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高一数学竞赛辅导讲义(三)


高一数学竞赛辅导讲义(三) 1.若函数 f ( x) ?
| x| ? kx3 有三个不同的零点,则实数 k 的取值范围为 x?2



2.已 知函数 f ( x) ? ?

?log2 x ( x ? 0) , 且关于 x 的方程 f ( x) ? x ? a ? 0 有且只有一个实 x ( x ? 0) ?3

根,则实数 a 的范围是



3.若 f ( x) ? x 2 ? 4 ? x 2 ? kx 在 (0, 4) 上有两个不同的零点 x1 , x2 ,求 k 的取值范 围 .

?2 x ? 1( x ? 0) 4.已知函数 f ( x) ? ? ,把函数 g(x)=f(x)-x+1 的零点按从小到大 ? f ( x ? 1) ? 1( x ? 0)
的顺序排列则其前 10 个零点的和等于 .

? 1 , ? 5. 设 定 义 在 R 上 的 函 数 f ( x) ? ? x ? 1 ?1 , ?

(? 1), x 若关于 x 的方程 ( x ? 1).

f 2 ( x) ? bf ( x) ? c ? 0 有 3 个不 同的实 数 解 x1 , x2 , x3 ,则 x1 ? x2 ? x3 等
于 .

1

? 1 , ( x ? 2) ? 6.定义在 R 上的函数 f ( x) ? ? | x ? 2 | ,若关于 x 的方程 f 2 ( x) ? bf ( x) ? c ? 0 恰有 ? 1 , ( x ? 2) ?

5 个不同的实数解 x1 , x2 , x3 , x4 , x5 ,则 f ( x1 ? x2 ? x3 ? x4 ? x5 ) ?



7.方程 mx 2 ? kx ? 2 ? 0 (m, k ? z ) 在区间(0,1)内有两个不同的根,求 m+k 的最 小值

8.已知函数 f ( x) ? x ? 1 ,关于 x 的方程 f 2 ( x) ? f ( x) ? k ? 0 ,若方程恰有 8 个不同 的实根,求实数 k 的取值范围

9 已知函数 f ( x) ? x 2 ?

1 1 ? a( x ? ) ? b( x ? R ,且 x ? 0 )若实数 a , b 使得函数 2 x x

y ? f ( x) 在定义域上有零点,则 a 2 ? b 2 的最小值为__________.

10 讨论关于 x 的方程 ? x 2 ? 1? 2 ? x 2 ? 1 ? k ? 0 的根的情况
2

b 11 若函数 f ( x) 为定义域 D 上单调函数,且存在区间 ? a, ? ? D (其中 a ? b ) ,使得 x ? ? a, ? 时, f ( x) 的值域恰为 ? a, ? ,则称函数 f ( x) 是 D 上的正函数,区间 ? a, ? b b b 当 0 叫做等域区间.如果函数 g ( x) ? x 2 ? m 是 ? ??, ? 上的正函数,则实数 m 的取值范 围

12 已知函数 常数的 a 值

f ( x) ? ax 2 ? bx

,存在正数 b 使 f ( x) 的定义域和值域相同,求非零

13 若函数 f ( x) ? a x (a ? 1) 的定义域和值域均为 [m, n] ,则 a 的取值范围是___

. 14.数 f ( x) 定义域为 D, 若满足① f ( x) 在 D 内是单调函数② 存在 [a, b] ? D 使 f ( x)
?a b? 在 ? a, b? 上 的 值 域 为 ? , ? , 那 么 就 称 ?2 2?

, y ? f (x) 为 “ 成 功 函 数 ” 若 函 数

,则 t 的取值范围为_______ f ( x) ? log a (a x ? t )( a ? 0, a ? 1) 是“成功函数”

3

15 知 f ( x) ? log 2 (1 ? x 4 ) ?

1 ? mx ( x ? R) 是偶函数。 (I)求实常数 m 的值,并给出 1 ? x2

函数 f ( x) 的单调区间(不要求证明) (II)k 为实常数,解关于 x 的不等式: ;
f ( x ? k ) ? f (| 3x ? 1|).

4


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