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利用空间向量解立体几何问题2


利用空间向量解立体几何问题
2、例 2 已知三角形的顶点是 A(1, ?1,1) , B(2,1, ?1) , C (?1, ?1, ?2) ,试求这个三角形的面积。 分析:可用公式 S ?

1 | AB | ? | AC | ? sin A 来求面积 2

王新敞
奎屯

新疆

/>解:∵ AB ? (1, 2, ?2) , AC ? (?2,0, ?3) , ∴ | AB |? 12 ? 2 2 ? ( ?2) 2 ? 3 , | AC |? ( ?2) 2 ? 0 ? ( ?3) 2 ? 13 ,

AB ? AC ? (1, 2, ?2) ? (?2,0, ?3) ? ?2 ? 6 ? 4 ,
∴ cos A ? cos ? AB, AC ??

AB ? AC 4 4 13 , ? ? 39 | AB | ? | AC | 3 ? 13
13 ? 101 39

sin A ? sin ? AB, AC ?? 1 ? cos 2 ? AB, AC ? ?

∴所以, S?ABC ?

1 101 . | AB | ? | AC | ? sin A ? 2 2

1、综述
(1)由于任意两个空间向量都可以转化为平面向量,所以空间两个向量 的夹角的定义和取值范围、两个向量垂直的定义和符号、两个空间向量 的数量积等等,都与平面向量相同。 (2) 利用空间向量解题的方法有 2 类: (i) 利用空间向量基本定理,结合向量的数量积运算; (ii) 建立空间坐标系,转化为坐标运算;

(3)利用空间向量解题常用到下列 2 个概念 (i)直线的方向向量: 把直线 l 上的向量 e 以及与 e 平行的向量叫直线的方向向量,有 2 种方 向,有无数个,

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(II)平面的法向量: 垂直于平面的方向向量,按方向分有 2 类,有无数个;

如何求平面的法向量? 1、设法向量为 n ? ( x, y, z) ,为方便计算,可令其中一个坐标为 1; 2、在平面内找出两个不共线的向量 a, b 及其坐标; 3、根据法向量与平面内两个不共线的向量数量积为零,列出方程组; 4、解方程组得出法向量的坐标

2、分类

线面关系 线面角 二面角 异面直线成角
线面关系 目录

设空间两条直线 l1 , l 2 的方向向量分别为 e1 , e2 ,两个平面 ? 1 , ? 2 的法向量分别为 n1 , n2 ,则由如下 结论 平 行 垂 直

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l1 与 l 2 l1 与 ? 1

e1 // e2 e1 ? n1

e1 ? e2 e1 // n1

?1 与 ? 2

n1 // n2

n1 ? n2

例 4 如图,已知矩形 ABCD 和矩形 ADEF 所在平面互相垂直,点 M , N 分别在对角线 BD, AE 上, 且 BM ?

1 1 BD, AN ? AE ,求证: MN // 平面 CDE 3 3

证明:建立如图所示空间坐标系,设 AB,AD,AF 长分别为 3a,3b,3c

NM ? NA ? AB ? BM ? (2a,0,?c)
F 又平面 CDE 的一个法向量 AD ? (0,3b,0) 由 NM ? AD ? 0 得到 NM ? AD 因为 MN 不在平面 CDE 内 所以 NM//平面 CDE B x A

z N

E

D y M C

例 1:如图,四棱锥 P ? ABCD 中,底面 ABCD 为矩形, PD ? 底面 ABCD, AD=PD,E,F 分别 CD、PB 的中点. (1) 求证:EF ? 平面 PAB; (Ⅱ)设 AB= 2 BC,求 AC 与平面 AEF 所成角的大小. (1)证明:建立空间直角坐标系(如图) ,设 AD=PD=1,AB= 2 a ( a ? 0 ) , 则 E(a,0,0), C(2a,0,0), A(0,1,0), B(2a,1,0), P(0,0,1),

1 1 1 1 F ( a, , ) . 得 EF ? (0, , ) , 2 2 2 2
z P x C F E A y
C1

, . 由 PB ? (2a,1, ?1) AB ? (2a,0,0) 1 1 EF ? AB ? (0, , ) ? (2a, 0, 0) ? 0 ,得 EF ? AB ,即 EF ? AB , 2 2 同理 EF ? PB ,又 AB PB ? B , 所以,EF ? 平面 PAB.

