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山东省淄博市2015届高三数学一模试卷(文科)


2015 年山东省淄博市高考数学一模试卷(文科)

一、选择题:本大题共 10 小题.每小题 5 分.共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的. 1.复数 (i 是虚数单位)在复平面上对应的点位于( )

A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限

2.集合 A={x|y=



},B={y|y=log2x,x>0},则 A∩B 等于(



A. R B. ? C. ,使得{y|y=f(x) ,x∈A}=A,则称函数 f(x)为“同域函数” ,区间 A 为函数 f(x)的一个“同城区间” .给出下列四个函数: ①f(x)=cos x;②f(x)=x ﹣1;③f(x)=|x ﹣1|;④f(x)=log2(x﹣1) . (请写出所有正确的序号)
2 2

存在“同域区间”的“同域函数”的序号是

三、解答题:本大题共 6 小题,共 75 分. 16.已知函数 f(x)= 间的距离为 . sinω xsin( +ω x)﹣cos ω x﹣ (ω >0) ,其图象两相邻对称轴
2

(Ⅰ)求ω 的值; (Ⅱ)设△ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,且 c= sinA)与向量 =(3,sinB)共线,求 a,b 的值. ,f(C)=0,若向量 =(1,

17.如图,在四棱锥 E﹣ABCD 中,平面 EAD⊥平面 ABCD,DC∥AB,BC⊥CD,EA⊥ED,AB=4, BC=CD=EA=ED=2,F 是线段 EB 的中点. (Ⅰ)证明:CF∥平面 ADE; (Ⅱ)证明:BD⊥AE.

18.某数学兴趣小组的学生全部参加了“代数”和“几何”两个科目的考试,成绩分为 A,B, C,D,E 五个等级,成绩数据统计如下图所示,其中“代数”科目的成绩为 B 的考生有 20 人.

(Ⅰ)求该小组同学中“几何”科目成绩为 A 的人数; (Ⅱ)若等级 A,B,C,D,E 分别对应 5 分、3 分、2 分、1 分,求该小组考生“代数”科目 的平均分; (Ⅲ)已知参加本次考试的同学中,恰有 4 人的两科成绩均为 A,在至少一科成绩为 A 的考生 中,随机抽取两人进行座谈交流,求这两人的两科成绩均为 A 的概率.

19.在数列{an}中,a1= ,其前 n 项和为 Sn,且 Sn=an+1﹣ (n∈N ) . (Ⅰ)求 an,Sn; (Ⅱ)设 bn=log2(2Sn+1)﹣2,数列{cn}满足 cn?bn+3?bn+4=1+n(n+1) (n+2) ?2 ,数列{cn}的前 n 项和为 Tn,求使 4Tn>2 ﹣
n+1 bn

*

成立的最小正整数 n 的值.

20.设函数 f(x)=x ﹣ax+lnx(a 为常数) . (Ⅰ)当 a=3 时,求函数 f(x)的极值; (Ⅱ)当 0<a<2 时,试判断 f(x)的单调性;

2

(Ⅲ)对任意 x0∈,使不等式 f(x0)<mlna 对任意 a∈(0, )恒成立,求实数 m 的取值范 围.

21.已知 F1,F2 分别是椭圆 C1:

+

=1(a>b>0)的左、右焦点,F2 是抛物线 C2:y =2px

2

(p>0)的焦点,P( ,m)是 C1 与 C2 在第一象限的交点,且|PF2|= . (Ⅰ)求 C1 与 C2 的方程; (Ⅱ)过 F2 的直线交椭圆于 M,N 两点,T 为直线 x=4 上任意一点,且 T 不在 x 轴上. (i)求 的取值范围;

(ii)若 OT 恰好一部分线段 MN,证明:TF2⊥MN.

