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1.1空间几何体的结构


第一章、空间几何体
本章概述 几何学是研究现实世界中物体的形状、大小与位置关系的数学学科.空间几何体是几 何学的重要组成部分,它在土木建筑、机械设计、航海测绘等大量实际问题中都有着广泛的 应用,是下一章研究空间点、线、面的位置关系的载体,是初中学过的平面几何的继续和发 展.另外,三维空间是人类生存的现实空间,认识空间图形,培养和发展空间想象力、推理 理论证能力、运用图形

语言进行交流的能力,是高中阶段必修系列课程的基本要求. 本章从我们周围存在的各种物体的“形”的角度把握和认识了柱、锥、台、球的结构 特征,它们是我们认识空间几何体的基础.在此基础上,我们认识了简单组合体,并从不同 的方面对空间几何体进行了分类. 学习在平面上画出空间几何体的三视图和直观图, 并掌握 两者的联系. 最后学习如何计算空间几何体的表面积和体积, 从中了解解决空间几何问题的 基本方法. 本章重点是空间几何体的结构特征,三视图和直观图的画法,几何体的表面积和体积 的计算.本章难点是对柱、 锥、台、 球的结构特征的概括,识别三视图所表示的空间几何体, 对一些几何体的表面积和体积公式的推导.

1.1 空间几何体的结构 1.1.1 柱、锥、台、球的结构特征(一)
【考纲要求】 [学习目标] 1.知道空间几何体的概念及其含义,了解空间几何体的分类及相关概念. 2.了解棱柱、棱锥、棱台的定义,知道这三种几何体的结构特征,给出几何体能够识 别和区分. [目标解读] 1.理解棱柱、棱锥、棱台的定义及结构特征是重点; 2.通过实例,培养学生的观察能力和空间想象能力是难点. 【自主学习】 1.空间几何体 (1)空间几何体的定义 空间中的物体都占据着空间的一部分,若只考虑这些物体的 和 , 而不考虑其他因素,那么由这些物体抽象出来的空间图形就叫做空间几何体. 类 多面体 旋转体 别 定 义 由若干个 体 围成的几何 由一个平面图形绕它所在平面内的一条 旋转所形成的 .

图 形

相 关 概 念

面:围成多面体的各个 . 棱:相邻两个面的 . 顶点: 的公共点.

轴:形成旋转体所绕的

.

2.多面体 多面 体 定义 图形及表示 相关概念

棱柱

有两个面互相 , 其余各面 都是 ,并且每相邻两个 四边形的公共边都互相 , 由这些面所围成的多面体叫做 棱柱. 如图可记作:棱柱

底面(底):两个互相平行的面. 侧面: . 侧棱:相邻侧面的 . 顶点:侧面与底面的 .

棱锥

有一个面是 ,其余各 面都是有一个公共顶点 的 ,由这些面所围成 的多面体叫做棱锥

底面(底): 面. 侧面:有公共顶点的各个 侧棱:相邻侧面的 . 顶点:各侧面的 . 如图可记作:棱锥



棱台

用一个 的平面去 截棱锥,底面与截面之间的部 分叫做棱台.

上底面:原棱锥的 . 下底面:原棱锥的 . 侧面:其余各面. 侧棱:相邻侧面的公共边. 顶点: 侧面与上(下)底面的公共顶点. 如图可记作:棱台

特别提醒:面数最少的棱锥是三棱锥,棱台的各侧面是梯形.

【考点突破】 要点一 棱柱、棱锥、棱台的概念 1.棱柱的结构特征 侧棱都相等,侧面都是平行四边形,两个底面相互平行; 2.棱锥的结构特征 有一个面是多边形,其余各面是有一个公共顶点的三角形; 3.棱台的结构特征 上下底面相互平行,各侧棱的延长线交于同一点. 典型例题 1、有下列说法: ①有两个面平行,其余各面都是平行四边形所围成的几何体一定是棱柱; ②各个面都是三角形的几何体是三棱锥; ③用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥,得到的几何体叫做棱台; ④棱柱的各相邻侧面的公共边互相平行. 以上说法中,正确说法的序号是________(写出所有正确说法的序号). 【思路启迪】 根据棱柱、棱锥、棱台的概念解答. 【解析】 由图甲知,说法①错误;如图乙,由两个结构相同的三棱锥叠放在一起构成 的几何体,各面都是三角形,但它不是棱锥,说法②错误;由棱台的定义知,说法③错误; 由棱柱的特点知,说法④正确.