D

2、例 5 在正方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 中,E,F 分别是 BB1,,CD 中点, 求证:D1F ? 平面 ADE 证明:设正方体棱长为 1,建立如图所示坐标系 D-xyz
z D1

B

1 DA ? (1,0,0) , DE ? (1,1, , ) 2

A1

B1

E D F C y B

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A x

因为 D1 F ? (0, ,?1) 所以 D1 F ? DA ? 0, D1 F ? DE ? 0

1 2

D1 F ? DA ,
DE ? DA ? D

D1 F ? DE

所以 D1 F ? 平面 ADE 3、(2004 年湖南高考理科试题) 如 图 , 在 底 面 是 菱 形 的 四 棱 锥 P—ABCD 中 , ?ABC ? 60? ,

PA ? AC ? a, PB ? PD ? 2a, 点 E 在 PD 上,且 PE:ED= 2: 1.
(Ⅲ)在棱 PC 上是否存在一点 F, 使 BF∥平面 AEC?证明你的结论.

解:根据题设条件,结合图形容易得到:

3a a 2a a ,? ,0) , D(0, a, a) , E (0, , ) 2 2 3 3 3a a C( , ,0) , P(0,0, a) 2 2 3a a CP ? ( ? ,? , a ) 2 2 B(
假设存在点 F

z P

F

E D y

CF ? ? CP ? ( ?

3?a ?a ,? , ?a ) 。 2 2
B x

A

? ? 3?a ? ? BF ? BC ? CF ? ? ? , ( 1 ? ) a , ? a ? ? 2 2 ? ?
又 AE ? (0,

C

3a a 2a a , ,0) , ) , AC ? ( 2 2 3 3

则必存在实数 ?1 , ? 2 使得 BF ? ?1 AC ? ?2 AE ,把以上向量得坐标形式代入得

? 3?1 a 3?a 1 ? ? ?? ?? ? 2 2 2 ? ? ? ?1 a 2? 2 a ? ? 1 ? ? ??1 ? ? ?(1 ? ) a ? 2 2 3 2 ? ? 3 ?2 a ? ? ??a ? 3 ?? 2 ? 2 ? ?

即有 BF ? ?

1 3 AC ? AE 2 2

所以,在棱 PC 存在点 F,即 PC 中点,能够使 BF∥平面 AEC。

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别解:本题还可以证明向量 A1C 与平面 DBE 的法向量平行

14.(2009 江西卷文) 如 图 , 在 四 棱 锥 P ? ABCD 中 , 底 面 ABCD 是 矩 形 , PA ? 平 面 A B C D, PA ? AD ? 4 , AB ? 2 .以 BD 的中点 O 为球心、 BD 为 直径的球面交 PD 于点 M . (1)求证:平面 ABM ⊥平面 PCD ;

P

M

A
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D

O B C

(2)求直线 PC 与平面 ABM 所成的角; (3)求点 O 到平面 ABM 的距离. 解:方法(一) : (1)证:依题设,M在以BD为直径的球面上,则BM⊥PD. 因为PA⊥平面ABCD,则PA⊥AB,又AB⊥AD, 所以AB⊥平面PAD,则AB⊥PD,因此有PD⊥平面ABM,所以平面ABM⊥平面PC D. (2)设平面ABM与PC交于点N,因为AB∥CD,所以AB ∥平面PCD,则AB∥MN∥CD, 由(1)知,PD⊥平面ABM,则 MN 是 PN 在平面 ABM 上的射 影, 所以
A N D y z P M

