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16~29届全国中学生物理竞赛电磁学专题


电磁学专题
(16)三、 (25 分)用直径为 1 mm 的超导材料制成的导线做成一个半径为 5 cm 的圆环。圆环处于超导状 态,环内电流为 100 A 。经过一年,经检测发现,圆环内电流的变化量小于 10 电阻率数量级的上限。 提示:半径为 r 的圆环中通以电流 I 后,圆环中心的磁感应强度为 B ? 用国际单位, ?0
-6

A 。

试估算该超导材料
,式中 B 、 I 、 r 各量均

?0 I
2r

? 4? ?10-7 N ? A-2 。

五、 (25 分)六个相同的电阻(阻值均为 R )连成一个电阻环,六个接点依次为 1、2、3、4、5 和 6,如 图复 16-5-1 所示。现有五个完全相同的这样的电阻环,分别称为 D1 、 D2 、┅ D5 。 现将 D2 的 1、3、5 三点分别与 D1 的 2、4、6 三点用导线连接,如图复 16-5-2 所示。然后将 D3 的 1、 3、5 三点分别与 D2 的 2、4、6 三点用导线连接,┅ 依此类推。最后将 D5 的 1、3、5 三点分别连接到 D4 的 2、4、6 三点上。 1.证明全部接好后,在 D1 上的 1、3 两点间的等效电阻为 2.求全部接好后,在 D5 上的 1、3 两点间的等效电阻。

724 R。 627

六、 (25 分)如图复 16-6 所示, z 轴竖直向上, xy 平面是一 绝缘的、固定的、刚性平面。在

A( x0 , 0, 0) 处放一带电量为 ?q (q ? 0) 的小物块, 该物块与一细线相连, 细线的另一端 B 穿过位于坐标原点 O 的光滑小孔,可通过它牵引小物块。现对 该系统加一匀强电场,场强方向垂直与 x 轴,与 z 轴夹角为 ?
(如图复 16-6 所示) 。设小物块和绝缘平面间的摩擦系数为 ? ? tan ? ,且静摩擦系数和滑动摩擦系数相同。不计重力作 用。现通过细线来牵引小物块,使之移动。在牵引过程中,我 们约定:细线的 B 端只准沿 z 轴向下缓慢移动,不得沿 z 轴向 上移动;小物块的移动非常缓慢,在任何时刻,都可近似认为 小物块处在力平衡状态。若已知小物块的移动轨迹是一条二次 曲线,试求出此轨迹方程。

(17)?三、1995 年,美国费米国家实验室CDF实验组和DO实验组在质子反质子对撞机TEVATR ON的实验中,观察到了顶夸克,测得它的静止质量m1=1.75×10 eV/c =3.1×10 kg,寿命τ =0.4×10
-24 11 2 -25

s,这是近十几年来粒子物理研究最重要的实验进展之一.

? 1.正、反顶夸克之间的强相互作用势能可写为U(r)=-k(4as/3r) ,式中r是正、反顶夸 克之间的距离, s=0. 是强相互作用耦合常数, a 12 k是与单位制有关的常数, 在国际单位制中k=0. 319 ×10-25J·m.为估算正、反顶夸克能否构成一个处在束缚状态的系统,可把束缚状态设想为正反顶夸克 在彼此间的吸引力作用下绕它们连线的中点做匀速圆周运动.如能构成束缚态,试用玻尔理论确定系统处 于基态中正、反顶夸克之间的距离r0.已知处于束缚态的正、反夸克粒子满足量子化条件,即 ? 2mv(r0/2)=n(h/2π ) ,n=1,2,3?? ?式中mv(r0/2)为一个粒子的动量mv与其轨道半径r0/2 的乘积,n为量子数,h=6.63×10
-34

J·s为普朗克常量.

? 2.试求正、反顶夸克在上述设想的基态中做匀速圆周运动的周期T.你认为正、反顶夸克的这种束 缚态能存在吗?

