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复数总复习----三角形式


教 学 内 容 及 板 书 设 计

附 记

复数的三角形式
教学目标: 1.掌握复数的辐角及辐角主值的概念。 2.掌握复数代数形式与三角形式的互化。 3.理解掌握求复数模的相关问题。 教学重点: 1.掌握复数代数形式与三角形式的互化。 2.理解掌握求复数模的相关问题。 计划课时: 2 课时 一、复习提问 1、 复数的加法和减法

法则;2、复数的乘法; 3、 复数的除法; 4、 练习:计算 (1) (1+3i)+(2-4i) (2) (1-i) - (2-4i) (3) (1+3i) (2-4i) (4) (1+3i)÷(2-4i) 二、新授课 引入:我们知道复数 a+bi 由实部 a 和虚部 b 唯一确定,复数还可以用 三角形式来表示,现在我们来学习复数的三角形式 1、 复数的辐角 如图所示,以实轴的正半轴为始边,矢量 OZ 所在的射线为终边 的角 ? ,称为复数 a+bi 的辐角。 显然,非零复数的辐角有无数多个值, b Z=a+bi 它们彼此相差 2 ? 的整数倍数。 r ? 对于复数零,由于零食量没有确定的方向, a 因此没有确定的辐角。 0 x 2、 数辐角的主值 为了实际需要,本书把适合于- ? < ? ? ? 的辐角 ? 称为主辐 角,? 的值称为辐角的主值,并规定:用主辐角表示复数 Z=a+bi 的辐角。 3、 非零复数由它的模和辐角的主值唯一确定 两个非邻复数相等 ? 当且仅当它们的模和主辐角分别相等。 4、 几个特殊复数的主辐角 Z=a+0i (a.>0)的主辅角 ? =0 Z=a+0i(a<0)的主辅角 ? = ? Z=0+bi(b>0)的主辅角 ? = ? / 2 Z=0+bi(b<0)的主辅角 ? = - ? / 2 5、求复数 zZ= a+bi 在模和主辅角公式 r=

a ?b

2

2

tan ? =

b (a ? 0) a

1

例 1、 求复数 Z= - 1-

3 i 的模和主辅角

解 :因为 a= - 1<0 , b = -- 3 <o

所以 r=

a ?b

2

2

=

(?1) ? (?
2

3)

2

=2

教 学 内 容 及 板 书 设 计
虽然主辅角 ? ∈Ⅲ 因为 tan ? =b/a =

附 记

? 3 = ?1

3
2? 3

所以复数 z= -1 - 3 i 的主辅角是 -

练习 P1281(1) (2) (4) (5) 6,复数的三角形式 由图可以看出,当复数 Z = a+bi ≠ 0 时 a = rcos ? b = rsin ? ∴a+bi=rcos ? + i r sin ? = r(cos ? +isin ? ) 即 a+bi = r(cos ? +isin ? ) 其中 r =

a ?b

2

2

cos ? =a/r

sin ? = b/r

式子 r(cos ? +isin ? )叫做复数 a+bi 的三角形式, a+bi 称为复数的代数形式 例 2 把复数 Z= 2 - 2 i 化为三角形式 分析:本题的关键是求出(1)复数的模 (2) 复数的主辅角 ? 解:这里 a= 2 , b= - 2 所以 r=

a ?b

2

2

=

2

2

? (?

2 ) =2
所以主辅角 ? ∈Ⅳ

2

因为 a= 2 >0 因为 tan ? =

b= - 2 <0

a = - b

2/ 2= - 1

所以 ? = -

? 4

为所求的主辅角

故 z= 2 - 2 i = 2[cos(-

? ? )+isin( )] 4 4

练习: 《对口单招》P120 基础过关
2

例 3、把复数 Z= 2 (cos135o+isin135o)化为代数形式。 解:Z= 2 (cos135o+isin135o) = 2 [cos(180o-45o)+isin(180o-45o)] = 2 (-cos45o+isin45o)

教 学 内 容 及 板 书 设 计
= 2 (-

附 记

2 2 + i) 2 2

=-1+i 练习:将下列复数化为代数形式:

? ? +isin ) 6 6 ? ? 2、 2 (cos +isin ) 4 4
1、 3 (cos 三、小结: 1、 复述的辐角(主辐角)的概念 2、 复数 Z=a+bi 的模和主辐角的计算公式

r=

a ?b

2

2

tan ? =

b (a ? 0) a

3、 复数的三角形式 任何一个复数 Z=a+bi 都可以表示为:r(cos ? +isin ? )形式 其中,r =

a ?b

2

2

,a = rcos ? ,b = rsin ?

4、复数的三角形式与的代数形式互化 四、课外作业: 见复习书《对口单招》 。

3


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