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1第一章 第一节 集合


第 一 章
集 合 与 常 用 逻 辑 用 语 第 一 节 集 合

抓 基 础
明 考 向
教 你 一 招

提 能 力
我 来 演 练

[备考方向要明了] 考 什 么 1.了解集合的含义、元素与集合的“属于”关系. 2.能用自然语言、图形语言、集合语言(列举法或描述法)描述

不同的具体问题. 3.理解集合之间包含与相等的含义,能识别给定集合的子集. 4.在具体情境中,了解全集与空集的含义. 5.理解两个集合的并集与交集的含义,会求两个简单集合的 并集与交集. 6.理解在给定集合中一个子集的补集的含义,会求给定子集 的补集. 7.能使用Venn图表达集合的关系及运算. 返回

怎 么 考 1.集合部分主要以考查集合的含义、基本关系与基本运算

为主,题目简单、易做,大多都是送分题;
2.近几年部分省市也力求创新,创造新情境,尽可能做到 灵活多样,甚至进行一些小综合,比如新定义题目,与 方程、不等式、函数、数列等内容相联系的题目出现; 3.题型以选择题为主,大多都是试卷的第1、2题.

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一、元素与集合 1.集合中元素的三个特性: 确定性 、互异性 、无序性 . 2.集合中元素与集合的关系.

元素与集合之间的关系有 属于 和 不属于 两种,表示
符号为 ∈ 和 ? .

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3.常见集合的符号表示.

集 合
表 示

自然数集 正整数集 N N*或N+

整数集 Z

有理数集 Q

实数集 R

4.集合的表示法: 列举法 、 描述法 、韦恩图 .

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二、集合间的基本关系
表示

关系
集合 间的 基本 关系

定义

记法

集合A与集合B中的所有 相等 A=B 元素都相同 A中任意一元素均为B中 A?B 或 B?A 子集 的元素 A中任意一元素均为B中 真子集 的元素,且B中至少有一 A?B 或 B?A 个元素A中没有

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表示 关系 空集

定义 空集是任何集合的子集

记法 ??B

非空集合 的真子集 ??B(B≠?) 空集是任何

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三、集合的基本运算 集合的并集 符号 A∪B 集合的交集 A∩B 集合的补集 若全集为U,则集

表示
图形 表示

合A的补集为?UA

{x|x∈A,

{x|x∈A,
且x∈B} {x|x∈U,且x?A}

意义

或x∈B}

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1.(2011· 北京高考)已知全集U=R,集合P={x|x2≤1},
那么?UP= A.(-∞,-1) C.(-1,1) B.(1,+∞) D.(-∞,-1)∪(1,+∞) ( )

解析:集合P=[-1,1],所以?UP=(-∞,-1)∪ (1,+∞). 答案:D

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2.(教材习题改编)设全集U={1,2,3,4,5},集合M= {1,4},N={1,3,5},则N∩(?UM)= A.{1,3} C.{3,5} B.{1,5} D.{4,5} ( )

解析:先求出M的补集?UM={2,3,5},N={1,3,5}, 则N∩(?UM)={1,3,5}∩{2,3,5}={3,5}. 答案:C

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3.设P={x|x<4},Q={x|x2<4},则 A.P?Q C.P??RQ B.Q?P D.Q??RP

(

)

解析:集合Q={x|-2<x<2},所以Q?P. 答案:B

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4.(教材习题改编)已知集合M={-1,0,1},N={x|- 1<x<3},则M∩N=________.

解析:∵M={-1,0,1},N={x|-1<x<3},
∴M∩N={0,1}. 答案:{0,1}

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5.(2012· 盐城模拟)如图,已知U= {1,2,3,4,5,6,7,8,9,10},集合A= {2,3,4,5,6,8},B={1,3,4,5,7}, C={2,4,5,7,8,9},用列举法写出图中阴影部分表示

的集合为________. 解析:阴影部分表示的集合为A∩C∩?UB={2,8}. 答案:{2,8}

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1.注意区分几种常见集合 研究一个集合,首先要看集合中的代表元素,然后 再看元素的限制条件,当集合用描述法表示时,注 意弄清其元素表示的意义是什么.

