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全国数学联赛金牌教练 高中奥数辅导: 第七讲 三角恒等式和三角不等式


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兰州一中数学组 第七讲 三角恒等式和三角不等式
知识、方法、技能 三角恒等变形,既要遵循代数式恒等变形的一般法则,又有三角所特有的规律. 三角恒等式包括绝对恒等式和条件恒等式两类。证明三角恒等式时,首先要观察已知与 求证或所证恒等式等号两边三角式的繁简程度,以决定恒等变形的方向;其次要观察已知

与 求证或所证恒等式等号两边三角式的角、函数名称、次数以及结构的差别与联系,抓住其主 要差异,选择恰当的公式对其进行恒等变形,从而逐步消除差异,统一形式,完成证明.“和 差化积”“积化和差”“切割化弦”“降次”等是我们常用的变形技巧。当然有时也可以利 、 、 、 用万能公式“弦化切割” ,将题目转化为一个关于 t ? tan

x 的代数恒等式的证明问题. 2

要快捷地完成三角恒等式的证明,必须选择恰当的三角公式. 为此,同学们要熟练掌握 各公式及各公式的来龙去脉和变形形式.

T2?
相除

???

T? ? ?
相除

T? ? ?
相除

S 2? C 2?

???

S? ? ? C? ? ?

S? ? ? C? ? ?
相加减 积化和差

S?
2

C?
2

万 能 公 式

T?
2

S 3? C 3?
和差化积

上图为三角公式脉络图,由图可见两角和差的三角函数的公式是所有三角公式的核心和 基础. 此外,三角是代数与几何联系的“桥梁” ,与复数也有紧密的联系,因而许多三角问题 往往可以从几何或复数角度获得巧妙的解法.
1

三角不等式首先是不等式,因此,要掌握证明不等式的常用方法:配方法、比较法、放 缩法、基本不等式法、数学归纳法等. 其次,三角不等式又有自己的特点——含有三角式, 因而三角函数的单调性、有界性以及图象特征等都是处理三角不等式的锐利武器. 三角形中有关问题也是数学竞赛和高考的常见题型. 解决这类问题,要充分利用好三角 形内角和等于 180°这一结论及其变形形式. 如果问题中同时涉及边和角,则应尽量利用正 弦定理、余弦定理、面积公式等进行转化,实现边角统一 . 求三角形面积的海伦公式

S?

p( p ? a)( p ? b)( p ? c)[其中p ?

1 (a ? b ? c)] ,大家往往不甚熟悉,但十分有用. 2
赛题精讲

例 1:已知 sin ? ? A sin(? ? ? ), | A |? 1, 求证 : tan(? ? ? ) ?

sin ? . cos ? ? A

【思路分析】条件涉及到角 ? 、 ? ? ? ,而结论涉及到角 ? ? ? , ? .故可利用

? ? (? ? ? ) ? ?或? ? (? ? ? ) ? ? 消除条件与结论间角的差异,当然亦可从式中的“A”
入手. 【证法 1】 ? sin ? ? A sin(? ? ? ), ? sin(? ? ? ? ? ) ? A sin(? ? ? ),

sin(? ? ? ) cos ? ? cos( ? ? ) sin ? ? A sin(? ? ? ), ? sin(? ? ? )(cos ? ? A) ? sin ? cos( ? ? ), ?
?| A |? 1, ? cos ? ? A ? 0, 从而 cos( ? ? ) ? 0, ? tan(? ? ? ) ?
【证法 2】

sin ? . cos ? ? A

sin ? ? sin ? ? A

sin ? sin(? ? ? ) sin ? ? sin ? cos ? sin(? ? ? ) ? sin ? cos ? ? sin(? ? ? )

sin(? ? ? ) sin ? cos ? sin(? ? ? ) ? sin[(? ? ? ) ? ? ] sin(? ? ? ) sin ? ? cos( ? ? ) sin ? ? ? tan(? ? ? ). ?
例 2:证明: cos 7 x ? 7 cos5x ? 21ocs3x ? 35 cos x ? 64 cos7 x. 【思路分析】 等号左边涉及角 7x、 3x、 右边仅涉及角 x, 5x、 x 可将左边各项逐步转化为 sin x 、 cos x 的表达式,但相对较繁. 观察到右边的次数较高,可尝试降次. 【证明】因为 cos3x ? 4 cos x ? 3 cos x, 所以4 cos x ? cos3x ? 3 cos x,
3 3

