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三角函数图像及变换学案


第 20 讲

三角函数 y=Asin(ω x+φ )的图象与性质及 三角函数模型的简单应用

一.考纲要求 1.了解函数 y=Asin(ωx+φ)的物理意义;能画出 y=Asin(ωx+φ)的图象,了解参数 A, ω,φ 对函数图象变化的影响. 2.了解三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型,会用三角函数解决一些简单的 实际问题. 二.知识梳理 1.用五点法画 y=Asin(ωx+φ)一个周期内的简图 用五点法画 y=Asin(ωx+φ)一个周期内的简图时, 要把 ωx+φ 看成一个整体, 要找五个 特征点,如表格所示.

2.图象变换 函数 y=Asin(ωx+φ)(A>0, ω>0)的图象可以看作是由下面的方法得到的:先把正弦曲线上的 所有的点______(φ>0)或______(φ<0)平移______个单位长度,得到 y=sin(x+φ)的图象,然 后使曲线上各点的横坐标变为原来的______倍,纵坐标不变,得到 y=sin(ωx+φ)的图象, 最后把曲线上各点的纵坐标变为原来的 ____ 倍,横坐标不变,这时的曲线就是函数 y = Asin(ωx+φ)的图象. 3.振幅、周期、频率、相位 2π 当函数 y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,x∈(0,+∞))表示一个振动时,A 叫做振幅,T= 叫做 ω 1 振动的______,f= 叫做振动的频率,________叫做相位,φ 叫做______. T 4.三角函数模型的简单应用 对具有周期变化规律的实际问题用三角函数模型进行表示, 根据三角函数的图象和性质得到 实际问题的结论. 三.问题思考 ? 问题 1 一天 24 小时内的气温变化,港口的海水潮汐,钟表的单摆的摆动等都可以用三 角函数模型来描述.( ? 问题 2 )

对于函数 f(x)=Asin(ωx+φ)(A≠0),其最大值为 A,最小值为-A.( )

2π ? 问题 3 当函数 y=Asin(ωx+φ)(A>0,x>0)表示一个振动时,A、 ω 、φ 分别叫做振幅、

周期和初相.( ? 问题 4 ? 问题 5

) )

π π 2x+ ?图象.( 将 y=sin2x 图象向左平移 个单位,得到 y=sin? 4? ? 4 )

3π π y=sin(-2x)的递减区间是- -kπ,- -kπ,k∈Z.( 4 4 四.要点探究 ? 探究点 1 三角函数 y=Asin(ω x+φ )的图象及变换 π? 例 1 已知函数 y=2sin? ?2x+3?.

(1)求它的振幅、最小正周期、初相;(2)用“五点法”作出它在一个周期内的图象; π? (3)说明 y=2sin? ?2x+3?的图象可由 y=sinx 的图象经过怎样的变换而得到.

π? 变式题 (1)已知函数 f(x)=sin? ?ωx+4?(x∈R,ω>0)的最小正周期为 π.将 y=f(x)的图象向左 平移|φ|个单位长度,所得图象关于 y 轴对称,则 φ 的一个值是( A. π 2 B. 3π 8 C. π 4 D. π 8 )

π (2)[2012· 梅州月考] 将函数 y=sin2x 的图象向左平移 个单位,再向上平移 1 个单位,所得 4 的图象的函数的解析式是( A.y=2cos2x ? 探究点 2 ) π? C.y=1+2sin? ?2x+4? D.y=cos2x

B.y=2sin2x 求三角函数解析式

例 2 [2011· 江苏卷] 函数 f(x)=Asin(ωx+φ)(A, ω, φ 为常数, A>0, ω>0)的部分图象如图所示,则 f(0)的值是________. 变式题 (1)[2011· 温州八校联考] 函数 y=cos(ωx+φ)(ω>0,0<φ<π) 为奇函数,该函数的部分图象如图所示,A、B 分别为最高点与最低点,并 且两点间的距离为 2 2,则该函数的一条对称轴方程为( 2 A.x= π π B.x= 2 C.x=1 D.x=2 )

π? (2)函数 f(x)=Asin(ωx+φ)+k? 则 f(x) ?A>0,|ω|<2?的图象如图 20-3 所示, =( ) π 5 x+ ? B.f(x)= sin? 2 ? 3? π 3 x+ ?+1 D.f(x)= sin? 2 ? 3? π 5 2x+ ? A.f(x)= sin? 3? 2 ? π 3 2x+ ?+1 C.f(x)= sin? 3? 2 ? ? 探究点 3

函数 y=Asin(ω x+φ )的图象与性质的综合问题

2π 例 3 设函数 f(x)=(sinωx+cosωx)2+2cos2ωx(ω>0)的最小正周期为 . 3 (1)求 ω 的值; π (2)若函数 y=g(x)的图象是由 y=f(x)的图象向右平移 个单位长度得到的,求 y=g(x)的 2 单调增区间.

