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一道统考题的另解及深入研究


湖北省孝感高级中学高中数学《一道统考题的另解及深入研究》论文
1 问题的提出 孝感市 2012 年高三二统测试题(理)19 题:已知椭圆 C 的离心率 e ?

3 , 长轴的左右端点 2

分别为 A1 ? ?2, 0 ? , A2 ? 2, 0 ? .(1) 求椭圆 C 的方程; 过直线 x ? my ? 1 与椭圆 C 交于 P, Q (2) 两点,直线 A1 P 与 A2Q 交于点 S , 试问:当 m 变化时,点 S 是否恒在一条定直线上?若是, 请写出这条直线方程,并证明你的结论;若不是,请说明理由. (1) 的解答省略, 其中第 (2) 参考答案的解答是这样的: P ? x1 , y1 ? , Q ? x2 , y2 ? , 当 m ? 0 问, 设 时 , P ? 1,

? ? ?

3 3? ? 3? ( x ? 2), A2 Q 直 线 的 方 程 为 ? , Q ?1, ? ? , A1 P 直 线 的 方 程 为 y ? ? ? ? 6 2 ? ? 2 ?

y?

3 ? x ? 2 ? , 联立解得 S 4, 3 , 故猜想点 S 在定直线 x ? 4 上.下面对一般情形下证明, 2

?

?

设 A1 P 直 线 与 x ? 4 交 于 点 S ? 4, yS ? , 设 A2Q 直 线 与 x ? 4 交 于 点 S ? 4, yS ? , 联 立

?

?

? x2 2 ? ? y ?1 ?2m 4 ? 2 2 ? x ? my ? 1 消去 x 并整理得 ? m ? 4 ? y ? 2my ? 3 ? 0, 由韦达定理知 y1 ? y2 ? m 2 ? 4 , ?
6 y1 y ?3 , 又直线 A1 P 的方程为 y ? 1 ? x ? 2 ? , 故 yS ? , 直线 A2Q 的方程为 m ?4 x1 ? 2 x1 ? 2
2

y1 y2 ?

y?

y2 2y ? x ? 2 ? , 故 yS ? ? 2 , 故 yS ? yS ? ? x2 ? 2 x2 ? 2

6 y1 ? x2 ? 2 ? ? 2 y2 ? x1 ? 2 ?

? x1 ? 2 ?? x2 ? 2 ?

?

6 y1 ? my2 ? 1? ? 2 y2 ? my1 ? 3?

? x1 ? 2 ?? x2 ? 2 ?

?

4my1 y2 ? 6 ? y1 ? y2 ?

? x1 ? 2 ?? x2 ? 2 ?

?

?m

?12m ? ? ?12m ?
2

? 4 ? ? x1 ? 2 ?? x2 ? 2 ?

? 0, 故 S 与 S ? 重合,即交点 S 恒在定直线 x ? 4 上.

这种解法看似计算量小,自然流畅,在阅卷过程中,发现实际情况并非如此,首先本题是 整张试卷最难的一题,我所带的班级是孝感地级市最好的高中实验班的学生,全班 60 人中只 有不到 10 人完全做对,本题理应放在压轴题的位置;其次,即使做出来的学生也并不是按标 准答案,表明标准答案的解法并不是通性通法,并且标准答案仅仅只考虑 m ? 0 的情形就猜想 出 S 在定直线 x ? 4 上,无法使人信服,应该增加考虑 m ? 1 的情形.常规解法不是这样,阅卷 中有不少同学是先将两直线的交点 S 用 P, Q 的坐标表示出来, 但后面又不能用韦达定理代换,
-1-

这样就把自己带到了比较尴尬的境地. 2 问题(2)的常规解法

解 法

1

? x2 ? 4 y 2 ? 4 ? 设 P ? x1 , y1 ? , Q ? x2 , y2 ? , 联 立 ? x ? my ? 1 消 去 x 并 整 理 得
?2m ?3 , y1 y2 ? 2 , 2 m ?4 m ?4

?m

2

? 4 ? y 2 ? 2my ? 3 ? 0, 由韦达定理知 y1 ? y2 ?

? 2my1 y2 ?

?6m ? 3 ? y1 ? y2 ? , m2 ? 4

? 2my1 y2 ? 3 y2 ? y1 ? 6 y2 ? 2 y1 ,

?

2my1 y2 ? 3 y2 ? y1 y ? 2, 又 直 线 A1 P 的 方 程 为 y ? 1 ? x ? 2 ? ① , 直 线 A2Q 的 方 程 为 3 y2 ? y1 x1 ? 2
y2 2 x y ? 2 x2 y1 ? 4 y2 ? 4 y1 ? ? x ? 2 ? ②,联立消去 y 得 xS ? 1 2 x2 ? 2 x1 y2 ? x2 y1 ? 2 y1 ? 2 y2

y?

2 ? my1 ? 1? y2 ? 2 ? my2 ? 1? y1 ? 4 y2 ? 4 y1

? my1 ? 1? y2 ? ? my2 ? 1? y1 ? 2 y1 ? 2 y2

?

