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高考热点之递推数列(二)(


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数列专题-------递推数列
-------闫小江
王新敞 特级教师 源头学子小屋
http://wxc.833200.com wxckt@126.com

新疆奎屯
· 2007·

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关键词:通项公式 递推公式 形如



怎样给定一个数列?除用语言叙述和具体写出数列的条件外, 通常还有两种给定方法: 一种是给出数列 {an } 的通项公式,从通项公式中求出各项。 另一种是给出数列 {an } 的递推公式与初始条件。数列的连续若 干次满足的等量关系

an?k ? f (an?k ?1, an?k ?2 ........an )
称为数列的递推关系,由递推关系及k个初始值可以确定的一 个数列叫递推数列。例如: 由
a1 = a

(初始条件)

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an = qan ?1 ( n ? 2 且 n ? N * ) (递推公式)

给定的数列是以 a 为首项,公比为 q 的等比数列。 由

a1 = a

(初始条件)

an ? an?1 ? d ( n ? 2 且 n ? N * ) (递推公式)
给定的数列是以 a 为首项,公差为 d 的等差数列。

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在中学的数学教学中,常见的有以下几种类型: (1)形如
an?1 ? an ? f ? n ?
n

的递推公式,其通项求法为:
n

an ? a1 ? ? ? ak ? ak ?1 ? ? a1 ? ? f ? k ? 1? ? a1 ? ? f ? k ?
k ?2
k ?2

n ?1

k ?1

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a1 ? 1 1 an ? an ?1 ? 2 (n ? 2) 2, n ?1 ,求数列 ?an ? 的通项

例 1. 已知 公式。

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解:

an ? a1 ? (a2 ? a1 ) ? (a3 ? a2 ) ? ? ? (an ? an?1 )
n 1 1 1 1 ? a ? ( ? ) ? a1 ? ? (ak ?1 ? ak ) ? a1 ? ? ? 1 2 k ?2 k ?1 (k ? 1) ? 1 k ?1 2 k k ?1
n ?1

n ?1

?

2n ? 1 1 3 2n ? 1 ? ? ? 2? 2 2 2 n(n ? 1) n ?n (n ? 2)
1 2 也满足上式
2n ? 1 n2 ? n


?

a1 ?

an ? 2 ?

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( 2 )形如

an?1 ? f (n) ? an 型的递推公式,其通项求法可变形为:

a2 an an ?1 ? f (1) ? f (n ? 1) ? f (n ? 2) a an?1 , an?2 ,? , 1 。
各式两边分别相乘得: an ? a1 ? f (1) ? f (2) ??? f (n ?1) (n ? 2)

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例2. 已知数列 {an } 中, a1 ? 1 ,
an ?1 ? n ?1 an n ,求

an 。

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(3)形如 an?1 ? pan ? q ( p ? 1) 型的递推公式,其通项求法为: 方法1:由 an?1 ? pan ? q 得 an ? pan?1 ? q (n ? 2) ,两式相减得:
an?1 ? an ? p(an ? an?1 ) 。则 {an?1 ? an } 是首项为 a 2 ?a1 ,公比为 q 的

等比数列。
an?1 ? an ? (a 2 ?a1 ) pn ,
(a 2 ?a1 )(1 ? p n?1 ) ? a1 ? 1? p
an ? a1 ? ? (ak ? ak ?1 )
k ?2 n

(n ? 2)

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a 方法2: n?1
an ?1 ?

? pan ? q

q q ? p(an ? ) 1? p 1? p

则数列{an ?

q }是公比为p的等比数列 1? p q q q an ? =p(an ?1 ? )=......=p n-1 (a1 ? ) 1? p 1? p 1? p an ? a1p
n-1

qp n-1 q ? ? 1? p 1? p

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例3.数列 {a } 中, a1 ? 5 , an?1 ? 2an ? 3 ,求数列的通项公式。
n

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解:? an?1 ? 2an ? 3 a ? 2an?1 ? 3 (n ? 2) ? n
an ?1 ? an ?2 a ? a ? 2( a ? a ) a ? a n n?1 ,即 n n ?1 两式相减得: n?1 n
?

