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2012年高中数学联赛甘肃预赛试题与答案 (含填空题详解)


二O一二年全国高中数学联赛甘肃预赛试卷
(2012 年 6 月 24 日上午 9:00-11:30)
二 题号 一 9 得分 评卷人 复核人 考生注意: 1、本试卷共两大题(12 道小题),全卷满分 120 分. 2、用钢笔、签字笔或圆珠笔作答. 3、解题书写不要超出装订线. 4、不能使用计算器. 10 11 12 总成绩

一、填空题( 本题满分 56 分,每小题 7 分)
得分 评卷人

本题共有 8 小题,请将正确答案直接写在横线上。

1. 空间四点 A , B , C , D 两两间的距离均为 1 ,点 P 与点 Q 分别在线段 AB 与 CD 上运动, 则点 P 与点 Q 间的最小距离为____________;

??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ? ?0 ? OP?OA ? 1 2. 向量 OA ? (1, 0) , OB ? (1,1) , O 为坐标原点,动点 P ( x, y ) 满足 ? , 则点 ??? ? ??? ? ? OP ? OB ? 0 2 ? ? Q( x ? y, y ) 构成的图形的面积为___________;
2012全国高中数学联赛甘肃赛区预赛试卷第1页(共6页) - 1 -

3. 设有非空集合 A ? ?1, 2,3, 4,5, 6, 7? , 且当 a ? A, 时,必有 8 ? a ? A, 这样的集合 A 的个数是 _____________;

4. 设 f ( x ) ? ?

? x ? [ x], x ? 0 , 其中 [ x] 表示不超过 x 的最大整数, 若 f ( x) ? kx ? k ( k ? 0) 有 ? f ( x ? 1), x ? 0

三个不同的实数根,则实数 k 的取值范围是__________________; 5. 11 位数的手机号码,前七位数字是 1390931 ,若余下的 4 个数字只能是 1 、 3 、 5 且都至少 出现 1 次, 这样的手机号码有___________个;

6. 若 tan x1 ? tan x2 ??? tan x2012 ? 1 ,则 sin x1 ?sin x2 ???sin x2012 的最大值是

_________;

7.

设 函 数

f :R?R , 满 足

f (0) ? 1

且 对 任 意

x, y ? R 都 有

f ( xy ? 1) ? f ( x) f ( y ) ? f ( y ) ? x ? 2 ,则 f ( x) =____________________________;

8. 实数 x 、 y 、 z 满足 x ? y ? z ? 1 ,则 xy ? yz 的最大值为
2 2 2

___.

2012 全国高中数学联赛甘肃赛区预赛试卷第 2 页(共 6 页)

- 2 -

二、解答题( 本题满分 64 分, 第 9、10 题每题 14 分,第 11、12 题每题 18 分)
9. 已知数列 ?an ? 满足

得分

评卷人

an ?1 ? an ? 1 ? n ? n ? N? ? , 且 a2 ? 6 . an ?1 ? an ? 1

(Ⅰ) 求数列 ?an ? 的通项公式; (Ⅱ) 设 bn ?
cn ? an ? n ? N? ? , c 为非零常数,若数列 ?bn ? 是等差数列,记 n?c

bn , Sn ? c1 ? c2 ? ? ? cn , 求 S n . 2n

2012 全国高中数学联赛甘肃赛区预赛试卷第 3 页(共 6 页) - 3 -

得分

评卷人

10. M 是抛物线 y ? 2 px( p ? 0) 的准线上任意点,过 M 点作抛物线的
2

切线 l1 、 l2 , 切点分别为 A 、 B ( A 在 x 轴上方). (1)证明:直线 AB 过定点; (2)设 AB 的中点为 P ,求 MP 的最小值.