?五、如图 2 所示,在真空中建立一坐标系,以水平向右为x轴正方向,竖直向下为y轴正方向,z轴 垂直纸面向里.在 0≤y≤L的区域内有匀强磁场,L=0.80m,磁场的磁感强度的方向沿z轴的正方向, 其大小B=0.10T.今把一荷质比q/m=50C·kg
-1

的带正电质点在x=0,y=-0.20m,z=0
-2

处静止释放,将带电质点过原点的时刻定为t=0 时刻,求带电质点在磁场中任一时刻t的位置坐标.并 求它刚离开磁场时的位置和速度. (取重力加速度g=10m·s )

(18) 四、 (22 分)如图复 18-4 所示,均匀磁场的方 向垂直纸面向里,磁感应强度 B 随时间 t 变 化, B ? B0 .现有 ? kt ( k 为大于 0 的常数) 两个完全相同的均匀金属圆环相互交叠并固 定在图中所示位置,环面处于图中纸面内。圆 环的半径为 R ,电阻为 r ,相交点的电接触良 好.两个环的接触点 A 与 C 间的劣弧对圆心

O 的张角为 60?。求 t ? t0 时,每个环所受的
均匀磁场的作用力,不考虑感应电流之间的作 用. 图复 18-4 五、 (25 分)如图复 18-5 所示,一薄壁导体球壳(以下简称为球壳) 的球心在 O 点. 球壳通过一细导线与端电压 U ? 90 V 的电池的正 极相连,电池负极接地.在球壳外

A 点有一电量为 q1 ? 10 ?10-9 C 的点电荷, B 点有一电量为 q2 ? 16 ?10-9 C
? 20 cm , OB 之间的距离

的点电荷。 OA 之间的距离 d1

d2 ? 40 cm .现设想球壳的半径从 a ? 10 cm 开始缓慢地增大到 50 cm ,问:在此过程中的不同阶段,大地流向球壳的电量各是多
少?己知静电力恒量 k

? 9 ?109 N ? m2 ? C-2 . 假设点电荷能穿过

球壳壁进入导体球壳内而不与导体壁接触。

(19)二、 (18 分) 在图复 19-2 中, 半径为 R 的圆柱形区域内有匀强磁场,磁场方向垂直纸面指向纸外, 磁感应强度

B 随时间均匀变化,变化率 ?B / ?t ? K ( K 为一正值常量),圆柱形区外空

间没有磁场,沿图中 AC 弦的方向画一直线,并 向 外 延 长 , 弦 AC 与 半 径 OA 的 夹 角

? ? ? / 4 .直线上有一任意点,设该点与 A 点 的距离为 x , 求从 A 沿直线到该点的电动势的大
小.

三、 (18 分)如图复 19-3 所示,在水平光滑绝缘的桌面上,有三个带正电的质点 1、 2、3,位于边长为 l 的等边三角形的三个顶点处。 C 为三角形的中心,三个质点的 质量皆为 m ,带电量皆为 q 。质点 1、3 之间和 2、3 之间用绝缘的轻而细的刚性 杆相连,在 3 的连接处为无摩擦的铰链。已知开始时三个质点的速度为零,在此后 运动过程中,当质点 3 运动到 C 处时,其速度大小为多少?

四、 (18 分)有人设计了下述装置用以测量线圈的自感系数.在图复 19-4-1 中,E 为电压可调的直流电源。 K 为开关, L 为待测线圈的自感系数, rL 为线圈的直流电阻,D 为理想二极管, r 为用电阻丝做成的电阻 器的电阻, 为电流表。 A 将图复 19-4-1 中 a 、 之间的电阻线装进图复 19-4-2 所示的试管 1 内, 图复 19-4-2 b 中其它装置见图下说明.其中注射器筒 5 和试管 1 组成的密闭容器内装有某种气体(可视为理想气体) ,通 过活塞 6 的上下移动可调节毛细管 8 中有色液注的初始位置,调节后将阀门 10 关闭,使两边气体隔开.毛 细管 8 的内直径为 d . 已知在压强不变 的条件下,试管中的 气体温度升高 1K 时, 需要吸收的热量为 大气压强为 p 。 Cq , 设试管、三通管、注 射器和毛细管皆为绝 热的,电阻丝的热容 不计.当接通电键 K 后,线圈 L 中将产生 磁场,已知线圈中储

