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yx2010-2011学年第二学期期中考试高一数学试卷


江苏省南菁高级中学
一、填空题(本大题共 14 小题,每小题 5 分,共计 70 分。请将答案答在答卷纸指定区域, 在本试卷上答题无效。 )
1、在 ?ABC 中, sin A : sin B : sin C ? 3 : 2 : 4 ,则最大角的余弦值是 ▲ 2、若直线 l 的倾斜角为 ? ,且 0 ? ? ? ? 120? ,则直线 l 的斜率范围为 ▲ .

. 三角形. . .

3、若三角形三边的长分别为 n, n ? 1, n ? 2(n ? 3) ,则三角形的形状一定是 ▲ 4、首项为-24 的等差数列,从第 10 项开始为正数,则公差 d 的范围 5、 ?ABC 中,已知 ?A ? 1200 , b ? 1 ,其面积为 3 ,则 a ? b ? c = 6、过 P(1,4)且横截距是纵截距 3 倍的直线方程为 ▲ . ▲ ▲

7、在 ?ABC 中, a ? xcm, b ? 2cm, B ? 450 ,若用正弦定理解此三角形时有两个解,则 x 的取值范围是 ▲ . 8、正项等比数列 {an } 中,若 a5 ? a6 ? 81 则 log3 a1 ? log3 a2 ? ? ? log3 a10 ? __▲_____. , 9、等差数列 {an } 中, S9 ? 18, an?4 ? 30, S n ? 240,则 n 的值为 ▲ .

10、已知方程 ( x 2 ? 2 x ? m)(x 2 ? 2 x ? n) ? 0 的四个根组成一个首项为 11、已知函数 f ( x ) ?

1 的等差数列,则| m ? n | = ▲ 4

x ,仿照等差数列求和公式的推导方法化简: 1? x 1 1 1 1 f ( ) ? f ( ) ? f ( ) ? f ( ) ? f (1) ? f (3) ? f (5) ? f (7) ? f (9) ? ▲ 9 7 5 3

. ▲ .

12、设公比为 q 的等比数列 {an } 的前 n 项和为 Sn ,若 Sn ?1 、 Sn 、 Sn?2 成等差数列,则 q ?

13、若 3ax ? (a2 ? 3a ? 2) y ? 9 ? 0 表示直线 3ax ? (a2 ? 3a ? 2) y ? 9 ? 0 上方的平面区域,则 a 的取值范 围是
2



.

14、 n 个正数排成 n 行 n 列,如右表,其中每行数都 成等比数列,每列数都成等差数列,且所有公比都相等, 已知 a24 ? 5, a54 ? 6, a56 ? 18 ,则 a22 ? a14 =_____▲_______.

a11  a12  a13 ? a1n a 21  a 22  a 23 ? a 2 n a31  a32  a33 ? a3n a 41  a 42  a 43 ? a 4 n ???????? a n1  a n 2  a n 3 ? a nn

二、解答题(本大题共 6 小题,共计 90 分。请在答卷纸指定区域内作答,解答应写出文字说 明、证明过程或演算步骤。 )
1

15、(本题 14 分) 已知直线 l : ax ? (1 ? 2a) y ? 1 ? a ? 0 . (1)当直线 l 在两坐标轴上的截距相等时,求 a 的值; (2)当直线 l 不通过第一象限时,求 a 的取值范围.

16、(本题 14 分) 在数列{an } 中, a1 ? 列 {lg( a n ?1 ?

3 31 1 1 , a2 ? 且数列{a n ?1 ? a n } 是公比为 的等比数列,数 5 100 10 2

1 a n )} 是公差为-1 的等差数列,求 an . 2

17、(本题 14 分) 在 ?ABC 中,锐角 B 所对的边 b ? 7 ,其外接圆半径 R ?

7 3 , ?ABC 的面积 3

S ? 10 3 ,求 ?ABC 其他两边的长.

18、(本题 16 分) 设二次方程 an x ? an?1 x ? 1 ? 0(n ? N ) 有两根 α、β,且满足 6α-2αβ+6β=3.
2 *

(1)试用 an 表示 a n ?1 ; (2)求证: {a n ? } 是等比数列; (3)若 a1 ?

2 3

7 ,求数列 {an } 的通项公式. 6

2

19、(本题 16 分) 本公司计划 2008 年在甲、乙两个电视台做总时间不超过 300 分钟的广告,广告总费 用不超过 9 万元,甲、乙电视台的广告收费标准分别为 500 元/分钟和 200 元/分钟,规定甲、乙两 个电视台为该公司所做的每分钟广告,能给公司事来的收益分别为 0.3 万元和 0.2 万元.问该公司 如何分配在甲、乙两个电视台的广告时间,才能使公司的收益最大,最大收益是多少万元? .

20、(本题 16 分) 设数列{an } 满足 a1 ? 1, a2 ? 2, an ?

1 (a n ?1 ? 2a n ? 2 )( n ? N *且n ? 3) , 3

?1    n为奇数 bn ? ? ?? 1   n为偶数
(1)求 an ; (2)若 cn ? nan bn , n ? N * ,求 {cn } 的前 n 项和 S n .

