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有理函数和可化为有理函数的教案


有理函数和可化为有理函数的不定积分积分

教学目标: (1)掌握较简单的有理函数的积分方法 (2)会求三角函数有理式的积分 (3)了解无理函数有理化的变换方法 教学重点:有理函数积分 教学难点:有理函数积分 教学手段和方法:多媒体辅助教学 教学过程: 一、 有理函数的积分 有理函数是指由两个多项式的商所表示的函数,即具有以下形式的函数:

P( x) a0 x n ? a1x n ?1 ? a2 x n ? 2 ? ? ? ? ? an ?1 x ? an ? Q( x) b0 x m ? b1 x m ?1 ? b2 x m ? 2 ? ? ? ? ? bm ? n x ? bm

(1)

其中,m 和 n 为非负整数, a0 , a1 , a2 ,? ? ?, an 及 b0 , b1, b2 ,? ? ?, bn 都是实数,且 a0 ? 0, b0 ? 0 。 当 n ? m 时,称之为真分式,当 n ? m 时,称之为假分式。对于假分式,利用多项式除 法总可以将一个假分式化成一个多项式与一个真分式之和。例如

x3 ? x ? 1 1 ? x? 2 。 2 x ?1 x ?1

若有理分式的分子和分母没有公因子,则称这个有理分式是既约的。我们这里假定

P( x) 是既约真分式。 Q ( x)
既约真分式有时能化成一些最简单的真分式之和,如 给我们的积分计算带来很大的方便。 最简分式是指下列四类真分式:

2 1 1 ? ? ,这样做会 x ?1 x ?1 x ?1
2

A A Mx ? N Mx ? N , , 2 , 2 n x ? a ( x ? a) x ? px ? q ( x ? px ? q) n
其中 A,M,N, a, p, q 都是实数,n 为正整数,切 p ? 4q ? 0
2

(2)

把既约真分式化成最简分式之和叫做把既约真分式分解成部分分式。 由代数学知,多项式 Q ( x) 在实数范围内总能分解成一次因式与二次因式的乘积,即总

有 Q( x) ? b0 ( x ? a)? ? ? ? ( x ? b) ? ( x 2 ? px ? q) ? ? ? ? ( x 2 ? rx ? s) ? 其中 a,? ? ?, b, p, q,? ? ?, r , s 为常数, p 2 ? 4q ? 0,? ? ?, r 2 ? 4s ? 0, ? ,? ? ?, ? , ?,? ? ?, ? 为正整数。 在化既约真分式成部分分式时,下面两点必须注意: (1) 当分母 Q ( x) 中含有 ( x ? a)? 因式时,则分解后有 ? 个最简分式之和

A A1 A2 + +…+ ? , ? ? ?1 x?a ( x ? a) ( x ? a)
其中 A1 , A2 ,..., A? 都是常数。特别地,如果 ? ? 1 ,那么分解后有

A 。 x?a

(2) 当分母 Q ( x) 中含有 ( x 2 ? px ? q) ? 因式时,其中 p 2 ? 4q ? 0 ,则分解后有 ? 个最简分式之和

M x ? N? M 1 x ? N1 M x ? N2 + 2 2 +…+ 2 ? ? ? ?1 ( x ? px ? q) ( x ? px ? q) x ? px ? q
2

其中 M i , N i( i ? 1,2,...,? ) 都是常数。 特别地, 如果 ? ? 1 , 那么分解后有 根据上面的讨论,我们得到如下结论: 如果多项式 Q ( x) 已分解为上面的形式,那么,既约真分式 式之和:

Mx ? N 。 ( x ? px ? q) n
2

P( x) 可分解成如下部分分 Q ( x)

B? A? B1 B2 A1 A2 P( x) = + +…+ +…+ + +…+ + ? ? ?1 ? ? ?1 x?b x?a Q ( x ) ( x ? a) ( x ? b) ( x ? b) ( x ? a)

M x ? N? M 1 x ? N1 M x ? N2 + 2 2 +…+ 2 ? +… ? ? ?1 ( x ? px ? q) ( x ? px ? q) x ? px ? q
2

+

R? x ? S ? R1 x ? S1 R2 x ? S 2 + + … + x 2 ? rx ? s ( x 2 ? rx ? s) ? ( x 2 ? rx ? s) ? ?1

(3)

