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2016届《步步高》高考数学大一轮总复习(人教新课标文科)配套文档 5.3 平面向量的数量积


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§ 5.3

平面向量的数量积

1.平面向量的数量积 已知两个非零向量 a 与 b,它们的夹角为 θ,则数量|a||b|cos θ 叫做 a 与 b 的数量积(或内积), 记作 a· b=|a||b|cos θ. 规定:零向量与任一向量的数量积为__0__. 两个非零向量 a 与 b 垂直的充要条件是 a· b=0,两个非零向量 a 与 b 平行的充要条件是 a· b =± |a||b|. 2.平面向量数量积的几何意义 数量积 a· b 等于 a 的长度|a|与 b 在 a 的方向上的投影|b|cos θ 的乘积. 3.平面向量数量积的重要性质 (1)e· a=a· e=|a|cos θ; (2)非零向量 a,b,a⊥b?a· b=0; (3)当 a 与 b 同向时,a· b=|a||b|; 当 a 与 b 反向时,a· b=-|a||b|,a· a=|a|2,|a|= a· a; a· b (4)cos θ= ; |a||b| (5)|a· b|__≤__|a||b|. 4.平面向量数量积满足的运算律 (1)a· b=b· a(交换律); (2)(λa)· b=λ(a· b)=a· (λb)(λ 为实数); (3)(a+b)· c=a· c+b· c. 5.平面向量数量积有关性质的坐标表示 设向量 a=(x1,y1),b=(x2,y2),则 a· b=x1x2+y1y2,由此得到 (1)若 a=(x,y),则|a|2=x2+y2 或|a|= x2+y2. → (2)设 A(x1,y1),B(x2,y2),则 A、B 两点间的距离|AB|=|AB|= ?x2-x1?2+?y2-y1?2. (3)设两个非零向量 a,b,a=(x1,y1),b=(x2,y2),则 a⊥b?x1x2+y1y2=0. 【思考辨析】
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判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)向量在另一个向量方向上的投影为数量,而不是向量.( √ ) (2)两个向量的数量积是一个实数,向量的加、减、数乘运算的运算结果是向量.( √ )

→ → → → → → → (3)△ABC 内有一点 O,满足OA+OB+OC=0,且OA· OB=OB· OC,则△ABC 一定是等腰三 角形.( √ ) → → → → (4)在四边形 ABCD 中,AB=DC且AC· BD=0,则四边形 ABCD 为矩形.( × π (5)两个向量的夹角的范围是[0, ].( × ) 2 4 (6)已知 a=(λ, 2λ), b=(3λ, 2), 如果 a 与 b 的夹角为锐角, 则 λ 的取值范围是 λ<- 或 λ>0.( × ) 3 )

1.(2014· 重庆)已知向量 a=(k,3),b=(1,4),c=(2,1),且(2a-3b)⊥c,则实数 k 等于( 9 A.- 2 C.3 答案 C B.0 15 D. 2

)

解析 因为 a=(k,3),b=(1,4),所以 2a-3b=2(k,3)-3(1,4)=(2k-3, -6). 因为(2a-3b)⊥c, 所以(2a-3b)· c=(2k-3,-6)· (2,1)=2(2k-3)-6=0,解得 k=3.故选 C. 2.已知向量 a,b 的夹角为 60° ,且|a|=2,|b|=1,则向量 a 与向量 a+2b 的夹角等于( A.150° B.90° C.60° D.30° 答案 D 解析 设向量 a 与向量 a+2b 的夹角为 θ. ∵|a+2b|2=4+4+4a· b=8+8cos 60° =12, ∴|a+2b|=2 3, a· (a+2b)=|a|· |a+2b|· cos θ =2×2 3cos θ=4 3cos θ, 又 a· (a+2b)=a2+2a· b=4+4cos 60° =6, )

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∴4 3cos θ=6,cos θ= 3 , 2

∵θ∈[0° ,180° ],∴θ=30° ,故选 D. 3.已知 a=(2,3),b=(-4,7),则 a 在 b 方向上的投影为________. 答案 65 5

a· b 解析 设 a 和 b 的夹角为 θ,|a|cos θ=|a| |a||b| = 2×?-4?+3×7 13 65 = = . 5 2 2 65 ?-4? +7

→ → → → → 4.在△ABC 中,M 是 BC 的中点,AM=3,点 P 在 AM 上,且满足AP=2PM,则PA· (PB+PC) 的值为________. 答案 -4 → → → → → 解析 由题意得,AP=2,PM=1,所以PA· (PB+PC)=PA· 2PM=2×2×1×cos 180° =-4.