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集合

{x|f(x) = 0}

{x|f(x) >0}

{x|y= f(x)}

{y|y= f(x)}

{(x,y)|y =f(x)}

集合
的意 义

方程f(x)

不等式 函数y= 函数y

函数y=

=0的解 f(x)>0的 f(x) 的 集 解集

=f(x) f(x)图象上 的点集

定义域 的值域

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2.注意空集的特殊性 空集是不含任何元素的集合,空集是任何集合的子 集.在解题时,若未明确说明集合非空时,要考虑 到集合为空集的可能性.例如:A?B,则需考虑A

=?和A≠?两种可能的情况.

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[精析考题] [例1] (2010· 江苏高考)设集合A={-1,1,3},B={a+2, a2+4},A∩B={3},则实数a的值为________.

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[自主解答]

由于a2+4>3,故a+2=3,即a=1.

经验证,a=1符合题意.

∴a=1. [答案] 1

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[例2]

(2010· 福建高考)对于复数a,b,c,d,若集合S=

{a,b,c,d}具有性质“对任意x,y∈S,必有xy∈S”,则 ?a=1, ? 2 当?b =1, ?c2=b, ? A.1 C.0

时,b+c+d等于

(

)

B.-1 D.i

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[自主解答]

由a=1,b2=1知,b=-1,

∴c2=-1,∴c=i或c=-i. 若c=i,则d=-i;若c=-i,则d=i.

∴b+c+d=-1+i-i=-1或b+c+d=-1-i+i=-1.
[答案] B

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[巧练模拟]——————(课堂突破保分题,分分必保!)
1.(2012· 北京东城区模拟)设P、Q为两个非空实数集合, 定义集合P+Q={a+b|a∈P,b∈Q},若P={0,2,5}, Q={1,2,6},则P+Q中元素的个数为 A.9 B.8 ( )

C.7

D.6

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解析:∵P+Q={a+b|a∈P,b∈Q},P={0,2,5},Q=

{1,2,6},∴当a=0时,a+b的值为1,2,6;当a=2时,a+
b的值为3,4,8;当a=5时,a+b的值为6,7,11,∴P+Q= {1,2,3,4,6,7,8,11},∴P+Q中有8个元素. 答案:B

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2.(2012· 泰安质检)设集合A={-4,a2},B={9,1-a,

-2},若A∩B={9},则实数a=________.
解析:由A∩B={9},得9∈A,所以a2=9, 则a=3,或a=-3. 当a=3时,A={-4,9},B={9,-2,-2},不满足集 合元素互异性,舍去.

当a=-3时,A={-4,9},B={9,4,-2},符合条件,
所以a=-3. 答案:-3 返回

[冲关锦囊] 解决元素与集合的关系问题,首先要正确理解集 合的有关概念,元素属不属于集合,关键就看这个元 素是否符合集合中代表元素的特性.

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[精析考题]

[例3] (2011· 全国新课标卷)已知集合M={0,1,2,3,4,},
N={1,3,5,},P=M∩N,则P的子集共有 A.2个 C.6个 B.4个 D.8个 ( )

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[自主解答] [答案] B

P=M∩N={1,3},故P的子集有22=4个.

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[例4] 则

(2011· 浙江高考)若P={x|x<1},Q={x|x>-1}, ( B.Q?P D.Q??RP ∵P={x|x<1},∴?RP={x|x≥1}. )

A.P?Q C.?RP?Q [自主解答]

又Q={x|x>-1},∴?RP?Q. [答案] C

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[巧练模拟]—————(课堂突破保分题,分分必保!)
3.(2012· 山西六校联考)设集合P={(x,y)|x+y<4,x, y∈N*},则集合P的非空子集个数是 A.2 C.7 B.3 D.8 ( )

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解析:当x=1时,y<3,又y∈N*,因此y=1或y=2;当 x=2时,y<2,又y∈N*,因此y=1;当x=3时,y<1, 又y∈N*,因此这样的y不存在,综上所述,集合P中的 元素有(1,1),(1,2),(2,1),所以P的非空子集的个数是

23-1=7.
答案:C

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4.(2011· 郑州第一次质检)已知集合A={2,3},B=
{x|mx-6=0},若B?A,则实数m= A.3 C.2或3 B.2 D.0或2或3 ( )

解析:当B为空集时,m=0;当2∈B时,m=3;当

3∈B时,m=2.
答案:D

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[冲关锦囊]
1.判断两集合的关系常有两种方法:一是化简集合, 从表达式中寻找两集合间的关系;二是用列举法表 示各集合,从元素中寻找关系.