2 ? 2my1 y2 ? 3 y2 ? y1 ? 3 y2 ? y1

? 4. 即 A1 P 与 A2Q 的交

点 S 在一条定直线 x ? 4 上. 解法 2 同解法 1,由

① x ? 2 y2 ? x1 ? 2 ? y2 ? my1 ? 3? my1 y2 ? 3 y2 得 ? ? ? ? ② x ? 2 y1 ? x2 ? 2 ? y1 ? my2 ? 1? my1 y2 ? y1

?3m ? ?2m ? ? 3? 2 ? y1 ? 3 ? m 2 ? 4 y ? 3m ? 2 ?1 ? m ?4 ?m ?4 ? ? ?? ? 3, 故 x ? 4 . 2 ?3m ? m ? 4 ? y1 ? 3m ? y1 m2 ? 4

从结果来看,直线 x ? 4 ? a , 这种情形对一般的椭圆方程是否成立,是偶然还是必然?笔者
2

通过探究发现,在一般的椭圆中也有类似性质,进而发现在有心圆锥曲线中也有这一性质. 3 在椭圆中的探究

-2-

对于椭 圆 C :

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0), A1 ? ? a, 0 ? , A2 ? a, 0 ? 分别 是 C 的左右 顶点,动 直线 a 2 b2

x ? my ? n(n 是不为 0 的常数)与 C 交于 P, Q 两点,则 A1 P 与 A2Q 的交点 S 是否在一条定
直线上?



P ? x1 , y1 ? , Q ? x2 , y2 ? ,





? x2 y 2 ? 2 ? 2 ?1 b ?a ? x ? my ? n ?





x









? b2 m2 ? a 2 ? y 2 ? 2 mnb2 y? b2 n2 ? b2 a2 ? 0, 由韦达定理知 y1 ? y2 ?
y1 y2 ?

?2mnb 2 , b2 m2 ? a 2

2mb 2 ? n 2 ? a 2 ? a 2 ? n 2 b 2 n 2 ? a 2b 2 , ? 2my1 y2 ? ? ? y1 ? y2 ? , b2 m2 ? a 2 n b2 m2 ? a 2
a ?? a ? n ? y1 ? ? a ? n ? y2 ? , ? n?

? 2my1 y2 ? ? n ? a ? y2 ? ? n ? a ? y1 ?
又直线 A1 P 的方程为 y ?

y1 y ? x ? a ? , 直线 A2Q 的方程为 y ? 2 ? x ? a ? , 联立消去 y x1 ? a x2 ? a

得 xS ?

ax1 y2 ? ax2 y1 ? a 2 y2 ? a 2 y1 ? x1 y2 ? x2 y1 ? ay1 ? ay2
? a ? 2my1 y2 ? ? a ? n ? y2 ? ? n ? a ? y1 ? ? ?

a ? my1 ? n ? y2 ? a ? my2 ? n ? y1 ? a 2 y2 ? a 2 y1

? my1 ? n ? y2 ? ? my2 ? n ? y1 ? ay1 ? ay2

? a ? n ? y2 ? ? a ? n ? y1

a2 ? . n

a2 即 A1 P 与 A2Q 的交点 S 在一条定直线 x ? 上. n
4 在双曲线中的探究 对于双曲线 C :

x2 y 2 ? ? 1(a, b ? 0), A1 ? ?a, 0 ? , A2 ? a, 0 ? 分别是 C 的左右顶点,动直线 a 2 b2

x ? my ? n(n 是不为 0 的常数)与 C 交于 P, Q 两点,则 A1 P 与 A2Q 的交点 S 是否一条定直
线上?



P ? x1 , y1 ? , Q ? x2 , y2 ? ,





? x2 y 2 ? 2 ? 2 ?1 b ?a ? x ? my ? n ?





x









-3-

?b m
2

2

?a

2

?

y ? 2mnb y ? b n ? b a ? 0, 由韦达定理知 y1 ? y2 ?
2 2 2 2 2 2

?2mnb 2 , b2 m2 ? a 2

2mb 2 ? n 2 ? a 2 ? a 2 ? n 2 b 2 n 2 ? a 2b 2 y1 y2 ? 2 2 , ? 2my1 y2 ? ? ? y1 ? y2 ? , b2 m2 ? a 2 n b m ? a2
? 2my1 y2 ? ? n ? a ? y2 ? ? n ? a ? y1 ?
又直线 A1 P 的方程为 y ?

a ?? a ? n ? y1 ? ? a ? n ? y2 ? , ? n?

y1 y ? x ? a ? , 直线 A2Q 的方程为 y ? 2 ? x ? a ? , 联立消去 y x1 ? a x2 ? a

得 xS ?

ax1 y2 ? ax2 y1 ? a 2 y2 ? a 2 y1 ? x1 y2 ? x2 y1 ? ay1 ? ay2
a ? 2my1 y2 ? ? a ? n ? y2 ? ? n ? a ? y1 ? a 2 ?? . ? ? n ? a ? n ? y2 ? ? a ? n ? y1

a ? my1 ? n ? y2 ? a ? my2 ? n ? y1 ? a 2 y2 ? a 2 y1

? my1 ? n ? y2 ? ? my2 ? n ? y1 ? ay1 ? ay2

即 A1 P 与 A2Q 的交点 S 在一条定直线 x ?

a2 上. n

以上可以归纳得到有心圆锥曲线的一个优美性质:设 A1 ? ? a, 0 ? , A2 ? a, 0 ?? a ? 0 ? 是横 向型有心圆锥曲线 C 的左右顶点, 动直线 x ? my ? n(n 是不为 0 的常数) C 交于 P, Q 两点, 与 则 A1 P 与 A2Q 的交点 S 在一条定直线 x ?

a2 上. n

-4-


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