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正弦定理教案、说课稿


正弦定理教案
1.创设问题情境,提出问题 如图:上海市政建设公司为了建造崇海过江隧道, 需要测量长江两岸的两个出口处 A 与 B 的距离,测量 A 河道 C

人员在 B 点所在一侧选择 C 点,测得 BC 的长为 0。15km , B 测得 ?ACB ? 30? , ?ABC ? 45? ,能由此确定 AB 间的距离吗? 师:这个问题可以转化为什么数学问题? 生:能化为在 ?ABC 中,已知两个内角及夹边,如何求另一边。 师:要由角和边确定 AB,只需要知道什么关系就可以了。 生:三角形中边和角的等量关系。 [让学生明确探索方向]

师:以前研究过三角形中边和角的等量关系吗? 生:在 Rt ?ABC 中有: sin A ? a , sin B ? b , sin c ? 1 c c , cos B ? a , cos c ? 0 cos A ? b c c 师:请同学们找一找它们之间有什么联系?
a 教师引导下: sin A ? b sin B

?

c sin C

(1)

师:对一般三角形,上式也成立吗? (请同学们自己画一个三角形, 量出边和角, 利用计算器进行计算验证) [给 学生一个做数学实验的机会] 教师可利用几何画板中的度量功能计算出所画三角形边和角的数字,显示
a sin A b , sin , sinc C 的值,并不断变化三角形的形状,让学生进一步观察三个比值的 B

变化情况。 师:大家发现在拖动过程中,很多三角形都满足(1)式,能不能说对任意 三角形都满足(1)式呢? 生:不能。[数学是严谨的,数学观察与实验不能代替理论证明,这是培养 学生所谓严谨性的好机会] 2.定理证明 师:如何来证明呢?(教师引导学生从特殊的简单情形开始,如当三角形为

直角三角形时) C C

A

D

B

D

A

B

证明1:过C作AB边上的高CD 由 b sin A ? CD , a sin B ? CD
b 同理有: sin B ? c sin C a ,因此 sin A ? a 得 b sin A ? a sin B ,即 sin A ? b sin B b sin B

?

c sin C b sin B

a 1 证明 2:由面积公式有: S ? 1 ,得 sin 2 ac sin B ? 2 bcsin A A ? b 同理有: sin B ? c sin C a ,因此 sin A ? b sin B

?

c sin C

[以上两种方法是正弦定理的传统证明方法,利用这两种方法,可培养学生的求 异思维] 师:还有其它反映长度和角度的量吗? 生:向量的数量积。 师:在 ?ABC 中如何构造出这些量来? 生:向量 AB , AC , BC …,
a 师:如果先证 sin A ? b sin B

AC + CB = AB (2)

,对上式如何处理才能实现呢?

生: ? A 是 AC 与 AB 的夹角,对(2)两边同时乘以 AB , 得

AB ( AC + CB )= AB

2

即 b cos A ? a cos B ? c (射影定理)

[虽然没有如愿,但却发现了射影定理,也有收获] 生:对(2)两边平方,得到 b 2 ? a 2 ? 2ab cosC ? C 2 (余弦定理) [一次“失败” ,却意外的发现了余弦定理,为余弦定理的学习埋下伏笔] 引导学生反思上述方法失败之处:向量的数量积得到的是余弦,而要证明的式子 与正弦有关的等式。 师: sin A 改写成什么式子? 生: sin A ? cos(? 2 ? A) 师:哪两个向量的夹角就是 ? 2 ?A

? 生:过 A 点作向量 j 与 AB 垂直,这两个向量的夹角就是 ? 2 ?A
师:请大家看一看会有什么结果…… ? [做出向量 j 是问题的关键所在,课本没有展开这个过程,如何引导学生利 用向量,并做出这个向量是教师的主要任务,也是本节课成败的关键] 3.定理证明完成,给出课题,解决引例中问题 [首尾呼应。但课题出现较迟,最好在提出猜想后就给出课题] 4.问题延拓
a 师: Rt ?ABC 中 sin A ? b sin B

?

c sin C

a ? c ,在一般 ?ABC ,设 sin A ?

b sin B

?

c sin C

? k ,那

么这个 k 等于多少呢? [学生思维再次被激活,但学生证明可能存在困难]
a 师: sin A ? b sin B

?

c sin C

告诉我们,对 ?ABC 而言,当 ? A 与边 a 确定时,比值 k 就确

定了,此时 ?ABC 的形状唯一确定吗? 生:不确定,顶点可以动。 师:看看顶点 A 的轨迹是什么? 教师利用几何画板演示,让学生观察到点 A 在 ?ABC 外接圆上] [学生感到外接圆呈现很自然,定理公式不是天上掉下来的] 师:比值 k 与外接圆有什么关系呢? 生:如何证明? [证明这个结论已经不是一件难事,真正的困难在于发现外接圆] 5.课堂小节 1)正弦定理的内容 2)正弦定理证明中的思想方法 3)正弦定理能解决什么样的问题?


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