题型一 平面向量数量积的运算 → → 例 1 (1)(2013· 湖北)已知点 A(-1,1)、B(1,2)、C(-2,-1)、D(3,4),则向量AB在CD方向上的 投影为( 3 2 A. 2 3 2 C. - 2 ) 3 15 B. 2 3 15 D.- 2

→ → → → (2)已知正方形 ABCD 的边长为 1,点 E 是 AB 边上的动点,则DE· CB的值为________;DE· DC 的最大值为________. 答案 (1)A (2)1 1 → → 解析 (1)AB=(2,1),CD=(5,5), → → 2×5+1×5 AB· CD → → ∴AB在CD方向上的投影为 = → 52+52 |CD|

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= 15 3 2 = . 2 5 2

(2)方法一 以射线 AB,AD 为 x 轴,y 轴的正方向建立平面直角坐标系,则 A(0,0),B(1,0),C(1,1),D(0,1),设 → → → → E(t,0),t∈[0,1],则DE=(t,-1),CB=(0,-1),所以DE· CB=(t,-1)· (0, -1)=1. → 因为DC=(1,0), → → 所以DE· DC=(t,-1)· (1,0)=t≤1, → → 故DE· DC的最大值为 1. 方法二 → → 由图知,无论 E 点在哪个位置,DE在CB方向上的投影都是 CB=1, → → → ∴DE· CB=|CB|· 1=1, → → → → 当 E 运动到 B 点时,DE在DC方向上的投影最大即为 DC=1,∴(DE· DC)max → =|DC|· 1=1. 思维升华 求两个向量的数量积有三种方法:利用定义;利用向量的坐标运算;利用数量积

的几何意义. x1+y1 (1)已知平面向量 a=(x1,y1),b=(x2,y2),若|a|=2,|b|=3,a· b=-6.则 的 x2+y2 值为( )

2 2 5 5 A. B.- C. D.- 3 3 6 6 → → → (2)在△ABC 中,若 A=120° ,AB· AC=-1,则|BC|的最小值是( A. 2 B.2 C. 6 D.6 )

答案 (1)B (2)C 解析 (1)由已知得,向量 a=(x1,y1)与 b=(x2,y2)反向,3a+2b=0,即 3(x1,y1)+2(x2,y2)

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x1+y1 2 2 2 =(0,0),得 x1=- x2,y1=- y2,故 =- . 3 3 3 x2+y2 → → (2)∵AB· AC=-1, → → ∴|AB|· |AC|· cos 120° =-1, → → 即|AB|· |AC|=2, → → → → → → →2 ∴|BC|2=|AC-AB|2=AC2-2AB· AC+AB → → → → ≥2|AB|· |AC|-2AB· AC=6, → ∴|BC|min= 6. 题型二 求向量的模与夹角 π 例 2 (1)若平面向量 a 与平面向量 b 的夹角等于 ,|a|=2,|b|=3,则 2a-b 与 a+2b 的夹角 3 的余弦值等于( 1 A. 26 1 C. 12 ) 1 B.- 26 D.- 1 12

(2)已知向量 a,b 的夹角为 45° ,且|a|=1,|2a-b|= 10,则|b|=________. → → → → → → → → (3)(2013· 山东)已知向量AB与AC的夹角为 120° ,且|AB|=3,|AC|=2.若 A P =λAB+AC,且AP → ⊥BC,则实数 λ 的值为________. 答案 (1)B (2)3 2 (3) 7 12

解析 (1)记向量 2a-b 与 a+2b 的夹角为 θ, π 又(2a-b)2=4×22+32-4×2×3×cos =13, 3 π (a+2b)2=22+4×32+4×2×3×cos =52, 3 (2a-b)· (a+2b)=2a2-2b2+3a· b =8-18+9=-1,

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?2a-b?· ?a+2b? 1 故 cos θ= =- , 26 |2a-b|· |a+2b| 1 即 2a-b 与 a+2b 的夹角的余弦值是- . 26 (2)∵a,b 的夹角为 45° ,|a|=1, ∴a· b=|a|· |b|cos 45° = |2a-b|2=4-4× 2 |b|, 2