【答案】④ 方法指导:解决该类题目需准确理解多面体的定义,要真正把握多面体的结构特征.要 学会通过反例对概念进行辨析,即要说明一个说法是错误的,设法举出一个反例即可. 反馈训练 1、有下列说法: ①一个棱锥至少有四个面; ②如果四棱锥的底面是正方形,那么这个四棱锥的四条侧棱都相等; ③五棱锥只有五条棱; ④用与底面平行的平面去截三棱锥,得到的截面三角形和底面三角形相似. 以上说法中,正确说法的序号是________(写出所有正确说法的序号). 典型例题 2、如图所示为长方体 ABCD-A′B′C′D′,当用平面 BCFE 把这个长方体分 成两部分后,各部分形成的多面体还是棱柱吗?如果不是,请说明理由;如果是,指出底面 及侧棱. 【思路启迪】 可先确定两个互相平行的面,再根据棱柱的定义作出判断.

【解】 截面 BCFE 右侧部分是棱柱, 因为它满足棱柱的定义. 它是三棱柱 BEB′-CFC′, 其中△BEB′和△CFC′是底面,EF,B′C′,BC 是侧棱,截面 BCFE 左侧部分也是棱柱.它 是四棱柱 ABEA′-DCFD′.其中四边形 ABEA′和四边形 DCFD′是底面,A′D′,EF,BC, AD 为侧棱. 方法指导: 根据形成几何体的结构特征的描述, 结合棱柱、 棱锥、 棱台的定义进行判断, 注意判断时要充分发挥空间想象能力,必要时做几何模型,通过演示进行准确判断. 反馈训练 2、下列说法: ①有两个面互相平行, 其余的面都是平行四边形的几何体的侧棱一定不相交于一点, 故 一定不是棱台; ②两个互相平行的面是平行四边形,其余各面是四边形的几何体不一定是棱台; ③两个互相平行的面是正方形, 其余各面是四边形的几何体一定是棱台. 其中正确的个 数为( ) A.3 B.2 C.1 D.0 要点三 多面体的表面展开图 1.绘制多面体的表面展开图要结合多面体的几何特征, 发挥空间想象能力或者是亲手制 作多面体模型, 在解题过程中, 常常给多面体的顶点标上字母, 先把多面体的底面画出来, 然后依次画出各侧面,便可得到其表面展开图. 2.若是给出多面体的表面展开图,来判断是由哪一个多面体展开的,则可把上述过程 逆推. 典型例题 3、请画出如图所示的几何体的表面展开图.

【思路启迪】 假定一个面不动,进行空间想象,展开几何体. 【解】 展开图如图所示.

方法指导: 解答此类问题要结合多面体的结构特征, 发挥空间想象能力和亲自动手制作 模型的能力。

反馈训练 3、根据下图所给的几何体的表面展开图,画出立体图形.

考点巩固
一、选择题 1.下列说法中正确的是( ) A.棱柱中两个互相平行的平面一定是棱柱的底面 B.棱柱的面中,至少有两个面互相平行 C.棱柱中一条侧棱的长叫棱柱的高 D.棱柱的侧面是平行四边形,但它的底面一定不是平行四边形 2. 如图, D, E, F 分别是等边△ABC 各边的中点, 把该图按虚线折起, 可以得到一个(

)

A.棱柱 B.棱锥 C.棱台 D.旋转体 3.下列三个说法,其中正确的是( ) ①用一个平面去截棱锥,棱锥底面和截面之间的部分是棱台; ②两个底面平行且相似,其余各面都是梯形的多面体是棱台; ③有两个面互相平行,其余四个面都是等腰梯形的六面体是棱台. A.0 个 B.1 个 C.2 个 D.3 个 4.在长方体 ABCD-A1B1C1D1 中,AB=3,AD=2,CC1=1,一条绳子从点 A 沿表面拉到点 C1, 则绳子的最短的长是( )

A.3 2 B.2 5 C. 26 D.6 5.如图,下列几何体中,________是棱柱,________是棱锥,________是棱台.

6.在正方体上任意选择 4 个顶点,它们可能是如下各种几何图形的 4 个顶点,这些几 何体是________(写出所有正确结论的序号). ①矩形;②不是矩形的平行四边形;③有三个面为等腰直角三角形,有一个面为等边三 角形的四面体;④每个面都是等边三角形的四面体;⑤每个面都是直角三角形的四面体.

7.在如图所示的三棱柱 ABC-A1B1C1 中,请连接三条线,把它分成三部分,使每一部分 都是一个三棱锥.