2015 年山东省淄博市高考数学一模试卷(文科) 参考答案与试题解析

一、选择题:本大题共 10 小题.每小题 5 分.共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的. 1.复数 (i 是虚数单位)在复平面上对应的点位于( )

A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限

考点: 复数的代数表示法及其几何意义. 专题: 数系的扩充和复数. 分析: 复数的分母实数化,然后判断复数对应的点所在象限. 解答: 解:因为复数 = = =﹣1+i,

所以复数 故选:B.

在复平面内对应的点为(﹣1,1)在第二象限.

点评: 本题考查复数的基本运算,复数的几何意义,考查计算能力.

2.集合 A={x|y=

},B={y|y=log2x,x>0},则 A∩B 等于(



A. R B. ? C.

考点: 交集及其运算. 专题: 集合. 分析: 求出 A 和 B,再利用两个集合的交集的定义求出 A∩B. 解答: 解:集合 A={x|y= 因为 A? B, 所以 A∩B=A={x|x≥0}, 故选:C. 点评: 本题考查函数的定义域及值域、两个集合的交集的定义和求法,属基础题. }={x|x≥0},集合 B={y|y=log2x,x>0}=R,

3.某中学从高三甲、乙两个班中各选出 7 名学生参加数学竞赛,他们取得的成绩(满分 100 分)的茎叶图如图,其中甲班学生成绩的众数是 83,乙班学生成绩的中位数是 86,则 x+y 的 值为( )

A. 7 B. 8 C. 9 D. 10

考点: 茎叶图. 专题: 概率与统计. 分析: 根据茎叶图中的数据,结合众数与中位数的概念,求出 x 与 y 的值即可. 解答: 解:根据茎叶图中的数据,得; 甲班学生成绩的众数是 83,∴x=3; 乙班学生成绩的中位数是 86,∴y=6; ∴x+y=3+6=9. 故选:C. 点评: 本题考查了茎叶图的应用问题,也考查了众数与中位数的应用问题,是基础题目.

4.已知函数 y=f(x)+x 是偶函数,且 f(2)=1,则 f(﹣2)=( A. ﹣1 B. 1 C. ﹣5 D. 5



考点: 函数奇偶性的性质;抽象函数及其应用. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 根据函数 y=f(x)+x 是偶函数,可知 f(﹣2)+(﹣2)=f(2)+2,而 f(2)=1, 从而可求出 f(﹣2)的值. 解答: 解:令 y=g(x)=f(x)+x, ∵f(2)=1, ∴g(2)=f(2)+2=1+2=3,

∵函数 g(x)=f(x)+x 是偶函数, ∴g(﹣2)=3=f(﹣2)+(﹣2) ,解得 f(﹣2)=5. 故选 D. 点评: 本题主要考查了函数的奇偶性,以及抽象函数及其应用,同时考查了转化的思想,属 于基础题.

5.将函数 y=sin(2x﹣ ( ) A. x= B. x=

)图象向左平移

个单位,所得函数图象的一条对称轴的方程是

C. x=

D. x=﹣

考点: 函数 y=Asin(ω x+φ )的图象变换. 分析: 根据本题主要考查函数 y=Asin(ω x+φ )的图象变换规律可得所得函数的解析式为 y=sin(2x+ ) ,再根据正弦函数的图象的对称性,求得所得函数图象的一条对称轴的方程. )图象向左平移 个单位,所得函数图象对应的解析式为

解答: 解:将函数 y=sin(2x﹣ y=sin=sin(2x+ 令 2x+ =kπ + ) . ,k∈z,求得 x=

+ ,



故函数的一条对称轴的方程是 x= 故选:A.

点评: 本题主要考查函数 y=Asin(ω x+φ )的图象变换规律,正弦函数的图象的对称性,属 于基础题.

6.已知命题 p:a≠1 或 b≠2,命题 q:a+b≠3,则 p 是 q 的( A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件



考点: 必要条件、充分条件与充要条件的判断. 专题: 简易逻辑.

