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广东省广州六中、广雅中学、执信中学等六校2016届高三第一次联考数学(文)试卷


2016 届高三六校第一次联考
文科数学试题
命题学校:珠海一中 2015,9,7

本试题共 4 页,第 1 至 21 题为必做题,从第 22、23、24 三个小题中选做一题, 满分 150 分,考试用时 120 分钟。

一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,满分 60 分,在每小题给出的四个选项中,

r />只有一项是符合题目要求的。 1.已知全集 U={1,2,3,4,5},集合 A={2,3,4},B={1,4},则(?UA)∪B 为( A.{1} B.{1,5} C.{1,4}
2

)

D.{1,4,5} )

2.若 z 是 z 的共轭复数,且满足 z ? (1 ? i ) ? 4 ? 2i ,则 z ? ( A. ? 1 ? 2i B. ? 1 ? 2i C. 1 ? 2i
?

D. 1 ? 2i )

3.已知命题 p, q ,则“ p ? q 是真命题”是“ p 为假命题”的( A.充分而不必要条件 C.充要条件 4.设等比数列 {a n } 的公比 q ? B.必要而不充分条件 D.既不充分也不必要条件

S 1 ,前 n 项和为 S n ,则 3 ? ( a3 2

)

A.5 B.7 C.8 D.15 5.下列四个函数中,既是偶函数又在(0,+∞)上为增函数的是( A. y ? x ? 2 x
2

) D. y ?| x | ?1

B. y ? x

3

C. y ? ln 1 ? x

2

6.已知双曲线的渐近线方程为 y ? ? 2 x ,焦点坐标为 (? 6 ,0), ,则双曲线方程为 ( 6 ,0) ( ) A.

x2 y2 ? ?1 2 8

B.

7 .函数 f ( x) ? sin(?x ?

?
3

x2 y2 ? ?1 8 2

C.

x2 y2 ? ?1 2 4

D.

相邻两个对称中心的距离为 )(? ? 0)

? ,以下哪个区间是函数 2
D. [

x2 y2 ? ?1 4 2

f ( x) 的单调减区间(
A. [ ?

) B. [0,

, ] 2 6 3 3 8.曲线 y ? ln x ? 2 x 在点 (1,?2) 处的切线与坐标轴所围成的三角形的面积是( ) 1 3 A. B. C. 1 D. 2 2 4
9.在边长为 2 的正方体内部随机取一个点,则该点到正方体 8 个顶点的距离都不小于 1 的概 率为( A. )

?

,0]

?

]

C. [

, ] 12 2

? ?

? 5?

1 6

B.

5 6

C.

?
6

D. 1 -

?
6

10.一个空间几何体的三视图如下图,其中正视图是边长为 2 的正三角形,俯视图是边长分 别为 1,2 的矩形,则该几何体的侧面积为( )

A. 3 ? 4

B. 3 ? 6

C. 2 3 ? 4

D. 2 3 ? 6

11.执行如右图所示的程序框图,若输出的 n=9,则输入的整数 p 的 最小值是( ) A.50 B.77 C.78 D.306 12.已知抛物线 y ? x 上一定点 B(1,1)和两个动点 P、Q,当 P 在
2

抛物线上运动时,BP⊥PQ,则 Q 点的纵坐标的取值范围是( A. ( ? ?, - 2] ? [2, ? ?) C. ( ? ?, 0] ? [3, ? ?) B. ( ? ?, - 1] ? [3, ? ?) D. ( ? ?, 1] ? [4, ? ?)

)

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,满分 20 分。
13.已知平面向量 a ? (2,?1) , b ? (m,2) ,且 a // b ,则 3a ? 2b ? __________ 14.已知等差数列 {a n } 满足 a1 ? a 5 ? a 9 ? 24 ,则 log 2 (2a 6 ? a 7 ) ? ________

?3 x ? y ? 2 ? 0 ? 15.设变量 x,y 满足约束条件 ? x ? 2 y ? 1 ? 0 ,则 z ? 3 x ? y 的最小值为_______ ?2 x ? y ? 8 ? 0 ?
16.已知定义在 R 上的偶函数满足: f ( x ? 4) ? f ( x ) ? f (2) ,且当 x ? [0, 2] 时, y ? f ( x ) 单调 递减,给出以下四个命题: ① f (2) ? 0 ;② x ? ?4 为函数 y ? f ( x ) 图象的一条对称轴;③ y ? f ( x ) 在 [8,10] 单调递增;④ 若方程 f ( x ) ? m 在 [ ?6, ?2] 上的两根为 x1 、 x2 ,则 x1 ? x2 ? ?8. 以上命题中所有正确命题的序号为___________

三、解答题:
第 17 到 21 题为必做题,从第 22、23、24 三个小题中选做一题,满分 70 分。 17.(本小题满分 12 分) 已知 ?ABC 的三内角 A, B, C ,所对三边分别为 a, b, c ,且 sin( A ? (1)求 tan A 的值; (2)若 ?ABC 的面积 s ? 24, b ? 10, 求 a 的值。 18. (本小题满分 12 分)

?
4

)?

