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2012-2013学年北京市朝阳区高三年级第一学期期中数学试题(文科)


北京市朝阳区 2012~2013 学年度高三年级第一学期期中统一考试

数学试卷(文史类)
(考试时间 120 分钟 满分 150 分) 本试卷分为选择题(共 40 分)和非选择题(共 110 分)两部分

2012. 11

第一部分(选择题

共 40 分)

一、选

择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分.在每小题给出的四个选项中,选出 符合题目要求的一项. 1.已知全集 U ? {1, 2,3, 4,5,6} ,集合 A ? {1,3,5}, B ? {1, 2} ,则 A I (? B) 等于 U A. ?
3

B. {5}

C. {3}

D. {3,5}

2.曲线 y ? 2 x ? x 在 x ? ?1 处的切线方程为 A. x ? y ? 2 ? 0 B. x ? y ? 2 ? 0 C. x ? y ? 2 ? 0 D. x ? y ? 2 ? 0

3.已知平面向量 a 、 b 满足 | a |? 1 , | b |? 2 ,且 (a ? b) ? a ,则 a 与 b 的夹角是 A.

5? 6

B.

2? 3

C.

? 3

D.

? ?

4.已知数列 {an } 是各项均为正数的等比数列,若 a2 ? 2 , 2a3 ? a4 ? 16 ,则 an 等于 A. 2
n?2

B. 23?n

C. 2

n ?1

D. 2

n

5.已知角 ? 的终边经过点 (?3a, 4a) (a ? 0) ,则 sin 2? 等于

7 12 24 24 B. ? C. D. ? 25 25 25 25 uur u uuur 6.在 ?ABC 中, M 是 BC 的中点, AM ? 3 ,点 P 在 AM 上,且满足 AP ? 2 PM , uur uur uuu r 则 PA ? ( PB ? PC ) 的值为
A. ? A. ?4 7.函数 f ( x) ? ? A. 1 B. ?2 C. 2 D. 4

?? x ? 3, x ? 0, 的图象与函数 g ( x) ? ln( x ? 1) 的图象的交点个数是 3 ? x , x?0
B. 2 C. 3 D. 4

高三数学(文科)试题 第 1 页(共 4 页)

8.已知数列 {an } 是各项均为正数且公比不等于 1 的等比数列,对于函数 y ? f ( x) ,若数列

{ln f (an )} 为等差数列,则称函数 f ( x) 为“保比差数列函数” .现有定义在 (0, ??) 上的
如下函数: ① f ( x) ?

1 , x

② f ( x) ? x 2 ,

③ f ( x) ? e x ,

④ f ( x) ?

x.

则为“保比差数列函数”的所有序号为 A.①② B.③④ C.①②④ D.②③④

第二部分(非选择题
9. 已知 cos( ? ? ? ) ?

共 110 分)
. .

二、填空题:本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分.

1 ,且 ? 为第二象限的角,则 sin ? ? , tan ? ? 2 1 x 10.已知集合 A ? {x ? R | x ? 2} , B = ? x ? R ∣ ? 2 ? 8 ? ,则 A I B ? 2
11.设 S n 为等差数列 {an } 的前 n 项和,若 a3 ? a4 ? 4 , a6 ? a7 ? 16 ,则公差

d?

, S9 ?

. .

12.在 ?ABC 中,若 BA ? BC ? 4 , ?ABC 的面积为 2 ,则角 B ?

uur uuu r

? f ( x) ? 1 , ? 13.已知函数 y ? f ( x) 满足: f (1)=a (0 ? a ? 1) ,且 f ( x ? 1) ? ? f ( x) ? 2 f ( x), ?
则 f (2)= (用 a 表示) ;若 f (3)=

f ( x) ? 1, f ( x) ? 1,

1 ,则 a ? f (2)



14.已知函数 f ( x) 是定义在 R 上的奇函数,且在定义域上单调递增.当 x ? [1 ? a, ??) 时, 不等式 f ( x ? 2a) ? f ( x) ? 0 恒成立,则实数 a 的取值范围是 .

高三数学(文科)试题 第 2 页(共 4 页)

三、解答题:本大题共 6 小题,共 80 分.解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程. 15. (本小题满分 13 分) 设 ?ABC 的内角 A, B, C 所对的边分别为 a, b, c ,已知 a ? 2 , b ? 3 , cos C ? (Ⅰ)求 ?ABC 的面积; (Ⅱ)求 sin(C ? A) 的值.

1 . 3

16. (本小题满分 13 分)
? 设数列 {an } 的前 n 项和为 S n ,已知 a1 ? 1 , an ?1 ? 3Sn ? 1 , n ?N .

(Ⅰ)写出 a2 , a3 的值,并求出数列 {an } 的通项公式; (Ⅱ)求数列 {nan } 的前 n 项和 Tn .

17. (本小题满分 13 分) 函数 f ( x) ? A sin(? x ? ? ) ( A ? 0, ? ? 0,| ? |? (Ⅰ)求 f ( x) 的最小正周期及解析式; (Ⅱ)设 g ( x) ? f ( x) ? 2cos 2 x ,求函数 g ( x) 在 区间 [0, ] 上的最大值和最小值.

? ) 的部分图象如图所示. 2
y
2
?? 3

? 2

o
?2

? 6

x

高三数学(文科)试题 第 3 页(共 4 页)

18. (本小题满分 14 分) 函数 f ( x) ? 2ax ? 4 x ? 3 ? a , a ?R .
2

(Ⅰ)当 a ? 1 时,求函数 f ( x) 在 [?1, 1] 上的最大值; (Ⅱ)如果函数 f ( x) 在区间 [?1, 1] 上存在零点,求 a 的取值范围.

19. (本小题满分 14 分) 设函数 f ( x) ? x ? ae , a ?R .
x

(Ⅰ)求函数 f ( x) 单调区间; (Ⅱ)若 ?x ? R , f ( x) ? 0 成立,求 a 的取值范围.

20. (本小题满分13分) 给定一个 n 项的实数列 a1 , a2 , L , an (n ? N ) ,任意选取一个实数 c ,变换 T (c) 将 数列 a1 , a2 , L , an 变换为数列 | a1 ? c |,| a2 ? c |,L ,| an ? c | ,再将得到的数列继续实施 这样的变换,这样的变换可以连续进行多次,并且每次所选择的实数 c 可以不相同,第 其中 ck 为第 k 次变换时选择的实数. 如果通过 k 次变换 k (k ? N? ) 次变换记为 Tk (ck ) , 后,数列中的各项均为 0 ,则称 T1 (c1 ) , T2 (c2 ) ,?, Tk (ck ) 为“ k 次归零变换”. (Ⅰ)对数列:1,2,4,8,分别写出经变换 T1 (2) , T2 (3) , T3 (4) 后得到的数列; (Ⅱ)对数列:1,3,5,7,给出一个“ k 次归零变换”,其中 k ? 4 ; (Ⅲ)证明:对任意 n 项数列,都存在“ n 次归零变换”.
?

高三数学(文科)试题 第 4 页(共 4 页)


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