2

从而有 16 cos6 x ? cos2 3x ? 6 cos3x cos x ? 9 cos2 x

?

1 ? cos 6 x 9 ? 3(cos 4 x ? cos 2 x) ? (1 ? cos 2 x) 2 2

32 cos6 x ? 1 ? cos 6 x ? 6 cos 4 x ? 6 cos 2 x ? 9 ? 9 cos 2 x, 64 cos7 x ? 2 cos 6 x cos x ? 12 cos 4 x cos x ? 30 cos 2 x cos x ? 20 cos x
? cos 7 x ? cos5 x ? 6 cos5 x ? 6 cos3x ? 15 cos3x ? 15 cos x ? 20 cos x ? cos 7 x ? 7 cos5 x ? 21 cos3x ? 35 cos x.
【评述】本题看似“化简为繁” ,实质上抓住了降次这一关键,很是简捷. 另本题也可利用复 数求解. 令 z ? cos? ? i sin ? , 则2 cos? ? z ?

1 1 , 从而,128 cos7 ? ? ( z ? ) 7 ,展开即可. z z

例 3:求证: 3 tan18 ? ? tan18 ? tan12 ? ? 3 tan12 ? ? 1. 【 思 路 分 析 】 等 式 左 边 同 时 出 现 tan18 tan12 、 tan18 ? tan12 , 联 想 到 公 式
? ? ? ?

t a n? ? ? ) ? (

tan ?tan ? ? . 1? t a n t a n ? ?

【证明】 3 tan18 ? ? tan18 ? tan12 ? ? 3 tan12 ?

? 3 (tan18 ? ? tan12 ? ) ? tan18 ? tan12 ? ? 3 ? tan(18 ? ? 12 ? )(1 ? tan18 ? tan12 ? ) ? tan18 ? tan12 ? ?1
【评述】本题方法具有一定的普遍性. 仿此可证 (1 ? tan1 )(1 ? tan 2 ) ?(1 ? tan 43 )
? ? ?

(1 ? tan 44 ? ) ? 2 22 等.
例 4:已知 1 ? tan? ? 2001, 求证 : sec2? ? tan 2? ? 2001 . 1 ? tan? 【证明】 sec2? ? tan 2? ? 1 ? sin 2? ? cos 2?

1 ? cos( ? 2? ) ? 2 ? tan( ? ? ) ? 4 sin( ? 2? ) 2

?

1 ? tan? 1 ? tan? ? 2001 . ?
例 5:证 明: 4 sin? sin(60 ? ? ? ) sin(60 ? ? ? ) ? sin 3? . 【证明】 sin 3? ? 3 sin? ? 4 sin 3 ?
3

3 ? 4 sin ? ( ? sin 2 ? ) 4 3 1 ? 4 sin ? ( cos2 ? ? sin 2 ? ) 4 4 3 1 ? 4 sin ? [( cos? ) 2 ? ( sin ? ) 2 ] 2 2 ? ? 4 sin ? (sin 60 cos? ? cos 60 ? sin ? )(sin 60 ? cos? ? cos 60 ? sin ? ) ? 4 sin ? sin(60 ? ? ? ) sin(60 ? ? ? )
【评述】这是三倍角的正弦的又一表示. 类似地,有 cos3? ? 4 cos? cos(60 ? ? ? ) cos(60 ? ? ? )
tan 3? ? tan? ? tan(60 ? ? ? ) tan(60 ? ? ? ) . 利用这几个公式可解下例.