2 |b|+|b|2=10,∴|b|=3 2. 2

→ → → → (3)由AP⊥BC知AP· BC=0, → → → → → → 即AP· BC=(λAB+AC)· (AC-AB) → → → → =(λ-1)AB· AC-λA B 2+AC2 1? 7 =(λ-1)×3×2×? ?-2?-λ×9+4=0,解得 λ=12. 思维升华 (1)在数量积的基本运算中,经常用到数量积的定义、模、夹角等公式,尤其对 |a|

= a· a要引起足够重视,它是求距离常用的公式. (2)要注意向量运算律与实数运算律的区别和联系.在向量的运算中,灵活运用运算律,就会 达到简化运算的目的. (1)(2013· 天津)在平行四边形 ABCD 中, AD=1, ∠BAD=60° , E 为 CD 的中点. 若 → → AC· BE=1,则 AB 的长为________. 1 (2)(2014· 江西)已知单位向量 e1 与 e2 的夹角为 α,且 cos α= ,向量 a=3e1-2e2 与 b=3e1-e2 3 的夹角为 β,则 cos β=________. 1 2 2 答案 (1) (2) 2 3 → → 解析 (1)在平行四边形 ABCD 中,取 AB 的中点 F,则BE=FD, → → → 1→ → → → ∴BE=FD=AD- AB,又AC=AD+AB, 2 → → → → → 1→ ∴AC· BE=(AD+AB)· (AD- AB) 2
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→ 1 → → → → 1→2 =AD2- AD· AB+AD· AB- AB 2 2 1→ → 1→ → =|AD|2+ |AD||AB|cos 60° - |AB|2 2 2 1 1→ 1→ =1+ × |AB|- |AB|2=1. 2 2 2 1 →?→ → → 1 ∴? ?2-|AB|?|AB|=0,又|AB|≠0,∴|AB|=2. (2)∵|a|= |b|= ?3e1-2e2?2= 1 9+4-12×1×1× =3, 3

?3e1-e2?2=

1 9+1-6×1×1× =2 2, 3

∴a· b=(3e1-2e2)· (3e1-e2)=9e2 e2+2e2 1-9e1· 2 1 =9-9×1×1× +2=8, 3 8 2 2 ∴cos β= = . 3 3×2 2 题型三 数量积的综合应用 例 3 已知△ABC 的角 A、B、C 所对的边分别是 a、b、c,设向量 m=(a,b),n=(sin B,sin A),p=(b-2,a-2). (1)若 m∥n,求证:△ABC 为等腰三角形; π (2)若 m⊥p,边长 c=2,角 C= ,求△ABC 的面积. 3 思维点拨 (1)由 m∥n 可得△ABC 的边角关系,再利用正弦定理边角互化即可证得结论; (2)由 m⊥p 得 a、b 关系,再利用余弦定理得 ab,代入面积公式. (1)证明 ∵m∥n,∴asin A=bsin B, a b 即 a· =b· ,其中 R 是三角形 ABC 外接圆半径, 2R 2R ∴a=b. ∴△ABC 为等腰三角形. (2)解 由题意可知 m· p=0,即 a(b-2)+b(a-2)=0. ∴a+b=ab.
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由余弦定理可知,4=a2+b2-ab=(a+b)2-3ab, 即(ab)2-3ab-4=0, ∴ab=4(舍去 ab=-1), 1 1 π ∴S= absin C= ×4×sin = 3. 2 2 3 思维升华 解决以向量为载体考查三角形问题时,正弦定理、余弦定理、面积公式的应用、

