当前位置:首页 >> 学科竞赛 >> 2012江苏省数学竞赛《提优教程》教案:第34讲

2012江苏省数学竞赛《提优教程》教案:第34讲


第 35 讲 函数迭代与函数方程
本节主要内容有函数迭代与函数方程问题.在研究函数的表达式或函数性质时,通常是 没有给出函数的解析式,往往只给出函数的某些性质,而要求出函数的解析式,或证明该函 数具有另外的一些性质,或证明满足所给性质的函数不存在或有多少个,或求出该函数的某 些特殊函数值……。

A 类例题
例 1 已知 f (e ) ?

x ? sin x ,则函数 f ( x) ?
x 3



解 令 t ? e ;则 x ? ln t,t ? 0 。
x

将此代入 f (e ) ? x ? sin x 式可得
x 3

f (t ) ? ?ln t ? ? sin?ln t ? ( t ? 0 ) 。
3



f ( x ) ? ? l nx ? ?
3

s ? n lxn ( x ? 0 ) i ?
x 3

代入(1)式,显然其满足方程 f (e ) ? x ? sin x 。 说明 解函数方程 f (? ( x)) ? g ( x) (其中 ? ( x) 及 g ( x) 是已知函数)时,可设 t ? ? ( x) ,并
?1

在 ? 的反函数存在时,求出反函数 x ? ? (t ) ;将它们代回原来的方程式以求出 f ( x) 。但若

? ( x) 为未知函数时,这个方法就不能用了。由于代换后的函数未必与原函数方程等价,所以
最后一定要检验所得到的解是否满足原来的函数方程。 例 2 已知 f (x ) 为多项式函数,解函数方程 f ( x ? 1) ? f ( x ? 1) ? 2 x ? 4 x
2

(1)

分析 由于 f (x ) 为多项式函数,注意 f ( x ? 1) 与 f ( x ? 1) 和 f (x ) 的次数是相同的。 解 因为 f (x ) 为多项式函数,而 f ( x ? 1) 与 f ( x ? 1) 并 不会改变 f (x ) 的次数,故由(1)可知

f (x ) 为二次函数。
不妨设 f ( x ) ? ax ? bx ? c ,
2

则 f ( x ? 1) ? a( x ? 1) ? b( x ? 1) ? c ? ax ? (2a ? b) x ? (a ? b ? c) ,
2 2

f ( x ? 1) ? a( x ? 1)2 ? b( x ? 1) ? c ? ax 2 ? (b ? 2a) x ? (a ? b ? c) ,
所以 f ( x ? 1) ? f ( x ? 1) ? 2ax ? 2bx ? 2(a ? c) ? 2 x ? 4 x ,
2 2

? 2 a ? 2, ? 所以 ? 2b ? ?4, ? a ? c ? 0, ?
2

? a ? 1, ? 解得 ?b ? ?2, ? c ? ?1, ?

所以 f ( x ) ? x ? 2 x ? 1 。 易检验出此 f (x ) 确实满足 f ( x ? 1) ? f ( x ? 1) ? 2 x ? 4 x 。
2

说明 当 f (x ) 是多项式时,一般可设 f ( x) ? a0 x ? a1 x
n

n ?1

? ? ? an (a0 ? 0) 代入函数方程两端,

? 比较两端 x 最高次幂的指数和 x 同次幂的系数,得到关于 n 及 a0,a1, ,an 的方程组,解出这个
方程组便可得到函数方程的解。

情景再现
1.已知 f(2x-1)=x2+x,那么函数 f(x)=______________。 2.已知 f (x ) 是二次函数,解函数方程 f ( f ( x )) ? x ? 2 x 。 3.若定义在 (??, 0) ? (0, ??) 上的函数 f(x)满足
4 2

2f(x)+f(

1 )=x,求函数 f(x)。 x

B 类例题
例 3 设 f (x)是定义在 R 上的偶函数。其图象关于直线 x=1 对称,对任意 x1,x2 ? [0 . 1 ] ,都有 f (x1

2

+x2)=f (x1)· (x2),且 f ( 1 )=a>0. f

1 1 2 4 (2)证明 f (x)是周期函数; (2001 年全国高考题)
(1)求 f ( ) 及 f ( ) ; (1)解 因为 f ( x1 ? x2 ) ? f ( x1 ) f ( x2 ) , x1 , x2 ? [0 , ] , 令 x1 ? x2 ?