?P N M就是 PC 与平面 ABM 所成的角,
O B x C

且 ?PNM ? ?PCD

PD tan ?PNM ? tan ?PCD ? ?2 2 DC
所求角为 arctan 2 2

(3) 因为 O 是 BD 的中点, 则 O 点到平面 ABM 的距离等于 D 点到平面 ABM 距离的一半, 由 (1) 知,PD⊥平面ABM于 M,则|DM|就是 D 点到平面 ABM 距离. 因为在 Rt△PAD 中, PA ? AD ? 4 , PD ? AM ,所以 M 为 PD 中点, DM ? 2 2 ,则 O 点 到平面 ABM 的距离等于 2 。 方法二: (1)同方法一; P(0,0, 4) , B(2,0,0) , C (2,4,0) , D(0,4,0) , (2) 如图所示, 建立空间直角坐标系, 则 A(0,0,0) ,

M (0,2,2) ,
设平面 ABM 的一个法向量 n ? ( x, y, z) ,由 n ? AB, n ? AM 可得: ? 则 y ? 1 ,即 n ? (0,1, ?1) .设所求角为 ? ,则 sin ? ?

? 2x ? 0 ,令 z ? ?1 , ?2 y ? 2 z ? 0

PC ? n PC n

?

2 2 , 3

所求角的大小为 arcsin

2 2 . 3
AO ? n n ? 2

(3)设所求距离为 h ,由 O(1, 2,0), AO ? (1, 2,0) ,得: h ?

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25. (2009 全国卷Ⅰ文)

如图, 四棱锥 S ? ABCD 中, 底面 ABCD 为矩形,SD ? 底面 ABCD ,

AD ? 2 , DC ? SD ? 2 ,点 M 在侧棱 SC 上,∠ABM=60 。
(I)证明: M 是侧棱 SC 的中点; (同理 18) ? ?? ? 求二面角 S ? AM ? B 的大小。 (Ⅰ)设 M (0, a, b)(a ? 0, b ? 0) ,则

BA ? (0,?2,0), BM ? (? 2 , a ? 2, b), SM ? (0, a, b ? 2) , SC ? (0,2,?2) ,由题得
1 ? ?cos ? BA, BM ?? 2 ,即 ? ? SM // SC ?
? 2(a ? 2) 1 ? ? ? 2 2 ? 2 ? (a ? 2) ? b ? 2 2 解之个方程组得 a ? 1, b ? 1 即 M (0,1,1) ? ? ? 2a ? 2(b ? 2)
所以 M 是侧棱 SC 的中点。 法 2:设 SM ? ? MC ,则 M (0,

2? 2 2 ?2 , ), MB ? ( 2 , , ) 1? ? 1? ? 1? ? 1? ?

又 AB ? (0,2,0), ? MB, AB ?? 60o 故 MB ? AB ?| MB | ? | AB | cos60o ,即

4 2 2 2 2 ? 2?( ) ?( ) ,解得 ? ? 1 , 1? ? 1? ? 1? ?
所以 M 是侧棱 SC 的中点。 (Ⅱ)由(Ⅰ)得 M (0,1,1), MA ? ( 2 ,?1,?1) ,又 AS ? (? 2 ,0,2) , AB ? (0,2,0) , 设 n1 ? ( x1 , y1 , z1 ), n2 ? ( x2 , y2 , z 2 ) 分别是平面 SAM 、 MAB 的法向量,则

? ? ? 2 x2 ? y2 ? z2 ? 0 ? n1 ? MA ? 0 ? ? n2 ? MA ? 0 ? 2 x 1 ? y1 ? z 1 ? 0 ? 且? ,即 ? 且? ? ? ? ? ?2 y 2 ? 0 ? ? 2 x1 ? 2 z1 ? 0 ? n1 ? AS ? 0 ? ? n1 ? AB ? 0
分别令 x1 ? x 2 ?

2 得 z1 ? 1, y1 ? 1, y 2 ? 0, z 2 ? 2 ,即

n1 ? ( 2 ,1,1), n2 ? ( 2 ,0,2) ,
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∴ cos ? n1 , n2 ??

