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等差数列1


高中数学教案

第三章 数列(第 3 课时)



题:3.1 等差数列(一)

教学目的: 1.明确等差数列的定义,掌握等差数列的通项公式; 2.会解决知道 an , a1 , d , n 中的三个,求另外一个的问题 教学重点:等差数列的概念,等差数列的通项公式 教学难点:等差数列的性质 授课类型

:新授课 课时安排:1 课时 教 具:多媒体、实物投影仪 内容分析: 本节是等差数列这一部分,在讲等差数列的概念时,突出了它与 一次函数的联系,这样就便于利用所学过的一次函数的知识来认识等 差数列的性质:从图象上看,为什么表示等差数列的各点都均匀地分 布在一条直线上,为什么两项可以决定一个等差数列(从几何上看两 点可以决定一条直线) 教学过程:
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一、复习引入: 上两节课我们学习了数列的定义及给出数列和表示的数列的几 种方法——列举法、通项公式、递推公式、图象法和前 n 项和公式.. 这些方法从不同的角度反映数列的特点 下面我们看这样一些例子 1.小明觉得自己英语成绩很差,目前他的单词量只 yes,no,you,me,he 5 个 他决定从今天起每天背记 10 个单词,那么从今 天开始,他的单词量逐日增加,依次为:5,15,25,35,? (问:多少天后他的单词量达到 3000?) 2.小芳觉得自己英语成绩很棒,她目前的单词量多达 3000 她打 算从今天起不再背单词了,结果不知不觉地每天忘掉 5 个单词,那么 从今天开始, 她的单词量逐日递减, 依次为: 3000, 2995, 2990, 2985, ? (问:多少天后她那 3000 个单词全部忘光?) 从上面两例中,我们分别得到两个数列 ① 5,15,25,35,? 和 ② 3000,2995,2990,2980,? 请同学们仔细观察一下,看看以上两个数列有什么共同特征?? ·共同特征:从第二项起,每一项与它前面一项的差等于同一个常数 (即等差) ; (误:每相邻两项的差相等——应指明作差的顺序是后项 减前项) ,我们给具有这种特征的数列一个名字——等差数列
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二、讲解新课:
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第三章 数列(第 3 课时)

1.等差数列:一般地,如果一个数列从第二项起,每一项与它 前一项的差等于同一个常数,这个数列就叫做等差数列,这个常数就 叫做等差数列的公差(常用字母“d”表示) ⑴.公差 d 一定是由后项减前项所得,而不能用前项减后项来 求;
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⑵.对于数列{ an },若 an - a n ?1 =d (与 n 无关的数或字母),n≥2, n∈N ? ,则此数列是等差数列,d 为公差
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2 . 等 差 数 列 的 通 项 公 式 : an ? a1 ? (n ? 1)d 【 或

an ? am ? (n ? m)d 】
等差数列定义是由一数列相邻两项之间关系而得 若一等差数列
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?an ?的首项是 a1 ,公差是 d,则据其定义可得:
a2 ? a1 ? d 即: a2 ? a1 ? d

a3 ? a2 ? d 即: a3 ? a2 ? d ? a1 ? 2d
a4 ? a3 ? d 即: a4 ? a3 ? d ? a1 ? 3d
?? 由此归纳等差数列的通项公式可得: an ? a1 ? (n ? 1)d ∴已知一数列为等差数列, 则只要知其首项 a1 和公差 d, 便可求得其 通项 an
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如数列①1,2,3,4,5,6; an ? 1 ? (n ? 1) ?1 ? n (1≤n≤6) 数列②10,8,6,4,2,?; an ? 10 ? (n ? 1) ? (?2) ? 12 ? 2n (n≥1) 数列③ ; , ; ,1,?;
1 2 3 4 5 5 5 5

an ?

