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福建省福州八中2014届高三毕业班第三次质检考试数学(文)试题 Word版含答案


福州八中 2014 届高三毕业班第三次质检考试 数学(文)试题
考试时间:120 分钟 试卷满分:150 分
2013.11.4

第Ⅰ卷(选择题

共 60 分)

一、选择题: ( 每小题 5 分,共 60 分. 在给出的 A、B、C、D 四个选项中,只有一 项符合题目要求,在答题纸的相应区域内作

答) 1. 函数 f ( x ) ? A. (? ,??)
1 3
3x 2 1? x ? lg(3 x ? 1) 的定义域是

B. (? ,1)

2.“ ? ? ? ”是“ sin 2? ? 1 ”的 4 A.充分不必要条件 C.充分必要条件

1 3

C. ( ? , )

1 1 3 3

D. ( ??,? )

1 3

B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件

3.若 a , b 是任意实数,且 a ? b ,则

b C. lg?a ? b ? ? 0 ?1 a ? ? 1 1 a? ? (1,0) , b 4. 设向量 a b? ? ( , ) ,则下列结论中正确的是 2 2 ? ? ? ? 2 A. a ? b B. a? b ? 2
A. a 2 ? b 2 B. C. a ? b 与 b 垂直 5.“m=
? ? ?

D. ? ? ? ? ?

?1? ?2?

a

?1? ?2?

b

D. a // b

?

?

1 ”是“直线(m+2)x+3my+1=0 与直线(m-2)x+(m+2)y-3=0 相互垂直”的 2
B.充分而不必要条件

A.充分必要条件

C..必要而不充分条件 D.既不充分也不必要条件 6.若方程 f ? x ? ? 2 ? 0 在 ?? ?,0 ? 内有解,则 y ? f ? x ? 的图象是

7.设 f:A?B 是集合 A 到 B 的映射,下列命题中是真命题的是 A. A 中不同元素必有不同的象 B. B 中每个元素在 A 中必有原象 C. A 中每一个元素在 B 中必有象 D. B 中每一个元素在 A 中的原象唯一 2 8. 设曲线 y ? ax 在点 (1, a) 处的切线与直线 2x ? y ? 6 ? 0 平行,则 a ?

A.-1

B. 1

2

C. ? 1

2

D.1

9. 函数 f ( x) ? ln( x 2 ? 1) 的图象大致是

B. C. D. 1 2? 10. sin( ? ? ) ? ,则 cos( ? 2? ) 的值等于 6 3 3 5 7 5 7 A. ? B. ? C. D. 9 9 9 9 11. 已知函数 f ( x) ?| lg x | ,若 a ? b 且 f (a ) ? f (b) ,则 a ? b 的取值范围是

A.

?

A. (1, ??)

B. [1, ??)
2 2

C. (2, ??)

D. ?2,?? ?

x y x2 y2 3 12. 已知椭圆 C : 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的离心率为 ,双曲线 ? ? 1 的渐近 a b 2 2 2
线与椭圆有四个交点,以这四个交点为顶点的四边形的面积为 16,则椭圆的方程为 A.

x2 y2 x2 y2 ? ? 1 B. ? ?1 8 2 12 6

C.

x2 y2 ? ?1 16 4
共 90 分)

D.

x2 y2 ? ?1 20 5

第Ⅱ卷(非选择题 位置.

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分.将答案填在答题卡的相应

1? i ? ____________. 2?i 14.等比数列 {a n } 的前 n 项和为 S n ,若 S 4 ? 1, S 8 ? 4 ,
13.计算: 则 a13 ? a14 ? a15 ? a16 ? __________. 15.已知 a∈[-1,1],不等式 x2+(a-4)x+4-2a>0 恒成立,则 x 的取值范围 为 16. 对于函数 题的真假: 命题甲:f(x+2)是偶函数; 命题乙:f(x)在(-∞,2)上是减函数,在(2,+∞)上是增 函数; 命题丙:f(x+2)-f(x)在(-∞,+∞)上是增函数. 能使命题甲、乙、丙均为真的所有函数的序号是 _________ 三、解答题:本大题共6小题,共74分.解答应写出文字说明, 证明过程或演算步骤. 17. (本小题满分 12 分) 如图,测量河对岸的塔高 AB 时,可以选与塔底 B 2在同一水平 面内的两个测点 C 与 D .测得 ?BDC ? 300,CD ? ,30 米,并在点 C 测得塔顶 A 的仰 4 , 6 ①f(x)=lg(|x-2|+1), ②f(x)=(x-2)2, ③f(x)=cos(x+2), 判断如下三个命