分析: 根据充分必要条件的定义集合不等式的性质从而得到答案. 解答: 解:∵命题 q:a+b≠3,命题 p:a≠1 或 b≠2, ¬p:a=1 且 b=2,¬q:a+b=3, ∴¬p? ¬q,反之不成立,例如 a= ,b= . 因此命题 q 是 p 的充分不必要条件. 故选:B. 点评: 本题考查了命题之间的关系、充分必要条件的判定,考查了推理能力和计算能力,属 于基础题.

7.函数 y=

的图象大致是(



A.

B.

C.

D.

考点: 函数的图象. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 由 f(﹣x)= =﹣f(x)知函数为奇函数,图象应关于原点对称,排除 BC,

再研究函数 x﹣sinx 单调性选出答案. 解答: 解:f(﹣x)= =﹣f(x) ,故函数为奇函数,图象应关于原点对称,排除 BC, 单调递

∵(x﹣sinx)′=1﹣cosx≥0,∴当 x>0 时,函数 x﹣sinx 单调递增,故 减, D 不符合,A 符合, 故选:A

点评: 本题主要考查函数的性质,对于函数图象的选择题,可结合排除法与函数的性质,灵 活解题.

8.曲线 f(x)=e +x +x+1 上的点到直线 2x﹣y=3 的距离的最小值为(

x

2



A.

B.

C.

D. 2

考点: 点到直线的距离公式. 专题: 导数的综合应用. 分析: f′(x)=e +2x+1,设与直线 2x﹣y=3 平行且与曲线 f(x)相切于点 P(s,t)的直 线方程为:2x﹣y+m=0,由 e +2s+1=2.解得 s=0.可得切点 P,因此曲线 f(x)=e +x +x+1 上 的点到直线 2x﹣y=3 的距离的最小值为点 P 到直线 2x﹣y=3 的距离. 解答: 解:f′(x)=e +2x+1, 设与直线 2x﹣y=3 平行且与曲线 f(x)相切于点 P(s,t)的直线方程为:2x﹣y+m=0, 则 e +2s+1=2.解得 s=0. ∴切点为 P(0,2) , ∴曲线 f(x)=e +x +x+1 上的点到直线 2x﹣y=3 的距离的最小值为点 P 到直线 2x﹣y=3 的距 离 d= 故选:B. 点评: 本题考查了导数的几何意义、相互平行的直线斜率之间的关系、点到直线的距离公式, 考查了推理能力与计算能力,属于中档题. = .
x 2 s x s x 2 x

9.某几何体的三视图如图所示,图中的四边形都是边长为 1 的正方形,其中正视图、侧视图 中的两条虚线互相垂直,则该几何体的体积是( )

A.

B.

C.

D.

考点: 由三视图求面积、体积. 专题: 计算题;空间位置关系与距离.

分析: 根据几何体的三视图,得出该几何体一个正方体,去掉一个正四棱锥所得的组合体, 从而求出该几何体的体积. 解答: 解:根据几何体的三视图,得; 该几何体是一个正方体,去掉一个正四棱锥所得的组合体; ∵正方体的体积为 V 正方体=1×1×1=1, 正四棱锥的体积为 V 正四棱锥= ×1×1× = ; ∴该几何体的体积为 V=V 正方体﹣V 正四棱锥=1﹣ = . 故选:D. 点评: 本题考查了空间几何体的三视图的应用问题,也考查了求空间几何体的体积的应用问 题,是基础题目.

