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全国数学联赛金牌教练 高中奥数辅导:第五讲 不等式的证明


全国高中数学联赛

金牌教练员讲座

兰州一中数学组

第五讲

不等式的证明

知识、方法、技能
不等式在数学中占有重要地位,由于其证明的困难性和方法的多样性,而成为竞赛和高 考的热门题型. 证明不等式就是对不等式的左右两边或条件与结论进行代数变形和化归,而变形的依据

是不等式的性质,不等式的性分类罗列如下: 不等式的性质:a ? b ? a ? b ? 0 , a ? b ? a ? b ? 0 . 这是不等式的定义,也是比较法 的依据. 对一个不等式进行变形的性质: (1) a ? b ? b ? a (对称性) (2) a ? b ? a ? c ? b ? c (加法保序性) (3) a ? b , c ? 0 ? ac ? bc ; a ? b , c ? 0 ? ac ? bc . (4) a ? b ? 0 ? a n ? b n , n a ?
n

b ( n ? N *).

对两个以上不等式进行运算的性质. (1) a ? b , b ? c ? a ? c (传递性).这是放缩法的依据. (2) a ? b , c ? d ? a ? c ? b ? d . (3) a ? b , c ? d ? a ? c ? b ? d . (4) a ? b ? 0 , d ? c ? 0 , ? 含绝对值不等式的性质: (1) | x |? a ( a ? 0 ) ? x 2 ? a 2 ? ? a ? x ? a . (2) | x |? a ( a ? 0 ) ? x 2 ? a 2 ? x ? a 或 x ? ? a .
a c ? b d , ad ? bc .

-1-

(3) || a | ? | b || ? | a ? b |? | a | ? | b | (三角不等式). (4) | a 1 ? a 2 ? ? ? a n |? | a 1 | ? | a 2 | ? ? ? | a n | . 证明不等式的常用方法有:比较法、放缩法、变量代换法、反证法、数学归纳法、构造 函数方法等.当然在证题过程中,常可“由因导果”或“执果索因”.前者我们称之为综合法; 后者称为分析法.综合法和分析法是解决一切数学问题的常用策略,分析问题时,我们往往用 分析法,而整理结果时多用综合法,这两者并非证明不等式的特有方法,只是在不等式证明 中使用得更为突出而已.此外,具体地证明一个不等式时,可能交替使用多种方法.

赛题精讲
例 1: a , b , c ? 0 , 求证: ab ( a ? b ) ? bc ( b ? c ) ? ca ( c ? a ) ? 6 abc . 【略解】?
ab ( a ? b ) ? bc ( b ? c ) ? ca ( c ? a ) ? 6 abc
? a (b
2

? c

2

? 2 bc ) ? b ( a
2

2

? c

2

? 2 ac ) ? c ( a
2

2

?b

2

? 2 ab )

? a (b ? c ) ? b (c ? a ) ? c ( a ? b )
2

? 0

? ab ( a ? b ) ? bc ( b ? c ) ? ca ( c ? a ) ? 6 a b c .

【评述】 (1)本题所证不等式为对称式(任意互换两个字母,不等式不变) ,在因式分 解或配方时,往往采用轮换技巧.再如证明 a 2 ? b 2 ? c 2 ? ab ? bc ? ca 时,可将 a 2 ? b 2
? ( ab ? bc ? ca ) 配方为
1 2 [( a ? b )
2

? (b ? c )

2

? ( c ? a ) ] ,亦可利用 a
2

2

?b

2

? 2 ab ,

b ?c
2

2

? 2 bc , c ? a
2

2

? 2 ca ,3 式相加证明.(2)本题亦可连用两次基本不等式获证.
a?b?c

例 2: a , b , c ? 0 ,求证: a b c ? ( abc )
a b c

3

.

【思路分析】显然不等式两边为正,且是指数式,故尝试用商较法. 【略解】不等式关于 a , b , c 对称,不妨 a ? b ? c , 则 a ? b , b ? c , a ? c ? R ? ,且
a c a b , , b c

都大于等于 1.

-2-

a b c ( abc )

a

b

c

2a?b?c

2b?a?c

2c?a?b

a?b

a?c

b?a

b?c

c?a

c?b

a?b?c 3

? a

3

b

3

c

3

? a

3

?a

3

?b

3

?b

3

?c

3

?c

3

? (

a b

a?b

)

3

?( ) c

b

b?c 3

?(

a c

a?c

)

3

? 1.