3

江苏省南菁高级中学 2010-2011 学年第二学期期中考试高一数学试卷
参考答案
一、填空题 1、 ?

1 4

2、[0,??) ? (??,? 3) 7、 (2,2 2 ) 12、 ? 2

3、锐角

4、 ( ,3]

8 3

5、 21? 3

6、 4 x ? y ? 0或x ? 3 y ? 13 ? 0 10、 1 2 11、

8、20 13、 (1, 2)

9、15 14、

9 2

19 3

二、解答题 15、 (本题 14 分)

1 ,在直线 l 的方程中, 2 a ?1 a ?1 令 y ? 0得 x ? , 令 x ? 0得 y ? a 1 ? 2a a ?1 a ?1 1 = ,解得 a ? 1或a ? .……………………………………………………5 分 ? a 1 ? 2a 3 1 1 1 ⑵ (i)当 a ? 时,直线 l 的方程为: x ? ? 0 .即 x ? ?1 ,此时 l 不通过第一象限; 2 2 2 同理,当 a ? 0 时, l 也不通过第一象限. ……………………………………………………9 分 1 ?a a ?1 x? (ii)当 a ? 且a ? 0 时,直线 l 的方程为: y ? . 2 1 ? 2a 1 ? 2a ? ?a ?1 ? 2a ? 0 1 ? l 不通过第一象限,即 ? ,解得 0 ? a ? ………………………………………13 分 2 ? a ?1 ? 0 ?1 ? 2a ? 1 综上所述,当直线 l 不通过第一象限时, a 的取值范围为 0 ? a ? .……………………………14 分 2
解: (1)由条件知, a ? 0且a ? 16、 (本题 14 分)

31 1 1 1 1 ? a 2 ? a1 ? , a 2 ? a1 ? 100 10 4 2 100 1 1 1 1 ?数列 {a n ?1 ? a n } 是公比为 的等比数列,首项为 a 2 ? a1 ? 10 2 10 4 1 1 1 1 ? an ?1 ? an = ( ) n ?1 = ( ) n ?1 ………(1) ………………………………………………………6 分 10 4 2 2 1 1 又 {lg( a n ?1 ? a n )} 是公差为-1 的等差数列,首项为 lg(a 2 ? a1 ) ? ?2 2 2 1 ? lg( a n ?1 ? a n )= ? 2 ? (n ? 1)(?1) ? ?n ? 1 2
解:

? a1 ? , a2 ?

3 5

4

1 an = 10?n?1 ……………(2) 2 5 1 1 由(1) (2)得, a n ? ( n ?1 ? n ?1 ) 2 2 10
即 an ?1 ? 17、 (本题 14 分) 解:? sin B ?

…………………………………………………12 分 ……………………………………………14 分

b ? 2R

7 3 ? ? 且 B ? (0, ) 7 2 2 2? 3 3

?B ?

?
3

………………………………4 分

又S ?

1 ac sin B ? 10 3 2

? ac ? 40 ………(1)………………………………………7 分

? b 2 ? a 2 ? c 2 ? 2ac cos B ? a 2 ? c 2 ? ac ? 49 ………(2)…………………………10 分 ?a ? 5 ?a ? 8 由(1) (2)得 ? 或? …………………………………………………………13 分 ?c ? 8 ?c ? 5
故三角形其他两边长为 a ? 5, c ? 8 或 a ? 8, c ? 5 .…………………………………………14 分 18、 (本题 16 分) 解:⑴? ? , ? 二次方程 an x 2 ? an?1 x ? 1 ? 0(n ? N * ) 的两根, an ? 0 ………………………3 分

?? ? ? ?

a n?1 1 2 , ?? ? , ? ? an?1 ? 4an ? 0 an an

又 6α-2αβ+6β=3

a n?1 2 ? ?3 an an 1 1 ? a n ?1 ? a n ? 2 3 ?6
⑵ 由(1)知, a n ?1 ? 若 an ?

n ? N ? .…………………………………………………………………………5 分

1 1 2 1 2 a n ? ,? a n ?1 ? ? (a n ? ) ……………………………………7 分 2 3 3 2 3
2

2 ?2? 8 ,则 ? ? ? ? ? ? 0 不符合题意…………………………………………………9 分 3 ?3? 3 2 ? an ? 3 2 a n?1 ? 3 ? 1 ,n? N? 从而, 2 2 an ? 3 1 2 2? ? 故 ?a n ? ? 是等比数列,公比为 ,首项为……… a1 ? …………………………………11 分 2 3 3? ? 2 7 2 1 n ?1 1 n 2 ⑶由(2)知, a n ? ? ( ? )( ) ? a n ? ( ) ? . …………………………………16 分 3 6 3 2 2 3

5

19、 (本题 16 分) 解:设公司在甲电视台和乙电视台做广告的时间分别为 x 分钟和 y 分钟,总收益为 z 元,由题意得

? x ? y ≤ 300, ? ?500 x ? 200 y ≤ 90000, ? x ≥ 0,y ≥ 0. ?
目标函数为 z ? 3000 x ? 2000 y .………………………5 分 y
500