10.过双曲线



=1(a>0,b>0)的左焦点 F1,作圆 x +y =a 的切线交双曲线右支于点 )

2

2

2

P,切点为 T,PF1 的中点 M 在第一象限,则以下结论正确的是(

A. b﹣a=|MO|﹣|MT| B. b﹣a>|MO|﹣|MT| C. b﹣a<|MO|﹣|MT| D. b﹣a=|MO|+|MT|

考点: 双曲线的简单性质. 专题: 计算题;直线与圆;圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析: 先从双曲线方程得:a,b.连 OT,则 OT⊥F1T,在直角三角形 OTF1 中,|F1T|=b.连 PF2, M 为线段 F1P 的中点,O 为坐标原点得出|MO|﹣|MT|= |PF2|﹣( |PF1|﹣|F1T|)= (|PF2|﹣ |PF1|)+b,最后结合双曲线的定义得出答案. 解答: 解:连 OT,则 OT⊥F1T, 在直角三角形 OTF1 中,|F1T|= 连 PF2,M 为线段 F1P 的中点,O 为坐标原点, ∴|OM|= |PF2|, ∴|MO|﹣|MT|= |PF2|﹣( |PF1|﹣|F1T|)= (|PF2|﹣|PF1|)+b = ×(﹣2a)+b=b﹣a. =b.

故选 A.

点评: 本题主要考查双曲线的定义及三角形中位线和直线与圆相切时应用勾股定理.解答的 关键是熟悉双曲线的定义的应用,直线与圆的位置关系以及三角形中的有关结论.

二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分. 11.某算法的程序框图如图所示,若输出结果为 3,则可输入的实数 x 的个数共有 3

个.

考点: 程序框图. 专题: 算法和程序框图. 分析: 本题考查条件结构,先根据算法语句写出分段函数,然后讨论 x 与 2 的大小选择相应 的解析式,根据函数值求出自变量即可. 解答: 解:分析程序中各变量、各语句的作用, 再根据流程图所示的顺序,可知: 该程序的作用是计算分段函数 y= 的值,

当 x≤2 时,由 y=x ﹣1=3 可得 x=2 或﹣2; 当 x>2 时,由 y=log2x=3 可知 x=8; 即输出结果为 3 时,则输入的实数 x 的值是 8,2 或﹣2. 故答案为:3. 点评: 本题考查条件结构,以及分段函数和根据函数值求出自变量的问题,属于基础题.

2

12.在约束条件

下,目标函数 z=3x+2y 的最大值是 7 .

考点: 简单线性规划. 专题: 不等式的解法及应用. 分析: 作出不等式组对应的平面区域,利用目标函数的几何意义,进行求最值即可. 解答: 解:作出不等式组对于的平面区域如图: 由 z=3x+2y,则 y= 平移直线 y= , ,由图象可知当直线 y= ,

经过点 B 时,直线 y= 由 ,解得

的截距最大,此时 z 最大, ,即 B(1,2) ,

此时 zmin=3×1+2×2=7, 故答案为:7

点评: 本题主要考查线性规划的应用,利用 z 的几何意义,利用数形结合是解决本题的关键.

13.若直线 y=kx+3 与圆 x +y =1 相切,则 k= ±2

2

2



考点: 圆的切线方程. 专题: 直线与圆. 分析: 联立方程组消 y 的 x 的一元二次方程,由△=0 解方程可得. 解答: 解:联立
2 2

消去 y 并整理得(k +1)x +6kx+8=0,
2 2

2

2

由直线 y=kx+3 与圆 x +y =1 相切可得△=36k ﹣32(k +1)=0, 解得 k=±2 故答案为:±2 点评: 本题考查直线与圆的位置关系,属基础题.

14.已知向量

满足



,则

的夹角为



考点: 平面向量数量积的坐标表示、模、夹角. 专题: 平面向量及应用. 分析: 利用向量数量积运算及其性质即可得出. 解答: 解:向量 ∴ 化为 ∴ 故答案为: = . = = , . 满足 , , = ,

点评: 本题考查了向量数量积运算及其性质,属于基础题.