1 ? LI 2 , I 为通过线圈的电流,其值可通过电流表 A 测量,现利用此装置及合理的步骤 2 测量的自感系数 L .
存的磁场能量 W

1.简要写出此实验的步骤. 2.用题中所给出的各已知量( r 、 rL 、 Cq 、

p、d

等)及直接测得的量导出 L 的表达式,

(20)一、 (15 分)图中 a 为一固定放置的半径为 R 的均匀带电球体,O 为其球心.己知取无限远处的电势 为零时,球表面处的电势为 U=1000 V.在离球心 O 很远的 O′点附 近有一质子 b,它以 Ek=2000 eV 的动能沿与 O? O 平行的方向射 向 a.以 l 表示 b 与 O? O 线之间的垂直距离,要使质子 b 能够与 带电球体 a 的表面相碰,试求 l 的最大值.把质子换成电子,再 求 l 的最大值.

六、(23 分)两个点电荷位于 x 轴上,在它们形成的电场中,若取无限远处的电势为零,则在正 x 轴上各点 的电势如图中曲线所示,当 x ? 0 时,电势 U ? ? :当 x ?? 时,电势 U ? 0 ;电势为零的点的坐标

x0 , 电势为极小值 ?U 0 的点的坐标为 ax0 ( a >2) 。试根据图线提供的信息,确定这两个点电荷所带电
荷的符号、电量的大小以及它们在 x 轴上的位置.

(21)

五、(20 分)如图所示,接地的空心导体球壳内半径为 R,在空腔内一直径上的 P1 和 P2 处,放置电量分别为

q1 和 q2 的点电荷,q1=q2=q,两点电荷到球心的距离均为 a.由静电感应与静电屏蔽可知:导体空腔内表
面将出现感应电荷分布,感应电荷电量等于-2q.空腔内部的电场是由 q1、q2 和两者在空腔内表面上的感 应电荷共同产生的.由于我们尚不知道这些感应电荷是怎样分布的,所以很难用场强叠加原理直接求得腔 内的电势或场强.但理论上可以证明,感应电荷对腔内电场的贡献,可用假想的位于腔外的(等效)点电 荷来代替(在本题中假想(等效)点电荷应为两个) ,只要假想的(等效)点电荷的位置和电量能满足这样的

? 条件,即:设想将整个导体壳去掉,由 q1 在原空腔内表面的感应电荷的假想(等效)点电荷 q 1 与 q1 共同产
生的电场在原空腔内表面所在位置处各点的电势皆为 0;由 q2 在原空腔内表面的感应电荷的假想(等效)

? 点电荷 q2 与 q2 共同产生的电场在原空腔内表面所在位置处各点的电势皆为
0.这样确定的假想电荷叫做感应电荷的等效电荷,而且这样确定的等效电

A

? ? 荷是唯一的.等效电荷取代感应电荷后,可用等效电荷 q 1 、 q2 和 q1、q2 来
计算原来导体存在时空腔内部任意点的电势或场强.

r
P2

?? a O a

P1 R

? ? 1.试根据上述条件,确定假想等效电荷 q 1 、 q2 的位置及电量. OA 2. 求空腔内部任意点 A 的电势 UA. 已知 A 点到球心 O 的距离为 r, 与 OP 1
的夹角为?? .

(22)二、如图所示,O 为半径等于 R 的原来不带电的导体球的球心,O1、O2、

P

R

O 1 P1 R O O2 P2

O3 r

O3 为位于球内的三个半径皆为 r 的球形空腔的球心,它们与 O 共面,已知 OO1 ? OO2 ? OO3 ? OO1、OO2 的连线上距 O1、O2 为

R .在 2

r 的 P1、P2 点处分别放置带电量为 q1 和 q2 的线度很小的导体(视为点电荷) , 2

在 O3 处放置一带电量为 q3 的点电荷,设法使 q1、q2 和 q3 固定不动.在导体球外的 P 点放一个电量为 Q 的点 电荷,P 点与 O1、O2、O3 共面,位于 O3O 的延长线上,到 O 的距离 OP ? 2 R . 1.求 q3 的电势能. 2.将带有电量 q1、q2 的小导体释放,当重新达到静电平衡时,各表面上的电荷分布有何变化? 此 时 q3 的电势能为多少?

