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3.1两角和与差的三角函数


课本内容:P128---132
授课时间:2013-06-13

3.1.2两角和与差的 正弦、余弦、正切公式
光山二高 高一数学组 王山喜
2016/8/26 王山喜-两角和与差的三角函数 1

一、复习回顾
两角差的余弦公式

cos(?-?)= cos?cos?+sin?s

in? ( C(?-?) ) 用- ?代替?看看有什么结果?

cos[?-(-?)]= cos?cos(-?)+sin?sin(-?) cos(?+?) = cos?cos?-sin?sin?
2016/8/26 王山喜-两角和与差的三角函数 2

两个和的余弦公式
cos(?+?) = cos?cos?-sin?sin? ( C(?+?) )

2016/8/26

王山喜-两角和与差的三角函数

3

二、推导公式 思考:两角和与差的正弦公式是怎样的呢?
sin ? ? cos(

?

两角和的正弦公式
2016/8/26

2 ? sin(? ? ? ) ? cos[ ? (? ? ? )] 2 ? ? cos[( ? ? ) ? ? ] 2 ? ? ? cos( ? ? ) cos ? ? sin( ? ? ) sin ? 2 ? ? 2 ? cos( ? ? ) ? sin ? sin( ? ? ) ? cos ? 2 2

?? )

提示:利用诱 导公式五(或六) 可以实现正弦 , 余弦的互化

sin( ? ? ? ) ? sin ? cos ? ? cos ? sin ? (S(?+?))
王山喜-两角和与差的三角函数 4

2 ? ? cos[( ? ? ) ? ? ] 2 ? ? ? cos( ? ? ) cos ? ? sin( ? ? ) sin ? 2 2 ? ? ? cos( ? ? ) ? sin ? sin( ? ? ) ? cos ? 2 2

sin(? ? ? ) ? cos[

?

? (? ? ? )]

两角差的正弦公式

sin( ? ? ? ) ? sin ? cos ? ? cos ? sin ? (S(?-?))
也可在S(?+?)用- ?代?得出
2016/8/26 王山喜-两角和与差的三角函数 5

cos(?-?)= cos?cos?+sin?sin? ( C(?-?) ) cos(?+?)= cos?cos?-sin?sin? ( C(?+?) ) sin(?+?)= sin?cos?+cos?sin? ( S(?+?) ) sin(?-?)= sin?cos?-cos?sin? ( S(?-?) ) 思考:两角和与差的正切公式是怎样的呢?
sin ? 提示 : tan ? ? cos ? 6 王山喜-两角和与差的三角函数

2016/8/26

sin(? ? ? ) tan( ? ? ? ) ? cos(? ? ? )

tan(?+?)

(这里有什么要求?)
? ? ? ? k? ? ? (k ? Z ) 2

sin ? cos ? ? cos ? sin ? ? cos ? cos ? ? sin ? sin ? sin ? cos ? cos ? sin ? ? cos ? cos ? cos ? cos ? ? (又有什么要求?) cos ? cos ? sin ? sin ? ? ? ? k? ? ? 2 cos ? cos ? cos ? cos ? ? ? ? k ? ? (k ? Z ) tan ? ? tan ? 2 ? 1 ? tan ? tan ?
2016/8/26 王山喜-两角和与差的三角函数 7

问题探讨 两角和的正切公式
tan ? ? tan ? tan( ? ? ? ) ? 1 ? tan ? tan ?

(T(?+?))

那两角差的正切呢?

tan ? ? tan( ? ? ) tan( ? ? ? ) ? tan[? ? ( ? ? )] ? 1 ? tan ? tan( ? ? ) 两角差的正切公式
tan ? ? tan ? tan( ? ? ? ) ? 1 ? tan ? tan ?
2016/8/26 王山喜-两角和与差的三角函数

(T(?-?))
8

两角和与差的正切公式 tanα+ tanβ tan(α+β)= 1 - tanαtanβ
tanα- tanβ tan(α-β)= 1+ tanαtanβ

注意: 1?必须在定义域范围内使用上述公式。

即:tan?,tan?,tan(?±?)只要有一个不存 在就不能使用这个公式,只能(也只需)用诱 ? tan( ?? ) 不 导公式来解。如:已知tan ? =2,求 2 能用 T
(? ? ? )

2?注意公式的结构,尤其是符号。
2016/8/26 王山喜-两角和与差的三角函数 9

S(?+?)、C(?+?)、T(?+?) 为和角公式 S(?-?)、C(?-?)、T(?-?) 为差角公式

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王山喜-两角和与差的三角函数

10

两角和与差的正弦、余弦、正切公式的内在联系
-? 代 ?
?
? ?? ? ? ?

