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人教A版数学必修二4.2.1《直线与圆的位置关系》


4. 2.1 直线与圆的位置关系 【教学目标】 1.能根据给定的直线、圆的方程,判断直线与圆的位置关系. 2.通过直线 与圆的位置关系的学习,体会用 代数方法解决几何问题的思想. 3.通过本节内容的学习,进一步体会到用坐标法解决几何问题的优越性,逐步养成自 觉应用 坐标法解决几何问题的习惯. 【教学重难点】 教学重点:直线与圆的位置关系的几何图形及其判断方法. 教学难点:用坐标法判直线与圆的位置关系. 【教学过程】 ㈠情景导入、展示目标 问题: 一艘轮船在沿直线返回港口的途中,接到气象台的台风预报:台风中心位于轮船正西 80km 处,受影响的范围是半径长为 30km 的圆形区域.已知港口位于台风中心正北 40km 处, 如果这艘轮船不改变航线,那么它是否会受到台风的影响? 运用平面几何知识,你能解决这个问题吗 ?请同学们动手试一下. ㈡检查预习、交流展示 1.初中学过的平面几何中,直线与圆的位置关系有几种? 2.怎样判断直线与圆的位置关系呢? ㈢合作探究、精讲精练 探究一:用直线的方程和圆的方程怎样判断它们之间的位置关系? 教 师:利用坐标法,需要建立直角坐标系,为使直线与圆的方程应用起来简便,在这 个实际问题中如何建立直角坐标系? 学生:以台风中心为原点 O,东西方向为 x 轴,建立直角坐标系,其中,取 10km 为单 位长度.则受台风影响的圆形区域所对应的圆心为 O 的圆的方程为 x2 ? y2 ? 9 轮船航线所在直线 l 的方程为 x ? 2y ?8 ? 0 . 教师:请同学们运用已有的知识,从方程的角度来研究一下直线与圆的位置关系. 让学生自主探究,互相讨论,探究知识之间的内在联系。教师对学生在知识上进行适当 的补遗,思维上的启迪,方法上点拨,鼓励学生积极、主动的探究. 由学生回答并补充,总结出以下两种 解决方法: 方法一:代数法 由直线与圆的方程,得: ? ?x2 ? y 2 ? 9 ?x ? 2 y ? 8 ? 0 消去 y,得 2x2 ? 4x ? 7 ? 0, 因为 △? (-4)2 ? 4 ? 2 ? 7 ? ?40 <0 所以,直线与圆相离,航线不受台风影响。 方法二:几何法 圆心(0,0)到直线 x ? 2 y ? 8 ? 0 的距离 d? 1? 0 ? 2 ? 0 ? 8 12 ? 22 ? 8 8 5 ? ?3 5 5 所以,直线与圆相离,航线不受台风影响. 探究二:判断直线与圆的位置关系有几种方法? 让学生通过实际问题的解决,对比总结,掌握方法. ①代数法: 由方程组 ? ? Ax ? By ? C ? 0 2 2 2 ?( x ? a) ? ( y ? b) ? r , 得 mx2 ? nx2 ? p ? 0(m ? 0) , ? ? n 2 ? 4mp ? ? 0 ,则方程组有两解,直线与圆相交;? ? 0 ,则方程组有一解,直线与圆相切;? ? 0 , 则方程组无解,直线与圆相离. ②几何法: 直线与圆相交 ,则 d ? r ;直线与圆相切 ,则 d ? r ;直线与圆相离 ,则 d ? r . 例 1 已知直线 l:x+y-5=0 和圆C: x ?y 2 2 ? 4 x ? 6 y ? 12 ? 0 ,判断直线和圆的 位置关系. 解析:方法一,判断直线与圆的位置关系,就是看由它们的方程组成的方程组有无实数 解;方法二,可以依据圆心到直线的距离与半径长的关系,判断直线与圆的位置关系. 解:(法一) 联立方程组,消 y 得 2 x ? 20 x ? 43 ? 0 因为

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