三、(22 分) 如图所示,水平放置的横截面积为 S 的带有活塞的圆筒形绝热 容器中盛有 1mol 的理想气体.其内能 U ? CT ,C 为已知常量,T 为热力学温 度.器壁和活塞之间不漏气且存在摩擦,最大静摩擦力与滑动摩擦力相等且皆为

r

p0

F.图中 r 为电阻丝,通电时可对气体缓慢加热.起始时,气体压强与外界大气
压强 p0 相等,气体的温度为 T0.现开始对 r 通电,已知当活塞运动时克服摩擦力做功所产生热量的一半被容 器中的气体吸收.若用 Q 表示气体从电阻丝吸收的热量,T 表示气体的温度,试以 T 为纵坐标,Q 为横坐标, 画出在 Q 不断增加的过程中 T 和 Q 的关系图线. 并在图中用题给的已知量及普适气体常量 R 标出反映图线特 征的各量(不要求写出推导过程) .

五、 (25 分)一个用绝缘材料制成的扁平薄圆环,其内、外半径分别为 a1、a2,厚度可 以忽略.两个表面都带有电荷,电荷面密度 ? 随离开环心距离 r 变化的规律均为

a2 a0 a1

? (r ) ?

?0
r2

, ? 0 为已知常量.薄圆环绕通过环心垂直环面的轴以大小不变的角加速度 ?

减速转动,t = 0 时刻的角速度为 ? 0 .将一半径为 a0 (a0<<a1)、电阻为 R 并与薄圆环共面 的导线圆环与薄圆环同心放置. 试求在薄圆环减速运动过程中导线圆环中的张力 F 与时间 t 的关系. 提示:半径为 r、通有电流 I 的圆线圈(环形电流) ,在圆心处产生的磁感应强度为 B ? k 量) (23) 四、 (25 分)图 1 所示的电路具有把输人的交变电压变成直流电压并加以升压、输出的功能,称为整流倍 压电路。图中 图1

I (k 为已知常 r

D1 和 D2 是理想的、点接触型二极管(不考虑二极管的电容) ,

C1 和 C 2 是理想电容器,它们的电容都为 C,初始时都不带电,G 点接地。现在 A、G 间接上一交变电源,
其电压 u A ,随时间 t 变化的图线如图 2 所示.试分别在图 3 和图 4 中准确地画出 D 点的电压 u D 和 B 点的 电压 u B 在 t=0 到 t=2T 时间间隔内随时间 t 变化的图线,T 为交变电压 u A 的周期。

图2 图3

图4 五、 (25 分)磁悬浮列车是一种高速运载工具。它具有两个重要系统。一是悬浮系统,利用磁力(可由超 导电磁铁提供)使车体在导轨上悬浮起来与轨道脱离接触。另一是驱动系统,在沿轨道上安装的三相绕组 (线圈)中,通上三相交流电,产生随时间、空间作周期性变化的磁场,磁场与固连在车体下端的感应金 属板相互作用,使车体获得牵引力。 为了有助于了解磁悬浮列车的牵引力的来由,我们求解下面的问题。 设有一与轨道平面垂直的磁场,磁感应强度 B 随时间 t 和空间位置 x 变化规律为

B( x, t ) ? B0 cos(? t ? kx)