S(?+?)

2

C(?+?)

-? 代 ?

?

C(?-?)

2

? ?? ? ? ?

S(?-?)

相除
S ?? ? ? ? C?? ? ? ?
-? 代 ?

相除
S ?? ? ? ? C?? ? ? ?

T(?+?)
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T(?-?)
11

王山喜-两角和与差的三角函数

三 、公式应用
例1:不查表求sin105 、sin15 、tan15 .
解: (1) sin 105? ? sin (60? ? 45?)
= sin 60? cos 45? ? cos 60? sin 45? 3 2 1 2 ? ? ? ? 2 2 2 2 6? 2 ? 4
? ? ?

6? 2 (2) sin 15 ? 4
?
2016/8/26 王山喜-两角和与差的三角函数 12

解: tan15?=

tan(45??30?)=
o o

tan45 - tan30 ? o o 1+ tan45 tan30
3 1? 3 ? 3 12 ? 6 3 3 ? ? ? ? 2? 3 6 3 3? 3 1? 3
2016/8/26 王山喜-两角和与差的三角函数 13

三 、公式应用
3 ? 例2:已知 sin a ? ? , ? 是第四象限的角,求 sin( ? ? ), 5 4 cos( ? ? ), tan(? ? )的值。 4 4 3 解:由sin? =- , ? 是第四象限的角,得 5 4 2 3 2 cos ? ? 1 ? sin ? ? 1 ? (? 5 ) ? , 5 sin ? 3 所以 tan ? ? ?? cos ? 4
于是有sin(

?

?

?
4

? ? ) ? sin

?
4

cos ? ? cos

?
4

sin ?

?
2016/8/26

2 4 2 3 7 2 ? ? ? (? ) ? ; 2 5 2 5 10

王山喜-两角和与差的三角函数

14

cos(

?
4

? ? ) ? cos

?
4

cos ? ? sin

?
4

sin ?

2 4 2 3 7 2 ? ? ? ? (? ) ? ; 2 5 2 5 10 ? tan ? ? tan ? tan ? ? 1 4 tan(? ? ) ? ? ? 4 1 ? tan ? 1 ? tan ? tan
3 ?1 4 ? ? ?7 3 1 ? (? ) 4 ?
2016/8/26 王山喜-两角和与差的三角函数 15

4

? ? 7 2 ?? ? sin ? ? ? ? ? sin cos ? ? cos sin ? ? 4 4 10 ?4 ? ? ? 7 2 ?? ? cos? ? ? ? ? cos cos ? ? sin sin ? ? 4 4 10 ?4 ?
?? ? ?? ? 证明: sin ? ? ? ? ? cos ? ? ? ?? ?4 ? ?4 ?

①利用诱导公式 ②利用和(差)角公式

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王山喜-两角和与差的三角函数

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分析:变 用公式 (凑结构)

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王山喜-两角和与差的三角函数

17

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王山喜-两角和与差的三角函数

18

例4、 利用和(差)角公式计算下列各式的值
? ? ? ? 1 sin 72 cos 42 ? cos 72 sin 42 ; ??

? 2 ? cos 20? cos 70? ? sin 20? sin 70? ;
1 ? tan15? ? 3? 1 ? tan15?

分析:从右至左 使用(逆用)和 ( 差 ) 角 公 式
王山喜-两角和与差的三角函数 19

2016/8/26



1 sin 72 cos 42 ? cos 72 sin 42 ? sin 72 ? 42 ? sin 30 ? 2
? ? ? ?
? ?
?

?

?

cos 20? cos 70? ? sin 20? sin 70? ? cos?20? ? 70? ? ? cos 90? ? 0
1 ? tan 15? tan 45? ? tan 15? ? ? ? ? tan 45 ? 15 ? tan 60? ? 3 ? ? ? 1 ? tan 15 1 ? tan 45 tan 15

?

?