边与角之间的互化是判断三角形形状的常用方法. π 已知向量 m=(2sin(ωx+ ),1),n=(2cos ωx,- 3)(ω>0),函数 f(x)=m· n 的两 3 π 条相邻对称轴间的距离为 . 2 (1)求函数 f(x)的单调递增区间; 5π π (2)当 x∈[- , ]时,求 f(x)的值域. 6 12 解 (1)f(x)=m· n π =4sin(ωx+ )cos ωx- 3 3 =2sin ωxcos ωx+2 3cos2ωx- 3 =sin 2ωx+ 3cos 2ωx π =2sin(2ωx+ ). 3 2π 因为 T= =π,所以 ω=1. 2ω π 所以 f(x)=2sin(2x+ ). 3 π π π 5π π 由 2kπ- ≤2x+ ≤2kπ+ (k∈Z)得 kπ- ≤x≤kπ+ (k∈Z). 2 3 2 12 12 5π π 所以函数 f(x)的单调递增区间是[kπ- ,kπ+ ](k∈Z). 12 12 5π π (2)因为 x∈[- , ], 6 12 π 4π π 所以 2x+ ∈[- , ]. 3 3 2
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π 所以 sin(2x+ )∈[-1,1]. 3 所以 f(x)∈[-2,2],即 f(x)的值域是[-2,2].

高考中以向量为背景的创新题 α· β 典例:(1)对任意两个非零的平面向量 α 和 β,定义 α?β= .若两个非零的平面向量 a,b 满足 β· β π π n a 与 b 的夹角 θ∈( , ),且 a?b 和 b?a 都在集合{ |n∈Z}中,则 a?b 等于( 4 2 2 5 3 1 A. B. C.1 D. 2 2 2 n 思维点拨 先根据定义表示出 a?b 和 b?a,利用其属于集合{ |n∈Z},将其表示成集合中元素 2 π π 的形式,两式相乘即可表示出 cos θ,然后利用 θ∈( , )确定 cos θ 的取值范围,结合集合中 4 2 n∈Z 的限制条件即可确定 n 的值,从而求出 a?b 的值. a· b |a||b|cos θ 解析 根据新定义,得 a?b= = b· b |b|2 |a| b· a |a||b|cos θ |b| = cos θ,b?a= = = cos θ. |b| a· a |a|2 |a| n n1 n2 又因为 a?b 和 b?a 都在集合{ |n∈Z}中,设 a?b= ,b?a= (n1,n2∈Z),那么(a?b)· (b?a)= 2 2 2 n1n2 cos2θ= , 4 π π 又 θ∈( , ),所以 0<n1n2<2. 4 2 n1 1 所以 n1,n2 的值均为 1.故 a?b= = . 2 2 答案 D 1 (2)设向量 a=(a1,a2),b=(b1,b2),定义一种向量积 a?b=(a1b1,a2b2),已知向量 m=(2, ), 2 π → n=( ,0),点 P(x,y)在 y=sin x 的图象上运动,Q 是函数 y=f(x)图象上的点,且满足OQ= 3 → m?OP+n(其中 O 为坐标原点),则函数 y=f(x)的值域是________. )

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→ → 思维点拨 根据定义先写出 m?OP,进而求出OP,确定函数 y=f(x)的解析式. 解析 设 Q(c,d),由新的运算可得 1 π → → OQ=m?OP+n=(2x, sin x)+( ,0) 2 3 π 1 =(2x+ , sin x), 3 2

?c=2x+3, 由? 1 ?d=2sin x,

π

1 1 π 消去 x 得 d= sin( c- ), 2 2 6

1 1 π 所以 y=f(x)= sin( x- ), 2 2 6 1 1? 易知 y=f(x)的值域是? ?-2,2?. 1 1? 答案 ? ?-2,2? 温馨提醒 解答创新型问题,首先需要分析新定义的特点,把新定义所叙述的问题的本质弄

清楚,将问题转化为我们熟悉的定义运算;然后确定解题策略,根据题目条件进行求解.