15.对于函数 f(x) ,若存在区间 A=,使得{y|y=f(x) ,x∈A}=A,则称函数 f(x)为“同域 函数” ,区间 A 为函数 f(x)的一个“同城区间” .给出下列四个函数:

①f(x)=cos

x;②f(x)=x ﹣1;③f(x)=|x ﹣1|;④f(x)=log2(x﹣1) . (请写出所有正确的序号)

2

2

存在“同域区间”的“同域函数”的序号是 ①②③

考点: 函数的值域. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 根据同域函数及同域区间的定义,再根据函数值域的求解即可找到①②③三个函数的 一个同域区间,而通过判断 f(x)和函数 y=x 交点的情况,容易判断函数④不存在同域区间. 解答: 解:①f(x)=
2

,x∈时,f(x)∈,所以①存在同域区间;

②f(x)=x ﹣1,x∈时,f(x)∈,所以②存在同域区间; ③f(x)=|x ﹣1|,x∈时,f(x)∈,所以③存在同域区间; ④f(x)=log2(x﹣1) ,判断该函数是否有同域区间,即判断该函数和函数 y=x 是否有两个交 点; 而根据这两个函数图象可以看出不存在交点,所以该函数不存在同域区间. 故答案为:①②③. 点评: 考查对同域函数及同域区间的理解,二次函数、余弦函数的值域的求解,知道通过判 断函数 f(x)和函数 y=x 图象交点的情况来判断函数是否存在同域区间的方法.
2

三、解答题:本大题共 6 小题,共 75 分. 16.已知函数 f(x)= 间的距离为 . sinω xsin( +ω x)﹣cos ω x﹣ (ω >0) ,其图象两相邻对称轴
2

(Ⅰ)求ω 的值; (Ⅱ)设△ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,且 c= sinA)与向量 =(3,sinB)共线,求 a,b 的值. ,f(C)=0,若向量 =(1,

考点: 余弦定理;两角和与差的正弦函数. 专题: 三角函数的图像与性质;解三角形.

分析: (Ⅰ)化简函数解析式可得 f(x)=sin(2ω x 的距离为 ,可得最小正周期为 T=π ,即可解得ω . )=1,解得 C=
2 2

)﹣1,由其图象两相邻对称轴间

(Ⅱ)由(Ⅰ)可知 sin(2C﹣ 理,又已知 c=

,由已知 ∥ 可得 b﹣3a=0①,由余弦定

,即可解得 7=a +b ﹣ab②,联立方程可解得 a,b 的值. sinω xsin( ﹣ +ω x)﹣cos ω x﹣
2

解答: 解: (Ⅰ)f(x)= = = sinω xcosω x﹣ sin2ω x﹣ cos2ω x﹣1 )﹣1

=sin(2ω x

∵其图象两相邻对称轴间的距离为 ∴最小正周期为 T=π , ∴ω =1.



(Ⅱ)由(Ⅰ)可知:f(x)=sin(2x ∴sin(2C﹣ ∵0<C<π , ∴﹣ ∴2C﹣ 即 C= 由已知 ∥ 可得 sinB﹣3sinA=0, 在△ABC 中,由正弦定理可得 b﹣3a=0① 由余弦定理可得:c =a +b ﹣2abcosC, 又已知 c= ∴7=a +b ﹣ab② 由①②联立,可解得:a=1,b=3.
2 2 2 2 2

)﹣1

)=1

<2C﹣ = ,





点评: 本题主要考查了两角和与差的正弦函数的应用,考查了余弦定理的应用,三角函数周 期公式的应用,属于基本知识的考查.

17.如图,在四棱锥 E﹣ABCD 中,平面 EAD⊥平面 ABCD,DC∥AB,BC⊥CD,EA⊥ED,AB=4, BC=CD=EA=ED=2,F 是线段 EB 的中点. (Ⅰ)证明:CF∥平面 ADE; (Ⅱ)证明:BD⊥AE.