2 10

2015 年 7 月 16 日,电影《捉妖记》上映,上映至今全国累计票房已超过 20 亿。某影院为了 解观看此部电影的观众年龄的情况,在某场次的 100 名观众中随机调查了 20 名观众,已知抽 到的观众年龄可分成 5 组: [20,25) , [25,30) , [30,35) , [35,40) , [40,45) ,根据调查结 果得出年龄情况残缺的频率分布直方图如下图所示。

(1)根据已知条件,补充画完整频率分布直方图,并估计该电影院观看此部电影的观众年龄 的平均数; (2)现在从年龄属于 [25,30) 和 [40,45) 的两组中随机抽取 2 人,求他们属于同一年龄组的概 率。

19. (本小题满分 12 分) 如图所示的长方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 中,底面 ABCD 是 边长为 2 的正方形, O 为 AC 与 BD 的交点, BB1 ?

2,

M 为线段 B1 D1 的中点。
(1)求证: BM // 平面 D1 AC ; (2)求三棱锥 D1 ? ACB1 的体积。

20. (本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ?

x 2 ? ax ? b 经过点 (0,3) ,且在该点处的切线与 x 轴平行 ex

(1)求 a, b 的值; (2)若 x ? (t , t ? 2) ,其中 t ? ?2 ,讨论函数 y ? f ( x ) 的单调区间。

21.(本小题满分 12 分) 已知椭圆 C :

x2 y2 1 ? 2 ? 1?a > b > 0 ? 的离心率为 ,以坐标原点为圆心,椭圆的短半轴长为 2 a b 2

半径的圆与直线 x ? y ? 6 ? 0 相切。 (1)求椭圆 C 的标准方程; (2) 设点 P (4,0) , A, B 是椭圆 C 上关于 x 轴对称的任意两个不同的点, 连结 PB 交椭圆 C 于 另一点 E ,证明:直线 AE 与 x 轴相交于定点。

请考生在第 22、23、24 题中任选一题做答,如果多做,则按所做的第一题计分,做答时请写 清题号。 22. (本小题满分 10 分)选修 4-1:几何证明选讲 已知 ?ABC 中, AB ? AC , D 是 ?ABC 外接圆劣弧 ? AC 上 的点(不与点 A, C 重合),延长 BD 至 E 。 (1)求证: AD 的延长线平分 ?CDE ; (2)若 ?BAC ? 30 o , ?ABC 中 BC 边上的高为 1 ?

3 ,求 ?ABC 外接圆的面积。 2

23. (本小题满分 10 分)选修 4-4:坐标系与参数方程 已知极坐标的极点在平面直角坐标系的原点 O 处 , 极轴与 x 轴的正半轴重合 , 且长度单位相 同。直线 l 的极坐标方程为: ? ?

5 sin(? ? ) 3

?

,点 P ? 2 cos ? , 2sin ? ? 2 ? ,参数 ? ? ? 0, 2? ? 。

(1)求点 P 轨迹的直角坐标方程; (2)求点 P 到直线 l 距离的最大值。

24. (本小题满分 10 分)选修 4-5:不等式选讲 设函数 f ( x) ? x ? a ? 3 x ,其中 a ? 0 。 (1)当 a ? 1 时,求不等式 f ( x) ? 3 x ? 2 的解集; (2)若不等式 f ( x) ? 0 的解集为 ? x | x ? ?1

? ,求 a 的值。

2016 届高三六校第一次联考
文科数学试题参考答案及评分标准

一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,满分 60 分 1 2 3 4 5 6 7 8 9 D B A B D C C A D 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,满分 20 分。 13.(-2,1) 14.3 15. 4
12.解析:设 P (t , t ) , Q ( s , s ) ∵BP⊥PQ,∴ BP ? PQ ? 0 ,
2 2

10 A

11 C

12 B

16.①②④

即 (t ? 1, t ? 1) ? ( s ? t , s ? t ) ? (t ? 1) ? ( s ? t ) ? (t ? 1) ? ( s ? t ) ? 0
2 2 2 2 2 2

即t2 ? (s ? 1 ) ?t ? s ?1? 0 ∵t∈R,∴必须有 ? ? ( s ? 1) ? 4( s ? 1) ? 0 .即 s 2 ? 2 s ? 3 ? 0 ,
2

解得 s ? ?1或s ? 3 答案:(-∞,-1 ] ∪ [ 3,+∞)

17.解: (1)∵ sin( A ?