角为 600 ,(1)若测得 ?BCD ? 150, 求塔高 AB; (2)若 ?BCD ? ?, 且 15? ? ? ? 105? , 求 AB 的范围. 18. (本小题满分 12) 2 已知各项不为零数列{an}满足 a1=3, 且对任意的正整数 m, n 都有 am+n=am· an, 求:
2014 2012 2010 4 2 an a2014 ? a2012 ? a2010 ? a4 ? ? a2 ? ? ? ? ? (1) a n 的值; (2) ? ? ? ? a ? ? ? a ? ? ... ? ? a ? ? ? a ? 的值. 1 ? a2013 ? ? 2011 ? ? 2009 ? ? 3? ? 1?

19. (本小题满分 12 分) 已知函数 f ? x ? ? sin 2 x ? 2sin x cos x ? 3cos 2 x . (1)求函数 f ? x ? 图象的对称中心的坐标; (2)求函数 f ? x ? 的最大值,并求函数 f ? x ? 取得最大值时 x 的值; (3)求函数 f ? x ? 的单调递增区间.
20. (本小题满分 12 分)

过点 Q(-2, 21 )作圆 O:x2+y2=r2(r>0)的切线,切点为 D,且|QD|=4. (1)求 r 的值.(2)设 P 是圆 O 上位于第一象限内的任意一点, 过点 P 作圆 O 的切线 l, ???? ? ???? ??? ? ???? ? 且 l 交 x 轴于点 A,交 y 轴于点 B,设 OM ?OA ? 求 OM 的最小值(O 为坐标原点). OB ,

21. (本小题满分 12 分) 设 直 线 l : y? 5 ? x 4是 曲 线 C : f ( x) ?

1 3 x ? x2 ? 2x ? m 的 一 条 切 线 , 3

g ( x) ? ax 2 ? 2 x ? 23 .
(Ⅰ)求切点坐标及 m 的值; (Ⅱ)当 m ? Z 时,存在 x ? [0, ??) 使f ( x) ? g ( x)成立 ,求实数 a 的取值范围. 22. (本小题满分 14 分)

?? ? x y ? y 2 x2 的 两 点 , m ?? 1, 1? , ? ? 1 a ? b ? 0 ? ? a 2 b2 ?b a? ? ?x y ? ?? ? 3 n ? ? 2 , 2 ? ,且 m ? n ? 0 ,椭圆离心率 e ? ,短轴长为 2,O 为坐标原点。 2 ?b a ?
设 A ? x1 , y1 ? , B ? x2 , y2 ? 是 椭 圆 (1)求椭圆方程; (2)若存在斜率为 k 的直线 AB 过椭圆的焦点 F ? 0, c ? ( c 为半焦距) ,求 k 的值; (3)试问 ?AOB 的面积是否为定值?若是,求出该定值;若不是,说明理由。 稿 纸

福州八中 2013—2014 高三毕业班第三次质量检查 数学(文)试卷参考答案及评分标准

1-12 B A D C B D C D A B C D 13.

1 3 ? i 5 5

14.27

15. (-∞,1)∪(3,+∞)

16.②

18.解析: (1)令 m=1,得 an+1=a1· an,……3 分 2 ∵an≠0, ∴ an+1/an=a1= , ……4 分 3 2 2 可知数列{an}是首项为 a1= ,公比为 q= 的等比数列 ……5 分 3 3 2 2 (n-1) 2 n 于是 an= · ( ) =( ) , 3 3 3 an 即 n =1. ……7 分 a1 (2) ? ?