考点: 直线与平面平行的判定. 专题: 空间位置关系与距离. 分析: (Ⅰ)取 AE 得中点 G,连结 FG,DG,将问题转化为证明四边形 CFGD 是平行四边形即 可; (Ⅱ)由数量关系可得 BD⊥AD,从而由面面垂直的性质即得结论. 解答: 证明: (Ⅰ)取 AE 得中点 G,连结 FG,DG, 则有 FG∥AB 且 FG= AB=2, 又因为 DC∥AB,CD=2, 所以 FG∥DC,FG∥DC, 所以四边形 CFGD 是平行四边形. 所以 CF∥GD, 又因为 GD? 平面 ADE,CF?平面 ADE, 所以 CF∥平面 ADE; (Ⅱ)因为 BC⊥CD,BC=CD=2, 所以 BD= .

同理 EA⊥ED,EA=ED=2, 所以 AD= .

又因为 AB=4,及勾股定理知 BD⊥AD, 又因为平面 EAD⊥平面 ABCD,平面 EAD∩平面 ABCD=AD,BD? 平面 ABCD, 所以 BD⊥平面 EAD, 又因为 AE? 平面 EAD, 所以 BD⊥AE.

点评: 本题考查线面垂直的判定及面面垂直的性质,作出恰当的辅助线、找到所给数据中隐 含的条件是解决本题的关键,属中档题.

18.某数学兴趣小组的学生全部参加了“代数”和“几何”两个科目的考试,成绩分为 A,B, C,D,E 五个等级,成绩数据统计如下图所示,其中“代数”科目的成绩为 B 的考生有 20 人.

(Ⅰ)求该小组同学中“几何”科目成绩为 A 的人数; (Ⅱ)若等级 A,B,C,D,E 分别对应 5 分、3 分、2 分、1 分,求该小组考生“代数”科目 的平均分; (Ⅲ)已知参加本次考试的同学中,恰有 4 人的两科成绩均为 A,在至少一科成绩为 A 的考生 中,随机抽取两人进行座谈交流,求这两人的两科成绩均为 A 的概率.

考点: 列举法计算基本事件数及事件发生的概率;频率分布直方图. 专题: 概率与统计. 分析: (Ⅰ)易得小组共 80 人,可得“几何”科目成绩为 A 的人数为 80×(1﹣0.375﹣0.375 ﹣0.15﹣0.025)=6; (Ⅱ)由平均数的定义可得平均分为:1×0.2+2×0.1+3×0.375+4×0.25+5×0.075=2.9;

(Ⅲ)记得到成绩为 A 的 8 人编号为 1﹣8,其中 1﹣4 号时两科成绩等级都是 A 的同学,列举 可得总的基本事件数共 28 个,其中两人的两科成绩均为 A 的共 6 个,由概率公式可得. 解答: 解: (Ⅰ)∵“代数”科目的成绩为 B 的考生有 20, ∴该小组有 20÷0.25=80(人) ∴该小组同学中“几何”科目成绩为 A 的人数为 80×(1﹣0.375﹣0.375﹣0.15﹣0.025)=80×0.075=6(人) ; (Ⅱ)∵等级 A,B,C,D,E 分别对应 5 分、3 分、2 分、1 分, ∴该小组考生“代数”科目的平均分为:1×0.2+2×0.1+3×0.375+4×0.25+5×0.075=2.9; (Ⅲ)∵两科考试中共有 12 人次得分等级为 A,又恰有 4 人两科成绩等级均为 A, ∴还有 4 人有且只有一个科目得分等级为 A, 记得到成绩为 A 的 8 人编号为 1﹣8,其中 1﹣4 号时两科成绩等级都是 A 的同学, 则在至少一科成绩为 A 的考生中,随机抽取两人进行座谈交流,构成的基本事件有: (1,2) (1,3) (1,4) (1,5) (1,6) (1,7) (1,8) , (2,3) (2,4) (2,5) (2,6) (2,7) (2,8) , (3,4) (3,5) (3,6) (3,7) (3,8) , (4,5) , (4,6) (4,7) (4,8) , (5,6) (5,7) (5,8) , (6,7) (6,8)共 28 个, 其中两人的两科成绩均为 A 的为(1,2) (1,3) (1,4) , (2,3) (2,4) , (3,4)共 6 个, ∴所求概率为 P= =

点评: 本题考查列举法求基本事件数及事件发生的概率,涉及分布直方图,属基础题.

