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2016届高考数学大一轮复习 直线、平面垂直的判定及其性质课时跟踪检测(四十六)理(含解析)


课时跟踪检测(四十六)
一、选择题

直线、平面垂直的判定及其性质
)

1.(2015·海淀模拟)若平面 α ⊥平面 β ,平面 α ∩平面 β =直线 l,则( A.垂直于平面 β 的平面一定平行于平面 α B.垂直于直线 l 的直线一定垂直于平面 α C.垂直于平面 β 的平面一定平行于直线 l D.垂直于直线 l

的平面一定与平面 α ,β 都垂直

2.(2015·石家庄调研)设 a,b 表示直线,α ,β ,γ 表示不同的平面,则下列命题 中正确的是( )

A.若 a⊥α 且 a⊥b,则 b∥α B.若 γ ⊥α 且 γ ⊥β ,则 α ∥β C.若 a∥α 且 a∥β ,则 α ∥β D.若 γ ∥α 且 γ ∥β ,则 α ∥β 3.(2015·南昌模拟)设 a,b 是夹角为 30°的异面直线,则满足条件“a? α ,b? β , 且 α ⊥β ”的平面 α ,β ( A.不存在 C.有且只有两对 ) B.有且只有一对 D.有无数对

4.(2015·绵阳诊断)已知 l,m,n 是三条不同的直线,α ,β 是不同的平面,则 α ⊥ β 的一个充分条件是( )

A.l? α ,m? β ,且 l⊥m B.l? α ,m? β ,n? β ,且 l⊥m,l⊥n C.m? α ,n? β ,m∥n,且 l⊥m D.l? α ,l∥m,且 m⊥β 5. (2015·天津模拟)如图, 以等腰直角三角形 ABC 的斜边 BC 上的高 AD 为折痕, 把△ABD 和△ACD 折成互相垂直的两个平面后,某学生得出下列四个结论:

①BD⊥AC; ②△BAC 是等边三角形; ③三棱锥 D?ABC 是正三棱锥; ④平面 ADC⊥平面 ABC. 其中正确的是( A.①②④ ) B.①②③

1

C.②③④

D.①③④

6. 如图, 直三棱柱 ABC ?A1B1C1 中, 侧棱长为 2, AC=BC=1, ∠ACB=90°,

D 是 A1B1 的中点,F 是 BB1 上的动点,AB1,DF 交于点 E.要使 AB1⊥平面 C1DF,
则线段 B1F 的长为( A. C. 1 2 3 2 ) B.1 D.2

二、填空题 7.如图所示,在四棱锥 P ?ABCD 中,PA⊥底面 ABCD,且底面各边都相等,M 是 PC 上的 一动点,当点 M 满足________时,平面 MBD⊥平面 PCD.(只要填写一个你认为是正确的条件 即可)

8.(2015·福建四地六校月考)点 P 在正方体 ABCD?A1B1C1D1 的面对角线 BC1 上运动,则 下列四个命题:

①三棱锥 A?D1PC 的体积不变; ②A1P∥平面 ACD1; ③DP⊥BC1; ④平面 PDB1⊥平面 ACD1. 其中正确的命题序号是________. 9.假设平面 α ∩平面 β =EF,AB⊥α ,CD⊥β ,垂足分别为 B,D,如果增加一个条 件,就能推出 BD⊥EF,现有下面四个条件: ①AC⊥α ;②AC 与 α ,β 所成的角相等;③AC 与 BD 在 β 内的射影在同一条直线上; ④AC∥EF. 其中能成为增加条件的是________.(把你认为正确的条件序号都填上) 10.(2015·海淀期末)已知某四棱锥的底面是边长为 2 的正方形,且俯视图如图所示.

2

(1)若该四棱锥的侧视图为直角三角形,则它的体积为________; (2)关于该四棱锥的下列结论中: ①四棱锥中至少有两组侧面互相垂直; ②四棱锥的侧面中可能存在三个直角三角形; ③四棱锥中不可能存在四组互相垂直的侧面. 所有正确结论的序号是________. 三、解答题 11.(2015·南京检测)如图,在正三棱锥 ABC?A1B1C1 中,E,F 分别为 BB1,AC 的中点. (1)求证:BF∥平面 A1EC; (2)求证:平面 A1EC⊥平面 ACC1A1.

12.如图,在正方体 ABCD ?A1B1C1D1 中,E 为棱 C1D1 的中点,F 为棱 BC 的中点. (1)求证:AE⊥DA1; (2)在线段 AA1 上求一点 G,使得直线 AE⊥平面 DFG.

3

答案 1.选 D 对于 A,垂直于平面 β 的平面与平面 α 平行或相交,故 A 错;对于 B,垂直 于直线 l 的直线与平面 α 垂直、斜交、平行或在平面 α 内,故 B 错;对于 C,垂直于平面 β 的平面与直线 l 平行或相交,故 C 错;易知 D 正确. 2.选 D A 项中,应该是 b∥α 或 b? α ;B 项中,如果是墙角的三个面就不符合题意; C 项中,α ∩β =m,若 a∥m 时,满足 a∥α ,a∥β ,但是 α ∥β 不正确;所以选 D. 3.选 D 过直线 a 的平面 α 有无数个,当平面 α 与直线 b 平行时,两直线的公垂线 与 b 确定的平面 β ⊥α ,当平面 α 与 b 相交时,过交点作平面 α 的垂线与 b 确定的平面 β ⊥α .故选 D. 4.选 D 对于 A,l? α ,m? β ,且 l⊥m,如图(1),α ,β 不垂直; 对于 B,l? α ,m? β ,n? β ,且 l⊥m,l⊥n,如图(2),α ,β 不垂直;