1 2

x 1 x x x ? (0, ) ,得 f ( x) ? f ( ) f ( ) ? [ f ( )]2 ① 2 2 2 2 2

由 [ f ( )] ? 0 ,知 f ( x) ≥0,x∈[0,1]。
2

x 2

取 x ? 1 代入①式得 f (1) ? [ f ( )] =f (1)=a>0,
2

1 2

由 f ( ) ? 0知 f ( ) ? a2 。

1 2

1 2

1

1 1 1 2 代入①式得 f ( ) ? [ f ( )] , 2 2 4 1 1 1 由 f ( ) ? 0知 f ( ) ? a4 。 4 4
取x? (2)证明 依题设 y=f (x)关于直线 x=1 对称, 故 f (x)=f (1+1-x),即 f (x)=f (2-x),x∈R

又由 f (x)是偶函数知 f (-x)=f (x),x∈R 将上式中-x 以 x 代换,得 f (x)=f (x+2),x∈R 这表明 f (x)是 R 上的周期函数,且 2 是它的一个周期. 例 4 已 知 函 数 f (x ) 满 足 : f (0) ? 1, f ( ) ? 2 , 且 对 任 意 的 x, y ? R 有

?

2

f ( x ? y ) ? f ( x ? y ) ? 2 f ( x) cos y
求函数 f (x ) 。

(1)

分析 已知函数方程中出现了两个独立的变量 x、y,不妨设其中一个变量为常数。 解 令 x ? 0, y ? t 代入(1)可得 f (t ) ? f (?t ) ? 2 f (0) cos t ? 2 cos t ,(2) 令x ? 令x ?

?
?
2

? t, y ? ,y?

?
2

代入(1)可得 f (t ? ? ) ? f (t ) ? 0 , (3)

?

2

? t 代入(1)可得 f (t ? ? ) ? f ( ?t ) ? ?2 f ( ) sin t ? ?4 sin t 2 2

?

(4)

由 (2)、(3)、(4)得 2 f (t ) ? 2 cos t ? 4 sin t , 即 f (t ) ? cos t ? 2sin t , 所以 f ( x) ? cos x ? 2sin x 。 易检验 f (x ) 满足方程式 f ( x ? y ) ? f ( x ? y ) ? 2 f ( x) cos y 。 说明 由函数方程 f ( x ? y ) ? f ( x ? y ) ? 2 f ( x) cos y 所确定的函数不唯一, 这取决于两个初始 值 f (0) 和 f ( ) 。 事实上, f (0) ? a, f ( ) ? b , 若 则函数方程 f ( x ? y ) ? f ( x ? y ) ? 2 f ( x) cos y

?

?

2

2

的解为 f ( x ) ? a cos x ? b sin x 。 例 5 设 f ( x) 是 对 除 x=0 和 x=1 以 外 的 一 切 实 数 有 定 义 的 实 值 函 数 , 且

f ( x) ? f (

x ?1 ) ? 1 ? x ,求 f ( x) 。 x

(美国第 32 届普特南数学竞赛题) 分析 题目给出了函数 f ( x) 所满足得条件, 故应用适当的表达式换元, 得到关于 f ( x) 的方程组。

解法一 令 x ?

y ?1 1 , y ? 0,1 ,则 y ? , y 1? x

将此代入 f ( x ) ? f (

x ?1 ) ? 1 ? x (1) 可得 x

f(

y ?1 1 2y ?1 )? f( )? y 1? y y
(2)

即 f(

x ?1 1 2x ? 1 )? f( )? x 1? x x

此时(1)及(2)并无法解出 f (x ) ;

1 x ?1 。将此代入(1)式则可得 , z ? 0,1 ; 则 z ? 1? z x 1 2?z 1 2? x , 即 f( , ) ? f ( x) ? f( ) ? f ( z) ? 1? x 1? x 1? z 1? z 1 x ?1 将(1)、(2)、(3)联立,消去 f ( ), f ( ) ,得 1? x x
再令 x ?