8.如图所示,在正三棱柱 ABC-A1B1C1 中,AB=2,AA1=2,由顶点 B 沿棱柱侧面(经过棱 AA1)到达顶点 C1,与 AA1 的交点记为 M.

求:(1)三棱柱侧面展开图的对角线长; (2)从 B 经 M 到 C1 的最短路线长及此时

A1M 的值. AM

考点巩固-答案
1、解析:把该图按虚线部分折起后,点 A、B、C 重合,得到一个三棱锥. 答案:B 2、解析:棱柱中也存在互相平行的侧面,故 A 错;棱柱上、下底面的距离叫棱柱的高, 若侧棱与底面垂直,则侧棱长即为高;若侧棱与底面不垂直,则侧棱长就不是棱柱的高,故 C 错;长方体是棱柱,其底面为平行四边形,故 D 错.综上,选 B. 答案:B 3、 解析: 对①, 如图(1), 当截面不平行于底面时棱锥底面和截面之间的部分不是棱台.

对于②③,如图(2)中 AA1,DD1 交于一点,而 BB1,CC1 交于另一点,此几何体不能还原 成四棱锥,故不是棱台. 答案:A 4、解析:①沿平面 AA1B1B、平面 A1B1C1D1 铺展成平面,此时 AC1=3 2.

②沿平面 AA1D1D、平面 A1D1C1B1 铺展成平面,此时 AC1=2 5.

③沿平面 AA1B1B、平面 BB1C1C 铺展成平面,此时 AC1= 26.

故绳子的最短的长为 3 2. 答案:A 5、解析:由多面体的定义及其结构特征可得. 答案:(1)(2) (3)(4) (5) 6、解析:如图,在正方体 ABCD— A1B1C1D1 中,四边形 ABCD 和四边形 ABC1D1 为矩形,故①正确;在三棱锥 D-ACD1 中,有 三个面为等腰直角三角形,一个面为等边三角形,故③正确;在三棱锥 B1-ACD1 中,每个面 都是等边三角形,故④正确;在三棱锥 A-CDC1 中, 每个面都是直角三角形,故⑤正确.故 满足条件的序号为①③④⑤. 答案:①③④⑤ 7、解:如图,连接 A1B,BC1,A1C,则三棱锥 ABC-A1B1C1 被分成三部分,形成三个三棱 锥,分别是 A1-ABC,A1-BB1C1,A1-BCC1.

8、 解:沿侧棱 BB1 将正三棱柱的侧面展开,得到一个矩形 BB1B′1B′(如图). (1)矩形 BB1B′1B′的长 BB′=6,宽 BB1=2. 2 2 所以三棱柱侧面展开图的对角线长为 6 +2 =2 10. (2)由侧面展开图可知:当 B,M,C1 三点共线时,由 B 经 M 到 C1 点的路线最短. 2 2 所以最短路线长为 BC1= 4 +2 =2 5.

显然 Rt△ABM≌Rt△A1C1M, 所以 A1M=AM,即

A1M =1. AM

1.1.1 柱、锥、台、球的结构特征(二) 1.1.2 简单组合体的结构特征
【考纲要求】 [学习目标] 1.掌握圆柱、圆锥、圆台、球的结构特征. 2.会用柱、锥、台、球的结构特征描述简单组合体的结构特征. 3.理解柱、锥、台体的关系. 4.培养观察能力和空间想象能力. [目标解读] 1.理解并掌握圆柱、圆锥、圆台、球的结构特征是重点; 2.用柱、锥、台、球的结构特征描述简单组合体的结构特征是难点. 【自主学习】 1.旋转体 旋转体 结构特征 图形 表示 以矩形的一边所在直线为旋 转轴,其余三边旋转形成的 所围成的旋转体叫做圆 柱.旋转轴叫做圆柱的轴; 我们用表示圆柱 于轴的边旋转而成的圆面叫 轴的字母表示圆 圆柱 做圆柱的底面; 于轴 柱,左图可表示为 的边旋转而成的曲面叫做圆 柱的侧面;无论旋转到什么 位置, 于轴的边都 叫做圆柱侧面的母线

圆锥

以直角三角形的一条直角边 所在直线为旋转轴,其余两 边旋转形成的 所围成的旋转体叫做圆锥

我们用表示圆锥 轴的字母表示圆 锥,左图可表示为

圆台

用平行于 的平面去 截圆锥,底面与截面之间的 部分叫做圆台 以半圆的直径所在直线为旋 转轴, 旋转一周所 形成的旋转体叫做球体,简 称球.半圆的圆心叫做球 的 ,半圆的半径叫 做球的半径,半圆的直径叫 做球的直径