【评述】 (1)证明对称不等式时,不妨假定 n 个字母的大小顺序,可方便解题. (2)本题可作如下推广:若 a i ? 0 ( i ? 1, 2 , ? , n ), 则 a 1 a 2
a1 ? a 2 ? ? ? a n

a1

a2

? an

an

?

(a1a 2 ? a n )

n

.
? b c ,c a
c b c a

(3) 本题还可用其他方法得证。 a a b b ? a b b a , 因 同理 b b c c 另 a a b b c c ? a a b b c c ,4 式相乘即得证.

? c a
a

c



(4)设 a ? b ? c ? 0 , 则 lg a ? lg b ? lg c . 例 3 等价于 a lg a ? b lg b ? a lg b ? b lg a , 类似例 4 可证 a lg a ? b lg b ? c lg c ? a lg b ? b lg c ? c lg a ? a lg c ? b lg b ? c lg a . 事实上, 一般地有排序不等式(排序原理) : 设有两个有序数组 a 1 ? a 2 ? ? ? a n , b1 ? b 2 ? ? ? b n , a 1 b1 ? a 2 b 2 ? ? ? a n b n (顺 则 序和)
? a 1 b j ? a 2 b j ? ? ? a n b j (乱序和)
1 2 n

? a 1 b n ? a 1 b n ?1 ? ? ? a n b1 (逆序和)

其 中 j1 , j 2 , ? , j n 是 1, 2 , ? , n 的 任 一 排 列 . 当 且 仅 当 a 1 ? a 2 ? ? ? a n 或
b1 ? b 2 ? ? ? b n 时等号成立.

排序不等式应用较为广泛(其证明略) ,它的应用技巧是将不等式两边转化为两个有序 数组的积的形式.如 a , b , c ? R ? 时 , a 3 ? b 3 ? c 3 ? a 2 b ? b 2 c ? c 2 a ? a 2 ? a ? b 2 ? b ? c 2 ? c
? a
2

?b ? b

2

?c ? c

2

? a;

a

2

?

b

2

?

c

2

? a ?b ? c ? a

2

?

1 b

?b

2

?

1 c

? c

2

?

1 a

? a

2

?

1 a

?b

2

?

1 b

? c

2

?

1 c

.

b
?

c

a

例 3: a , b , c ? R , 求证 a ? b ? c ?

a

2

?b 2c

2

?

b

2

? c 2a

2

?

c

2

? a 2b

2

?

a

3

?

b

3

?

c

3

.

bc

ca

ab

【思路分析】中间式子中每项均为两个式子的和,将它们拆开,再用排序不等式证明.
-3-

【略解】不妨设 a ? b ? c , 则 a 序和) ? a ?
2

2

? b

2

? c ,
2

1 c

?

1 b

?

1 a
2

,则 a ?
2

1 c

? b ? c
2

2

? ?

1 a

? c

2

?

1 b

(乱

1 a 1 b

?b ? c 1 bc

2

? ? ?

1 b 1 c

? c

2

?

1 c

(逆序和) 同理 a ? ,

1 c

? b

2

?

1 a

1 b

(乱序和)

? a

2

?

1 a

?b
3

2

?

2

(逆序和)两式相加再除以 2,即得原式中第一个不等式.再考虑数
1 ac ? 1 ab

组a ? b ? c 及
3 3

,仿上可证第二个不等式.

例 4:设 a 1 , a 2 , ? , a n ? N * ,且各不相同, 求证: 1 ?
1 2 ? 1 3 ?? ? 1 n ? a1 ? a2 2
2

?

a3 3
2

?? ?

an n
2

.

【思路分析】 不等式右边各项

ai i
2

? ai ?

1 i
2

; 可理解为两数之积, 尝试用排序不等式.

【略解】设 b1 , b 2 , ? , b n 是 a 1 , a 2 , ? , a n 的重新排列,满足 b1 ? b 2 ? ? ? b n , 又1 ?
1 2
2

?
a2 2
2

1 3
2

?? ?
a3 3
2

1 n
2

.
? b1 ? b2 2
2

所以 a 1 ?