(3)

f ( x) ?

x3 ? x 2 ? 1 。 2 x( x ? 1) f ( x) ? x3 ? x 2 ? 1 2 x( x ? 1)
代 入
3




2

1











? x ?1? ? x ?1? ? ? ?? ? ?1 3 2 x ?1 x ? x ?1 ? x ? ? x ? f ( x) ? f ( )? ? ? x ?1 x ?1? x ?1 ? x 2 x ( x ? 1) 2 ? 1? ? x ? x ?
所以 f ( x) ?

x3 ? x 2 ? 1 , ( x ? 0,1) 。 2 x( x ? 1)

x ?1 ?1 x ?1 x ?1 1 2 x 解法二 令 ? ( x ) ? ,则 ? ( x ) ? ? (? ( x )) ? ? ( , )? ? x ?1 x x 1? x x 1 ?1 1 3 2 1? x ? ( x ) ? ? (? ( x )) ? ? ( )? ?x 1 1? x 1? x x ?1 此时可将 f ( x ) ? f ( (1) ) ? 1 ? x 表示为 f ( x ) ? f (? ( x )) ? 1 ? x , x 2x ? 1 2 迭代一次可得 f (? ( x )) ? f (? ( x )) ? 1 ? ? ( x ) ? , (2) x
再迭代一次可得

f (? 2 ( x )) ? f (? 3 ( x )) ?

2? ( x ) ? 1 2? x ? f (? 2 ( x )) ? f ( x ) ? , (3) ? ( x) 1? x

将(1)、(2)、(3)联立,解得 f ( x) ?

x3 ? x 2 ? 1 。下同解法一。 2 x( x ? 1)

说明 利用一次换元,出现了新的函数形式,此时无法通过消元求出所求函数,可以考虑再进行一次 换元,使得出现的函数形式个数与方程个数一致,从而通过解方程组解出所求函数。 链接 一般而言,对于函数方程

a( x) f ( x) ? b( x) f (? ( x)) ? c( x) (?)
其中 a( x ), b( x ), ? ( x ), c( x ) 为已知函数,如果存在一个 k ? N ,使得 ? ( x ) ? x ,即可把原
*

k

来的方程式经过适当的变量变换而得到一个或多个函数方程式,使得原来的函数方程和新得 到的函数方程式形成一个 含有未知函数的函数方程组,然后再用消去法(或行列式法)来解 这个函数方程组以得到欲求的函数。 例 6 设 f ( x) 为 定 义 在 正 整 数 上 的 函 数 , f (1) ? 1 且 满 足 : 对 任 意 的 x ? 2 , 有

。求函数 f ( x) 。 f ( x? 1)? f ( x )? x f ( x 1) f ( x ) ? 分析 可以对所给方程进行转化得到关于 f ( x) 的递推关系 (把 f ( x) 定义在正整数上的函数,

。 f ( x) 看成数列{ an }) 解 将 f ( x ? 1) ? f ( x) ? xf ( x ? 1) f ( x) 式两边同除 f ( x ? 1) f ( x) 可得 对任意的 x ? 2 ,有

1 1 (此时,易证得对任意 x ? N * , f ( x) ? 0 ) ? ?x。 f ( x) f ( x ? 1) 1 1 ? ? x 式,可得 f ( x) f ( x ? 1)

依次以 2,3,?, x 代入

1 1 ? ?2, f (2) f (1)
1 1 ? ? 3, f (3) f (2)

? 1 1 ? ? x, f ( x) f ( x ? 1)
将这 x ? 1 个等式相加,得到

1 1 ? ? 2 ? 3 ??? x , f ( x) f (1)

所以

1 x( x ? 1) , ? 1? 2 ? 3 ?? ? x ? f ( x) 2

所以,对任意 x ? N * , f ( x) ?

2 。 x( x ? 1)

[来源:学科网 ZXXK]

说明 对于定义域为自然数的函数方程, 往往可以转化为数列问题, 通过找出 f ( x) 的某个递归公式, 然后依次取 x 为自然数 1, 2,?, m 个值代入递归公式, 得到 m 个等式; 设法利用这些等式消去 f ( x) 以 外其它形式的函数,即可求出函数方程的解。 例 7 设函数 f (n) ? k , 为无理数 ? =3.1415926535…的小数点后第 n 位数字, k 并且规定 f (0) ? 3 。 令 F ( n) ? f ( f ( f ? f (n)) ?) ,