2 ? 3

?? ?? 2 ? 2 1? ? ? ? ? ? 3 ? 3 ? 2 1? ? ? 3 ? ? 2 4?1 ? ? ? ? 3 ? ? ?
2014

a2014 ? ? ? a2013 ?

2014

?a ? ? ? 2012 ? ? a2011 ?

2012

2 ? 3

2012

2 ? ... ? 3

??

?a ? ? ? 2010 ? ? a2009 ?

2010

a2 ? ?a ? ? ... ? ? 4 ? ? ? ? ? ? a3 ? ? a1 ?

4

2

2

……9 分

2

2?1007

2

? ? ?

……11 分

2?1007

5

……12 分

∴ 函数 f ? x ? 取得最大值时 x 的集合是 ? x x ? k? ? (3)由 得

? ?

?

2k? ? k? ?

?
2

? 2x ?

?
4

? 2k? ?

?
2

? , k ? Z ? .………9 分 8 ?



3? ? ? x ? k? ? ? k ? Z ? , 8 8 3? ?? ? ∴ 函数 f ? x ? 的单调增区间是 ? k? ? , k? ? ? ? k ? Z ? . 8 8? ?
20.【解析】(1)|QO|2=(-2)2+ 故有 r ? OD ?

………12 分

? 21? =25,
2

……1 分

由题设知,△QDO 是以 D 为直角顶点的直角三角形

QO ? QD ? 25 ? 42 ? 3.

2

2

……3 分

(2)设 A(a,0),B(0,b),直线 l 的方程为 x ? y ? 1 (a>0,b>0), ……5 分 a b ???? ? ???? ? 即直线 l:bx+ay-ab=0, 且 OM =(a,b), ? OM ? a 2 ? b2 . ……7 分 ∵直线 l 与圆 O 相切, ?ab ? ? 3 ? a 2b2 ? 9 ? a 2 ? b2 ? a 2 ? b2 ……8 分

? ? ? a 2 b2 ? ( ???? ? ∴a2+b2≥36, ∴ OM ≥6,
又∵ 9 a ? b
2 2

a 2 ? b2 2 ) , ……10 分 2
……10 分

当且仅当 a=b= 3 2 时取到“=”. ∴ OM 取得最小值为 6.

???? ?

……12 分

21.本题主要考查函数的单调性,最值,切线,含参数的不等式成立问题, 考查运算求解的能力, 考查函数与方程、数形结合、化归与转化等数学思想方法.满分 12 分. (Ⅰ)解:设直线 l 与曲线 C 相切于点 P( x0 , y0 ) ,

? f ?( x) ? x2 ? 2 x ? 2 , ? x02 ? 2 x0 ? 2 ? 5 , 解得 x0 ? ?1 或 x0 ? 3 ,…………………………………2 分 7 当 x0 ? ?1 时, y0 ? ?1 ,? P(?1, ?1) 在曲线 C 上,∴ m ? , 3

当 x0 ? 3 时, y0 ? 19 ,? P(3,19) 在曲线 C 上,∴ m ? 13 ,

7 , ……………………………………………4 分 3 切点 P(3,19) , m ? 13 . ……………………………………………6 分 (Ⅱ)解法一:∵ m ? Z ,∴ m ? 13 , 1 设 h( x) ? f ( x) ? g ( x) ? x3 ? (1 ? a) x 2 ? 36 , 3 若存在 x ? [0, ??) 使f ( x) ? g ( x)成立 ,则只要 h( x) min ? 0 , ……………8 分
切点 P(?1, ?1) , m ?