2?0? 2 2? 6

?

6 3
6 。 3

二面角 S ? AM ? B 的大小 ? ? arccos

线面角

目录

1.线面角:一个平面的斜线和它在这个平面内的射影所成的角,叫做斜线和这个平面所成的 角(斜线和平面的夹角). 如果直线和平面垂直,那么就说直线和平面所成的角是直角; 如果直线和平面平行或直线在平面内,那么说直线和平面所成的角是零度的角. ,90 ] ,斜线和平面所成角的取值范围为 (0鞍 ,90 ) . 直线和平面所成的角的取值范围为 [0鞍 直线 l 与平面α 所成的角 ? ,与直线 l 的方向向量 e 与平面 ? 的法向量 n 的夹角 ? (锐角) 的余角,故有: cos(90? ? ? ) ? sin ? ?

?

e?n , |e| |n|

3.已知正方体 ABCD-A1B1C1D1 的棱长为 2,点 E 为棱 AB 的中点。 求:D1E 与平面 BC1D 所成角的大小(用余弦值表示) 解析:建立坐标系如图, 则 A ? 2,0,0 ? 、 B ? 2,2,0 ? , C ? 0,2,0 ? ,

A1 ? 2,0,2? , B1 ? 2,2,2? , D1 ? 0,0,2? , E ? 2,1,0? , AC ? ? ?2,2, ?2? , 1

D1E ? ? 2,1, ?2? , AB ? ? 0,2,0? , BB1 ? ? 0,0,2? 。
不难证明 A1C 为平面 BC1D 的法向量, ∵ cos A1C , D1 E ?

? 3。 9 A1C D1 E

A1C D1 E

∴ D1E 与平面 BC1D 所成的角的余弦值为

6 。 9

1.(2008 海南、宁夏理)如图,已知点 P 在正方体 ABCD-A1B1C1D1 的对角线 BD1
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上,∠PDA=60°。 (1)求 DP 与 CC1 所成角的大小; (2)求 DP 与平面 AA1D1D 所成角的大小。

1.解:如图,以 D 为原点, DA 为单位长建立空间直角坐标系 D ? xyz . 则 DA ? (1 , 0, 0) . P ? ( x, x, z ) , DP ? ( x, x, z) , 由已知 ? DH, DA ?? 60 ,由 cos DA, DP ? DA DP ? 1

DA DP

2

可得

1 . 解得 z ? 2 x , 可得 DP 与平面 ABCD 成的角为 45°, 2x ? z 2
2 2

x

所以 DH ? ? ?

? 2 2 ? , , 1? ?. ? 2 2 ?

2 2 ?0 ? ? 0 ? 1? 1 2 2 CC ? ?? 2 ? (Ⅰ)因为 cos ? DH, , 2 1? 2 所以 ? DH, CC? ?? 45 .即 DP 与 CC ? 所成的角为 45 . (Ⅱ)平面 AA?D ?D 的一个法向量是 DC ? (0, 1, 0) . 2 2 ?0? ? 1 ? 1? 0 1 2 DC ?? 2 ? , 因为 cos ? DH, 2 1? 2

DC ?? 60 . 所以 ? DH,
可得 DP 与平面 AA?D ?D 所成的角为 30 .

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例 4、 (07 湖北?理)如图,在三棱锥 V-ABC 中,VC⊥底面 ABC,AC⊥BC,D 是 AB 的中点,且 AC=BC= a ,∠VDC= ? ? 0 ? ? ?

?? ? ? 。当角 θ 变化时,求直线 BC 与平面 VAB 所成的角的取值范围; 2? ? ,CB,CV 所在的直线分别为 x 轴、 y 轴、 z 轴,建立如图所示的空间直角坐标 解:以 CA
?a a ?2 2 ? ? ? ? ? ? 2 a tan ? ? ?, 2 ?