??? ???? ? ?
10重f

求 证: F[ f (2006) ? f (25) ? f (3)] ? F[ f (2006) f (25) f (3)] 。 (199 0 年希望杯全国数学竞赛题改编) 分析 这里的 f (n) 似乎无公式可以计算,而所证式中又有 f (2006) , f (3) 等。可以先列举一 些 f (n) 的值以求出规律。 解 为方便计,记 f
(k )

(n) ? f ( f ( f ? f (n)) ?) ,于是,可以得到 f ??? ???? ? ?
k 重f

(k )

( n ) 的值

如下表: n 0 3 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 4 5 9 3 1 1 1 1 3 1 1 1 1 1 1 1 1 4 5 9 3 1 1 1 1 1 5 9 3 1 1 1 1 1 1 6 2 4 5 9 3 1 1 1 7 6 2 4 5 9 3 1 1 8 5 9 3 1 1 1 1 1
[来源:学科网]

8 3 1 1 1 1 1 1 1

f ( n)
f f f
f
( 2)

( n) (n) ( n)
( n)

(3)

( 4)

(5)

f f f

( 6)

( n) (n) ( n)

(7)

(8)

由此可知,只要 k ? 7,就有f

(k )

( n) ? 1 .

从而 F (n) =1。 所以 F[ f (2006) ? f (25) ? f (3)] ? F[ f (2006) f (25) f (3)] 。

情景再现
4.函数设 f ( x) 满足关系式 ( x ? 1) f (

x ?1 ) ? f ( x) ? x ,其中 x ? 1 ,求所有这样的函数 f ( x) 。 x ?1

(1994 年第 20 届全俄数学奥林匹克竞赛试题) 5.已知 f(x)是一次函数,且 f ( f ( f ? f ( x))) ? 1024 x ? 1023 ,求函数 f(x)。

??? ??? ?
10重f

6 . 设

f

的 定 义 域 为

N* , 满 足

f (1) ? 1 , 且 对 任 意 的 m, n ? N

f (m ? n) ? f (m) ? f (n) ? mn ,试求 f (n ) 。

C 类例题
例 8 设 Q 是全体有理数集合,求适合下列条件的从 Q 到 Q 的全体函数 f (x ) : (1 ) f (1) ? 2 ; (2)对任意 x、y ? Q ,有 f ( xy) ? f ( x) f ( y) ? f ( x ? y) ? 1 。 分析 先考虑正整数上的函数 f (x ) ,再考虑整数,再到有理数 解 在 f ( xy) ? f ( x) f ( y) ? f ( x ? y) ? 1 中,令 y=1,则
[来源:学,科,网 Z,X,X,K]

n 。 m

f ( x) ? f ( x) f (1) ? f ( x ? 1) ? 1 ,
又 f (1) ? 2 ,所以 f ( x ? 1) ? f ( x) ? 1 。 当 n 为正整数时, f ( x ? n) ? f ( x ? n ? 1) ? 1 ? ? ? f ( x) ? n 。 当 n=-m 为负整数时,

f ( x ? n) ? f ( x ? m) ? f ( x ? m ? 1) ? 1 ? ? ? f ( x ? m ? 2) ? 2 ? ? ? f ( x) ? m ? f ( x ) ? n 。
因此,当 n 为整数时,有 f ( x ? n) ? f ( x) ? n 。 于是 f (n ? 1) ? f (1) ? n ? n ? 2 。 这样,就有当 x 为整数时,有 f ( x) ? x ? 1 。

对任意有理数

n ( m、n 为整数且 m ? 0 ) , m n ,得 m

在 f ( xy) ? f ( x) f ( y) ? f ( x ? y) ? 1 中,令 x ? m,y ?

n n n f (n) ? f (m? ) ? f (m) f ( ) ? f (m ? ) ? 1 , m m m n n n n 即 n ? 1 ? (m ? 1) f ( ) ? [ f (m) ? ] ? 1 ,即 f ( ) ? ? 1。 m m m m
故当 x 为有理数时,有 f ( x) ? x ? 1。 经检验 f ( x) ? x ? 1 满足条件(1)和(2) ,则 f ( x) ? x ? 1 。 链接 二元函数 方程: f : R ? R f ( x ? y) ? f ( x) ? f ( y) 是一个非常重要的函数方程,这个方 程最早由法国数学家柯西(Cauchy)加以研究的,后来称之为柯西函数方程。很多问题可以通 过变化归结为柯西函数方程。 通常这类函数方程的解不是唯一的,为了使(1)的解是唯一,我们大多给予一些附加条件。例 如,要求该函数是“连续的”,或者必须是“在定义域中每一个有限区间内为有界的”,或是“单 调函数”,…等。 解这类函数方程的步骤是:依次求出独立变量取正整数 值、整数值、有理数值,直至所有实 数值,而得到函数方程的解。在假设函数 f 是连续函数时,对于常见的二元函数方程式我们有以 下之结果: (1) f ( x ? y) ? f ( x) ? f ( y) , f ( x) ? xf (1) 。 (正比例函数) (2) f ( x ? y) ? f ( x) f ( y) , f ( x) ? [ f (1)] 。 (指数函数)
x