练习 P131 练习T 5
2016/8/26 王山喜-两角和与差的三角函数 20

练习1
求下列各式的值

?1?sin 72? cos18? ? cos72? sin 18? ; ?2? cos72? cos12? ? sin 72? sin 12? ;
原式=sin 72 ? 18 ? sin 90 ? 1
? ? ?

?

?

1 原式=cos 72 ? 12 ? cos 60 ? 2 ? ? t an12 ? t an33 ?3? ; ? ? 1 ? t an12 t an33
? ? ?

?

?

原式=tan 12? ? 33? ? tan 45? ? 1
2016/8/26 王山喜-两角和与差的三角函数 21

?

?

练习1
求下列各式的值

?4?cos74 sin 14 ? sin 74 cos14 ; 3 原式=sin ?14 ? 74 ? ? ? sin 60 ? ? 2 ? ? ? ? ?5?sin 34 sin 26 ? cos34 cos26 ; 1 原式= ? ?cos 34 cos 26 ? sin 34 sin 26 ? ? ? cos?34 ? 26 ? ? ? 2 ?6?sin 20? cos110? ? cos160? sin 70?. 原式=sin 20 cos110 ? cos 20 sin 110 ? sin ?20 ? 110 ? ? ?1
? ? ? ?
? ? ?
? ? ? ? ? ?

?

?

?

?

?

?

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王山喜-两角和与差的三角函数

22

练习1 化简:
(1) cos(60 ? ? ) ? cos(60 ? ? ); (2) cos(? ? ? ) cos? ? sin(? ? ? ) sin ?
? ?

(1) cos ? ; ( 2) cos ? ;
2016/8/26 王山喜-两角和与差的三角函数 23

1 11 ? 已知sin ? ? , cos(? ? ? ) ? ? , 且? , ? ? (0, ), 7 14 2 求 cos ?的值.
分析 : ? ? (? ? ? ) ? ? , 则 cos ? ? cos[(? ? ? ) ? ? ] ? cos(? ? ? ) cos ? ? sin( ? ? ? ) sin ?

练习2

39 3 cos ? ? ? 98
2016/8/26 王山喜-两角和与差的三角函数 24

练习2
4 ? 1 练 2、已知 tan( ? ? ? ) ? , tan( ? ? ) ? , 5 4 4 4 ? ? ?? 提示:? + = ?? +? ? - ? ? - ? 4 ? 4?
? ? 11 ? tan ? ? ? ? ? 4 ? 24 ?

求 tan( ? ?

?

)的值.

2016/8/26

王山喜-两角和与差的三角函数

25

补充 练 习
1、化简: (1)tan(α+β)(1- tanαtanβ) tan(α-β)+ tanβ (2) 1- tan(α-β)tanβ 答案: (1)tanα+ tanβ

(2)tanα
2、求值: (1) tan71 - tan26 答案:
2016/8/26

o

o

1+ tan71o tan26o
(2) -1

1- 3tan75o (2) o 3 + tan75
26

(1) 1

王山喜-两角和与差的三角函数

补充 练 习
3、求下列各式的值:
1 ? tan 75? (1) 1 ? tan 75?
(2) tan17?+tan28?+tan17?tan28?

tan 45? ? tan 75? ? ? ? 解:(1)原式= ? tan( 45 ? 75 ) ? tan 120 ?? 3 ? ? 1 ? tan 45 tan 75 ? ? tan 17 ? tan 28 (2) ∵ tan( 17? ? 28? ) ? 1 ? tan17? tan 28?

∴tan17?+tan28?=tan(17?+28?)(1?tan17? tan28?) =1? tan17?tan28? ∴原式=1? tan17?tan28?+ tan17?tan28?=1
2016/8/26 王山喜-两角和与差的三角函数 27

例5、△ABC中, 求证 tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC. 证明: ∵tanA、tanB、tanC 都有意义, ∴△ABC中没有直角, ∴tanAtanB≠1.

tan A ? tan B ∵ tan(A+B)= , 1 ? tan A tan B

∴ tanA+tanB= tan(A+B)–tanAtanBtan(A+B)
=tan(180°–C)–tanAtanBtan(180°–C) = –tanC+tanAtanBtanC, ∴tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC.
2016/8/26 王山喜-两角和与差的三角函数 28

例6、 把下列各式化为一个角的三角函数形式

3 1 (1) sin ? ? cos ? 2 2

(2)sin ? ? cos ?