19.在数列{an}中,a1= ,其前 n 项和为 Sn,且 Sn=an+1﹣ (n∈N ) . (Ⅰ)求 an,Sn; (Ⅱ)设 bn=log2(2Sn+1)﹣2,数列{cn}满足 cn?bn+3?bn+4=1+n(n+1) (n+2) ?2 ,数列{cn}的前 n 项和为 Tn,求使 4Tn>2 ﹣
n+1 bn

*

成立的最小正整数 n 的值.

考点: 数列与不等式的综合;数列的求和;数列递推式. 专题: 等差数列与等比数列.

分析: (Ⅰ)由 Sn=an+1﹣ ,得 为 ,公比为 2 的等比数列,由等比数列的通项公式得 求得 Sn;

,两式作差后可得数列{an}是首项 ,代入 Sn=an+1﹣

(Ⅱ)把 Sn 代入 bn=log2(2Sn+1)﹣2,结合 cn?bn+3?bn+4=1+n(n+1) (n+2) ?2 求得 cn,然后利 用裂项相消法及等比数列的前 n 项和得答案. 解答: 解: (Ⅰ)由 Sn=an+1﹣ ,得 两式作差得:an=an+1﹣an,即 2an=an+1(n≥2) , ∴ , ,

bn



,得 a2=1,





∴数列{an}是首项为 ,公比为 2 的等比数列, 则 , ; (Ⅱ)bn=log2(2Sn+1)﹣2= ∴cn?bn+3?bn+4=1+n(n+1) (n+2) ?2 , 即 , , +(2 +2 +?+2
﹣1 0 n﹣2 bn





= 由 4Tn>2 ﹣
n+1

= ,得 ,

=





,n>2014.

∴使 4Tn>2 ﹣

n+1

成立的最小正整数 n 的值为 2015.

点评: 本题考查了数列递推式,考查了等比关系的确定,训练了数列的分组求和、裂项相消 法求数列的和及等比数列的前 n 项和,是中档题.

20.设函数 f(x)=x ﹣ax+lnx(a 为常数) . (Ⅰ)当 a=3 时,求函数 f(x)的极值; (Ⅱ)当 0<a<2 时,试判断 f(x)的单调性;

2

(Ⅲ)对任意 x0∈,使不等式 f(x0)<mlna 对任意 a∈(0, )恒成立,求实数 m 的取值范 围.

考点: 利用导数研究函数的极值;利用导数研究函数的单调性. 专题: 综合题;导数的综合应用. 分析: (Ⅰ)先对 f(x)求导,根据导数研究函数的单调性,进而求出函数的极值; (Ⅱ)利用基本不等式确定导函数在 0<a<2 时的正负,然后判断 f(x)的单调性; 在(0, )上的最值问题.

(Ⅲ)采用分离参数 m 的方法转化成求函数 g(a)= 解答: 解:依题意 f′(x)= ,
2

(Ⅰ)函数的定义域为(0,+∞) ,当 a=3 时,f(x)=x ﹣3x+lnx, f′(x)= 当 , 时,f′(x)<0;f(x)单调递减;

当 0<x< ,或 x>1 时,f′(x)>0;f(x)单调递增; 所在 f(x)极小值=f(1)=﹣2,f(x)极大值=f( )=﹣ (Ⅱ)函数的定义域为(0,+∞) ,f′(x)=2x+ ﹣a, 因为 2x+ 因为 0<a<2 , (当且仅当 x= , 时,等号成立) .