?

?? ?

an n

?

b3 3
2

?? ? ? b3 3
2

bn n
2

.由于 b1 , b 2 , ? b n 是互不相同
bn n
2

的正整数,故 b1 ? 1, b 2 ? 2 , ? , b n ? n . 从而 b 1 ? 证.

b2 2
2

?? ?

?1?

1 2

?? ?

1 n

,原式得

【评述】 排序不等式应用广泛, 例如可证我们熟悉的基本不等式,a 2 ? b 2 ? a ? b ? b ? a ,
a ? b ? c ? a ? b ? b ? c ? c ? a ? a ? ab ? b ? bc ? c ? ca ? a ? bc ? b ? ac ? c ? ab ? 3 abc .
3 3 3 2 2 2

例 5:利用基本不等式证明 a 2 ? b 2 ? c 2 ? ab ? bc ? ca . 【思路分析】左边三项直接用基本不等式显然不行,考察到不等式的对称性,可用轮换 .. 的方法. 【略解】a 2 ? b 2 ? 2 ab , 同理 b 2 ? c 3 ? 2 bc , c 2 ? a 2 ? 2 ca ;三式相加再除以 2 即得证. 【评述】 (1)利用基本不等式时,除了本题的轮换外,一般还须掌握添项、连用等技巧. 如
x1
2

?

x2

2

?? ?

xn

2

x2

x3

x1

可在不等式两边同时加上 x 2 ? x 3 ? ? ? x n ? x 1 . ? x1 ? x 2 ? ? ? x n ,

再如证 ( a ? 1)( b ? 1)( a ? c ) 3 ( b ? c ) 3 ? 256 a 2 b 2 c 3 ( a , b , c ? 0 ) 时, 可连续使用基本不等
-4-

式. (2)基本不等式有各种变式 如(
a ? b 2 )
2

?

a

2

? b 2

2

等.但其本质特征不等式两边的次

数及系数是相等的.如上式左右两边次数均为 2,系数和为 1. 例 6:已知 a ? b ? 1, a , b ? 0 , 求证: a ? b ?
4 4

1 8

.

【思路分析】不等式左边是 a 、 b 的 4 次式,右边为常数 次式呢. 【略解】要证 a ? b ?
4 4

1 8

,如何也转化为 a 、 b 的 4

1 8

, 即证 a

4

?b

4

?

1 8

(a ? b) .
4

3 【评述】 (1)本题方法具有一定的普遍性.如已知 x 1 ? x 2 ? x 3 ? 1, x i ? 0 , 求证: x 13 ? x 2

? x3 ?
3

1 3

. 右侧的

1 3

可理解为 ( x 1 ? x 2 ? x 3 ) 3 . 再如已知 x 1 ? x 2 ? x 3 ? 0 , 求证:x 1 x 2 ? x 2 x 3
3

1

+ x 3 x 1 ? 0 ,此处可以把 0 理解为 ( x 1 ? x 2 ? x 3 ) ,当然本题另有简使证法.
2

3

8

(2)基本不等式实际上是均值不等式的特例.(一般地,对于 n 个正数 a 1 , a 2 , ? a n ) 调和平均 H
? n 1 a1 ? 1 a2 ?? ? 1 an

n

几何平均 G n ? 算术平均 A n ?

n

a 1 ?a 2 ? a n

a1?a2 ? ? ? an n

平方平均 Q n ?

a1 ? a 2 ? ? ? a n
2 2

2

2
? G n ? An ? Q n

这四个平均值有以下关系:H n 时成立. 例 7:利用排序不等式证明 G n 【证明】令 b i ?
ai Gn

, 其中等号当且仅当 a 1 ? a 2 ? ? ? a n

? An .

, ( i ? 1, 2 , ? , n ) 则 b1 b 2 ? b n ? 1 ,故可取 x 1 , x 2 , ? x n ? 0 ,使得
-5-

b1 ?

x1 x2

, b2 ?

x2 x3

, ? , b n ?1 ?

x n ?1 xn

, bn ?

xn x1

由排序不等式有:

b1 ? b 2 ? ? ? b n
x1 x2 x2 x3
1 x1 1 x2

=

?

?? ?

xn x1

(乱序和)

? x1 ?