1 1 n ? (n ? 1) ? ? (n≥1) 5 5 5

由上述关系还可得: am ? a1 ? (m ? 1)d 即: a1 ? am ? (m ? 1)d
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则: an ? a1 ? (n ? 1)d = am ? (m ? 1)d ? (n ? 1)d ? am ? (n ? m)d 即的第二通项公式

an ? am ? (n ? m)d

∴ d=

am ? an m?n

如: a5 ? a4 ? d ? a3 ? 2d ? a2 ? 3d ? a1 ? 4d 三、例题讲解 例 1 ⑴求等差数列 8,5,2?的第 20 项 ⑵ -401 是不是等差数列-5,-9,-13?的项?如果是,是第 几项? 解:⑴由 a1 ? 8, d ? 5 ? 8 ? 2 ? 5 ? ?3 n=20,得 a20 ? 8 ? (20 ? 1) ? (?3) ? ?49 ⑵由 a1 ? ?5, d ? ?9 ? (?5) ? ?4 得数列通项公式为: an ? ?5 ? 4(n ? 1) 由题意可知,本题是要回答是否存在正整数 n,使得
? 401? ?5 ? 4(n ? 1) 成立解之得 n=100,即-401 是这个数列的第 100 项
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例 2 在等差数列 ?an ? 中,已知 a5 ? 10 , a12 ? 31,求 a1 , d , a20 , an 解法一:∵ a5 ? 10 , a12 ? 31,则

a1 ? ?2 ?a1 ? 4d ? 10 ?? ? ? ?d ? 3 ?a1 ? 11d ? 31
a20 ? a1 ? 19d ? 55

∴ an ? a1 ? (n ? 1)d ? 3n ? 5

解法二:∵ a12 ? a5 ? 7d ? 31 ? 10 ? 7d ? d ? 3 ∴ a20 ? a12 ? 8d ? 55 小结:第二通项公式

an ? a12 ? (n ? 12)d ? 3n ? 5

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an ? am ? (n ? m)d
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第三章 数列(第 3 课时)

例 3 将一个等差数列的通项公式输入计算器数列 un 中, 设数列的 第 s 项和第 t 项分别为 us 和 u t , 计算 并证明你的结论
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u s ? ut 的值, 你能发现什么结论? s ?t

解:通过计算发现

u s ? ut 的值恒等于公差 s ?t

证明:设等差数列{ un }的首项为 u 1 ,末项为 un ,公差为 d,

?u s ? u1 ? ( s ? 1)d ? ?u t ? u1 ? (t ? 1)d

(1) (2)
? u s ? ut ?d s ?t

⑴-⑵得 us ? ut ? (s ? t )d

小结:①这就是第二通项公式的变形,②几何特征,直线的斜率 例 4 梯子最高一级宽 33cm,最低一级宽为 110cm,中间还有 10 级,各级的宽度成等差数列,计算中间各级的宽度
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解:设 ?an ? 表示梯子自上而上各级宽度所成的等差数列, 由已知条件,可知: a1 =33,

a12 =110,n=12
解得: d ? 7

∴ a12 ? a1 ? (12 ? 1)d ,即 10=33+11 d

因此, a2 ? 33 ? 7 ? 40, a3 ? 40 ? 7 ? 47, a4 ? 54, a5 ? 61,
a6 ? 68, a7 ? 75, a8 ? 82, a9 ? 89, a10 ? 96, a11 ? 103 ,

答:梯子中间各级的宽度从上到下依次是 40cm,47cm,54cm, 61cm,68cm,75cm,82cm,89cm,96cm,103cm. 例 5 已知数列{ an }的通项公式 an ? pn ? q ,其中 p 、 q 是常数,那么 这个数列是否一定是等差数列?若是,首项与公差分别是什么? 分析:由等差数列的定义,要判定 ?an ? 是不是等差数列,只要看

an ? an?1 (n≥2)是不是一个与 n 无关的常数

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第三章 数列(第 3 课时)