0,, 0) A(a, 0,, 0) B(0,a,, 0) D ? , , 0 ?,V ? 0, 0, 系,则 C (0,

设直线 BC 与平面 VAB 所成的角为 ? ,平面 VAB 的一个法向量为 n ? ( x ,y,z) ,则由

? ?n ? AB ? 0 . ? n ? VD ? 0 ? ? ??ax ? ay ? 0, ? 得 ?a a 2 az tan ? ? 0. ? x? y? ?2 2 2 可取 n ? (11 , ,2 cot ? ) ,又 BC ? (0, ? a, 0) ,于是

n ? BC a 2 |? ? sin ? , 2 | n | ? | BC | a ? 2 ? 2cot 2 ? π π π 2 ∴ 0 ? sin ? ? 1,0 ? sin ? ? ∵0 ? ? ? , ∴0 ? ? ? . . 又 0 ≤? ≤ , 即直线 BC 2 2 4 2 ? π? 与平面 VAB 所成角的取值范围为 ? 0, ? . ? 4? sin ? ?|

二面角

目录

二面角:从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角,其中直线、半平面分别叫做二 面角的棱和面 . 一个平面垂直于二面角 a - l - b 的棱 l ,且与两个半平面的交线分别是射线 OA、OB , O 为垂足,则 ?AOB 叫做二面角 a - l - b 的平面角.它决定着二面角的大小.其中平面 角是直角的二面角叫做直二面有, 相交成直二面角的两个平面叫做互相垂直的平面.二面角的取值 ,180 ] . 范围为 [0鞍 (1)定义法(垂面法): 过二面角内的一点作棱的垂面,垂面与二个半平面的交线形成所求平面 角. (2)等价定义法: 在二面角的棱上取一点(中点等特殊点) , 分别在两个半平面内作棱的垂线, 得出平面角. (3)三垂线法:先作(或找)出二面角的一个面内一点到另一个面的垂线, 用三垂线定理或逆定 理作出平面角.

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(4)射影面积法:利用面积射影公式 S射 = S投 cos q 其中 ? 为平面角的大小,特点在于不需要画 出平面角,也不需要找出棱,尤其适用于没有画出棱的二面角问题. (5)法向量法:建立空间直角坐标系后,分别求出两个平面的法向量 m, n ,求出这两个向 量的夹角 ? m, n ? , | cos ? |?

m?n ,根据法向量的方向,分为: | m|?| n | 如图(1)(2)所示,则二面角为 ? ? ? m, n ? ;
如图(3) (4)所示,则二面角为 ? m, n ?

AB ? BC ,D、E 分别 1、 (06 年全国Ⅱ)如图,在直三棱柱 ABC ? A 1B 1C1 中,
为 BB1、AC1 的中点.设 AA 1 ? AD ? C1 的大小. 1 ? AC ? 2 AB ,求二面角 A 解: (Ⅰ)如图,建立直角坐标系 O-xyz,其中原点 O 为 AC 的中点. M分 设 A(1, 0, 0) ,则 B(0,1,0) , C (?1, 0, 0) , A 1 (1,0, 2) , D(0,1,1) ,设

1 ? ? , , ) ,而 E (0, 0,1) , AD 的比为 ? ,则 M ( 1? ? 1? ? 1? ? 1 ? ?1 EM ? ( , , ) , AD ? (?1,1,1) ,由 1? ? 1? ? 1? ? 1 ? ?1 2 ? EM ? AD ? ( , , ) ? (?1,1,1) ? ? ? ? 0 , ? ? 2 ,所 1? ? 1? ? 1? ? 1? ? 1? ? 1 2 1 1 2 2 以 ME ? (? , ? , ) , M ( , , ) ; 3 3 3 3 3 3 2 2 4 又 MA1 ? ( , ? , ) , AD ? (?1,1,1) , 3 3 3 2 2 4 MA1 ? AD ? ( , ? , ) ? (?1,1,1) ? 0 。 3 3 3 MA1 ? ME 1 由 cos ? MA1 , ME ?? ? , ? MA1, ME ??[0, ? ] ,知 | MA1 | ? | ME | 2 ? ? ? MA1 , ME ?? ,即二面角 A1-AD-C1 的大小为 。 3 3
2、正方体中求二面角 A1-BD-C1 的大小

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解:设正方体棱长为 1,以 DA, DC, DD1 为单位正交基底, 建立如图所示坐标系 D-xyz (法一) EA1 ? ( ,? ,1) , EC1 ? (? , ,1)

1 2

1 2

1 1 2 2

cos ? EA1 , EC1 ??