2 2 2 2 ,∴ ,??2 分 sin A ? cos A ? 4 10 2 2 10 1 ∴ sin A ? cos A ? ??????????????????3 分 5 2 2 与 sin A ? cos A ? 1 联立方程 4 ? 3 ? sin A ? sin A ? ? ? ? ? 5 ? 5 ∴? 或? (舍) ,???????????5 分 3 4 ?cos A ? ?cos A ? ? ? 5 ? 5 ? ? 4 ∴ tan A ? ?????????????????????6 分 3 1 (2) bc sin A ? 24 得 c ? 6 ????????????????8 分 2 ∴ a 2 ? b 2 ? c 2 ? 2bc cos A ? 64 ∴ a ? 8 ????????????????????????12 分 )?

?

18.解析:(1) 补充完成的频率分布直方图如下:

????????3 分 估计该电影院观看此部电影的观众年龄的平均数为

0.05 ? 22.5 ? 0.2 ? 27.5 ? 0.35 ? 32.5 ? 0.3 ? 37.5 ? 0.1? 42.5 ??????5 分 ? 33.5 ?????????????????????????????6 分 (2) 年龄属于 [25,30) 和 [40,45) 的分别有 4 人,2 人,?????????8 分
分别记为 A1,A2,A3,A4,B1,B2 则从中随机抽取两人的所有可能情况有 (A1,A2),(A1,A3),(A1,A4),(A1,B1),(A1, B2),(A2,A3),(A2,A4),(A2,B1),(A2,B2),(A3,A4),(A3,B1),(A3,B2),(A4,B1), (A4,B2),(B1,B2),共 15 种,?????????10 分 其中,两人属于同一年龄组的有(A1,A2),(A1,A3),(A1,A4),(A2,A3),(A2,A4),(A3, A4),(B1,B2)共 7 种, ?????????????????????11 分 ∴ 所求的概率为

7 . ?????????????????????12 分 15

19. 解: (1) 连接 D1O , 如图, ∵ O 、M 分别是 BD 、B1 D1 的中点,四边形 BDD1 B1 是矩形, ∴四边形 D1OBM 是平行四边形, ∴ D1O // BM . ??????????2 分

∵ D1O ? 平面 D1 AC , BM ? 平面 D1 AC , ∴ BM // 平面 D1 AC .?????????? 4 分 (2)连接 OB1 ,∵正方形 ABCD 的边长为 2 , BB1 ? ∴ B1 D1 ? 2 2 , OB1 ? 2 , D1O ? 2 ,

2,

2 2 2 则 OB1 ? D1O ? B1 D1 ,∴ OB1 ? D1O .

????????????????6 分

∵在长方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 中, AC ? BD , AC ? D1 D , ∴ AC ? 平面 BDD1 B1 ,又 D1O ? 平面 BDD1 B1 , ∴ AC ? D1O ,又 AC ? OB1 ? O , (法二:由 AD1 ? CD1 , O 是 AC 中点,得 AC ? D1O ) ∴ D1O ? 平面 AB1C . ????????????????10 分

1 1 1 4 2 ???????????12 分 VD1 ? ACB 1 ? D1O ? S ? ACB1 ? ? 2 ? ( ? 2 ? 2 2) ? 3 3 2 3

20.解:(1)? f ( x) ?

x 2 ? ax ? b 经过点 (0,3) , ? b ? 3 ???????????1 分 ex

? f ( x) ?

x 2 ? ax ? 3 ? x 2 ? (2 ? a) x ? a ? 3 ' , , f ( x ) ? ex ex
?a?3 ? ?a ? 3 ? 0 ,? a ? ?3 ??????????????4 分 e0

由条件 f ' (0) ?

x 2 ? 3x ? 3 ? x( x ? 1) (2)由(1) f ( x) ? ,导函数 f ' ( x) ? x e ex
①当 ?2 ? t ? ?1 时, x ? (t , ?1), f ' ( x) ? 0, f ( x) 递减;

x ? (?1, 0), f ' ( x) ? 0, f ( x) 递增; x ? (0, t ? 2), f ' ( x) ? 0, f ( x) 递减??????????8 分
②当 ?1 ? t ? 0 时, x ? (t , 0), f ' ( x) ? 0, f ( x) 递增;

x ? (0, t ? 2), f ' ( x) ? 0, f ( x) 递减;?????????10 分
③当 t ? 0 时, x ? (t , t ? 2), f ' ( x) ? 0, f ( x) 递减???????????????11 分
综上:①当 ?2 ? t ? ?1 时, f ( x) 递减区间为 (t , ?1) 和 (0, t ? 2) ,递增区间为 (?1,0) ;

②当 ?1 ? t ? 0 时, f ( x) 递减区间为 (0, t ? 2) , f ( x) 递增区间为 (t , 0) ; ③当 t ? 0 时, f ( x) 递减区间为 (t , t ? 2) ????????????????12 分