? x ? y ≤ 300, ? 二元一次不等式组等价于 ?5 x ? 2 y ≤ 900, ? x ≥ 0,y ≥ 0. ?
作出二元一次不等式组所表示的平面区域,即可行域.如图: 作直线 l : 3000 x ? 2000 y ? 0 ,即 3x ? 2 y ? 0 .………………10 分 平移直线 l ,从图中可知,当直线 l 过 M 点时,目标函数取得最大值.
l

400

300 200 100 M

? x ? y ? 300, 解得 x ? 100,y ? 200 . ?5 x ? 2 y ? 900. 200) ?点 M 的坐标为 (100, .
联立 ?

? zmax ? 3000x ? 2000 y ? 700000 (元)………………………15 分
答:该公司在甲电视台做 100 分钟广告,在乙电视台做 200 分钟广告, 公司的收益最大,最大收益是 70 万元.……………………………16 分 20、 (本题 16 分) 解:

0

100

200 300

x

1 2 (a n ?1 ? 2a n ? 2 ) 得, a n ? a n ?1 ? ? (a n ?1 ? a n ? 2 ) 3 3 a ? an?1 2 ? ? (n ? N ? , n ? 3) 又 a2 ? a1 ? 1 ? 0 ? n an?1 ? an?2 3 2 的等比数列…………………………………3 分 ? 数列?an?1 ? an ?是首项为 1,公比为 ? 3 2 ? a n ?1 ? a n ? (? ) n ?1 3 2 n?2 从而, a n ? a n ?1 ? ( ? ) 3 2 a n ?1 ? a n ? 2 ? (? ) n ?3 3
⑴由 a n ? ………………………

a2 ? a1 ? 1
以上各式相加得, a n ? a1 ? 1 ? (? ) ? ? ? ? ? (? )

2 3

2 3

n?2

2 1 ? (? ) n?1 3 ? 2 1? 3

? an ?

8 3 2 n ?1 ? (? ) 5 5 3

………………………………………………………………6 分

6

(2)? bn ? ?

?1    n为奇数

?? 1   n为偶数 3 2 ?8 n ? (? ) n ?1 n, n为奇数 ? ?5 5 3 ……………………………………………8 分 ? cn ? ? 8 3 2 n ?1 ?- n ? (? ) n,n为偶数 ? 5 5 3 ? 又 S n ? c1 ? c2 ? ? ? ?cn ?当 n 为奇数时, 8 8 8 8 8 3? 2 2 2 2 ? S n ? ( ? 2 ? ? 3 ? - 4 ? ? ? ? ? ? n ? ) - ?1 ? ( ) 0 ? 2 ? ( )1 ? 3 ? ( ) 2 ? ? ? ? ? n ? ( ) n?1 ? 5 5 5 5 5 5? 3 3 3 3 ? 4 3? 2 2 2 2 ? ? (1 ? n) ? ?1 ? ( ) 0 ? 2 ? ( )1 ? 3 ? ( ) 2 ? ? ? ? ? n ? ( ) n?1 ? 5 5? 3 3 3 3 ? 当 n 为偶数时, 8 8 8 8 8 3? 2 2 2 2 ? S n ? ( ? 2 ? ? 3 ? - 4 ? ? ? ? ? ? n ? ) - ?1 ? ( ) 0 ? 2 ? ( )1 ? 3 ? ( ) 2 ? ? ? ? ? n ? ( ) n?1 ? 5 5 5 5 5 5? 3 3 3 3 ? 4 3? 2 2 2 2 ? ? ? n ? ?1 ? ( ) 0 ? 2 ? ( )1 ? 3 ? ( ) 2 ? ? ? ? ? n ? ( ) n?1 ? …………………………………10 分 5 5? 3 3 3 3 ? 2 0 2 1 2 2 2 n ?1 令 Tn ? 1? ( ) ? 2 ? ( ) ? 3 ? ( ) ? ? ? ? ? n ? ( ) ………(1) 3 3 3 3 2 2 2 2 2 Tn ? 1 ? ( )1 ? 2 ? ( ) 2 ? 3 ? ( ) 3 ? ? ? ? ? n ? ( ) n ………(2) 3 3 3 3 3
则由(1) (2)得,

,且 cn ? nan bn , n ? N *

2 1 ? ( )n 1 2 2 2 2 ? 2? 3 ? n( 2 ) n Tn ? 1 ? ( ) ? ( ) 2 ? ( ) 3 ? ? ? ? ? ( ) n?1 ? n? ? = 2 3 3 3 3 3 3 ? 3? 1? 3 2 n ? Tn ? 9 ? (9 ? 3n)( ) 3 4n ? 23 27 ? 9n 2 n ? ? ( ) , n为奇数 ? 5 ? 5 3 故 Sn ? ? …………………………………16 分 4n ? 27 27 ? 9n 2 n ?? ( ) , n为偶数 ? 5 5 3 ?
n

7


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