例 6:求证:① cos 6 ? cos 42 ? cos 66 ? cos 78 ? ? ②sin1°sin2°sin3°?sin89°= ( )

1 16

1 4

45

? 6 10 .

【证明】①cos6°cos42°cos66°cos78° =cos6°cos54°cos66° ?

cos 42 ? cos 78 ? cos 54 ?

cos18 ? cos 42 ? cos 78 ? 4 cos 54 ? 1 cos(3 ? 18 ? ) 4 ? 4 cos 54 ? 1 ? . 16 ?
②sin1°sin2°sin3°?sin89° =(sin1°sin59°sin61°)(sin2°sin58°sin62°)?(sin29°sin31°sin89°)sin30°sin60° =( )

1 4

29

sin 3? sin 6 ? ?sin 87 ? ?

3 4

1 ? ( ) 30 3 (sin 3? sin 57 ? sin 63 ? )(sin 6 ? sin 54 ? sin 66 ? ) ? (sin 27 ? sin 33 ? sin 87 ? ) sin 30 ? sin 60 ? 4

1 ? ( ) 40 ? 3 sin 9 ? ? sin18 ? ?sin 81? 4 1 40 ? ( ) ? 3 ? (sin 9 ? sin18 ? )(sin 18 ? sin 72 ? )(sin 27 ? sin 63 ? )(sin 36 ? sin 54 ? ) ? sin 45 ? 4
4

1 3 2 ? ( ) 42 ? sin 18 ? sin 36 ? sin 54 ? sin 72 ? 4 2 1 42 3 ?( ) ? 2 cos 72 ? cos 54 ? cos 36 ? cos18 ? 4 2 1 3 ? ( ) 42 ? 2 cos18 ? cos 36 ? cos 72 ? cos 54 ? 4 2 1 3 ? ( ) 42 ? 2 cos18 ? cos 36 ? sin 18 ? cos 54 ? 4 2 1 3 ? ( ) 43 ? 2 sin 72 ? cos 54 ? 4 2 1 43 3 ?( ) ? 2 cos18 ? sin 36 ? 4 2 1 又 (cos18 ? sin 36 ? ) 2 ? (1 ? cos36 ? )(1 ? cos 72 ? ) 4
1 (1 ? cos 36 ? ? cos 72 ? ? cos 36 ? cos 72 ? ) 4 1 ? (1 ? cos 36 ? cos 72 ? ) 4 5 ? 16 ?
即 cos18 ? sin 36 ? ? 5 . 4 所以 sin1? sin 2 ? ?sin 89 ? ? ( ) 45 ? 6 10 . 例 7:证明:对任一自然数 n 及任意实数 x ?

1 4

m ,有 ? (k ? 0,1,2,?, n, m 为任一整数) 2k

1 1 1 ? ??? ? cot x ? cot 2 n x. n sin 2 x sin 4 x sin 2 x
【思路分析】本题左边为 n 项的和,右边为 2 项之差,故尝试将左边各项“裂”成两项之差, 并希冀能消去其中许多中间项. 【证明】

1 2 cos2 x ? cos 2 x 2 cos2 x cos 2 x ? ? ? ? cot x ? cot 2 x, sin 2 x sin 2 x 2 sin x cos x sin 2 x 1 同理 ? cot 2 x ? cot 4 x sin 4 x ??

1 ? cot 2 n?1 x ? cot 2 n x n sin 2 x
【评述】①本题裂项技巧也可通过数学归纳法获得. ②“裂项相消”在解题中具有一定的普遍性,类似可证下列各题:
5

tan? tan 2? ? tan 2? tan 3? ? ? ? tan(n ? 1)? tan n? ?

tan n? ?n. tan?

tan? ? 2 tan 2? ? 2 2 tan 2 2 ? ? ? ? 2 n tan 2 n ? ? cot? ? 2 n ?1 cot 2 n ?1? . 1 1 1 ? ??? ? cos1? cot1? ? ? ? ? cos 0 cos1 cos1 cos 2 cos88 cos89 ?
?