式中 B0 、 ? 、 k 均为已知常量,坐标轴 x 与轨道平行。在任一时刻 t,轨道平面上磁场沿 x 方向的分布 是不均匀的,如图所示。图中 Oxy 平面代表轨道平面, “×”表示磁场的方向垂直 Oxy 平面指向纸里, “· ” 表示磁场的方向垂直 Oxy 平面指向纸外。规定指向纸外时 B 取正值。 “×”和“· ”的疏密程度表示沿着 x 轴 B 的大小分布。一与轨道平面平行的具有一定质量的金属矩形框 MNPQ 处在该磁场中,已知与轨道垂直 的金属框边 MN 的长度为 l , 与轨道平行的金属框边 MQ 的长度为 d, 金属框的电阻为 R, 不计金属框的电感。 1.试求在时刻 t,当金属框的 MN 边位于 x 处时磁场作用于金属框的安培力,设此时刻金属框沿 x 轴正方 向移动的速度为 v 。 2.试讨论安培力的大小与金属框几何尺寸的关系。

七、 (16 分)串列静电加速器是加速质子、重离子进行核物理基础研究以及核技术应用研究的设备,右图 是其构造示意图。S 是产生负离子的装置,称为离子源;中间部分 N 为充有氮气的管道,通过高压装置 H 使其对地有 5.00 ? 10 V 的高压。现将氢气通人离子源 S,S 的作用是使氢分子变为氢原子,并使氢原子
6

粘附上一个电子,成为带有一个电子电量的氢负离子。氢负离子(其初速度为 0)在静电场的作用下,形成 高速运动的氢负离子束流,氢负离子束射入管道 N 后将与氮气分子发生相互作用,这种作用可使大部分的 氢负离子失去粘附在它们上面的多余的电子而成为氢原子,又可能进一步剥离掉氢原子的电子使它成为质 子。已知氮气与带电粒子的相互作用不会改变粒子的速度。质子在电场的作用下由 N 飞向串列静电加速器 的终端靶子 T。试在考虑相对论效应的情况下,求质子到达 T 时的速度 v 。 电子电荷量 q (24) 四、 (25 分)图中 oxy 是位于水平光滑桌面上的直角坐标系,在 x 方向垂直于 oxy 平面向里,磁感应强度的大小为 B。在 x

? 1.60?10?19 C,质子的静止质量 m0 ? 1.673?10?27

kg。

? 0 的一侧,存在匀强磁场,磁场

? 0 的一侧,一边长分别为 l1 和 l 2 的刚性矩形超

导线框位于桌面上,框内无电流,框的一对边与 x 轴平行。线框的质量为 m,自感为 L。现让超导线框沿 x 轴方向以初速度 v0 进入磁场区域, 试定量地讨论线框以后可能发生的运动情况及与初速度 v0 大小的关系。 (假定线框在运动过程中始终保持超导状态)

五、 (25 分)地球赤道表面附近处的重力加速度为

g 0 ? 9.8m / s 2 ,磁场的磁感应强度的大小

B0 ? 3.0 ?10?5 T ,方向沿经线向北。赤道上空的磁感应强度的大小与 r 3 成反比(r 为考察点到地心的
距离) ,方向与赤道附近的磁场方向平行。假设在赤道上空离地心的距离 r

? 5Re ( Re 为地球半径)处,

存在厚度为 10km 的由等数量的质子和电子的等离子层(层内磁场可视为匀强磁场) ,每种粒子的数密度非 常低,带电粒子的相互作用可以忽略不计。已知电子的质量

me ? 9.1?10?31 kg , 质 子 的 质 量

mp ? 1.7 ?10?27 kg ,电子电荷量为 ? 1.6 ? 10?19 C ,地球的半径 Re ? 6.4 ?106 m 。
1.所考察的等离子层中的电子和质子一方面作无规则运动,另一方面因受地球引力和磁场的共同作用 会形成位于赤道平面内的绕地心的环行电流,试求此环行电流的电流密度。 2. 现 设 想 等 离 子 层 中 所 有 电 子 和 质 子 , 它 们 初 速 度 的 方 向 都 指 向 地 心 , 电 子 初 速 度 的 大 小

ue ? 1.4 ?104 m / s ,质子初速度的大小 u P ? 3.4 ?102 m / s 。试通过计算说明这些电子和质子都不
可能到到达地球表面。 ( 25 ) 2 、( 5 分 ) 在 国 际 单 位 制 中 , 库 仑 定 律 写 成