{an ? an?1} 是以 8 为首项, 2 为公比的等比数列

n?1 a ? a ? 8 ? 2 n?1 ? n

2(1 ? 2n?1 ) an ? a1 ? ? (ak ? ak ?1 ) ? 8 ? 8 ? ? 8(2n ? 1) 1? 2 k ?2 ?
n

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(4)形如 an?1 ? pan ? q(n)(q ? 1) 型的递推公式,其通项求法为:

an an ?1 an q(n) ? ? n ?1 n n ?1 n n ?1 p p p p p 两边同除以 ,得 ,把 作为一个整体, q ( n) an b ? b ? ? b n ?1 n n ?1 n n p p 令 ,则 ,这样转化成形式(1)即可求解。

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a 例4.在数列 {an } 中, 若 1

? 0 ,an?1 ? 2an ? 2n ?1 。 a 求通项公式 n 。

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n n ?1 a ? 2 a ? 2 ? 1 2 n ? 1 n 解:由 两边都除以 得:

an ?1 an 1 1 ? ? ? 2n ?1 2n 2 2n ?1

an ?1 an 1 1 ? ? ? n ?1 2n 2 2n ?1 即 2



bn ?

an 1 1 bn ?1 ? bn ? ? n ?1 n 2 ,等式化为 2 2



b1 ?

a1 ?0 2

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?bn ? b1 ? ? (bn ? bn ?1 ) ? 0 ?
k ?2 n

n ?1 1 1 1 n?2 ? ? n ? n? 2 2 2 2 2

? an ? bn ? 2n ? (

1 n?2 n n?2 n ? ) ? 2 ? 1 ? ? 2 ? 1 ? (n ? 2) ? 2n ?1 n 2 2 2

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(5)形如

an?1 ? p(n) ? an ? q(n) 的递推式,其通项求法为:
p ( n) ? f ( n) f (n ? 1) , 所 以

设 辅 助 数 列 { f (n)} , 使

an?1 ?

f ( n) an ? q(n) f (n ? 1) ,
。 令

an?1 ? f (n ? 1) ? an f (n) ? q(n) ? f (n ? 1)
bn?1 ? an?1 ? f (n ? 1)


bn?1 ? bn ? q(n) ? f (n ? 1) ,这样转化为形式(1)即可求解。

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例5.在数列 通项公式。

{an } 中, a1 ? 2 , nan?1 ? (n ? 1)an ? 2 ,求 {an } 的

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an?1 a 2 ? n? na ? (n ? 1)an ? 2 变形得 (n ? 1) n n(n ? 1) 解:由 n?1
an?1 a 2 ? n ? 即 (n ? 1) n n(n ? 1)

设 且

bn ?

an 2 1 1 bn?1 ? bn ? ? 2( ? ) n(n ? 1) n n ?1 n ,从而等式转化为

b1 ? a1 ? 2
n

1 2 ? bn ? b1 ? ? (bn ? bn?1 ) ? 2 ? 2(1 ? ) ? 4 ? n n k ?2

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2 ? an ? n ? bn ? n(4 ? ) ? 4n ? 2 n

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6.递推关系式形如 an ?
Aan ( A, B, C为非零的常数) Ban ? C

这种类型的解法是将式子两边同时取倒数 , 把数列的倒数看 成是一个新数列,便可顺利地转化为类型 4 的解法.

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2an a ? 2, a ? n ?1 例 6 已知数列 ?an ? 满足 1 an ? 2 ,求 a .
n

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7.递推关系式形如 an?2 ? pan?1 ? qan ( p, q为非零的常数) 这 种 类 型 可 以 变 形 为 an?2 ? ? an?1 ? ? (an?1 ? ? an ) , 其 中

? ? ? ? p, ? ?? ? ?q , 于是 {an?1 ? ? an } 是公比为 ?
数列的通项公式。

的等比数

列.其中, ? , ? 的位置可以互换。利用这一点,可以联立方程解出

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例 7 已知数列 ?an ? 满足 a1 ? 2, a2 ? 3, an?2 ? 3an?1 ? 2an , 求

an .
解法一 :由递推关系式可得 an?2 ? an?1 ? 2(an?1 ? an ) ,所以数 列{ an?1 ? an } 是一个等比数列 ∴ an?1 ? an = (a2 ? a1 )2
n?1

? 2n?1 (这是类型 1)

∴ an ? 2 ?1? 2 ???? ? 2n?2 ? 2n?1 ?1 解法二:由递推关系式可得 an?2 ? an?1 ? 2(an?1 ? an ) ,所以数列 { an?1 ? an } 是一个等比数列 ∴ an?1 ? an = (a2 ? a1 )2
n?1

? 2n?1 ,



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同理,由 an?2 ? 2an?1 ? an?1 ? 2an 知数列列 { an?1 ? 2an }是一个 常数列。故有:
an?1 ? 2an ? a2 ? 2a1 ? 3 ? 4 ? ?1



由⑴⑵可得: an ? 2

n?1

?1

.