我们用表示圆台 轴的字母表示圆 台,左图可表示为



球常用球心字母 进行表示,左图可 表示为

2.简单组合体的结构特征 (1)定义:由 组合而成的几何体叫做简单组合体. (2)简单组合体的两种基本形式: 由简单几何体 而成; 由简单几何体 一部分而成. 特别提醒:圆是一条封闭的曲线,圆面是一个圆围成的圆内平面.球是几何体,球面是 指半圆沿直径旋转形成的曲面,球是旋转体. 【考点突破】 要点一、旋转体的结构特征 圆柱、圆锥、圆台、球从生成过程来看,它们分别是由矩形、直角三角形、直角梯形、 半圆绕着某一条直线旋转而成的几何体,因此它们统称为旋转体.但应注意的是:所谓旋转 体就是一个平面图形绕着这个平面图形所在的平面内一条直线旋转一周所得到的几何体, 因 此它还含有除圆柱、圆锥、圆台、球之外的几何体. 典型例题 1、下列说法: ①在圆柱的上、下两底面的圆周上各取一点,则这两点的连线是圆柱的母线; ②圆锥的顶点与底面圆周上任意一点的连线是圆锥的母线; ③在圆台上、下两底面的圆周上各取一点,则这两点的连线是圆台的母线; ④圆柱的任意两条母线相互平行.其中正确的是( ) A.①② B.②③ C.①③ D.②④ 【思路启迪】 紧扣母线的定义及相关性质即可解题. 方法指导:圆柱、圆锥、圆台和球都是由平面图形绕着某条轴旋转而成的,平面图形不 同,得到的旋转体也不同,即使是同一平面图形,所选轴不同,得到的旋转体也不一样. 判断旋转体,要抓住定义,分清哪条线是轴,什么图形,怎样旋转,旋转后生成什么样 的几何体. 反馈训练 1、下列说法中正确的是( ) A.圆台是直角梯形绕其一边旋转而成的

B.圆锥是直角三角形绕其一边旋转而成的 C.圆柱不是旋转体 D.圆台可以看作是平行于底面的平面截一个圆锥而得到的 要点二 圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图 把柱、 锥、 台体沿一条侧棱或母线展开成平面图, 这样便把空间问题转化成了平面问题, 对解决简单空间几何体的面积问题或侧面上(球除外)两点间的距离问题,是很有效的方法. 典型例题 2、如图,底面半径为 1,高为 2 的圆柱,在 A 点有一只蚂蚁,现在这只蚂蚁 要围绕圆柱由 A 点爬到 B 点,问蚂蚁爬行的最短距离是多少?

【思路启迪】 把圆柱侧面展开,由图分析求解. 【解】 把圆柱的侧面沿 AB 剪开,然后展开成为平面图形——矩形,如图所示,连接 AB′,则 AB′即为蚂蚁爬行的最短距离. ∵AB=A′B′=2,AA′为底面圆的周长,且 AA′=2π ×1=2π ,

∴AB′= A′B′ +AA′ = 4+?2π ? =2 1+π , 2 所以蚂蚁爬行的最短距离为 2 1+π . 方法指导: 解此类题的关键要清楚几何体的侧面展开图是什么样的平面图形, 并进行合 理的空间想象,且记住以下常见几何体的侧面展开图:

2

2

2

2

反馈训练 2、若本例中蚂蚁围绕圆柱转两圈,如图所示,则它爬行的最短距离是多少?

要点三 简单组合体的结构特征 判断实物图是由哪些简单几何体所组成的图形问题, 首先要熟练掌握简单几何体的结构 特征,其次要善于将复杂的组合体“分割”成几个简单的几何体. 简单组合体有以下三种形式: 1.多面体与多面体的组合体:即由两个或两个以上的多面体组合而成的几何体. 2.多面体与旋转体的组合体:即由一个多面体与一个旋转体组合而成的几何体. 3.旋转体与旋转体的组合体:即由两个或两个以上的旋转体组合而成的几何体. 典型例题 3、请描述如图所示的组合体的结构特征.