其 中

A1 , A2 , . A .? . , , B1 , B2 ,...,B? ,

M1 , M 2 ,...,M ? , N1 , N 2 ,...,N ? ,…,

R1 , R2 ,...,R? , S1 , S 2 ,...,S ? 都是常数。


P( x) 已经分解为(3)式,下面讨论如何确定(3)式中各项分子的待定常数。将(3) Q ( x) P( x) R( x) = ,这里 R ( x) 是某个多项式。由此,必有 P( x) ? R( x) ,因此, Q ( x) Q ( x)

右边通分便得

要确定(3)中的待定常数,通常有两种方法:

(1) 要 P( x) ? R( x) , 其充要条件是 P ( x) 与 R ( x) 同次幂系数相等, 比较两边同次幂 的系数,便可确定出(3)的待定常数。 (2) 由 P( x) ? R( x) 对任意 x 都成立,因此,代入特殊的 x 值,便可确定出(3)的 待定常数 例1. 分解

x2 ? x ? 2 为部分分式 x( x ? 3)(x ? 2)
其中 A,B,C 为待定常数

解:

A B C x2 ? x ? 2 ? = ? x( x ? 3)(x ? 2) x x ? 3 x ? 2
等式右边通分得

x2 ? x ? 2 A( x ? 3)(x ? 2) ? Bx( x ? 2) ? Cx( x ? 3) = x( x ? 3)(x ? 2) x( x ? 3)(x ? 2)
由此有 x 2 ? x ? 2 ? A( x ? 3)(x ? 2) ? Bx( x ? 2) ? Cx( x ? 3) = ( A ? B ? C) x 2 ? (? A ? 2B ? 3C) x ? 6 A 比较两边同次幂系数得

?A ? B ? C ? 1 ? ?? A ? 2 B ? 3C ? ?1 ?? 6 A ? 2 ?
解方程组得 A ? ? , B ?

1 3

8 4 ,C ? 15 5

?

11 8 1 4 1 x2 ? x ? 2 ? ? =? 3 x 15 x ? 3 5 x ? 2 x( x ? 3)(x ? 2)

另外可用代入特殊 x 值的方法求出待定的常数。 由 x 2 ? x ? 2 ? A( x ? 3)(x ? 2) ? Bx( x ? 2) ? Cx( x ? 3) 令 x=0 得 令 x=3 得 令 x=-2 得

2 ? ?6 A
8 ? 15 B 8 ? 10C

?A? ?

1 3 8 ?B ? 15 4 ?C ? 5

代入便得所要求的分解式。 例2. 分解

1 为部分分式 (1 ? 2 x)(1 ? x 2 )

解:

A Bx ? C 1 ? = 2 (1 ? 2 x)(1 ? x ) 1 ? 2 x 1 ? x 2

则 1 ? A(1 ? x 2 ) ? ( Bx ? C)(1 ? 2 x) = ( A ? 2B) x 2 ? ( B ? 2C) x ? (C ? A) 比较两边同次幂系数得

? A ? 2B ? 0 ? ? B ? 2C ? 0 解方程组得 ?A ? C ? 1 ?

A?

4 2 1 , B ? ? ,C ? 5 5 5

?

4 1 1 2x ? 1 1 ? = 2 (1 ? 2 x)(1 ? x ) 5 1 ? 2 x 5 1 ? x 2

下面举出几个有理真分式积分的例子。

x2 ? x ? 2 例3. 求 ? dx x( x ? 3)(x ? 2)
解:由例 1,有

11 8 1 4 1 x2 ? x ? 2 ? ? =? 3 x 15 x ? 3 5 x ? 2 x( x ? 3)(x ? 2)

??

11 8 1 4 1 x2 ? x ? 2 ? ? )dx dx = ? ( ? 3 x 15 x ? 3 5 x ? 2 x( x ? 3)(x ? 2) 1 dx 8 dx 4 dx ? ? ? ? ? 3 x 15 x?3 5 x?2 1 8 4 = ? ln | x | ? ln | x ? 3 | ? ln | x ? 2 | ?C 3 15 5
=?

例4. 求

? (1 ? 2 x)(1 ? x

dx

2

)

解:由

4 1 1 2x ? 1 1 ? = 2 (1 ? 2 x)(1 ? x ) 5 1 ? 2 x 5 1 ? x 2 4 1 1 2x ? 1 dx ? )dx =?( 2 5 1 ? 2x 5 1 ? x 2 (1 ? 2 x)(1 ? x )
=

??