h?( x) ? x 2 ? 2(1 ? a) x ? x ? x ? 2(1 ? a)? ,

(ⅰ)若 1 ? a ? 0 即 a ? ?1 ,令 h?( x) ? 0 ,得 x ? 2(1 ? a)或x ? 0 ,

? x ?[ 0 ,? ? ,∴ ) h( x) 在 (2(1 ? a), ??) 上是增函数, 令 h?( x) ? 0 ,解得 0 ? x ? 2(1 ? a) ,? h( x ) 在 [0, 2(1 ? a)] 上是减函数, ? h( x)min ? h(2(1 ? a)) , 令h(2(1 ? a)) ? 0 , 解得 a ? 2 ,…………………………………………………………………10 分 (ⅱ)若 1 ? a ? 0 即 a ? ?1 ,令 h?( x) ? 0 ,解得 x ? 2(1 ? a)或x ? 0 , ? x ?[0, ??) , ∴ h( x) 在 (0, ??) 上是增函数, ? ,不等式无解, 0 ? h( x)m i n? h( 0 ) ,令h( 0 ) ? a 不存在,……11 分 综合(ⅰ) (ⅱ)得,实数 a 的取值范围为 [2, ??) .………………………12 分 1 3 2 2 解法二:由 f ( x) ? g ( x) 得 ax ? x ? x ? 36 , 3 1 36 1 36 (ⅰ)当 x ? 0 时, a ? x ? 2 ? 1 ,设 h( x) ? x ? 2 ? 1 3 x 3 x 若存在 x ? [0, ??) 使f ( x) ? g ( x)成立 ,则只要 h( x) min ? a , ……8 分

1 72 x3 ? 63 h?( x) ? ? 3 ? , 3 x 3x3 令 h?( x) ? 0 解得 x ? 6 ? h( x ) 在 [6 ? ?) 上是增函数, 令 h?( x) ? 0 ,解得? 0 ? x ? 6 ? h( x ) 在 (0, 6) 上是减函数, ……………………………10 分 ? h( x)min ? h(6) ? 2 ,? a ? 2 , 1 3 2 2 (ⅱ)当 x ? 0 时,不等式 ax ? x ? x ? 36 不成立, 3 ∴ a 不存在, ……………………………………………………………11 分 综合(ⅰ) (ⅱ)得,实数 a 的取值范围为 [2, ??) . ………………12 分
? c 3 ?e ? ? 22.解(1)由 ? a 2 , 解得 a ? 2, b ? 1. ?b ? 1 ?

?所求椭圆方程为 y4 ? x
2

2

? 1.

……4 分

(2)设 AB 方程为 y=kx+ 3.

? y ? kx ? 3 ? 由 ? y2 ? ? k2 ? 4 ? x 2 ? 2 3kx ? 1 ? 0 2 ? ? x ?1 ?4

?2 3k ?1 . ……6 分 , x1 ? x2 ? 2 2 k ?4 k ?4 ?? ? x1 x2 y1 y2 1 由已知: 0 ? m? n ? 2 ? 2 ? x1 x2 ? kx1 ? 3 kx2 ? 3 ……8 分 4 b a 2 k ?4 ? 1 ? 3 ?2 3k 3 ?? ? 2 k? 2 ? ?0 ∴ ?? 4 ? k ?4? 4 k ?4 4 x1 ? x2 ?

?

??

?

解得 k ? ? 2. (3)当 A 为顶点时,B 必为顶点,则 S?AOB ? 1 , 当 A,B 不为顶点时,设 AB 方程为 y=kx+m.

……9 分 ……10 分

? y ? kx ? m ? 由 ? y2 ? ? k2 ? 4 ? x 2 ? 2kmx ? m 2 ? 4 ? 0 2 ? ? x ?1 ?4 m2 ? 4 ?2mk . ……11 分 x1 ? x2 ? 2 , x1 ? x2 ? 2 k ?4 k ?4 ?? ? 1 n ? 0 ,即 x1 x2 ? ? kx1 ? m ?? kx2 ? m ? ? 0 , 又 m? 4 2 2 知 2m ? k ? 4 , ……12 分 1 m 1 2 ∴ S?AOB ? ? 1 ? k 2 x1 ? x2 = m ? ? x1 ? x2 ? ? 4 x1 x2 2 2 1? k 2
=

……13 分

m ? 4k 2 ? 4m 2 ? 16 k2 ? 4

=

?三角形的面积为定值 1.

4m 2 =1 2m
……14 分


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