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2.已知两集合间的关系求参数时,关键是将两集合间的 关系转化为元素间的关系,进而转化为参数满足的关 系.解决这类问题常常需要合理利用数轴、Venn图帮 助分析. 3.子集与真子集的区别与联系:集合A的真子集一定是 其子集,而集合A的子集不一定是其真子集;若集合A

有n个元素,则其子集个数为2n,真子集个数为2n-1.

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[精析考题] [例5] (2011· 江西高考)若全集U={1,2,3,4,5,6},M=

{2,3},N={1,4},则集合{5,6}等于
A.M∪N C.(?UM)∪(?UN) B.M∩N D.(?UM)∩(?UN)

(

)

[自主解答] ∵M∪N={1,2,3,4},∴(?UM)∩(?UN)= ?U(M∪N)={5,6}. [答案] D 返回

将例5中的条件“M={2,3}”改为“M∩N=N”,试求满足条 件的集合M的个数. 解:由M∩N=N得M?N. 含有2个元素的集合M有1个,含有3个元素的集合M有4个,

含有4个元素的集合M有6个,含有5个元素的集合M有4个,
含有6个元素的集合M有1个. 因此,满足条件的集合M有1+4+6+4+1=16个.

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[例 6]

(2011· 湖北高考)已知 U={y|y=log2x, x>1}, P={y|y ( 1 B.(0,2) 1 D.(-∞,0]∪[2,+∞) )

1 =x,x>2},则?UP= 1 A.[2,+∞) C.(0,+∞)

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因为函数 y=log2x 在定义域内为增函数, U={y|y 故 1 1 >0}, 函数 y=x在(0, +∞)内为减函数, 故集合 P={y|0<y<2}, 1 所以?UP={y|y≥2}. [自主解答]

[答案] A

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[巧练模拟]—————(课堂突破保分题,分分必保!)

5.(2012· 鞍山模拟)集合A={1,3,x},集合B={x2,1}且
A∪B={1,3,x},则这样的x值的个数是 A.1 C.3 B.2 D.4 ( )

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解析:由 A∪B=A 得,B?A. 令 x2=3 得,x=± 3,符合要求. 令 x2=x 得 x=0 或 x=1,当 x=1 时不满足集合元素的互异性. 因此,满足要求的 x 的值共有 3 个.

答案:C

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6.(2011· 山西四校第二次联考)已知集合 M={x|y= 3-x2},N={x|-3≤x≤1}, 且M、N都是全集I的子集,则右图 中阴影部分表示的集合为 A.{x|- 3≤x≤1} C.{x|-3≤x<- 3} ( ) B.{x|-3≤x≤1} D.{x|1<x≤ 3}

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解析:依题意得M={x|- 3 ≤x≤ 3 },N={x|-3≤x≤1},图 中阴影部分表示的集合为:集合N中除去集合N与集合M公共的 元素,即为{x|-3≤x<- 3}.

答案:C

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[冲关锦囊] 在进行集合运算时要尽可能地借助Venn图和数轴

使抽象问题直观化.一般地,集合元素离散时用Venn图
表示;集合元素连续时用数轴表示,用数轴表示时注意 端点值的取舍.

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数学思想(一)数形结合思想在集合中的 妙用

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[考题范例]
(2011· 广东高考)已知集合A={(x,y)|x,y为实数,且x2 +y2=1},B={(x,y)|x,y为实数,且x+y=1},则A∩B 的元素个数为 A.4 B.3 ( )

C.2

D.1

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[巧妙运用] 圆x2+y2=1的圆心(0,0)到直线x+y=1的距离 2 d= 2 <1,因此,直线x+y=1与圆x2+y2 =1相交,有两个交点, 因此,A∩B的元素个数为2.

答案:C

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[题后悟道] 解答本题利用了数形结合的方法,把集合A中元素 理解为单位圆上的点,集合B中元素理解为直线上的点, 则直线和圆交点个数为A∩B的元素个数.在集合运算

时,有时利用数轴,Venn图解决集合间的交、并、补
等问题显得更直观、方便.

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