1 3

(法二)求出平面 A1 BD 与平面 C1 BD 的法向量 n1 ? (1,?1,1) , n2 ? (?1,1,1)

cos ? n1 , n2 ??

n1 ? n2 | n1 | | n2 |

?

1 3

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说明: (1)本题若建系采取坐标运算,如图所示, 5、 (2009 安徽卷理) 如图,四棱锥 F-ABCD 的底面 ABCD 是菱形,其对角线 AC=2,BD= 2 ,AE、CF 都与平面 ABCD 垂直,AE=1,CF=2. (I)求二面角 B-AF-D 的大小;

(向量法)以 A 为坐标原点, BD 、 AC 、 AE 方向分别为 x 轴、y 轴、z 轴的正方向建立空间直 角坐标系(如图) 设 平 面 ABF 的 法 向 量 n1 ? ( x, y,1) , 则 B(?

2 2 , 1, 0 , ) F (0, 2, 2) , AB ? (? ,1, 0) , 2 2

? 2 ? ? 2 ?x ? ? 2 ?n1 AB ? 0 ?? x? y ?0 AD ? ( ,1, 0) , AF ? (0, 2, 2) ,则由 ? 得? 2 ,得 ? ,于是 2 ? ? ? y ? ?1 ?n1 AF ? 0 ?2 y ? 2 ? 0 ?

n1 ? (? 2, ?1,1) ,

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? 2 ?n1 AD ? 0 ?x ? 2 ? ? x? y ?0 ? 设 n2 ? ( x, y,1) ,则由 ? ,即 ? 2 ,得 ? ,求得平面 ADF 的法向量 y ? ? 1 ? n AF ? 0 ? ? ?2 y ? 2 ? 0 ? 1 ?

n2 ? ( 2, ?1,1)
由 n1 ? n2 ? 0 知,平面 ABF 与平面 ADF 垂直, 二面角 B-AF-D 的大小等于

? 。 2

6、四棱锥 S-ABCD 中,底面 ABCD 为正方形,侧棱 SD⊥底面 ABCD,E,F 是 AB,SC 的中点 (1) 求证:EF∥平面 SAD; (2) 设 SD=2CD,求二面角 A-EF-D 的大小

0 , 2 , 0 ) 解: (1) 如图所示建立坐标系, 设 DA=2, DS=t, 则 A(

B(2, 2,0) , C (2,0,0) , ,

t t D(0,0,0) , S (0, 0, t ) , F (1, 0,, ) , E (1, 2, 0) , EF ? (0, ?2, ) , 2 2
取平面 SAD 的法向量为 n ? (1,0,0) ,易见 EF n ? 0 ,又因为 EF 在平面 SAD 外, 所以 EF∥平面 SAD (2)设平面 AEF 的法向量为 n1 ? ( x1, y1,1) , AE ? (1,0,0) , EF ? (0, ?2, 2) ,

? ? x1 ? 0 ?n1 AE ? 0 ? x1 1 ? 0 ,? ,得 ? ,得 n1 ? (0,1,1) , ? ? y1 ? 1 ? ?n1 EF ? 0 ??2 y1 ? 2 ? 0
同理可得平面 DEF 的法向量为 n2 ? (?2,1,1) , 则设所求二面角为 ? , cos ? ?