(3) f ( xy) ? f ( x) ? f ( y) , f ( x) ? log b x 。 (对数函数) (4) f ( xy) ? f ( x) f ( y) , f ( x) ? x 。 (幂函数)
a

情景再现
7.确定符合下列条件的所有多项式 f (x ) : f ( x ? 1) ?

1 3 f [ f ( x)] ? 。 2 2

习题 13
x2 ? 1 x ?1 1.设 f( )= ,则函数 f(x)的解析式是 x2 x


2.设 f ( x) 适合等式 f ( x) ? 2 f ( ) ? x ,则函数 f ( x) 的值域是 (2005 年江西数学竞赛)

1 x



3.设 f(n)是定义在自然数集 N*上的函数,且满足 f(1)=2,f(n+1)= =

2f(n)+1 ,则 f(1998) 2

。 (上海市 1998 年高中数学竞赛) 4.若多项式 P(x)满足方程 P(x2)+2x2 +10x=2xP(x+1)+3,则多项式 P (x)的解析式 为 。 (上海市 1997 年高中数学竞赛) 5.若函数 f(x)和 g(x)都在 R 上有定义,且 f(x-y)=f(x)g(y)-g(x)f(y),f(-2)=f(1)≠0,则 g(1) +g(-1)= (用数字作答)。 (湖南省 1998 年高中数学竞赛) 6.设函数 f:R→R,满足 f(0)=1,且对任意 x,y∈R,都有 f(xy+1)=f(x)f(y)-f(y)-x+2,则 f(x)= 。 (2004 年全国高中数学联赛) 7.定义在 R 上的函数 y=f(x),具有下列性质:⑴ 对任何 x∈R,都有 f(x3)=f3(x);⑵对任何 x1,x2∈R,x1≠x2,都有 f(x1)≠f(x2)。则 f(0)+f(1)+f(-1)= 。 (湖南省 2002 年高中数学竞赛) 8 . 设 函 数 f :R ? R,f ( x) ?

x 1 ? x2

, 若 f1 ( x ) ? f ( f ( x )) , 且 对 任 意 的 n ? 2 , 记

f n ( x ) ? f (f n?1 x ),求 f n ( x) 。 ( )
9.函数 y=f(x)对一切实数 x 有定义,具有性质|f(x)|≤1,并且对任何实数 x1 和 x2 均满足等式 f(x1+x2)+f(x1-x2)=2[f(x1)-1]cos2x2+2,求函数 f(x)。 (合肥市 1994 年高中数学竞赛) 10 . 设 函 数 f :N * ? N * , f (1) ? ?1, f (2) ? ?

1 , 且 对 任 意 的 n ? 3 , f (n ) 满 足 : 2

nf (n) ? (n ? 1) f (n ? 1) ? f (n ? 2) ,求 f (n ) 。
本节“情景再现”解答:

1 (t+1), 2 1 1 1 2 3 那么 f(t)= (t+1)2+ (t+1)= t +t+ 4 2 4 4 1 2 3 故 f(x)= x +x+ 。 4 4 2 2.解:设 f ( x ) ? ax ? bx ? c ,则
1.解:设 t=2x-1,则 x=
[来源:Z.xx.k.Com]

f ( f ( x)) ? a(ax 2 ? bx ? c)2 ? b(ax 2 ? bx ? c) ? c ? a 3 x 4 ? 2a 2 bx3 ? (ab2 ? 2a 2 c ? ab) x 2 ? (2abc ? b 2 ) x ? (ac2 ? bc ? c) a 3 x 4 ? 2a 2 bx3 ? (ab2 ? 2a 2 c ? ab) x 2 ? (2abc ? b 2 ) x ? (ac2 ? bc ? c)