【思路启迪】 本题主要考查简单组合体的结构特征和空间想象能力. 依据柱、 锥、 台、 球的结构特征依次作出判断. 【解】 (1)是由一个圆锥和一个圆台拼接而成的组合体; (2)是由一个圆台挖去一个圆锥后剩下的部分得到的组合体; (3)是由一个四棱锥和一个四棱柱拼接而成的组合体. 方法指导 (1)明确组合体的结构特征,主要弄清它是由哪些简单几何体组成的. (2)会识别较复杂的图形是学好立体几何的第一步,因此我们应注意观察周围的物体, 然后将它们“分拆”成几个简单的几何体,进而培养我们的空间想象能力和识图能力. 反馈训练 3、说出下列几何体的结构特征.

考点巩固
1.下列说法正确的是( ) A.圆锥的母线长等于底面圆直径 B.圆柱的母线与轴垂直 C.圆台的母线与轴平行 D.球的直径必过球心 2.底面半径为 2 且底面水平放置的圆锥被过高的中点且平行于底面的平面所截,则截 得的截面圆的面积为( )

A.π B.2π C.3π D.4π 3.下列说法正确的有( ) ①球的半径是球面上任意一点与球心的连线段 ②球的直径是球面上任意两点间的连线段 ③用一个平面截一个球,得到的是一个圆 ④不过球心的截面截得的圆的半径小于球半径 A.①② B.①④ C.①②④ D.③④ 4.如图所示的几何体,关于其结构特征,下列说法不正确的是(

)

A.该几何体是由两个同底的四棱锥组成的几何体 B.该几何体有 12 条棱、6 个顶点 C.该几何体有 8 个面,并且各面均为三角形 D.该几何体有 9 个面,其中一个面是四边形,其余均为三角形 5.给出下列说法:

(1)直角三角形绕一边旋转得到的旋转体是圆锥 (2)夹在圆柱的两个平行截面间的几何体还是一个旋转体 (3)圆锥截去一个小圆锥后剩余部分是圆台 (4)通过圆台侧面上一点,有无数条母线 其中正确的说法是________(写出所有正确说法的序号). 6.把一个圆锥截成圆台,已知圆台的上下底面半径之比是 1 ? 4,母线长为 10,则圆 锥的母线长是________. 7.如图(1)所示,正三棱柱的底面边长是 4cm、过 BC 的一个平面交侧棱 AA′于 D,若 AD 的长为 2cm,求截面△BCD 的面积.

图(1)

图(2)

8.从一个底面半径和高都是 R 的圆柱中, 挖去一个以圆柱上底面为底, 下底面中心为顶 点的圆锥, 得到如下图所示的几何体. 如果用一个与圆柱下底面距离等于 l 并且平行于底面 的平面去截它,求所得截面的面积.

考点巩固-答案
1、解析: 对于 A,圆锥的母线长不一定等于底面圆直径;对于 B,圆柱的母线与轴平行; 对于 C,圆台的母线与轴延长后相交于一点;D 正确. 答案:D 2、解析:作出截面图,如图,由△A1B1C1∽△ABC,得 B1C1=1,∴截面圆面积为 π . 答案:A 3、解析:根据题意知①④正确.球面上任意两点的连线段不一定是直径,故②错.用 一个平面截一个球,得到的是一个圆面,故③错. 答案:B 4、 解析: 该几何体用平面 ABCD 可分割成两个四棱锥, 因此它是这两个四棱锥的组合体, 因而四边形 ABCD 是它的一个截面而不是一个面,故选 D. 答案:D 5、解析:对于(1),直角三角形绕斜边旋转形成两个同底的圆锥;对于(2),若两平行 截面平行于圆柱的轴,截面间的几何体不是一个旋转体;对于(4),过圆台侧面上一点,只 有一条母线. 答案:(3) x-10 1 6、解析:把圆台还原为圆锥,利用三角形相似得, = (其中 x 为圆锥母线长),∴ x 4 40 x= . 3

40 答案: 3 7、解:如图(2),取 BC 的中点 E,连接 AE、DE,则 AE⊥BC,DE⊥BC, 3 2 2 ∵AE= ×4=2 3,∴DE= ?2 3? +2 =4. 2 1 1 2 2 ∴S= BC·ED= ×4×4=8cm .∴截面△BCD 的面积为 8cm . 2 2 8、解:过轴作截面,如下图所示:

被平行于下底面的平面所截得的圆柱的截面圆的半径 O1C=R, 设圆锥的截面圆的 R 半径 O1D 为 x.

∵OA=OB=R,∴△OAB 是等腰直角三角形.又∵CD∥OA,则 CD=BC. 故 x=l. 2 2 2 2 2 2 ∴截面面积 S=π R -π x =π R -π l =π (R -l ).


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