4 dx 1 2x ? 1 ? ? dx ? 5 1 ? 2x 5 1 ? x 2

=

2 d (1 ? 2 x) 1 d (1 ? x 2 ) 1 dx ? ? ? ? 2 ? 5 1 ? 2x 5 5 1? x2 1? x
2 1 1 ln | 1 ? 2 x | ? ln(1 ? x 2 ) ? arctan x ? C 5 5 5

= 例5. 求 解:

?x

2

x?2 dx ? 2x ? 3

?x

2

x?2 x?2 dx = ? dx ? 2x ? 3 ( x ? 1) 2 ? 2

x ?1 ? t

?

(t ? 1) ? 2 t ?3 dt = ? 2 dt 2 t ?2 t ?2

=

t ?3 dt 1 d (t 2 ? 2) dt dt ? 3 = ? t2 ? 2 ? t 2 ? 2 2 ? t 2 ? 2 ? 3? t 2 ? ( 2 ) 2

=

1 3 t ln(t 2 ? 2) ? arctan ?C 2 2 2 1 3 x ?1 ln(x 2 ? 2 x ? 3) ? arctan ?C 2 2 2

=

前面介绍的四类分式, 前三种类型的积分都已解决, 下面对第四种类型最简分式的积分, 即形为

?

Mx ? N dx 的积分作一简要介绍。 ( x ? px ? q) n
2

对分母中的二次三项式

x 2 ? px ? q ? ( x ?

p 2 p2 ) ?q? 2 4

令x?

p p2 ? u, a 2 ? q ? 2 4

则 x 2 ? px ? q ? u 2 ? a 2

对分子 Mx ? N ,由 x ? u ? 若记 b ? N ? 于是

p Mp , dx ? du ,则 Mx ? N ? Mu ? N ? 2 2

Mp ,则 Mx ? N ? Mu ? b 2

? ?

Mx ? N Mu ? b dx = ? du n ( x ? px ? q) (u 2 ? a 2 ) n
2

=

Mu b du + ? du 2 n 2 (u ? a ) (u ? a 2 ) n
2

当 n=1 时

?
?

Mx ? N M b dx = ln | x 2 ? px ? q | ? arctan x ? px ? q 2 a a
2

x?

p 2 ?C

当 n>1 时

M du Mx ? N ? b? 2 dx = ? 2 2 n ?1 n 2(n ? 1)(u ? a ) (u ? a 2 ) n ( x ? px ? q)
2

而后一积分可由递推公式计算,见§3 例 10。 二、 三角函数有理式的积分 三角函数有理式是指由三角函数和常数经过有限次四则运算所构成的函数,通常记为

R (cos x,sin x) ,括号中没有写出 tan x 和 cot x ,这是因为由三角函数关系,它们都可以表

示为 sin x 和 cos x 的关系式,如 是三角函数有理式。

1 1 ? sin x 1 1 等都 , , , 2 ? cos x sin x(1 ? cos x) sin x ? tan x 5 ? 4sin 2 x

R cos x,sin x) dx 的积分,只要作一个变换,便可使 三角函数有理式的积分是指形如 (
之有理化,事实上 令 u ? tan

?

x 2 du ,则 x=2arctanu,dx= 2 1+u2 x x x 2sin cos 2 tan x x 2 2 ? 2 ? 2u sin x ? 2sin cos ? 2 2 sin 2 x ? cos 2 x 1 ? tan 2 x 1 ? u 2 2 2 2

x 1 - t an 2 2 2 2 cos x sin x 2 = 1- u cos x = cos2 x - sin 2 x = = x cos2 x + sin 2 x 1 + u2 1 - t an 2 2
R cos x,sin x) dx = R( 于是 (

?

?