π? π? ? 变式题 (1)[2011· 课标全国卷] 设函数 f(x)=sin? ?2x+4?+cos?2x+4?,则(

)

π π 0, ?单调递增,其图象关于直线 x= 对称 A.y=f(x)在? ? 2? 4 π π ? B.y=f(x)在? ?0,2?单调递增,其图象关于直线 x=2对称 π? π C.y=f(x)在? ?0,2?单调递减,其图象关于直线 x=4对称 π? π D.y=f(x)在? ?0,2?单调递减,其图象关于直线 x=2对称 π? (2)函数 f(x)=sin2? ?2x-4?的最小正周期是________. 例 4 如图 20-4,点 P 是半径为 r cm 的砂轮边缘上的一个质点,它从初始位置 P0 开始, 按逆时针方向以角速度 ω rad/s 做圆周运动,求点 P 的纵坐标 y 关于时间 t 的函数关系,并 求点的运动周期和频率.

变式题 (1)如图 20-5 所示, 质点 P 在半径为 2 的圆周上逆时针运动, 其初始位置为 P0( 2, - 2),角速度为 1,那么点 P 到 x 轴距离 d 关于时间 t 的函数图象大致为( )

(2)动点 A(x,y)在圆 x2+y2=1 上绕坐标原点沿逆时针方向匀速旋转,12 s 旋转一周.已知 1 3 时间 t=0 时,点 A 的坐标是? , ?,则当 0≤t≤12 时,动点 A 的纵坐标 y 关于 t(单位:s) ?2 2 ? 的函数的单调递增区间是( A.[0,1] B.[1,7] ) C.[7,12] D.[0,1]和[7,12]

五.课后检测(作业本上) 1. 图 20-7 是函数 y=Asin(ωx+φ)在一个周期内的图象, 请确定这个函数 π A>0,ω>0,0<φ< ?. 的解析式? 2? ?

π 2. 已知函数 f(x)=sin(ωx+φ)ω>0, |φ|< 的部分图象如图 20-8 所示, 2 则 ω,φ 的值分别为( 1 π A. , 2 3 π B.2, 3 ) 1 π C. , 2 6 π D.2, 6

π? 3.已知函数 f(x)=Atan(ωx+φ)? ?ω>0,|φ|<2?,y=f(x)的部分图象如 π? 图,则 f? ?24?=( A.2+ 3 ) B. 3 C. 3 3 D.2- 3

π π 4.已知函数 f(x)=Asin x+φ,x∈R,A>0,0<φ< .y=f(x)的部分图象如图所 3 2 示,P、Q 分别为该图象的最高点和最低点,点 P 的坐标为(1,A). (1)求 f(x)的最小正周期及 φ 的值; 2π (2)若点 R 的坐标为(1,0),∠PRQ= ,求 A 的值. 3 5.设函数 f ( x) ? A sin(?x ? ? ) (其中 A ? 0, ? ? 0,?? ? ? ? ? ) 在x?

?
6

处取得最大值 2,其图像与 x 轴的相邻两个焦点的距离为

? , 2

(1)求 f ( x) 的解析式; (2)求函数 g ( x) ?

6 cos4 x ? sin 2 x ? 1 f (x ?

?
6

的值域。

)

6.设函数 f ( x) ? sin ?x ? 2 3 sin ?x cos?x ? cos ?x ? ? ( x?R ) 的图像关于直线 x ? ?
2 2

对称。其中 ? , ? 为常数,且 ? ? ( ,1) (1)求函数 f ( x) 的最小正周期; (2)若 y ? f ( x) 的图像经过点 ( 值域。

1 2

?
4

的 ,0) ,求函数 f ( x)


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