2012 全国高中数学联赛甘肃赛区预赛试卷第 4 页(共 6 页) - 4 -

得分

评卷人

11. 设 a, b, c 为正实数,且 a ? b ? c ? 1 ,求证:

?a

2

b c ? 1 ? a ? b2 ? c2 ? ? ? ? ?≥ . ?b?c a?c a?b? 2

2012 全国高中数学联赛甘肃赛区预赛试卷第 5 页(共 6 页) - 5 -

得分

评卷人

12. 某校数学兴趣小组由 m 位同学组成,学校专门安排 n 位老师作为指导 教师. 在该小组的一次活动中, 每两位同学之间相互为对方提出一个问题, 每位同学又向每位指导教师各提出一个问题,并且每位指导教师也向全组

提出一个问题,以上所有问题互不相同,这样共提出了 51 个问题.试求 m , n 的值.

2012 全国高中数学联赛甘肃赛区预赛试卷第 6 页(共 6 页)

- 6 -

2012 全国高中数学联赛甘肃省预赛预赛参考答案 (满分 120 分) 一、 填空题(每小题 7 分,共 56 分)

2 1、 2 5、36
二、解答题

2、2
6、

3、15
7、 x ? 1

4、 ( , ]
8、

1 1 4 3

1 2
1006

2 2

说明:以下评分标准仅供参考,其他正确答案请参照以下给分点平行给分
9、 (14 分)已知数列 ?an ? 满足

(Ⅰ) 求数列 ?an ? 的通项公式; (Ⅱ) 设 bn ?

an ?1 ? an ? 1 ? n ? n ? N? ? , 且 a2 ? 6 . an ?1 ? an ? 1

an b c 为非零常数, 若数列 ?bn ? 是等差数列, 记 cn ? n , Sn ? c1 ? c2 ? ? ? cn , 求 Sn . n ? N? ? , ? 2n n?c a ? an ? 1 解:(Ⅰ) 由已知 n ?1 ? n ? n ? N? ? ? ? n ? 1? an ?1 ? ? n ? 1? an ? ? ? n ? 1? an ?1 ? an ? 1

an ?1 a 1 ? n ?? , n ?1 n ?1 n ?1 an ?1 an 1 1? ? 1 进一步得: ? ?? ?? ? ? n n? ? 1 ? n ? 1? n n ? n ? 1? n ? n ? 1? ? ?
当 n ? 2, n ? N? 时,

an ?1 a ?? 1 ? ? 1 1 ? 1 ? ? 1 1 ?? ? 1 ? 2 ? ? ?? 1 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ??? 1 2 2 2 3 2 1 1 n n n n n n ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? 1 ? ?1 n 又 a2 ? 6 ,当 n ? 2 时, an ?1 ? ? n ? 1?? 2n ? 1? ,即当 n ? 3 时, an ? n ? 2n ? 1? .
从而有: 由 a2 ? 6 代入及 ?1 ? 1? a2 ? ?1 ? 1? a1 ? ? ?1 ? 1? ? a1 ? 1 ,亦合上式. 故对任意 n ? N? , an ? n ? 2n ? 1? …………………….8 分

a2 ? 6 符合上式

(Ⅱ) 由 bn ?

n ? 2n ? 1? an 1 6 15 ? , b2 ? , b3 ? 知 b1 ? ,又由于数列 ?bn ? 是等差数列,所以 n?c n?c 1? c 2?c 3? c 12 1 15 1 ? ? 2b2 ? b1 ? b3 , ,得 c ? ? ,从而 bn ? 2n , 2 ? c 1? c 3 ? c 2 bn 2n n 进一步得: cn ? n ? n ? n ?1 , 2 2 2 2 3 n ?1 n 2 3 4 n ?1 n S n ? 1 ? 1 ? 2 ? ? ? n ? 2 ? n ?1 2Sn ? 2 ? 0 ? 1 ? 2 ? ? ? n ?3 ? n ? 2 ① ② 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 n n?2 两式相减得: S n ? 3 ? ? 2 ? ? ? n ? 2 ? n ?1 ? 4 ? n ?1 …………………….14 分 2 2 2 2 2
2

10、 (14 分)M 是抛物线 y ? 2 px( p ? 0) 的准线上任意点,过 M 点作抛物线的切线 l1 、 l2 , 切点分别为 A、B(A 在 x 轴上方) (1)证明:直线 AB 过定点 (2)设 AB 的中点为 P,求|MP|的最小值
解:则由 y ?

