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安徽省皖南八校2014届高三10月第一次联考


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安徽省皖南八校 2014 届高三 10 月第一次联考
数学(文科)试题
一、选择题 1.复数 (1 ? i) 2 的虚部是( A.0 B.2 ) D. 2i

C. ?2

2.已知集合 A ? x | y ? log 2 ( x 2 ? 1) , B ? ? y | y ? ( ) x ?

1 ? ,则 A ? B ? ( A. ( ,1)

?

?

? ?

1 2

? ?



1 2

B. (1, 2)

C. (0, ??)

D. (1, ??) )

3. “ a ? 3 ”是“函数 f ( x) ? x2 ? 2ax ? 2 在区间 [3, ??) 内单调递增”的( A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件

D.既不充分也不必要条件 )

4.下列函数,在其定义域中,既是奇函数又是减函数的是( A. f ( x) ?

1 x

B. f ( x) ? ? x

C. f ( x) ? 2

?x

? 2x

D. f ( x) ? ? tan x )

5.曲线 y ? e x 在点 (2,e2 ) 处的切线与坐标轴所围三角形的面积为(



e2



2e 2



4e 2



e2 2

6.已知向量 | a |? 2,| b |? 2, a ? b ? 1,则向量 a 与 a ? b 的夹角为( A.

?

?

? ?

?

? ?



? 4

B.

? 3

C.

5? 6

D.

2? 3

, ) 7.将函数 f ( x) ? sin 2x ? 3 cos 2x 的图象向左平移 m 个单位( m ? 0 ) ,( 0 2
数的图象的一个对称中心,则 m 的最小值为( A. )

?

是所得函

? 4

B.

? 6

C.

? 3

D.

? 12

8.设 P 为曲线 C : y ? 4 ln x ?

x2 上的点,且曲线 C 在点 P 处的切线的倾斜角的取值范围为 4
) D. [2, 2 2]

[0, ] ,则点 P 的横坐标的取值范围为 ( 4
A. (0, 2 2] B. (0, ??)

?

C. [2, ??)

9 . 在 ?ABC 中 , P 是 BC 边 的 中 点 , 角 A, B, C 的 对 边 分 别 是 a, b, c , 若

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??? ? ??? ? ??? ? ? cAC ? aPA ? bPB ? 0 ,则 ?ABC 的形状为(
A.直角三角形 等边三角形 B.钝角三角形

) C.等边三角形 D.等腰三角形但不是

10.动点 A? x, y ? 在圆 x 2 ? y 2 ? 1上绕坐标原点沿逆时针方向匀速旋转,12 秒旋转一周.已 知时间 t ? 0 时,点 A 的坐标是 ( , 秒)的函数的单调递增区间是( A、 ?0,5? 二、填空题 11. sin B、 ?5,11?

1 3 ) ,则当 0 ? t ? 12 时,动点 A 的纵坐标 y 关于 t (单位: 2 2
) C、 [11,12] D、 ?0,5? 和 [11,12]

11? ? 6



12 . 已 知 矩 形 ABCD 的 边 长 为 2 , ?B ?

?
3

, 点 P 在 线 段 BD 上 运 动 , 则

??? ? ??? ? AP ? AC ?



? x ? 1 (0 ? x ? 1) ? 13.已知函数 f ( x) ? ? x 1 ,设 a ? b ? 0 ,若 f (a) ? f (b) ,则 b ? f (a) 的取 2 ? ( x ? 1) ? ? 2
值范围是 。

14.在 ?ABC 中, a, b, c 分别是 A, B, C 的对边,若 a ? 2, b ? 2,sin B ? cos B ? 2 ,则

c 的大小为



15 .在整数集 Z 中,被 5 除所得余数为 k 的所有整数组成一个“类” ,记为 [ k ] ,即 则下列结论正确的为 [k ] ? ? 5n ? k | n? Z 4 ? , b ? 0,1, 2, 3,, (写出所有正确的编号)

① 2013 ? [3] ; ② ?1?[3] ;③ Z ? [0] ? [1] ? [2] ? [3] ? [4] ;④“整数 a , b 属于同一类” 的充要条件是“ a ? b ? [0] ” ;⑤命题“整数 a , b 满足 a ?[1], b ?[3] ,则 a ? b ? [4] ”的原 命题与逆命题都为真命题。

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三、解答题 16.设 p : ?

