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【2010年高考二模数学·珠海卷】2010年广东省珠海市高考二模数学理科试题(word版含答案)


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2009-----2010 珠海市 2009---2010 学年度第二学期高考模拟测试 理科数学试题 理科数学试题
小题, 在每小题给出的四个选项中, 一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,满分 40 分.在每小题给出的四个选项中,只 选择题: 有一项是符合题目要求的.请在答题卡上填涂相应选项.

有一项是符合题目要求的.请在答题卡上填涂相应选项. 1.已知 i 是虚数单位,复数 Z 与复平面内的点(2,-1)对应,则复数 . A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限

1 ? 2i 对应的点在 Z

D.第四象限

2.已知 α 是三角形的一个内角, tan α = A. ?

3 π ,则 cos(α + ) = 4 4
C.

7 2 10

B. ?

2 10

7 2 10

D.

2 10

3.等差数列 {an } 的前 3 项的和为 15,最后 3 项的和为 123,所有项的和是 345,这个数列 的项数是 A.13 B.14 C.15 B.必要而不充分条件 D.既不充分也不必要条件 D.16 4.已知 a 、 b 是实数,则“ a > 1 , b > 1 ”是“ a + b > 2 且 ab > 1 ”的 A.充分而不必要条件 C.充分必要条件

r r r r 5. θ 为三角形的内角, a = (cos θ, θ ) , b = ( 3 , 1) , 2a ? b = 4 ,则 θ = sin ?
A.

π
3

B.

π
6

C.

5π 6

D.

2π 3

45

6.从一个正方体中截去部分几何体,得到一个以原正方 . 体的部分顶点为顶点的凸多面体,其三视图如图,则该几 何体体积为 A.8 B.9 C.

3 3 3

27 2

D.

25 3
3

正俯俯

侧俯俯

7.定义在 R 上的函数 f ( x ) 满足下列三个条件: ① f ( x + 3) = ?

1 ; f ( x)

俯俯俯

② 对任意 3 ≤ x1 < x2 ≤ 6 ,都有 f ( x1 ) < f ( x2 ) ; ③ y = f ( x + 3) 的图像关于 y 轴对称。则下列结论中正确的是 A. f (3) < f (7) < f (4.5) C. f (7) < f (4.5) < f (3) B. f (3) < f (4.5) < f (7) D. f (7) < f (3) < f (4.5)

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? 4 x ? 5 y + 20 ≥ 0 ? 4 x + 5 y + 20 ≥ 0 ? 8.已知点 M ( ?3, 0), N (3,0) ,设 P( x, y ) 是区域 ? 边界上的点,则下列式子恒成 ? 4 x + 5 y ? 20 ≤ 0 ? 4 x ? 5 y ? 20 ≤ 0 ?

立的是 A. | PM | + | PN |≥ 10 C. | PM | + | PN |≤ 10 B. | PM | ? | PN | ≥ 10 D. | PM | ? | PN | = 10

非选择题( 第二卷 非选择题(共 110 分)
填空题: 小题, 14~ 题是选做题, 二、填空题:本大题共 7 小题,每小题 5 分,满分 30 分.其中 14~15 题是选做题,考生 只能选做一题,两题全答的,只计算前一题得分.请将答案填在答题卡相应位置. 只能选做一题,两题全答的,只计算前一题得分.请将答案填在答题卡相应位置.

1) 9.某项测量中,测量结果ξ服从正态分布 N (1,σ ) (σ > 0) ,若ξ在 (0, 内取值的概率
2

为 0.4 ,则ξ在 (0, 内取值的概率为 2) 10. ( x ?

. .

3

2 6 ) 展开式中,含 x 2 项的系数是 x

11.已知 F1、F2 分别为椭圆

x2 y2 + = 1(a > b > 0) 的左、右焦点, M 为椭圆上一点且 a2 b2


MF1 ⊥ x 轴, ∠F1MF2 = 450 ,则椭圆的离心率是

12.甲乙两艘船都要在某个泊位停靠,若分别停靠 6 小时、8 小时。假定它们在一昼夜的时 . 间段内任意时刻到达,则这两艘船中有一艘在停靠泊位时必须等待的概率为 13.方程 x + y + z = 12 的正整数解的个数为 .