方法与技巧 1.计算数量积的三种方法:定义、坐标运算、数量积的几何意义,要灵活选用,和图形有关 的不要忽略数量积几何意义的应用. 2.求向量模的常用方法:利用公式|a|2=a2,将模的运算转化为向量的数量积的运算. 3.利用向量垂直或平行的条件构造方程或函数是求参数或最值问题常用的方法与技巧. 失误与防范 1.数量积运算律要准确理解、应用,例如,a· b=a· c(a≠0)不能得出 b=c,两边不能约去一个 向量. 2.两个向量的夹角为锐角,则有 a· b>0,反之不成立;两个向量夹角为钝角,则有 a· b<0,反 之不成立.
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A 组 专项基础训练 (时间:45 分钟) 1.若向量 a,b 满足|a|=|b|=|a+b|=1,则 a· b 的值为( 1 A.- 2 答案 A 解析 依题意得(a+b)2=a2+b2+2a· b =2+2a· b=1, 1 所以 a· b=- ,选 A. 2 2.已知向量 a=(1, 3),b=(-1,0),则|a+2b|等于( A.1 B. 2 答案 C 解析 |a+2b|2=a2+4a· b+4b2=4-4×1+4=4, ∴|a+2b|=2. 3.已知向量 a=(1,2),b=(2,-3).若向量 c 满足(c+a)∥b,c⊥(a+b),则 c 等于( 7 7? A.? ?9,3? 7 7? C.? ?3,9? 答案 D 解析 设 c=(x,y),则 c+a=(x+1,y+2), 又(c+a)∥b,∴2(y+2)+3(x+1)=0.① 又 c⊥(a+b),∴(x,y)· (3,-1)=3x-y=0.② 7 7 联立①②解得 x=- ,y=- . 9 3 → → 4. 向量AB与向量 a=(-3,4)的夹角为 π, |AB|=10, 若点 A 的坐标是(1,2), 则点 B 的坐标为( A.(-7,8) B.(9,-4)
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)

1 B. C.-1 D.1 2

)

C.2 D.4

)

7 7? B.? ?-3,-9? 7 7? D.? ?-9,-3?

)

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C.(-5,10) 答案 D → 解析 ∵AB与 a=(-3,4)反向, → ∴可设AB=(3λ,-4λ),λ>0. → → 又|AB|=10,∴λ=2,∴AB=(6,-8), 又 A(1,2),∴B 点坐标为(7,-6). → → 5.(2013· 福建)在四边形 ABCD 中,AC=(1,2),BD=(-4,2),则该四边形的面积为( A. 5 B.2 5 C.5 D.10 ) D.(7,-6)

答案 C → → 解析 ∵AC· BD=-4+4=0, → → ∴AC⊥BD. 1→ → ∴四边形 ABCD 的面积 S= |AC||BD| 2 1 = × 5×2 5=5. 2 6.(2014· 北京)已知向量 a,b 满足|a|=1,b=(2,1),且 λa+b=0(λ∈R),则|λ|=________. 答案 5

解析 ∵λa+b=0,∴λa=-b, ∴|λa|=|-b|=|b|= ∴|λ|· |a|= 5. 又|a|=1,∴|λ|= 5. → → 7.(2013· 课标全国Ⅱ)已知正方形 ABCD 的边长为 2,E 为 CD 的中点,则AE· BD=________. 答案 2 → → → → → → 解析 由题意知:AE· BD=(AD+DE)· (AD-AB) → 1→ → → =(AD+ AB)· (AD-AB) 2 22+12= 5,

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→ 1 → → 1→2 =AD2- AD· AB- AB =4-0-2=2. 2 2 8.已知 a=(2,-1),b=(λ,3),若 a 与 b 的夹角为钝角,则 λ 的取值范围是____________. 3? 答案 (-∞,-6)∪? ?-6,2? 3 解析 由 a· b<0,即 2λ-3<0,解得 λ< ,由 a∥b 得: 2 3 6=-λ,即 λ=-6.因此 λ 的取值范围是 λ< ,且 λ≠-6. 2 9.已知|a|=4,|b|=3,(2a-3b)· (2a+b)=61. (1)求 a 与 b 的夹角 θ; (2)求|a+b|和|a-b|. 解 (1)(2a-3b)· (2a+b)=61, 解得 a· b=-6. a· b -6 1 ∴cos θ= = =- , |a||b| 4×3 2 又 0≤θ≤π, 2π ∴θ= . 3 (2)|a+b|2=a2+2a· b+b2=13, ∴|a+b|= 13. |a-b|2=a2-2a· b+b2=37. ∴|a-b|= 37. 10.已知△ABC 的内角为 A、B、C,其对边分别为 a、b、c,B 为锐角,向量 m=(2sin B,- B 3),n=(cos 2B,2cos2 -1),且 m∥n. 2 (1)求角 B 的大小; (2)如果 b=2,求 S△ABC 的最大值. B 解 (1)m∥n?2sin B· (2cos2 -1)+ 3cos 2B=0 2 π ?sin 2B+ 3cos 2B=0?2sin(2B+ )=0(B 为锐角) 3
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2π π ?2B= ?B= . 3 3 a2+c2-b2 (2)cos B= ?ac=a2+c2-4≥2ac-4 2ac ?ac≤4. 1 1 3 S△ABC= a· c· sin B≤ ×4× = 3. 2 2 2 故 S△ABC 的最大值为 3. B 组 专项能力提升 (时间:20 分钟) → → → → → → → 11.△ABC 的外接圆圆心为 O,半径为 2,OA+AB+AC=0,且|OA|=|AB|,则CA在CB方向 上的投影为( ) D.3