?2 x ? 3 ? 1 , q : ( x ? a)( x ? a 2 ? 1) ? 0, a ? R 。 ? x ? 1 ? 0 ?

2 (1)记 A ? x | ( x ? a )( x ? a ? 1), a ? R ,若 a ? 1 ,求集合 A;

?

?

(2)若 q 是 p 的必要不充分条件,求 a 的取值范围。

17. 已知函数 F ( x) ? 有 f ( x) ? 0 成立

a 3 b 2 x ? x ? x(a ? 0), f ( x) ? F ?( x) , 若 f (?1) ? 0 且对任意实数 x 均 3 2

(1)求 F ( x) 表达式; (2)当 x ? [?2,2]时, g ( x) ?

f ( x) ? kx 是单调函数,求实数 k 的取值范围;

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18.已知函数 f ( x) ? cos ( x ?
2

1 ), g ( x) ? 1 ? sin 2 x 。 12 2

?

(1)若 f ( x0 ) ? 0 ,求 g ( x0 ) 的值; (2)求函数 h( x) ? f ( x) ? g ( x) 的单调递增区间。

19.某高速公路旁边 B 处有一栋楼房,某人在距地面 100 米的 32 楼阳台 A 处,用望远镜路 上的车辆,上午 11 时测得一客车位于楼房北偏东 15 ? 方向上,且俯角为 30 ? 的 C 处,10 秒 后测得该客车位于楼房北偏西 75 ? 方向上,且俯角为 45 ? 的 D 处。 (假设客车匀速行驶) (1)如果此高速路段限速 80 公里/小时,试问该客车是否超速; (2)又经过一段时间后,客车到达楼房 B 的正西方向 E 处,问此时客车距离楼房 B 多远。

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20.已知 m ? (sin ?x ? cos ?x, 3cos ?x), n ? (cos ?x ?sin ?x ,2sin

??

?

?x) ,其中 ? ? 0 ,

若函数 f ( x) ? m ? n ,且函数 f ( x ) 的图象与直线 y ? 2 相邻两公共点间的距离为 ? (1)求 ? 的值; (2)在 ?ABC 中.a, b, c 分别是 A, B, C 的对边,且 a ? 3, b ? c ? 3, f ( A) ? 1 ,求 ?ABC 的面积。

?? ?

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21.设函数 f ( x) ? xex ? ax2 。 (1)若 a ? 1 时,求 x ? 1 处的切线方程; (2)当 x ? 0 时, f ( x) ? 0 ,求 a 的取值范围。

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皖南八校 2014 届高三第一次联考 数学文试卷参考答案
1.B (1+i)2=2i 虚部为 2. 1 - 2. D A={x|y=log2(x2-1)}={x|x2-1>0}={x|x>1 或 x<-1}, B={y|y=( )x 1}={y|y 2 >0},A∩B={x|x>1}. 3.A ∵当函数 f(x)=x2-2ax+2 在区间[3,+∞)内单调递增时,对称轴 x=a≤3,∴“a =3”是“函数 f(x)=x2-2ax+2 在区间[3,+∞)内单调递增”的充分不必要条件. 1 4.C f(x)= 在定义域上是奇函数,但不单调;f(x)= -x为非奇非偶函数;f(x)=-tan x x 在定义域上是奇函数,但不单调.所以选 C. 5.D ∵点(2,e2)在曲线上,∴切线的斜率 k=y′|x=2=ex|x=2=e2,∴切线的方程为 y- 1 e2=e2(x-2),即 e2x-y-e2=0,与两坐标轴的交点坐标为(0,-e2),(1,0),∴S= × 1× e2 2 e2 = . 2 6.A 因为|a-b|= a2+b2-2a· b= 4+1-2= 3, a· (a-b) a2-a· b 4-1 3 所以 cos〈a,a-b〉= = = = , 2 |a|× |a-b| |a|× |a-b| 2× 3 π 所以向量 a 与 a-b 的夹角为 . 6 π 7.B f(x)=sin 2x- 3cos 2x=2sin(2x- ),向左平移 m 个单位得到 g(x)=2sin [2(x+ 3 π π π π π 2π 2π m)- ]=2sin(2x+2m- ), 所以 g( )=2sin(2× +2m- )=2sin(2m+ )=0, ∴2m+ =kπ, 3 3 2 2 3 3 3 π k∈Z,∵m>0,∴m 的最小值为 ,故选 B. 6 4 1 4 1 8. D 设点 P 的横坐标为 x0(x0>0), ∵y′= - x, ∴点 P 处的切线斜率为 k= - x0∈[0, x 2 x0 2 4 1 1],即 0≤ - x0≤1,得 2≤x0≤2 2. x0 2 → 1 → → 1 → → 9.C 由题意知 cAC- a(AB+AC)+ b(AB-AC)=0, 2 2 a+b → a-b → a+b → a-b → ∴(c- )AC- AB=0,∴(c- )AC= AB, 2 2 2 2 a-b =0, 2 → → 又AB、AC不共线,∴ ∴a=b=c. a+b c- =0, 2 10.B 依题意可设 y 关于 t(单位:秒)的函数为 y=-sin(ωt+φ)(ω>0,-π<φ<π),周期

