (1)因为从袋中任意摸出 1 球得到黑球的概率是 ,故设黑球个数为 x,则 5 x 2 ? , 所以 x ? 4. 10 5 7 设白球的个数为 y,又从袋中任意摸出 2 个球,至少得到 1 个白球的概率是 ,则 9
ξ 的数学期望为:Eξ=4·
2 1 Cy ? C1 y C10 ? y

C

2 10

?

7 , 9

解得y ? 5
故袋中白球 5 个,黑球 4 个,红球 1 个。 (2)由题设知ξ 的所有取值是 0,1,2,3,则随机变量ξ 的分布列为 ξ P 0 1 2 3

1 12

5 12

5 12

1 12

(3)?? ? a? ? b

? E? ? E (a? ? b) ? aE? ? b , D? ? D(a? ? b) ? a2 D? .

又E? ? 11, D? ? 21

?3 a ? b ? 11 ? ?2 ?? ? 7 a 2 ? 21 ? ?12

21. a1 ? 9, d ? ?2, an ? 11 ? 2n.
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【解析】 (1)根据框图

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1 ) ak ?1

Sk ? ?

1 1 ? ? a1a2 a2 a3

?

1 1 1 1 1 1 1 1 ? ( ? ? ? ? ? ak ak ?1 d a1 a2 a2 a3 a3 a4

?

k a1 ak ?1

所以有 a1a6 ? ?9且a1a11 ? ?99, 解得 a1 ? 9, d ? ?2, an ? 11 ? 2n. (2)事实上, Tk ? a1 ? 20 ? a2 ? 2?1 ? a3 ? a?2 ?

? ak ? 21?k ,利用错位相消得

Tk ? 14 ? 得(Tk ) max

2k ? 7 9 ? 2k , 从而Tk ?1 ? Tk ? , k ?1 2 2k 227 227 ? T5 ? , 即m ? . 16 16

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