? x4 ? 2x

? a 3 ? 1, ? ? a ? 1, 2a 2b ? 0, ? ? ? 2 所以 ?ab ? 2a 2c ? ab ? ?2, 解得 ? b ? 0, ?c ? ?1. ? 2abc ? b 2 ? 0, ? ? 2 ? ac ? bc ? c ? 0, ? 2 4 2 所以 f ( x ) ? x ? 1 。易检验出此 f (x ) 满足 f ( f ( x )) ? x ? 2 x 1 1 1 1 3.解:分别用 x= ,x=t 代入已知方程,得 2f( )+f(t)= ,2f(t)+f( )=t,联立方程组, t t t t 2 2t ? 1 解得 f(t)= , 3t 2x2 ?1 即: f(x)= 。 3x x ?1 u ?1 4.解:令 , ? u ,则 x ? x ?1 u ?1
将此代入 ( x ? 1) f (

x ?1 ) ? f ( x) ? x (1) 可得 x ?1 2 u ?1 u ?1 f (u ) ? f ( )? u ?1 u ?1 u ?1 2 x ?1 x ?1 即 (2) f ( x) ? f ( )? x ?1 x ?1 x ?1

由(1)(2)解得 f ( x) ? 2 x ? 1 。 、

x ?1 ) ? f ( x) ? x 。 x ?1 5.解:设 f(x)=ax+b (a≠0),记 f ( f ( f ? f ( x))) ? f n ( x) , ??? ??? ?
易检验 f (x ) 满足 ( x ? 1) f (
n重f

则 f2(x)=f[f(x)]=a(ax+b)+b=a x+b(a+1), f3(x)=f{f[f(x)]}=a[a2x+b(a+1)]+b=a3x+b(a2+a+1), 依次类推有:10(x)=a10x+b(a9+a8+…+a+1)=a10x+ f 由题设知:a10=1024 且

2

b(1 ? a10 ) 。 a ? 1 显然不合题意) ( 1? a

b(1 ? a10 ) =1023。 1? a

∴a=2,b=1 或 a=-2,b=-3, ∴f(x)=2x+1 或 f(x)=-2x-3。 6.解:取 m ? 1 代入 f (m ? n) ? f (m) ? f (n) ? mn ,可得

f (n ? 1) ? f (1) ? f (n) ? n ? f (n) ? (n ? 1)
以 n ? 1,2,??, k ? 1 代入上式可得

f (2) ? f (1) ? 2 f (3) ? f (2) ? 3 ? f (k ) ? f (k ? 1) ? k
将这个 k ? 1 式子加起来,可得

f (k ) ? f (1) ? 2 ? 3 ? 4 ? ? k ? 1 ? 2 ? ? ? k ?
所以 f (n) ?

n(n ? 1) 。 2

k (k ? 1) 2

易检验 f (x ) 满足 f (m ? n) ? f (m) ? f (n) ? mn 。 7.解:设 f ( x) ? a0 x ? a1 x
n n ?1

? ? ? an (a0 ? 0) ,代入 f ( x ? 1) ?

1 3 f [ f ( x)] ? 得 2 2

a0 ( x ? 1)n ? a1 ( x ? 1) n?1 ? ? ? an

1 3 ? [a0 (a0 x n ? a1 x n?1 ? ? ? an )n ? a1 (a0 x n ? a1 x n ?1 ? ? ? an )n ?1 ? ? ? an ] ? 比较两端 x 的 2 2
最高次幂的指数得 n ? n ,则 n ? 1 或 n ? 0 。
2

当 n ? 0 时,则 a0 ? 3 ,故 f (x ) =3。 当 n ? 1 时,比较两端 x 的同次幂的系数得 a0 ? 2 , a1 ? 1 ,故 f ( x) ? 2 x ? 1 。 易验证 f (x ) =3 和 f ( x) ? 2 x ? 1 均满足原函数方程。 所以所求函数方程的解为 f (x ) =3 和 f ( x) ? 2 x ? 1 。 习题”解答: 1.解:令 u=
[来源:学&科&网 Z&X&X&K]