? ? ?

2π π π 3 3 为 12, =12,∴ω= ,∴y=-sin( t+φ),当 t=0 时,y= ,sin φ=- , ω 6 6 2 2 π 2π 2π 1 3 又-π<φ<π,∴φ=- 或- ,又当 φ=- 时,A 点坐标为(- , ),不合题意. 3 3 3 2 2 π π π π π π π ∴y=-sin( t- )求函数的单调增区间,只需求 y=sin( t- )的减区间,2kπ+ ≤ t- 6 3 6 3 2 6 3 3π ≤2kπ+ ,∴12k+5≤t≤12k+11,k=0 时,5≤t≤11. 2 1 13π π π 1 11. sin =sin(2π+ )=sin = . 2 6 6 6 2

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→ 1→ → → → → → 12.2 设 AC∩BD=O,由题可知|AO|= |AC|=1,则AP· AC=|AP||AC|cos∠PAO=|AP 2 → → |(2|AO|)cos∠PAO=2|AO|2=2. 3 13.[ ,2) 画出函数图象如图所示,由图象可知要使 a>b≥0, 4 1 1 f(a)=f(b)同时成立, ≤b<1,bf(a)=b· f(b)=b(b+1)=b2+b=(b+ )2 2 2 1 - 4 3 ∴ ≤b· f(a)<2. 4 14. 3+1 π = , 4 π 又∵a= 2,b=2,∴在△ABC 中,由余弦定理得 4=2+c2-2 2ccos =2+c2-2c, 4 解得 c= 3+1. 15.①③④ 依题意 2013 被 5 除的余数为 3,则①正确;-1=5× (-1)+4,则②错误; 整数集就是由被 5 除所得余数为 0,1,2,3,4 的整数构成,③正确;假设④中 a=4n1 +m1, b=4n2+m2, a-b=4(n1-n2)+m1-m2, a, b 要是同类, 则 m1-m2=0, 所以 a-b∈[0], 反之也成立;因为 a∈[1],b∈[3],所以可设 a=5n1+1,b=5n2+3,∴a+b=5(n1+n2)+ 4∈[4],原命题成立,逆命题不成立,如 a=5,b=9 满足 a+b∈[4],但是 a∈[0],b∈[4], ⑤错误. 16.解:(1)∵a=1,∴A={x|(x-1)(x-2)≤0}={x|1≤x≤2}.(5 分) (2)依题意易得 p:1≤x≤2,q:a≤x≤a2+1.(7 分) ?a≤1,
2 ∵q 是 p 的必要不充分条件,∴?2≤a +1,∴a≤-1.(12 分) 2

由 sin B+cos B= 2,得 1+2sin Bcos B=2,即 sin 2B=1,∵0<B<π,∴B

?

? ?a≠1,

17.解:(1)∵F′(x)= ax +bx+1, ∴f (x)= ax2+bx+1. ∵f(-1)=0,∴a-b+1=0,∴b=a+1, ∴f(x)=ax2+(a+1)x+1.∵f(x)≥0 恒成立, ?a>0, ?a>0, ? ? ∴? ∴? 2 2 ?Δ=(a+1) -4a≤0, ? ?(a-1) ≤0. ? 2 ∴a=1,从而 b=2,∴f(x)=x +2x+1.(6 分) (2)g(x)=x2+2x+1-kx=x2+(2-k)x+1. ∵g(x)在[-2,2]上是单调函数, k-2 k-2 ∴ ≤-2 或 ≥2,解得 k≤-2,或 k≥6. 2 2 ∴k 的取值范围为(-∞,-2]∪[6,+∞).(12 分) 1 π 18.解:(1)由题设知 f(x)= [1+cos(2x+ )]. 2 6 π 因为 f()=0,所以 1+cos(2x0+ )=0, 6 π 5 cos(2x0+ )=-1,即 x0=kπ+ π(k∈Z). 6 12 1 1 5π 5 所以 g(x0)=1+ sin 2x0=1+ sin(2kπ+ )= . (6 分) 2 2 6 4