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练习题:1.(2008 年新疆高考理 20 改编)20. (本小题满分 12 分)
设数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn .已知 a1 ? a , an?1 ? Sn ? 3 , n ? N* .
n

(Ⅰ)求数列 ?Sn ? 的通项公式; Sn ? 3 ? (a ? 3)2
n

n?1

(2)求数列 ?an ? 的通项公式; an ? 2
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n?2

? ? 3 ?n?2 ? ?12? ? ? ? a ? 3? ? ? ? ?2? ?

2. (2007 年新疆高考理 21)21 (本小题满分 12 分)
新疆奎屯
· 2007·

1) an ? 设数列 {an } 的首项 a1 ? (0,,

3 ? an ?1 ,n ? 2, 3, 4,… 2

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新疆奎屯
· 2007·

(1)求 {an } 的通项公式;

? 1? an ? 1 ? (1 ? a1 ) ? ? ? ? 2?

n ?1

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(2008 年高考调研题)3.已知正数数列 ?a ?中,a1 ? 2 .若关于 x 的
n

方程 x 2 ? (

a n ?1 ) x ?

2a n ? 1 ? 0 (n ? N ? ) 有相等的实根. 4

(1) 求数列an的通项公式 (2)求证 1 ? a
1 ?
1

1 1 1 2 ? ??? ? 1 ? a 2 1 ? a3 1 ? an 3

(n ? N ? ) .

n?1 (1) an ? 3 ? 2 ?1

(2)证明略

(2003 天津文、全国文)已知数列 {an }满足a1

? 1, an ? 3n?1 ? an?1 (n ? 2).

(Ⅰ)求 a2 , a3 ;

3n ? 1 a ? . (Ⅱ)证明 n 2

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(2003 天津理、广东) (22) (本小题满分 14 分)
n?1 设 a0 为常数,且 an ? 3 ? 2an?1 (n ? N ) .

1 n n?1 n n n a ? [ 3 ? ( ? 1 ) ? 2 ] ? ( ? 1 ) ? 2 a0 n (Ⅰ)证明对任意 n ≥1, 5
(2004 全国Ⅱ卷理) 数列 {an } 的前 n 项和记为 Sn,已知

a1 ? 1, a n ?1 ?

n?2 S n (n ? 1,2,3?). 证明: n Sn (Ⅰ)数列 { n } 是等比数列;
(Ⅱ) S n?1

? 4an .

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(2005

重庆文)数列

{an }满足a1 ? 1且8an?1an ? 16an?1 ? 2an ? 5 ? 0(n ? 1).


bn ?

1 1 an ? 2

(n ? 1).

(Ⅰ)求 b1、b2、b3、b4 的值; (Ⅱ)求数列 {bn } 的通项公式及数列 {an bn } 的前 n 项和 S n . (2005 山东文)已知数列 ?an? 的首项 a1 ? 5, 前 n 项和为 Sn ,且

Sn?1 ? 2Sn ? n ? 5(n ? N * )
(I ) 证明数列 ?an ?1? 是等比数列; 27. (2006 四川理)已知数列 ?an ? ,其中

a1 ? 1, a2 ? 3,

2an ? an?1 ? an?1,(n ? 2)

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23. (2006 陕西文、理)已知正项数列 {an } ,其前 n 项和 Sn 满足 10Sn= an2 +5an+6,且 a1,a3,a15 成等比数列,求数列 {an } 的通项 an. 18、 (2006 全国Ⅰ卷理)设数列 ?an ? 的前 n 项的和, 4 1 2 S n ? a n ? ? 2n ?1 ? n ? 1,2,3,? 3 3 3 (Ⅰ)求首项 a1 与通项 an ; (Ⅱ)设 Tn ? 2 , n ? 1,2,3,? ,证明: ? Ti ? 3
Sn
i ?1

n

n

2 3na n-1 (n ? 2,n ? N?) 2a n-1+n- 1

(2006 江西理)已知数列{an}满足:a1= 3 ,且 an=
2

(1) 求数列{an}的通项公式; (2) 证明:对于一切正整数 n,不等式 a1?a2?……an?2?n!

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7.(2006 福建理)已知数列{a n }满足 a 1 =1,a n?1 =2a n +1(n∈N ? ) (Ⅰ)求数列{a n }的通项公式; ( 2006 福 建 文 ) 已 知 数 列

?an ?





a1 ? 1, a2 ? 3, an?2 ? 3an?1 ? 2an (n ? N* ).


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