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高中物理竞赛题竞赛题五答案




习 五 答 案

1、提示—— (1)对图示的灰色三角形用正弦定理,有
ut sin ?

=

vt sin ?

得 β = arcsin

2 17 17

(2)以 β 为未知,看 v(β)函 数 v=
u

sin ? sin ?

显然 vmin = usinα 答案: (1)与公路夹角 θ = arctg 2.43m/s 。 2、提示—— 在小球未脱离轨道时,设一个一般的末态 P :其 坐标为(x ,y) 、对应该点的轨迹切线倾角为 θ ,如 右图。 则 P 点的速率用能量关系可求 v=
2 gy
1 4

+ arcsin

2 17 17

(约 14.0°+ 29.0°= 43.0°)(2) ;

=

2 gA

x

但抛物线在 P 点得切线斜率为 k = tgθ = 2Ax 考查 vx = vcosθ =
2 gA 4A
2

?

1 x
2

,可见,随 x 的增加,

vx 单调增加,而 vx 的增加必以轨道支持力(水平分量)存在为前提。 答案:否。 评说:此题较偏,且作为动力学考试题,只考查了运动学知识。 3、提示—— (1)在该瞬时,球体 m2 的加速度 a2 方向只会竖直向下。
? m 1 g sin ? ? T sin ? ? m 1 a 1 环和球的隔离方程、加速度约束方程为 ? m 2g ? T ? m 2a 2 ? ? a 2 ? a 1 sin ? ?

,解出张力 T 即可。

(2)毋须列隔离方程。 “不摆动”意味着 m1 和 m2 有共同加速度 a ,由它们的整体方程 ? ? 得 a = gsinα ,再看 m2 时, T 必须垂直 a 的方向。 答案: (1)
m 1 m 2 g cos m 1 ? m 2 sin
2

? ?

2

; (2)α 。

4、提示—— 此题的关键在于加 速度矢量分析 (详细过程 见《讲义》 ,这里只是思 路提示) ,相关结论:

a1n = asinα a2n = asinβ a1τ - acosα = a2τ - acosβ 列 m1 和 m2 之 n 向、τ 向方程后可解得: N1 = m1(gcosα - asinα) N2 = m2(g cosβ + asinβ) T=
m 1m
2

m1 ? m

〔g(sinα + sinβ)+ a(cosα - cosβ) 〕
2

最后列 m 之隔离方程 N1sinα + T cosβ - T cosα - N2sinβ = ma 即可解出 a (但化简工 作至为艰苦,要有充分耐心?) 答案:
( m 1 sin ? ? m 2 sin ? )( m 1 cos ? ? m 2 cos ? ) ( m 1 ? m 2 )( m ? m 1 ? m 2 ) ? ( m 1 cos ? ? m 2 cos ? )
2

g 。

5、提示—— P = Fv =(mgsinθ +
?m ? v ?t

)v =(
1 2

l v

?

?m ?t

?g ?

h l

+

?m ?t

?v

)v =

?m ?t

gh +

?m ?t

·v2

(值得注意的是,E ≠ mgh +

mv2 ,因为煤屑与皮带的作用是完全非弹性的。当然,

如果利用定式——损失的机械能与得到一方的机械能相等——计算,式子为 E = mgh + 2· mv2 ,然后用 P =
2 1 E ?t

,仍得原解?)

答案:1608W 6、提示—— 三角形各边的方向为飞机合速度的方向(而非机头的指向) ; 第二段和第三段 v 大小相同。


?

参见右图,显然: v2 =
v合
2

+ u2 - 2v 合 ucos120°

可解出 v 合 = 24km/h 。 答案:0.2hour(或 12min.) 。 7、提示—— (1)写成参数方程 ?
? x ? aL sin ? ? y ? (1 ? a ) L cos ?

后消参数θ 。

(2)解法有讲究:以 A 端为参照, 则杆上各点只绕 A 转动。但鉴于杆子 的实际运动情形如右图,应有 v 牵 = vAcosθ ,v 转 = vA
cos
2

?

sin ?

,可知 B 端相 .

对 A 的转动线速度为:v 转 + vAsinθ = ...
vA sin ?

。 P 点的线速度必为
av
A

sin ?

=v相

所以 vPx = v 相 cosθ + vAx ,vPy = vAy - v 相 sinθ 答案: (1)
x
2

( aL )

2

+

y

2

(1 ? a ) L
2

2

= 1 ,为椭圆; (2)vPx = avActgθ ,vPy =(1 - a)vA 。
v A sin ? r

另解 (2) :继续参照上图, 对杆设瞬时转轴 O ,有 = Lsin θ及ω =
2

= ω =

v A cos ? ? ctg ? L ? r a sin ?

, r 得

vA L sin ?

。那么 P 点之 v 转 = ω(r - aL)= vA(sinθ-

) 。且 v 牵 =

vAcosθ。最后 P 点之 vPx = v 牵 sinθ- v 转 cosθ,vPy = v 牵 cosθ+ v 转 sinθ。这样仍得上 答案,但过程比较繁复。 ★培训过程中,学员对第(2)问的解法建议—— ? 苏宏然:寻求 v 有捷径——B 参与参照物 A 的向下运动和相对 A 的(垂直杆的)转动,
B

但合速度水平向右。参见图 1,可不涉及 vB 的大小直接求 v 转 = 结果…(此途径亦可选 B 点为参照)

vA sin ?

,再循“原思路”解

孙海燕:设杆有“微小形变” ,则以 A 为轴,vB 和 vPx 直接遵从相似三角形关系(见图 2) , 即 vPx = avB = avActgθ。解 vPy 则认为“形变”发生在 A 端,参见图 3 ,与上面同理 vPy = (1-a)vA …


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