---

1 π 1 (2)h(x)=f(x)+g(x)= [1+cos(2x+ )]+1+ sin 2x 2 6 2 1 π 3 1 3 1 3 = [cos(2x+ )+sin 2x]+ = ( cos 2x+ sin 2x)+ 2 6 2 2 2 2 2 1 π 3 = sin(2x+ )+ . 2 3 2 π π π 5π π 当 2kπ- ≤2x+ ≤2kπ+ ,即 kπ- ≤x≤kπ+ (k∈Z)时, 2 3 2 12 12 1 π 3 函数 h(x)= sin(2x+ )+ 是增函数, 2 3 2 5π π 故函数 h(x)的单调递增区间是[kπ- ,kπ+ ](k∈Z).(12 分) 12 12 19.解:(1)在 Rt△ ABC 中,∠BAC=60° ,AB=100 米,则 BC=100 3米, 在 Rt△ ABD 中,∠BAD=45° ,AB=100 米,则 BD=100 米, 在 Rt△ BCD 中,∠DBC=75° +15° =90° , CD 则 DC= BD2+BC2=200 米,所以客车速度 v= =1200 米/分钟=72 公里/小时,所 10 60 以此客车没有超速.(6 分) (2)在 Rt△ BCD 中,∠BCD=30° , 又因为∠DBE=15° ,所以∠CBE=105° , 所以∠CEB=45° , EB BC 在△ BCE 中,由正弦定理可知 = , sin 30° sin 45° BCsin 30° 所以 EB= =50 6米.客车距楼房 B50 6米. (13 分) sin 45° 20. 解: (1)f(x)=m· n=(sinωx+cosωx, 3cosωx)· (cosωx-sinωx, 2sinωx)=cos2ωx-sin2ωx π +2 3sinωxcosωx=cos 2ωx+ 3sin 2ωx=2sin(2ωx+ ).(3 分) 6 2π π ∵ω>0,∴函数 f(x)的周期 T= = , 2ω ω ∵函数 f(x)的图象与直线 y=2 相邻两公共点间的距离为 π. π ∴ =π,∴ω=1.(6 分) ω π (2)由(1)可知 ω=1,f(x)=2sin(2x+ ). 6 π ∵f(A)=1,∴2sin(2A+ )=1. 6 π 1 ∴sin(2A+ )= , 6 2 π π 13π ∵0<A<π,∴ <2A+ < , 6 6 6 π 5π π ∴2A+ = ?A= .(10 分) 6 6 3 b2+c2-a2 由余弦定理知 cos A= , 2bc 2 2 ∴b +c -bc=3,又 b+c=3, ?b=2, ? ?b=1, ? 联立解得? 或? ? ? ?c=1 ?c=2. 1 3 ∴S△ ABC= bcsin A= .(13 分) 2 2 1 (或用配方法:∵b2+c2-bc=(b+c)2-3bc=3,b+c=3,∴bc=2,∴S△ ABC= bcsin A 2

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3 ) 2 21.解:(1)当 a=1,f(x)=xex-x2 f′(x)=(x+1)ex-2x,f′(1)=2e-2,f(1)=e-1, 故所求切线方程为:y-(e-1)=2(e-1)(x-1), 化简得:2(e-1)x-y-e+1=0.(5 分) (2)x>0,f(x)=xex-ax2>0, ex 化简得:a< , x ex 设 g(x)= , x 求导得:g′(x)= ex(x-1) . x2

当 x∈(0,1)时,g′(x)<0;当 x∈(1,+∞)时,g′(x)>0. 故 g(x)在(0,1)单调减少,在(1,+∞)单调增加. 故 y=g(x)在 x=1 时取极小值. 则 y=g(x)在(0,+∞)时,gmin=g(1)=e. 综上所述:a<e,即 a 的取值范围是(-∞,e).(13 分)


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