x ?1 1 (u≠1) ,∴x= (u≠1) .代入原式得 f(u)=u2-u+1,∴f(x)= x u ?1

x2-x+1 (x≠1) 。 2.解:将 f ( x) ? 2 f ( ) ? x 中的 x 换为

1 x

1 1 1 1 ,有 f ( ) ? 2 f ( x) ? ,两式消去 f ( ) ,得 x x x x

2 2 2 2 1 2 ] ?[ , ??) 。 f ( x) ? ? ( x ? ) ,其值域是 (??, ? 3 3 3 x
1 3.解:由 f(n+1)=f(n)+ , 2 1 得 f(1998)=f(1)+1997×2=1000.5. 4.解:若 deg(P(x))≥2,则 deg(P(x2)+2x2+10x)>deg(2xP(x+1)+3),故 deg(P(x))=1,设 P(x)=ax+b,代入得,a=2,b=3.P(x)=2x+3.

5. 因为 f(y-x)=f(y)g(x)-g(y)f(x)=-f(x-y), 解: 所以 f(x)为奇函数. 所以 f(1)=f(-2)=f(- 1-1)=f(-1)g(1)-g(-1)f(1)=-f(1)(g(1)+g(-1)),∴ g(1)+g(-1)=-1. 6.解:令 x=y=0,得,f(1)=1-1-0+2,?f(1)=2. 令 y=1,得 f(x+1)=2f(x)-2-x+2,即 f(x+1)=2f(x)-x.① 又 f(yx+1)=f(y)f(x)-f(x)-y+2, 令 y=1 代入,得 f(x+1)=2f(x)-f(x)-1+2,即 f(x+1)=f(x)+1.② 比较①、②得,f(x)=x+1. 7.解:取 x3=x 的解,得 x=0,1,-1.记 f(0)=a,f(1)=b,f(-1)=c.由 f(03)=f3(0), 得 a=a3,同理,b=b3,c=c3.于是 f(0)、f(1)、f(-1)都是 x3=x 的根,但此三个值互不相 等,即它们分别等于 0,1,-1 中的某一个.从而所求值为 0。 8.

x
解: f 1 ( x) ? f ( f ( x)) ?

f ( x) 1 ? ? f ( x)?
2

?

1? x2 ? x 1? ? ? 2 ? 1? x ? ? ? ?
2

?

x 1 ? 2x
2



x f 2 ( x ) ? f ( f1 ( x )) ? 1 ? 2x2 ? x 1? ? ? 2 ? 1 ? 2x ? ? ? ?
2

?

x 1 ? 3x 2



f 3 ( x) ?

x 1 ? 4x2



于是猜想 f n ( x ) ?

x 1 ? ( n ? 1) x 2 x



设 n=k 时 f n ( x ) ?

1 ? ( n ? 1) x 2

成立,则当 n=k + 1 时,

x f k ?1 ( x ) ? f ( f k ( x )) ? 1 ? ( k ? 1) x 2 ? x 1? ? ? 1 ? ( k ? 1) x 2 ?
x 1 ? ( n ? 1) x 2
。 成立。

? ? ? ?

2

?

x 1 ? ( k ? 2) x 2



故由数学归纳法可知 f n ( x ) ?

所以 f n ( x ) ?

x 1 ? ( n ? 1) x 2

9.解:若对于实数 α,有 f(α)<1.则 2[f(α)-1]<0,现取 x2=β,满足 cosβ<0,则据已知,有 -2≤f(α+β)+f(α-β)≤2, 而 2[f(α)-1]cosβ+2>2.于是说明,f(x)≥1,于是有 f(x)=1.代入验证,成立.即 f(x)的解析 式为 f(x)=1(x∈R). 10.解:首先我们将 nf (n) ? (n ? 1) f (n ? 1) ? f (n ? 2) 改写为

n[ f (n) ? f (n ? 1)] ? ?[ f (n ? 1) ? f (n ? 2)] ,
即对任意的 n ? 3 , f (n) ? f (n ? 1)] ? ? [ f (n ? 1) ? f (n ? 2)] , [ 入上式可得

1 n

依次以 3,4,5, ?, n 代

1 [ f (3) ? f ( 2)] ? ? [ f ( 2) ? f (1)] 3 1 [ f ( 4) ? f (3)] ? ? [ f (3) ? f ( 2)] 4 ? 1 [ f ( n ) ? f ( n ? 1)] ? ? [ f ( n ? 1) ? f ( n ? 2)] n
将上面 n ? 2 个等式相乘,得到

f (n) ? f (n ? 1) ? ( ?1) n?2
? ( ?1)n?2
(11)式,则可得

2 [ f (2) ? f (1)] n!
n ?2

2 1 ( ?1) [? ? ( ?1)] ? n! 2 n!