分析:逆用公式
2016/8/26 王山喜-两角和与差的三角函数 29

化 a sin x ? b cos x 为一个角的三角函数形式

a sin x ? b cos x

? ? a b ? a ?b ? sin x ? cos x ? 2 2 a 2 ? b2 ? a ?b ? a cos ? ? 2 2 构 造角, a ? b 令 b 凑结构 sin ? ? a 2 ? b2
2 2

? ? ?

? a 2 ? b2 ? sin x cos ? ? cos x sin ? ? ? a 2 ? b2 sin ? x ? ? ? ? a 2 ? b2 cos ? x ? ? ?
2016/8/26 王山喜-两角和与差的三角函数 30

小结:合一公式,也叫辅助角公式

a sin x ? b cos x ? a ? b sin( x ? ? )
2 2

其中

a a 2 ? b2

? cos ? ,

b a 2 ? b2

? sin? .

2016/8/26

王山喜-两角和与差的三角函数

31

合一公 式练习

把下列各式化为一个角的三角函数形式

(1) 2 ? sin ? ? cos ? ?
3 1 (2) sin ? ? cos ? 2 2

练习课本 P132 6

2 6 ?? ? ?? ? (3) sin ? ? x ? ? cos ? ? x ? 4 ?4 ? 4 ?4 ?
2016/8/26 王山喜-两角和与差的三角函数 32

合一公 式练习

1、构造角、凑结构 2、逆用公式
? ?

1 3 ? 4 ? cos x ? sin x; 2 2

? 5?

?? ? 4 原式 ? sin cos x ? cos sin x ? sin ? x ? ? ? ? 6 6 6 ? ?

3 sin x ? cos x;

?6?

? 3 ? 1 ? ?? ?? ? ? 5 原式 ? 2 sin x ? cos x ? 2 sin x cos ? cos x sin ? 2sin x ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 2 ? 2 6 6 6 ? ? ? ? ? ?

2 ? sin x ? cos x ? ;

?7?

? 2 ? 2 ?? ? 6 原式 ? 2 sin x ? cos x ? 2sin x ? ? ? ? ? ? ? ? 2 ? 2 4 ? ? ? ?

?1 ? 3 ?? ? 7 原式 ? 2 2 cos x ? sin x ? 2 2 cos x ? ? ? ? ? ? ? ?2 ? 2 3 ? ? ? ? 2016/8/26 王山喜-两角和与差的三角函数

2 cos x ? 6 sin x.

33

cos15? ? sin15? 1、化简: cos15? ? sin15?

3 3
6

? 2sin 50? ? sin10? (1 ? 3 tan10? ) ? ? 2sin 2 80? . 2、求值: ? ?

2? ? x). 3、化简: sin( x ? ) ? 2sin( x ? ) ? 3 cos( 3 3 3

?

?

0
2016/8/26 王山喜-两角和与差的三角函数 34

合一公式应用---求最值(值域)
4、(1)求函数y ? sin x ? cos x的值域.

(2)函数y ? 3sin 2 x ? 3 3 cos 2 x ? 1的最小值是 对应的x值是 ;最大值是

, ?

,对应的的x值是

2016/8/26

王山喜-两角和与差的三角函数

35

? 5? ? ?? 5、已知x ? ?0, ? ,求函数y ? cos( ? x) ? cos( ? x)的值域. 12 12 ? 2?
? ? ? ? ? ? 2? ? ? ?? 解: y ? cos( ? x) ? cos( ? ( ? x)) ? x ? ?0, ? ? x ? ? ? , ? 6 ?6 3 ? 12 2 12 ? 2? ? ? ? ? ?1 ? ? ? cos( ? x) ? sin( ? x) ? sin ? x ? ? ? ? ,1? 12 12 6 ? ?2 ? ? ? ? ? ? ? ? ? 2 ? ?sin cos( ? x) ? cos sin( ? x) ? 4 12 4 12 ? ? ? ?? ? ? 2 ? sin ? ? ( ? x) ? ? 4 12 ?
? 2 ? sin( ? x) 6
2016/8/26

?