函数图像如右图所示

21.解:(1)由题意知 e ?

c2 a 2 ? b2 1 c 1 4 ? ,即 a 2 ? b 2 ?????2 分 ? ,? e 2 ? 2 ? 2 a a 4 a 2 3
6 ? 3 ,? b ? 3 1?1

又? 圆心 (0, 0) 到直线 x ? y ? 6 ? 0 的距离为

x2 y 2 ? 1 ?????????????????4 分 ? a ? 4, b ? 3 ,故椭圆的方程为 ? 4 3
2 2

(2)由题意知直线 PB 的斜率存在,设直线 PB 的方程为 y ? k ( x ? 4)

? y ? k ( x ? 4) ? 2 2 2 2 联立 ? x 2 y 2 ,得 (4k ? 3) x ? 32k x ? 64k ? 12 ? 0 ①?????????6 分 ?1 ? ? 3 ?4
设点 B ( x1 , y1 ), E ( x2 , y 2 ) ,则 A( x1 , ? y1 ) ,直线 AE 的方程为 y ? y2 ?

y2 ? y1 ( x ? x2 ) x2 ? x1

令 y ? 0 ,得 x ? x2 ?

y2 ( x2 ? x1 ) ,?????????????????????8 分 y2 ? y1

再将 y1 ? k ( x1 ? 4), y2 ? k ( x2 ? 4), 代入

整理得 x ?

2 x1 x2 ? 4( x1 ? x2 ) ②?????????????????????10 分 x1 ? x2 ? 8

32k 2 64k 2 ? 12 , x1 x2 ? 由①得 x1 ? x2 ? , 4k 2 ? 3 4k 2 ? 3
代入②整理得 x ? 1 , 所以直线 AE 与 x 轴相交于定点 (1, 0) ?????????????????????12 分

22.解:(1)证明:如图,设 F 为 AD 延长线上一点,∵A? B? C? D 四点共 圆. ∴∠CDF=∠ABC, 又 AB=AC,∴∠ABC=∠ACB,且∠ADB=∠ACB, ∴∠ADB=∠CDF, 对顶角∠EDF=∠ADB,故∠EDF=∠CDF, 即 AD 的延长线平分∠CDE,????????????????????4 分 (2)设 O 为外接圆圆心,连接 AO 交 BC 于 H, ∵△ABO ? △ACO, ∴∠BAO=∠CAO, 即 AO 为等腰三角形△ABC 中∠BAC 的角平分线,则 AH⊥BC, ?????6 分 连接 OC,由题意∠OAC=∠OCA=15°,∠ACB=75°, ∴∠OCH=60°, 设半径为 r,则 r+

3 3 r ? 1? , 得 r=1, ?????????????9 分 2 2

∴外接圆面积为 π ???????????????????????10 分

23.解:(1)

设点 P ( x, y ) ,则 ?

? x ? 2 cos ? 且参数 ? ? [0, 2? ] , ? y ? 2sin ? ? 2
????????3 分

所以点 P 的轨迹的直角坐标方程为 x 2 ? ( y ? 2) 2 ? 4

(2)∵

??

5 sin(? ? ) 3

?

,∴ ? sin(? ?

?
3

)?5



1 3 ? sin ? ? ? cos ? ? 5 ,即 ? sin ? ? 3? cos ? ? 10 2 2
???????????6 分

∴直线 l 的直角坐标方程为 3 x ? y ? 10 ? 0

由(1) 知点 P 的轨迹方程为 x 2 ? ( y ? 2) 2 ? 4 ,是圆心为 (0, 2) ,半径为 2 的圆. 圆心到直线的距离 d ?

| ?2 ? 10 | ( 3 ) 2 ? 12

? 4,

点 P 所在的圆与直线 l 相离,???????????????????9 分

由数形结合点知,点 P 到直线 l 距离的最大值 4 ? 2 ? 6 24.解: (1)当 a ? 1 时, f ( x) ? 3 x ? 2 可化为 | x ? 1|? 2 由此可得

????????10 分

x ? 3 或 x ? ?1

故不等式 f ( x) ? 3 x ? 2 的解集为 {x | x ? 3 或 x ? ?1} ?????????4 分 ( 2) 由 f ( x) ? 0 得: 此不等式化为不等式组: ?

x ? a ? 3x ? 0
?x ? a ? x ? a ? 3x ? 0
或?

?x ? a ?????6 分 ?a ? x ? 3x ? 0

?x ? a ? ? a 即 x? ? ? 4

?x ? a ? 或? a x?? ? ? 2
a 2

因为 a ? 0 ,所以不等式组的解集为 ? x | x ? ? 由题设可得 ?

? ?????????9 分

a = ?1 ,故 a ? 2 ?????????????????10 分 2


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