n1 ? n2 3 , ? | n1 || n2 | 3

? ? arccos

3 3

7、如图,在直四棱柱 ABCD ? A 1B 1C1D 1 中,已知

DC ? DD1 ? 2 AD ? 2 AB , AD ? DC , AB // DC .
(I)设 E 是 DC 的中点,求证: D1E // 平面A 1BD ; (II)求二面角 A1 ? BD ? C1 的余弦值. 解:(I)连结 BE ,则四边形 DABE 为正方形,

? BE ? AD ? A1D1 ,且 BE // A // A1D1 ,

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?四边形A1D1EB 为平行四边形, ? D1E // A1B . D1E ? 平面A1BD,A1B ? 平面A1BD, ? D1E // 平面A1BD.
( 另 : 向 量 法 证 明 线 面 平 行 : 易 得 D1E ? ( 0, 1, ? 2, ) 可 求 得 面 A1 B D 的 一 个 法 向 量 为

n ? (?2, ?2,1) ,由 D1E ? n ? 0 ,又 D1E ? 面A1 BD ,所以 D1E // 平面A1BD )
(II) 以 D 为原点, DA, DC, DD1 所在直线分别为 x 轴、 y 轴、 z 轴,建立空间直角坐标系,不妨 设 DA ? 1 ,则 D(0,0,0), A(1,0,0), B(1,1,0), C1 (0, 2, 2), A 1 (1,0, 2).

? DA1 ? (1,0,2), DB ? (1,1,0).
设 n ? ( x, y, z) 为平面 A 1BD 的一个法向量, 由 n ? DA 1 , n ? DB 得 ?

?x ? 2z ? 0 , ? x? y ?0

取 z ? 1 ,则 n ? (?2, ?2,1) . 设 m ? ( x1 , y1 , z1 ) 为平面 C1BD 的一个法向量, 由 m ? DC, m ? DB 得 ? 取 z1 ? 1,则 m ? (1, ?1,1) .

?2 y1 ? 2 z1 ? 0 , ? x1 ? y1 ? 0

cos ? m, n ??

m?n m n

?

?3 3 ?? . 3 9? 3

由图知该二面角 A1 ? BD ? C1 为锐角,所以所求的二面角 A1 ? BD ? C1 的余弦值为

3 . 3

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异面直线成角

目录
/ / / /

(1)异面直线 a 、 b 所成的角:在空间中任取一点 O,过点 O 分别引 a ∥ a , b ∥ b ,则 a ,b 所成的锐角(或直角)叫做两条异面直线所成的角。两条异面直线所成角的范围: (0, 求法: ①平移法,通过平移,使两直线化为相交直线,然后解三角形得到。 ②运用向量:设直线 a,b 的方向向量为 m,n,在异面直线 a,b 所成的角为 ? , 则 cos ? ?| cos ? m, n ?| 。

?

2

]。

例 2..在棱长为 1 的正方体 ABCD—A1B1C1D1 中,M、N 分别为 A1B1 和 BB1 的中点,求直线 AM 与 CN 所成的角的余弦值。 解法一:∵ AM ? AA 1?A 1M , CN ? CB ? BN , ∴ AM CN ? ( AA1 ? A1M ) (CB ? BN ) ? AA1 BN ? 而| | AM |? | AA1 | ? | A1M | ? 1 ?
2 2

1 , 2

1 5 5 |,同理,| CN |= . ? 2 4 2

如令α 为所求之角,则 cosα = cos ? ?

AM ? CN 2 ? , | AM || CN | 5

解法二:建立如下图所示坐标系,把 D 点视作原点 O,分别沿 DA 、 DC 、 DD1 方向为 x 轴、y

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轴、z 轴的正方向,则 A(1,0,0) ,M(1,
D1 A1