? ?? ? 2 ? ? y ? 2 sin ? x ? ? ? ? , 2? 6? ? 2 ? ?
36

王山喜-两角和与差的三角函数

提高练习题
已知(2sinx+cosx)(sinx+2cosx-3)=0
sin 2 x ? cos 2 x 求 的值。 tan 2 x
3 答: 20

提示:因为sinx+2cosx= 5 sin(x ? ? ) <=3

2016/8/26

王山喜-两角和与差的三角函数

37

1、化简: sin( x ? y)sin x ? cos( x ? y) cos x

?? ? 2、求函数y ? sin x ? 3 cos x ? 0 ? x ? ?的值域. 2? ? 3、求函数y ? log0.2 ? sin x ? cos x ?的最值.
4、若? 是一个三角形的最小内角, 则函数y ? sin ? ? cos ?的值域为
5、求下列函数的值域: 5 sin x ? 1 y? cos x ? 2
2016/8/26 王山喜-两角和与差的三角函数 38

.

五.小结

作业:

sin(? ? ? ) ? sin ? cos ? ? cos ? sin ? 课本P137A组
sin(? ? ? ) ? sin ? cos ? ? cos ? sin ? 6—10、13(1)-(5)
tanα+ tanβ tan(α+β)= 1 - tanαtanβ

P146A组 1、 2、 4、 7

tanα- tanβ tan(α-β)= 1+ tanαtanβ

变形:

tanα+ tanβ= tan(α+β)(1- tanαtanβ)
tan? ? tan? (1 ? tanαtanβ)= tan(? ? ? )
2016/8/26

tanα- tanβ= tan(α-β)(1+ tanαtanβ)
王山喜-两角和与差的三角函数

39

有了两角和与差的三角函数公式,就可以解 决本章开头提出的实际问题了: 某城市的电视发射塔建在市郊的一座小山上。如图所示, 小山高BC约为30米,在地平面上有一点A,测得A、C 两点间距离约为67米。从A观测电视发射塔的视角 (∠CAD)约为45°。求这座电视发射塔的高度。
30 60 分析:由已知, sin ? ? ? cos ? ? , 67 67 1 1 ? tan ? 0 ? tan ? ? ? tan ? 45 ? ? ? ? ?3 1 ? tan ? 2
D

于是,x ?

30 tan ? 45 ? ? ?
0

x?

30 tan ? 450 ? ? ? tan ?
x

? 30

tan ?

30 ? 3 ? 30 ? 150. ? 30 ? 1 2
45° ⌒

故这座电视发射塔的高度大约为150米
2016/8/26 王山喜-两角和与差的三角函数

67 A

C 30 B 40

?

小结一、公式的正用与逆用:熟悉公式
两角和与差的正弦、余弦、正切公式
cos(?-?)= cos?cos?+sin?sin? cos(?+?)= cos?cos?-sin?sin? sin(?+?)= sin?cos?+cos?sin? sin(?-?)= sin?cos?-cos?sin?
tan ? ? tan ? tan( ? ? ? ) ? 1 ? tan ? tan ? tan ? ? tan ? tan( ? ? ? ) ? 1 ? tan ? tan ?
2016/8/26 王山喜-两角和与差的三角函数

( C(?-?) ) ( C(?+?) ) ( S (? + ? ) ) ( S (? -? ) ) ( T(?+?) )

( T(?-?) )
41

小结二、公式的变用----变角与凑角
三角函数求值及证明问题中, 变角是一种常用的技巧,如   ? ? (? ? ? ) ? ? ;     2? ? (? ? ? ) ? (? ? ? ), ?? ? ?? ?     ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 2? ?4 ? ?4 ? 3? ? ?     ( ? ? ) ? ( ? ? ) ? ? (? ? ? )? 等, 4 4 2 这样可充分利用已知条件中的三角函数值,通过三角运算 来求值、化简和证明.
2016/8/26 王山喜-两角和与差的三角函数 42

小结三、公式的变用----变结构与凑结构
1 ? tan 75? 再 ? 1 ? tan 75 如:

tan 45? ? tan 75? = 1 ? tan 45? tan 75?

? tan(45? ? 75? )

? tan120
?? 3
2016/8/26 王山喜-两角和与差的三角函数

?

43

作业

课本P137习题3.1A组 8,9,10,13(6)(7)(8)(9)(10)

2016/8/26

王山喜-两角和与差的三角函数

44


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