例 8:证明: sin ? ? sin(? ? ? ) ? sin(? ? 2 ? ) ? ? ? sin(? ? n? ) ?

sin(? ?

n n ?1 ? ) sin ? 2 2 . sin

?

2

【证明】 sin ? sin

?

1 ? ? ? ? [cos( ? ) ? cos( ? )], ? ? 2 2 2 2

类似地 sin(? ? ? ) sin

1 3 ? ? ? [cos( ? ? ) ? cos( ? )], ? ? 2 2 2 2 ? 1 5 3 sin(? ? 2 ? ) sin ? ? [cos( ? ? ) ? cos( ? ? )] , ? ? 2 2 2 2 ?? sin(? ? n? ) sin

?

?

各项相加得, sin

?
2

1 2n ? 1 2n ? 1 ? ? [cos( ? ? ? ) ? cos( ? ? ? )] , 2 2 2 2

[sin ? ? sin(? ? ? ) ? sin(? ? 2 ? ) ? ? ? sin(? ? n? )]

1 2n ? 1 ? ? ? [cos( ? ? ? ) ? cos( ? )] ? 2 2 2 n n ?1 ? s i n (? ? )s i n ? ?. 2 2

所以, sin ? ? sin(? ? ? ) ? ? ? sin(? ? n? ) ?

sin(? ?

n n ?1 ? ) sin ? 2 2 . sin

?

2

【评述】①本题也可借助复数获证. ②类似地,有 cos? ? cos( ? ? ) ? ? ? cos( ? n? ) ? ? ?
sin n ?1 n ? cos( ? ? ) ? 2 2 . sin

?

2

利用上述公式可快速证明下列各式:

n n ?1 sin ? cos ? 2 2 cos? ? cos 2? ? cos3? ? ? ? cos n? ? ? sin 2
6

3 5 1 ? cos ? ? cos ? ? . 9 7 7 2 ? 3 5 7 1 cos ? cos ? ? cos ? ? cos ? ? 等. 9 9 9 9 2 cos
针对性训练题 1.证明:sin47°+sin61°-sin11°-sin25°=cos7°. 2.证明:

?

sin(2? ? ? ) sin ? ? 2 cos( ? ? ) ? ? . sin ? sin ?

3.已知:sinA+sinB+sinC=0,cosA+cosB+cosC=0. 求证:sin2A+sin2B+sin2C=0,cos2A+cos2B+cos2C=0. 4.已知 ? ? (0, ? ), 求证 : sin? ? 5.已知 0 ? ? ? ? ?

?
2

1 1 sin 2? ? sin 3? ? 0. 2 3

, 且 tan ? ? 3 tan? , 求? ? ? 的最大值.
?

6.已知 ? 、 ? 、 ? 、 ? ? (0, ), 且? ? ? ? ? ? ? ? ? .求y ? sin ? sin ? sin ? sin ? 的最大值. 2 7.△ABC 中,C=2B 的充要条件是 c ? b ? ab.
2 2

8.△ABC 中,已知 sin A 、 sin B 、 sin C 成等差数列,求证: cot A 、 cot B 、 cot C 也 成等差数列. 9.△ABC 中,角 A、B、C 所对的边分别为 a、b、c,已知 2b ? a ? c ,求 B 的最大值. 10.若 ? 、 ? ? (0, 11.求函数 y ? 12.求函数 y ?

2

2

2

?

2

), 能否以 sin ? 、 sin ? 、 sin(? ? ? ) 的值为边长构成一个三角形.

2 ? x ? 8 ? 3x 的值域.

x ? 1 ? x 2 ? 2 x ? 2 的值域. 2

7


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