? x2 ?

? ? ? xn ?

1 xn

(逆序和)

=n,
? a1 Gn ? a2 Gn
1 a1 1 a2

?? ?

an Gn

? n,即

a1 ? a 2 ? ? ? a n n

? Gn.

【评述】对

,

,? ,

1 an

各数利用算术平均大于等于几何平均即可得, G n
1 n ? (1 ? 1 n ?1
n ?1

? An .

例 8:证明:对于任意正整数 R,有 (1 ?
1 n

)

n

)

.

【思路分析】原不等式等价于 n ? 1 (1 ? 的几何平均,而右边为其算术平均. 【略证】 n ? 1 (1 ? 1 ) n ?
n
n ?1

)

n

?1?

1 n ?1

,故可设法使其左边转化为 n 个数

1 1 1 1 n ? 2 1 (1 ? ) ? (1 ? ) ? 1 ? (1 ? ) ? (1 ? ) ? 1 ? ?1? . n n n ?1 n ?1 ? ?n ? ? ?? ? ? ?n ? ? ?? ?
n个 n ?1

【评述】 (1)利用均值不等式证明不等式的关键是通过分拆和转化,使其两边与均值不 等式形式相近.类似可证 (1 ?
1 n )
n ?1

? (1 ?

1 n ?1

)

n?2

.

(2)本题亦可通过逐项展开并比较对应项的大小而获证,但较繁.
1

例 9:n 为正整数,证明: n [( 1 ? n ) n ? 1 ] ? 1 ? 【证明】先证左边不等式
1

1 2

?

1 3

?? ?

1 n

?1

? n ? ( n ? 1) n

n ?1

.

n [( 1 ? n ) n ? 1 ] ? 1 ?

1 2

?

1 3

?? ?

1 n

1

1?

1 2

?

1 3 n

?? ?

1 n

? (1 ? n ) n ? 1 ?

-6-

1

1? ?

1 2

?

1 3

?? ? n

1 n

? n

?

(1 ? n )

n

1

(1 ? 1 ) ? (

1 2

? 1) ? (

1 3 n

? 1) ? ? ? (

1 n

? 1)

? (1 ? n ) n ? 2? ?
n

3 2

?

4 3

?? ? n

n ?1 n (*)

1? n ?

2?

3 2

?

4 3

?? ? n

n ?1 n ?
n

2?

3 2

?

4 3

?? ?

n ?1 n

?

n

n ? 1.

? (*)式成立,故原左边不等式成立.

其次证右边不等式
1? 1 2 ? 1 3 ?? ? 1 n ? n ? ( n ? 1) ? n
? 1 n ?1

? n

?

1 n ?1

n ? (1 ? ?

1 2

?

1 3

?? ?

1 n

) ?
n ?1

1 n

(1 ? ?

1 2

) ? (1 ?

1 3

) ? ? ? (1 ?

1 n

)

n ?1 1 2 3 n ?1 n ?1 n

n ?1

?

n ?1

1 n

?

?? ?

?

2

(**)

(**)式恰符合均值不等式,故原不等式右边不等号成立.

针对性训练
1. x , y , z ? 0 , 求证:
x xy ? 2 yz
2

? y

2

? z

2

?

5 2

.

2.已知 x 0 , x n ? 1 ? x n ?

1 xn

( n ? 0 ), 求证: 45 ? x 1000 ? 45 . 1 .

3.已知 x 1 ? x 2 ? x 3 ? p , x 1 x 2 ? x 2 x 3 ? x 3 x 1 ? q ,求证:

-7-

① p 2 ? 3 q ? 0; ②
p 3 ? 2 3 p
2

? 3q ? xi ?

p 3

?

2 3

p

2

? 3 q ( i ? 1, 2 , 3 ).

4.D、E、F 分别在正三角形 ABC 的边 BC、CA、 AB 上,记△EAF、△FBD、△DCE 和 △DEF 的周长分别为 l 1 、 l 2 、 l 3 和 l 0 , 求证:
1 l1 ? 1 l2 ? 1 l3 ? 3 l0

.

5.如图 I—1—5—5,过 P(1,2)的直线 l 分别与 x 轴正半轴、 y 轴正半轴交于 A、B 两点, 求|AB|的最小值.

-8-


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