F ?k

q1q2 r2

,式中静电力常量

k ? 8.98 ?109 N ? m2 ? C ?2 ,电荷量 q 和 q 的单位都是库仑,距离 r 的单位是米,作用力 F 的单位是牛
1 2

顿。若把库仑定律写成更简洁的形式 F 库仑定律写成更简洁的形式 F

?

q1q2 r2

,式中距离 r 的单位是米,作用力 F 的单位是牛顿。若把

?

q1q2 r2

,式中距离 r 的单位是米,作用力 F 的单位是牛顿,由此式可这义 ;新单位与库

一种电荷量 q 的新单位。当用米、千克、秒表示此新单位时,电荷新单位= 仑的关系为 1 新单位= C。

3、 (5 分)电子感应加速器(betatron)的基本原理如下:一个圆环真空室处于分布在圆柱形体积内的磁 场中,磁场方向沿圆柱的轴线,圆柱的轴线过圆环的圆心并与环面垂直。圆中两个同心的实线圆代表圆环 的边界,与实线圆同心的虚线圆为电子在加速过程中运行的轨道。已知磁场的磁感应强度 B 随时间 t 的变 化规律为 B ?

B0 cos(2? t / T ) ,其中 T 为磁场变化的周期。B 为大于 0 的常量。当 B 为正时,磁场的方
0

向垂直于纸面指向纸外。若持续地将初速度为 v0 的电子沿虚线圆的切线方向注入到环内(如图) ,则电子在 该磁场变化的一个周期内可能被加速的时间是从 t= 到 t= 。

五、 (20 分)一很长、很细的圆柱形的电子束由速度为 v 的匀速运动的低速电子组成,电子在电子束中均 匀分布,沿电子束轴线每单位长度包含 n 个电子,每个电子的电荷量为 ?e(e ? 0) ,质量为 m。该电子束 从远处沿垂直于平行板电容器极板的方向射向电容器,其前端(即图中的右端)于 t=0 时刻刚好到达电容 器的左极板。电容器的两个极板上各开一个小孔,使电子束可以不受阻碍地穿过电容器。两极板 A、B 之间 加上了如图所示的周期性变化的电压 VAB ( VAB ,电压的最 ? VA ? VB ,图中只画出了一个周期的图线)

大值和最小值分别为 V0 和-V0,周期为 T。若以 ? 表示每个周期中电压处于最大值的时间间隔,则电压处 所有的电子,能在某一时刻 tb 形成均匀分布的一段电子束。设电容器两极板间的距离很小,电子穿过电容 器所需要的时间可以忽略,且 mv
2

于最小值的时间间隔为 T- ? 。 已知 ? 的值恰好使在 VAB 变化的第一个周期内通过电容器到达电容器右边的

? 6eV0 ,不计电子之间的相互作用及重力作用。

1、满足题给条件的 ? 和 tb 的值分别为 ? =

T,tb=

T。

2、试在下图中画出 t=2T 那一时刻,在 0-2T 时间内通过电容器的电子在电容器右侧空间形成的电流 I, 随离开右极板距离 x 的变化图线,并在图上标出图线特征点的纵、横坐标(坐标的数字保留到小数点后第 二位) 。取 x 正向为电流正方向。图中 x=0 处为电容器的右极板 B 的小孔所在的位置,横坐标的单位

s?

eV0 m

。 (本题按画出的图评分,不须给出计算过程)

六、 (22 分)零电阻是超导体的一个基本特征,但在确认这一事实时受到实验测量精确度的限制。为克服 这一困难,最著名的实验是长时间监测浸泡在液态氦(温度 T=4.2K)中处于超导态的用铅丝做成的单匝线 圈(超导转换温度 TC=7.19K)中电流的变化。设铅丝粗细均匀,初始时通有 I=100A 的电流,电流检测仪器 的精度为 ?I