解: 当 n≥2 时, (取数列 ?an ? 中的任意相邻两项 a n ?1 与 an(n≥2) )

an ? an?1 ? ( pn ? q) ? [ p(n ? 1) ? q] ? pn ? q ? ( pn ? p ? q) ? p 为常数
∴{ an }是等差数列,首项 a1 ? p ? q ,公差为 p
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注:①若 p=0,则{ an }是公差为 0 的等差数列,即为常数列 q,q, q,… ②若 p≠0, 则{ an }是关于 n 的一次式,从图象上看,表示数列的各 点均在一次函数 y=px+q 的图象上,一次项的系数是公差,直线在 y 轴上 的截距为 q. ③数列{ an }为等差数列的充要条件是其通项 an =pn+q (p、q 是常 数) 称其为第 3 通项公式
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④判断数列是否是等差数列的方法是否满足 3 个通项公式中的一 个
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四、练习: 1.(1)求等差数列 3,7,11,??的第 4 项与第 10 项. 分析:根据所给数列的前 3 项求得首项和公差,写出该数列的通 项公式,从而求出所求项. 解:根据题意可知: a1 =3,d=7-3=4. ∴该数列的通项公式为:an =3+(n-1)×4,即 an =4n-1(n≥1,n ∈N*) ∴ a4 =4×4-1=15, a10 =4×10-1=39. 评述:关键是求出通项公式. (2)求等差数列 10,8,6,??的第 20 项. 解:根据题意可知: a1 =10,d=8-10=-2. ∴该数列的通项公式为: an =10+(n-1)×(-2),即: an =- 2n+12,
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第三章 数列(第 3 课时)

∴ a 20 =-2×20+12=-28. 评述:要注意解题步骤的规范性与准确性. (3)100 是不是等差数列 2,9,16,??的项?如果是,是第 几项?如果不是,说明理由. 分析:要想判断一数是否为某一数列的其中一项,则关键是要看 是否存在一正整数 n 值,使得 an 等于这一数. 解:根据题意可得: a1 =2,d=9-2=7. ∴此数列通项公式为: an =2+(n-1)×7=7n-5. 令 7n-5=100,解得:n=15, ∴100 是这个数列的第 15 项. (4)-20 是不是等差数列 0,-3 ,-7,??的项?如果是, 是第几项?如果不是,说明理由. 解:由题意可知: a1 =0,d=-3
1 2 7 2 7 2 1 2

∴此数列的通项公式为: an =- n+ , 令- n+ =-20,解得 n=
7 2 7 2 7 2 7 2

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因为- n+ =-20 没有正整数解, 所以-20 不是这个数列的项. 2.在等差数列{ an }中, (1)已知 a4 =10, a7 =19,求 a1 与 d; (2)已知 a3 =9, a9 =3,求 a12 . 解: (1)由题意得: ?
?a1 ? 3d ? 10 , ?a1 ? 6d ? 19

解之得: ?

?a1 ? 1 . ?d ? 3

?a ? 2d ? 9 (2)解法一:由题意可得: ? 1 , ?a1 ? 8d ? 3

解之得 ?

?a1 ? 11 ?d ? ?1

∴该数列的通项公式为:an =11+ (n-1) × (-1) =12-n,∴ a12 =0 解法二:由已知得: a9 = a3 +6d,即:3=9+6d,∴d=-1
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第三章 数列(第 3 课时)

又∵ a12 = a9 +3d,∴ a12 =3+3×(-1)=0. Ⅳ.课时小结 五、小结 通过本节学习,首先要理解与掌握等差数列的定

义及数学表达式: an - a n ?1 =d , (n≥2,n∈N ? ).其次,要会 推导等差数列的通项公式: an ? a1 ? (n ? 1)d ,并掌握其基本应 用.最后, 还要注意一重要关系式:an ? am ? (n ? m)d 和 an =pn+q (p、q 是常数)的理解与应用. 六、课后作业:

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