2 px ,知 l1 的斜率为 k1 ?

2p 2 x1

;由 y ? ? 2 px 知 l2 的斜率为 k2 ? ?

2p 2 x2

-1-

设 A,B 的坐标分别为 ( x1 , y1 ) , ( x2 , y2 ) 则 l1 : y ? y1 ?

2p 2 x1

( x ? x1 ) ; l2 : y ? y2 ?

? 2p 2 x2

( x ? x2 ) , 两式相减得

y1 ? y2 ? ?
又 y1 ? y2 ?

2p 2

x1 ? x2 x1 x2

x?

2p ( x1 ? x2 ) 2

2 p ( x1 ? x2 ) ,从而

1? ?

p 1 1 x ? 即 x1 x2 ? 2 2 2 x1 x2
2 2 2 2

设过 A, B 的直线为 y ? kx ? m 代入 y ? 2 px 得 k x ? (2km ? 2 p ) x ? m ? 0

m2 m2 p 2 m p ,从而 ? ? ? ? ,则以图可知直线 AB 过焦点…………………….8 分 2 2 k k 4 k 2 2p (2) k 1 k2 ? ? ? ?1 ? l1 ? l2 4 x1 x2
则 x1 x2 ? 则 MP ?

1 1 AB , ( MP) min ? ( AB) min ? p …………………….14 分 2 2

(18 分)设 a, b, c 为正实数,且 a ? b ? c ? 1 ,求证: 11、 证明:由排序不等式,有

?a

2

b c ? 1 ? a ? b2 ? c2 ? ? ? ? ?≥ . ?b?c a?c a?b? 2

a 2 ? b 2 ? c 2 ≥ ab ? bc ? ca a 2 ? b 2 ? c 2 ≥ ac ? ba ? cb
两式相加,有

…………………….6 分

2 ? a 2 ? b 2 ? c 2 ? ≥ a ? b ? c ? ? b ? c ? a ? ? c ? a ? b ? …………………….9 分
a b c ,有 ? ? b?c c?a a?b b c ? ? a ? ? 2 ? a 2 ? b2 ? c2 ? ? ?≥ ? ?a ? b ? c ? ? b ? c ? a ? ? c ? a ? b ?? ? …………………….12 分 ?b?c c?a a?b?
2

上式两端同乘

≥ ? a ? b ? c ? ? 1 …………………….15 分
从而有 a ? b ? c
2 2

?

2

a b c ? 1 ? ? ?? ? ? ≥ …………………….18 分 ?b?c a?c a?b? 2

12、 (18 分)某校数学兴趣小组由 m 位同学组成,学校专门安排 n 位老师作为指导教师.在该小组的一次 活动中,每两位同学之间相互为对方提出一个问题,每位同学又向每位指导教师各提出一个问题,并且每 位指导教师也向全组提出一个问题,以上所有问题互不相同,这样共提出了 51 个问题.试求 m,n 的值. 解:则有 m(m-1)+mn+n=51. …………………….6 分 化简得 m +(n-1)m+n-51=0 故Δ=(n-1) -4(n-51)=n -6n+205=(n-3) +196 ∵ m∈ N ,∴ Δ必为完全平方数…………………….9 分 设 (n-3) +196=k (k 为自然数),则(n-3+k)(n-3-k)=-196…………………….12 分 其中 n-3+k 与 n-3-k 具有相同的奇偶性,且 n-3+k≥n-3-k
-22 2 2 2 2 2

*

∴ ?

?n-3+k=2 ?n-3+k=98 ?n-3+k=14 (1) 或 ? (2) 或 ? (3) ……………………15 分 ?n-3-k=-98 ?n-3-k=-2 ?n-3-k=-14
2

由(1)得 n=-45,(舍) 由(2)得 n=51,此时原方程为 m +50m=0 解得 m 1 =-50,m 2 =0(舍) 由(3)得 n=3, 此时原方程为 m +2m-48=0, 解得 m 1 =6,m 2 =-8(舍) ∴ m=6,n=3…………………….18 分
2

-3-


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