A.1 B.2 C. 3 答案 C

→ → → 解析 如图,设 D 为 BC 的中点,由OA+AB+AC=0, → → 得AO=2AD, → → ∴A、O、D 共线且|AO|=2|AD|, 又 O 为△ABC 的外心, ∴AO 为 BC 的中垂线, → → → → ∴|AC|=|AB|=|OA|=2,|AD|=1, → → → ∴|CD|= 3,∴CA在CB方向上的投影为 3. → → → → 12.在△ABC 中,A=90° ,AB=1,AC=2.设点 P,Q 满足AP=λAB,AQ=(1-λ)AC,λ∈R. → → 若BQ· CP=-2,则 λ 等于( 1 2 4 A. B. C. D.2 3 3 3 答案 B → → → → → 解析 BQ=AQ-AB=(1-λ)AC-AB, )

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→ → → → → CP=AP-AC=λAB-AC, → → → → BQ· CP=(λ-1)AC2-λAB2 2 =4(λ-1)-λ=3λ-4=-2,即 λ= . 3 → → → 13.如图所示, 在平面四边形 ABCD 中, 若 AC=3, BD=2, 则(AB+DC)· (AC → +BD)=________. 答案 5 → → → → → → 解析 由于AB=AC+CB,DC=DB+BC, → → → → → → 所以AB+DC=AC+CB+DB+BC → → =AC-BD. → → → → → → → → (AB+DC)· (AC+BD)=(AC-BD)· (AC+BD) → → =|AC|2-|BD|2=9-4=5. 14.(2014· 湖南)在平面直角坐标系中,O 为原点,A(-1,0),B(0, 3),C(3,0),动点 D 满足 → → → → |CD|=1,则|OA+OB+OD|的最大值是________. 答案 7+1

→ → 解析 设 D(x,y),由CD=(x-3,y)及|CD|=1 知(x-3)2+y2=1,即动点 D 的轨迹为以点 C 为圆心的单位圆.

→ → → 又 O A +OB+OD=(-1,0)+(0, 3)+(x,y)=(x-1,y+ 3),
→ → → ∴|OA+OB+OD|= ?x-1?2+?y+ 3?2.

问题转化为圆(x-3)2+y2=1 上的点与点 P(1,- 3)之间距离的最大值. ∵圆心 C(3,0)与点 P(1,- 3)之间的距离为 故 ?x-1?2+?y+ 3?2的最大值为 7+1. ?3-1?2+?0+ 3?2= 7,

15.已知向量 p=(2sin x, 3cos x),q=(-sin x,2sin x),函数 f(x)=p· q. (1)求 f(x)的单调递增区间;
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(2)在△ABC 中,a,b,c 分别是角 A,B,C 的对边,且 f(C)=1,c=1,ab=2 3,且 a>b, 求 a,b 的值. 解 (1)f(x)=-2sin2x+2 3sin xcos x =-1+cos 2x+2 3sin xcos x π = 3sin 2x+cos 2x-1=2sin(2x+ )-1. 6 π π π 由 2kπ- ≤2x+ ≤2kπ+ ,k∈Z, 2 6 2 π π 得 kπ- ≤x≤kπ+ ,k∈Z, 3 6 π π? ∴f(x)的单调递增区间是? ?kπ-3,kπ+6?(k∈Z). π (2)∵f(C)=2sin(2C+ )-1=1, 6 π ∴sin(2C+ )=1, 6 π π π ∵C 是三角形的内角,∴2C+ = ,即 C= . 6 2 6 a2+b2-c2 3 ∴cos C= = ,即 a2+b2=7. 2ab 2 12 将 ab=2 3代入可得 a2+ 2 =7,解得 a2=3 或 4. a ∴a= 3或 2,∴b=2 或 3. ∵a>b,∴a=2,b= 3.

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