?

( ?1)n 。 n!

再依次以 2,3,4, ?, n 代入

( ?1) 2 2! ( ?1) 3 f (3) ? f ( 2) ? 3! ? f ( 2) ? f (1) ? f ( n ) ? f ( n ? 1) ?
将这 n ? 1 个等式相加,得到

( ?1) n n!

f (n ) ? f (1) ?

( ?1) 2 ( ?1) 3 ( ?1) n ? ??? 2! 3! n!

?

n (?1) k (?1) (?1) 2 (?1) n ? ??? ?? 。 1! 2! n! k! k ?1
n

所以对任意的 n ? N * , f ( n) ?

?
k ?1

(?1) k 。 k!


更多相关文档:

2012江苏省数学竞赛《提优教程》教案:第34讲_函数迭代与函数方程

2012江苏省数学竞赛《提优教程》教案:第34讲_函数迭代与函数方程_数学_高中教育_教育专区。第 35 讲 函数迭代与函数方程本节主要内容有函数迭代与函数方程问题.在...

2012江苏省数学竞赛《提优教程》教案:第36讲__同_余

2012江苏省数学竞赛《提优教程》教案:第36讲__同_余_学科竞赛_高中教育_教育...197227 ? 197328 不能被3整除; 3.解:记 14+24+34+?+20044=N,设 N ...

2012江苏省数学竞赛《提优教程》教案:第66讲_覆盖

2012江苏省数学竞赛《提优教程》教案:第66讲_覆盖_学科竞赛_高中教育_教育专区。第 66 讲 覆盖本节主要内容是图形覆盖与嵌入. 一、图形覆盖的定义: 平面闭图形...

2012江苏省数学竞赛《提优教程》教案:第05讲 子集

2012江苏省数学竞赛《提优教程》教案:第05讲 子集_学科竞赛_高中教育_教育专区。第 5 讲 子集本讲内容有子集、子集的个数、集合的划分及子集的应用。 设 ...

2012江苏省数学竞赛《提优教程》教案:第36讲--同-余

2012江苏省数学竞赛《提优教程》教案:第36讲--同-余_学科竞赛_高中教育_教育...197227 ? 197328 不能被3整除; 3.解:记 14+24+34+?+20044=N,设 N ...

2012江苏省数学竞赛《提优教程》教案:第30讲__数列的求和

2012江苏省数学竞赛《提优教程》教案:第30讲__数列的求和_学科竞赛_高中教育_...34 ? ( n? ) ? 50 n n n? ,即 n=8 时, f (n) max ? 1 . ...

2012江苏省数学竞赛《提优教程》教案:第63讲_极限

2012江苏省数学竞赛《提优教程》教案:第63讲_极限_学科竞赛_高中教育_教育专区 暂无评价|0人阅读|0次下载|举报文档 2012江苏省数学竞赛《提优教程》教案:第63讲...

2012江苏省数学竞赛《提优教程》教案:第62讲__多项式

2012江苏省数学竞赛《提优教程》教案:第62讲__多项式_学科竞赛_高中教育_教育专区 暂无评价|0人阅读|0次下载|举报文档 2012江苏省数学竞赛《提优教程》教案:第...

2012江苏省数学竞赛《提优教程》教案:第41讲 解不等式

2012江苏省数学竞赛《提优教程》教案:第41讲 解不等式_数学_高中教育_教育专区 暂无评价|0人阅读|0次下载|举报文档 2012江苏省数学竞赛《提优教程》教案:第41...

2012江苏省数学竞赛《提优教程》教案:第33讲__周期函数与周期数列

2012江苏省数学竞赛《提优教程》教案:第33讲__周期函数与周期数列_学科竞赛_高中教育_教育专区。第 14 讲 周期函数与周期数列 本节主要内容有周期;周期数列、周期...
更多相关标签:
网站地图

文档资料共享网 nexoncn.com copyright ©right 2010-2020。
文档资料共享网内容来自网络,如有侵犯请联系客服。email:zhit325@126.com