2u 1 ? u 2 2 , ) du 2 2 1? u 1? u 1? u2

上式右边是关于 u 的有理函数的积分。

dx cos x 2 1 - u2 x du , cos x = 解:令 u = t an , 则 dx = 1 + u2 1 + u2 2 dx 1 2 2 = du 2 ? 2 du 蝌 1- u 1+ u 2 + cos x 3 + u2 2+ 1 + u2 2 u = arctan +c 3 3 x t an 2 2+c = arct an 3 3
例 6.求

ò2+

1 + sin x dx cos x ) 2 2u 1 - u2 x du , sin x = , cos x = 解:令 u = tan ,则 dx = 1 + u2 1 + u2 1 + u2 2 2u 1+ 1 + sin x 2 1 + u2 dx = dx 2 蝌 2u 骣 1 - u ÷1 + u 2 sin x (1 + cos x ) ?1 + ÷ 桫 1 + u2 ÷ 1 + u2 ?
例 7.求

ò sin (1 +

=

1 1 1 1 1 1+ u 2 + 2 u + u + 2 du = ln u + u 2 + 2u + c du = ò ò 2 u 2 2 2 u 1 x 1 x x = ln t an + t an 2 + 2 t an +c 2 2 2 2 2

(

)

(

)

(

)

三、 简单无理函数的积分 下面介绍两种简单无理函数的积分,对这类积分,我们只需作一个变量代换,就可化 为有理的积分。 1.形如 R ( x, n ax ? b ) dx 的积分

?

1 n nu n?1 du 这里,令 u ? ax ? b ,则 x ? (u ? b), dx ? a a
n

于是 R ( x, n ax ? b ) dx = R(

?

?

un ? b nu n ?1 , u) ? du a a

等式右边是关于变量 u 的有理函数积分。 例 8.求

?1?

dx
3

x?2
3 2

解:令 u ? 3 x ? 2 ,则 x ? u ? 2 , dx ? 3u du

1 3u 2 u 2 ?1?1 du ? ? u ? 1 du = 3? (u ? 1 ? u ? 1)du ? 1? 3 x ? 2 ?1? u

dx

=

1 2 2 1 2 = 3[ (3 x ? 2 ) ? 3 x ? 2 ? ln | 3 x ? 2 ? 1 |] ? C 2 3 2 = (3 x ? 2 ) ? 33 x ? 2 ? 3 ln | 3 x ? 2 ? 1 | ?C 2
= 3( u ? u ? ln | u ? 1 |) ? C 2.形如 R( x, n

?

ax ? b )dx 的积分 cx ? d
n

这里,令 u ?

du ? b ax ? b ad ? bc ,则 x ? , dx ? du n a ? cu cx ? d (a ? cu n ) 2 nu n ?1

于是 R( x, n

?

du ? b ax ? b ad ? bc , u) du )dx = ? R( n a ? cu cx ? d (a ? cu n ) 2 nu n ?1

等式右边是关于变量 u 的有理函数积分. 例 9.求

?x

1 1? x dx x
1 1? x ,则 x ? 2 , u ?1 x

解:令 u ?

dx ? ?

2udu (u 2 ? 1) 2

u2 1 1? x ? 2u 2 ? x x dx = ? (u ? 1)u ? (u 2 ? 1) 2 du = ? 2? u 2 ? 1 du

=?2

?

1 u 2 ?1?1 du = ? 2? (1 ? 2 )du 2 u ?1 u ?1

= ? 2u ? 2

?

du (u ? 1)(u ? 1)

1 1 ? )du u ?1 u ?1 u ?1 | ?C = ? 2u ? ln | u ?1
= ? 2u ? (

?

=?2

x ?1 1? x ? x ? ln | | ?C x 1? x ? x
x ?1 ? 2 ln( 1 ? x ? x ) ? C x

=?2

例 10.求

?

dx x ?3 x

解:令 6 x ? u ,则 x ? u 6 , dx ? 6u 5 du

?

6u 5 u3 du ? 6 ? du =? 3 u ?1 u ? u2 x ?3 x dx u3 ?1?1 1 du ? 6? [(u 2 ? u ? 1) ? ]du = 6? u ?1 u ?1
= 6[ u ?
3

1 3

1 2 u ? u ? ln(u ? 1)] ? C 2

= 2 x ? 33 x ? 66 x ? 6 ln(6 x ? 1) ? C 最后我们指出:对初等函数来说,在它的定义区间上一定存在原函数,但有些原函数却 不能用初等函数来表示。这时,我们就说 积分

? f ( x)dx 不能表示为有限形式,通俗地说,就是

? f ( x)dx 积不出来。如 ? e

? x2

dx ,?

1 sin x dx , ? dx 等就积不出来。 ln x x

参考资源: [1]数学分析讲义(上.下) 刘玉琏等主编 [2]数学分析(上.下) 复旦大学 [3]数学分析习题集 吉米多维奇


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