1 1 ,1) ,C(0,1,0) ,N(1,1, ). 2 2
z C1 M B1

D O A x

N

C B

y

1 1 ,1)-(1,0,0)=(0, ,1) , 2 2 1 1 CN =(1,1, )-(0,1,0)=(1,0, ). 2 2 1 1 1 故 AM · CN =0×1+ ×0+1× = , 2 2 2
∴ AM =(1,

1 | AM |= 0 2 ? ( ) 2 ? 12 = 2

5 5 1 ,| CN |= 12 ? 0 2 ? ( ) 2 = . 2 2 2

∴cosα =

AM ? CN | AM | | CN |

=

1 2 5 5 ? 2 2

=

2 5

长方体中,AB=4,AD=3,AA1=2,E,F 分别在 AB,BC 上,且 EB=FB=1,求 直线与所成的角的余弦值

以 A 为原点, AB, DA, AA 1 分别为 x 轴,y 轴,z 轴的正向建立空 间直角坐标系,则有 D1(0,3,2),E(3,0,0),F(4,1,0),C1(4,3,2),于是

EC1 ? (1,3,2), FD1 ? (?4,2,2) ,设 EC1 与 FD1 所成的角
cos ? ? EC1 ? FD1 21 ? | EC1 | | FD1 | 14

例 3、如图,已知四棱锥 P-ABCD 的底面 ABCD 为等腰梯形, AB∥DC,AC⊥BD,AC 与 BD 相交于点 O,且顶点 P 在底面上的射影 恰为 O 点,又 BO=2,PO= 2 ,PB⊥PD.求异面直接 PD 与 BC 所成 角的余弦值; 解法一: PO ? 平面 ABCD , ? PO ? BD ,又

PB ? PD, BO ? 2, PO ? 2 ,

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由平面几何知识得: OD ? 1, PD ? 3, PB ? 6 (Ⅰ)过 D 做 DE // BC 交于 AB 于 E ,连结 PE ,则 ? PDE 或其补角为异面直线 PD 与 BC 所 成的角, 四边形 ABCD 是等腰梯形,? OC ? OD ? 1, OB ? OA ? 2 ,

OA ? OB ,? BC ? 5, AB ? 2 2, CD ? 2 ,又 AB // DC ,? 四边 形 EBCD 是平行四边形。 ? ED ? BC ? 5, BE ? CD ? 2 ,? E 是 AB 的中点,且

AE ? 2 ,又 PA ? PB ? 6 ,? ?PEA 为直角三角形,

? PE ? PA2 ? AE 2 ? 6 ? 2 ? 2
在 ?PED 中,由余弦定理得

PD2 ? DE 2 ? PE 2 3 ? 5 ? 4 2 15 ? ? 2PD ? DE 15 2? 3 ? 5 2 15 故异面直线 PD 与 BC 所成的角的余弦值为 15 PO ? ABCD ? PO ? BD ,又 PB ? PD , 解法二: 平面 , BO ? 2, PO ? 2 ,由平面几何知识得: OD ? OC ? 1, BO ? AO ? 2 以 O 为原点, OA, OB, OP 分别为 x, y , z 轴建立如图所示的空间直角 坐标系,则各点坐标为 O(0,0,0) , A(2, 0, 0) , B(0, 2, 0) , C (?1, 0, 0) , cos ?PDE ?
D(0, ?1, 0) , P(0,0, 2)
(Ⅰ)

PD ? (0, ?1, ? 2) , BC ? (?1, ?2,0) ,
PD ? BC PD BC

? PD ? 3, BC ? 5, PD ? BC ? 2 。若 PD 与 BC 所成的角为 ? ,则

? cos ? ?| cos ? PD, BC ?|?|

|?

2 15 2 15 。 故直线 PD 与 BC 所成的角的余弦值为 15 15

5、四棱锥 P-ABCD 中,底面 ABCD 为矩形,侧棱 PA⊥底面 ABCD,

AB ? 3, BC ? 1, PA ? 2 ,求直线 AC 与 PB 所成角的余弦
解: 如 图 所 示 建 立 空 间 坐 标 系 , 则 A(0,0,0) ,

1 B( 3,0,0), C( 3,1,0) , D(0,1,0), P(0,0, 2) , B(0, ,1) , 2

AC ? ( 3,1,0), PB ? ( 3,0, ?2) ,
? cos ? ?| cos ? AC , PB ?|?| AC ? PB AC PB |? 3 7 14

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