? 1.0mA ,在持续一年的时间内电流检测仪器没有测量到电流的变化。根据这个实验,试估
3

算对超导态铅的电阻率为零的结论认定的上限为多大。设铅中参与导电的电子数密度

n ?8.00 10 ? 2 0m

,已知电子质量 m ? 9.11?10

?31

(采用的估 kg ,基本电荷 e ? 1.60 ?10?19 C 。

算方法必须利用本题所给出的有关数据)

(26)1.有人设想了一种静电场:电场的方向都垂直于纸面并指向纸里,电场 强度的大小自左向右逐渐增大,如图所示。这种分布的静电场是否可能存在?试述 理由。

3.用测电笔接触市电相线,即使赤脚站在地上也不会触电,原因是 ;另一方面,即使穿绝缘性能良好的电工鞋操作,测 电笔仍会发亮,原因是 。 4.在图示的复杂网络中,所有电源的 电动势均为 E0,所有电阻器的电阻值均为

R0,所有电容器的电容均为 C0,则图示电
容 器 。 A 极 板 上 的 电 荷 量 为

A

(27)四、(12 分)如图所示,一质量为 m 、电荷量为 q ( q

? 0 )的粒子做角速度为 ? 、半径为 R 的匀速

? R ),在导线上通有随时间变 化的电流 i 。 i ? 0 时刻,粒子速度的方向与导线平行,离导线的距离为 d ? R 。若粒子做圆周运动的向 心力等于电流 i 的磁场对粒子的作用力, 试求出电流 i 随时间的变化规律。 不考虑变化的磁场产生的感生电 场及重力的影响。长直导线电流产生的磁场的磁感应强度表示式中的比例系数 k 已知。
圆周运动。一长直细导线位于圆周所在的平面内,离圆心的距离为 d ( d 五、(20 分)如图所示,两个固定的均匀带电球面,所带电荷量分别为 Q 和 -Q(Q>0),半径分别为 R 和 R / 2 ,小球面与大球面内切于 C 点,两球面球 心 O 和 O ? 的连线 MN 沿竖直方向。在 MN 与两球面的交点 B、O 和 C 处各 开有足够小的孔,因小孔损失的电荷量忽略不计。有一质量为 m ,带电荷 量为 q ( q

? 0 )的质点自 MN 线上离 B 点距离为 R 的 A 点竖直上抛。设静

电力常量为 k ,重力加速度为 g 。 1.要使质点为从 A 点上抛后能够到达 B 点,所需的最小初动能为多少? 2. 要使质点从 A 点上抛后能够到达 O 点, 在不同条件下所需的最小初动能各为多少? 六、 分)由单位长度电阻为 r 的导线组成如图所示的正方形网络系列。n (20 正方形网络边长为 L; n 多少?

? 1 时,

? 2 时,小正方形网络的边长为 L / 3 ; n ? 3 时,最小正 方形网络的边长为 L / 9 。当 n ? 1 、2、3 时,各网络上 A、B 两点间的电阻分别为

(28) 四、 分) (20 空间某区域存在匀强电场和匀强磁场, 在此区域建立直角坐标系 O-xyz, 如图所示,匀强电场沿 x 方向,电场强度 E 1 强度 B
0 0

? E0 i ,匀强磁场沿 z 方向,磁感应

k ? B0 k ,E 、B 分别为已知常量, i、 分别为 x 方向和 z 方向的单位矢量。

1、有一束带电量都为+q、质量都为 m 的粒子,同时从 Oyz 平面内 的某点射出,它们的初速度均在 Oyz 平面内,速度的大小和方向 各不相同,问经过多少时间这些粒子又能同时回到 Oyz 平面内。 2、 现在该区域内再增加一个沿 x 方向随时间变化的匀强电场, 电 场强度 E z

? ( E0 cos ?t )k

,式中 ?

?

qB0 m

,若有一电荷量

为正 q、质量为 m 的粒子,在 t=0 时刻从坐标原点 O 射出,初速 度 v0 在 Oyz 平面内,试求以后此粒子的坐标随时间变化的规律。 不计粒子所受重力以及各带电粒子之间的相互作用, 也不考 虑变化的电场产生的磁场。


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