4

对于 C,m? α ,n? β ,m∥n,且 l⊥m,直线 l 没有确定,则 α ,β 的关系也不能确 定; 对于 D,l? α ,l∥m,且 m⊥β ,则必有 l⊥β ,根据面面垂直的判定定理知,α ⊥β . 5.选 B 由题意知,BD⊥平面 ADC,故 BD⊥AC,①正确;AD 为等腰直角三角形斜边 BC 上的高,平面 ABD⊥平面 ACD,所以 AB=AC=BC,△BAC 是等边三角形,②正确;易知 DA=

DB=DC,又由②知③正确;由①知④错.故选 B.
6.选 A 设 B1F=x,因为 AB1⊥平面 C1DF,DF? 平面 C1DF,所以 AB1⊥DF.由已知可以得

A1B1= 2,设 Rt△AA1B1 斜边 AB1 上的高为 h,则 DE= h.
2 3 3 2 2 又 2× 2=h 2 +? 2? ,所以 h= ,DE= . 3 3 在 Rt△DB1E 中,B1E= 6 × 6 6 ? 2?2 ? 3?2 ? ? -? ? = 6 . 2 3 ? ? ? ?

1 2

由面积相等得

x2+?

2 1 ? 2?2 ? = 2 x,得 x=2. ?2?

7.解析:连接 AC,BD,则 AC⊥BD, ∵PA⊥底面 ABCD,∴PA⊥BD. 又 PA∩AC=A,∴BD⊥平面 PAC, ∴BD⊥PC. ∴当 DM⊥PC(或 BM⊥PC)时,即有 PC⊥平面 MBD. 而 PC? 平面 PCD, ∴平面 MBD⊥平面 PCD. 答案:DM⊥PC(或 BM⊥PC 等) 8.解析:由题意可得直线 BC1 平行于直线 AD1,并且直线 AD1? 平面 AD1C,直线 BC1?平 面 AD1C,所以直线 BC1∥平面 AD1C. 所以 VA?D1PC=VP?AD1C.点 P 到平面 AD1C 的距离不变,所以体积不变.故①正确; 连接 A1C1,A1B,可得平面 AD1C∥平面 A1C1B. 又因为 A1P? 平面 A1C1B,所以 A1P∥平面 ACD1,故②正确; 当点 P 运动到 B 点时△DBC1 是等边三角形, 所以 DP 不垂直 BC1.故③不正确; 因为直线 AC⊥平面 DB1,DB1? 平面 DB1. 所以 AC⊥DB1.同理可得 AD1⊥DB1. 所以可得 DB1⊥平面 AD1C. 又因为 DB1? 平面 PDB1. 所以可得平面 PDB1⊥平面 ACD1.
5

故④正确.综上正确的序号为①②④. 答案:①②④ 9.解析:如果 AB 与 CD 在一个平面内,可以推出 EF 垂直于该平面,又 BD 在该平面内, 所以 BD⊥EF.故要证 BD⊥EF,只需 AB,CD 在一个平面内即可,只有①③能保证这一条件. 答案:①③ 10.解析:(1)由三视图知,该几何体为底面是正方形的四棱锥,如图所 1 4 示,所以该四棱锥的体积为 ×2×2×1= .(2)由图可知 PQ⊥平面 ABCD,则 3 3 有 PQ⊥AB,又 AB⊥BC,所以 AB⊥平面 PBC,于是侧面 PAB⊥侧面 PBC,同理可知侧面 PDC⊥ 侧面 PBC,故①正确;由上述易知 AB⊥PB,CD⊥PC,所以△PAB,△PCD 为直角三角形,又 四棱锥的侧视图为直角三角形,所以△PBC 为直角三角形,故②正确;由图易判断平面 PAB 与平面 PAD 不垂直,故③正确.综上知①②③均正确. 4 答案:(1) (2)①②③ 3 11.证明:(1)连接 AC1 交 A1C 于点 O,连接 OE,OF, 在正三棱柱 ABC?A1B1C1 中, 四边形 ACC1A1 为平行四边形, 所以 OA=OC1. 1 又因为 F 为 AC 中点,所以 OF∥CC1 且 OF= CC1. 2 1 因为 E 为 BB1 中点,所以 BE∥CC1 且 BE= CC1. 2 所以 BE∥OF 且 BE=OF,所以四边形 BEOF 是平行四边形,所以 BF∥OE. 又 BF?平面 A1EC,OE? 平面 A1EC, 所以 BF∥平面 A1EC. (2)由(1)知 BF∥OE,因为 AB=CB,F 为 AC 中点, 所以 BF⊥AC,所以 OE⊥AC. 又因为 AA1⊥底面 ABC,而 BF? 底面 ABC, 所以 AA1⊥BF. 由 BF∥OE,得 OE⊥AA1,而 AA1,AC? 平面 ACC1A1,且 AA1∩AC=A, 所以 OE⊥平面 ACC1A1. 因为 OE? 平面 A1EC, 所以平面 A1EC⊥平面 ACC1A1. 12.解:(1)证明:连接 AD1,BC1,由正方体的性质可知,DA1⊥AD1,

DA1⊥AB,又 AB∩AD1=A,
∴DA1⊥平面 ABC1D1, 又 AE? 平面 ABC1D1,
6

∴DA1⊥AE. (2)所求 G 点即为 A1 点,证明如下: 由(1)可知 AE⊥DA1,取 CD 的中点 H,连接 AH,EH,由 DF⊥AH,DF⊥EH,AH∩EH=H, 可证 DF⊥平面 AHE, ∵AE? 平面 AHE, ∴DF⊥AE. 又 DF∩A1D=D, ∴AE⊥平面 DFA1,即 AE⊥平面 DFG.

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