所以 f′(x)=2x+ ﹣a>0 在(0,+∞)上恒成立,

故 f(x)在(0,+∞)上是增函数. (Ⅲ)当 a∈(0, )时,由(Ⅱ)知,f(x)在上单调递增, 所以 f(x)max=f(1)=1﹣a. 故问等价于:当 a∈(0, )时,不等式 1﹣a<mlna 恒成立,即 m< 恒成立.

记 g(a)=

,则 g′(a)=



令 M(a)=﹣alna﹣1+a,M′(a)=﹣lna>0, 所以 M(a)在 a∈(0, )上单调递增, M(a)<M( )= 故 g′(a)<0,所以 g(a)= , 在 a∈(0, )上单调递减,

所以 M

=﹣



即实数 m 的取值范围为(﹣

].

点评: 本题考查了用导数研究函数的极值、最值及单调性问题,还考查了恒成立问题的处理 方法,综合性较强.解决恒成立问题常转化成求函数的最值问题解决.

21.已知 F1,F2 分别是椭圆 C1:

+

=1(a>b>0)的左、右焦点,F2 是抛物线 C2:y =2px

2

(p>0)的焦点,P( ,m)是 C1 与 C2 在第一象限的交点,且|PF2|= . (Ⅰ)求 C1 与 C2 的方程; (Ⅱ)过 F2 的直线交椭圆于 M, N 两点,T 为直线 x=4 上任意一点,且 T 不在 x 轴上. (i)求 的取值范围;

(ii)若 OT 恰好一部分线段 MN,证明:TF2⊥MN.

考点: 直线与圆锥曲线的关系;椭圆的简单性质. 专题: 圆锥曲线的定义、性质与方程;圆锥曲线中的最值与范围问题.

分析: (Ⅰ)根据已知条件建立关系式

求出 P 的值,进一步确定抛物线方程.进一

步利用

求得 a 和 b 的值,确定椭圆的方程.

(Ⅱ) (i) ①若直线的斜率不存在, 则 MN 的直线方程为: x=1. 此时 M 进一步求出

, N (



②若直线 MN 的斜率存在,设直线的方程为:y=k(x﹣1)设交点 M(x1,y1) ,N(x2,y2) ,

则:

消去 y 得到: (4k +3)x ﹣8k x+4k ﹣12=0 利用根和系数的关系进一步利

2

2

2

2

用恒等变形求出



(ii) 设线段 MN 的中点坐标为 Q (xQ, yQ) 由 (i) 得到:



所以直线 OT 的斜率:

,进一步求出 OT 的直线方程为:

,则直线 TF2

的斜率为:

,进一步化简得到;

,从而得到结论.

解答: 解: (Ⅰ)因为点 P( ,m)在抛物线上,且|PF2|= ,抛物线的准线方程为 x=﹣ , 所以: 解得:P=2 所以抛物线的方程为:y =4x 将点 P( ,m)代入 y =4x 解得:m= ,所以 P( )
2 2

点 P 在椭圆上,且椭圆的焦点 F2(1,0) , 所以:

解得:a =4,b =3 所以:椭圆的方程为: (Ⅱ) (i)①若直线的斜率不存在,则 MN 的直线方程为:x=1. 此时 M ,N( )

2

2

②若直线 MN 的斜率存在,设直线的方程为:y=k(x﹣1)设交点 M(x1,y1) ,N(x2,y2)

则:

消去 y 得到: (4k +3)x ﹣8k x+4k ﹣12=0 , 所以: (x1+x2)+1] =

2

2

2

2

由于 k ≥0 所以:

2

所以

的取值范围:

(ii)证明:设线段 MN 的中点坐标为 Q(xQ,yQ)

由(i)得到:



所以直线 OT 的斜率:

OT 的直线方程为: 得到:T(4,﹣ ) 直线 TF2 的斜率为: 所以; 则:TF2⊥MN



点评: 本题考查的知识要点:抛物线方程和椭圆方程的确定,圆锥曲线和直线方程的关系, 一元二次方程根和系数的关系,分类讨论思想在做题中的应用,直线垂直的充要条件的应用.


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