14. 坐标系与参数方程选做题)已知曲线 C 的极坐标方程是 ρ = 1 ,以极点为平面直角坐 (坐标系与参数方程选做题) 标系的原点, 极轴为 x 轴的正半轴, 建立平面直角坐标系, 直线 l 的参数方程是 ? ( t 为参数),则直线 l 与曲线 C 相交所成的弦的弦长为 15. 几何证明选讲选做题)如图, AB 为圆 O 的直径, C 为圆 (几何证明选讲选做题) O 上一点, AP 和过 C 的切线互相垂直,垂足为 P ,过 B 的切 线交过 C 的切线于 T , PB 交圆 O 于 Q ,若 ∠BTC = 120° , .

? x = ?1 + 4t ? y = 3t

AB = 4 ,则 PQ ? PB =

.

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小题, 解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 三、解答题:本大题共 6 小题,满分 80 分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 解答题: 16. 本小题满分12分 (本小题满分12 16. 本小题满分12分) ( 如图,已知平面四边形 ABCD 中, ?BCD 为正三角形, AB = AD = 2 , ∠BAD = 2θ ,记四边形 ABCD 的面积为 S . (1) 将 S 表示为 θ 的函数; (2) 求 S 的最大值及单调增区间.
B A

D

C

17. ( 17. 本小题满分 12 分)

(B 如图是两个独立的转盘 ( A)、 ) ,在两个图中的四个扇形区域的圆心角分别为 60o、 o 、90o、90o .用这两个转盘进行玩游戏, 120 规则是: 同时转动两个转盘待指针停下 (当
两个转盘中任意一个指针恰好落在分界线时,则这次转动无效,重新开始) ,记转盘 ( A) 指 针所对的区域数为 x ,转盘 ( B ) 指针所对的区域数为 y , x、y ∈ {1, 2, 3, 4} ,设 x + y 的值 为 ξ ,每一次游戏得到奖励分为 ξ . ... ⑴求 x < 3 且 y > 2 的概率; ⑵某人进行了 6 次游戏,求他平均可以得到的奖励分. ..

1

4

4 3 2

3 2 1

(A) )

(B) )

18.( 18.(本小题满分 14 分) 如图, 在四棱锥 P ? ABCD 中,?PCD 为等边三角形, 四边形 ABCD 为矩形, 平面 PDC ⊥ 平面 ABCD , M 、N、E 分别是 AB、PD、PC 中点, AB = 2 AD . (1) 求证: DE ⊥ MN ; P (2) 求二面角 B ? PA ? D 的余弦值.
N D
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E C

A

M

B

19.(本小题满分 14 分) ( , 在 ?ABC 中,点 A 的坐标为(3,0) | BC |= 2 且两端点 B 、 C 在 y 轴上区间[-3,3]上滑 动. (1) 求 ?ABC 的外心 P (三边垂直平分线的交点)的轨迹方程; (2) 设直线 l : y = 3 x + b 与点 P 的轨迹交于 E , F 两点,原点 O 到直线 l 的距离为 d ,试求

b 的值,使

| EF | 最大并求该最大值. d

20.( 20.(本小题满分 14 分) 已知函数 f ( x) = ?

?? x3 + x 2 + bx + c ( x < 1) 的图象过点 (?1, 2) , 且在点 ( ?1, f ( ?1)) 处的切 a ln x ( x ≥ 1) ?

线与直线 x ? 5 y + 1 = 0 垂直. (1) 求实数 b, c 的值; (2) 求 f ( x ) 在 [ ?1, e] ( e 为自然对数的底数)上的最大值; (3) 对任意给定的正实数 a ,曲线 y = f ( x) 上是否存在两点 P, Q ,使得 ?POQ 是以 O 为 直角顶点的直角三角形,且此三角形斜边中点在 y 轴上?

21.( 21.(本小题满分 14 分) 已知函数 f ( x ) = ? cos x , g ( x ) = 2 x ? π ,数列 {xn } 满足: x1 = α (α ∈ ?

? π 5π ? , ), ?6 6 ? ?

g ( xn +1 ) =

2 f ( xn ) (n ∈ N * ) . n

(1) 当 α =

π

2

时,求 x2 , x3 的值并写出数列 {xn } 的通项公式(不要求证明) ;

(2) 求证:当 x ≥ 0 时, ? x ≤ f '( x ) ≤ x ; (3) 求证: x1 ?

π
2

+ x2 ?

π
2

+ x3 ?

π
2

+ L + xn +1 ?

π
2

< π (n ∈ N * ) .

高三理科数学试题第 4 页(共 7 页)

学年度第二学期 学期高考模拟测试 珠海市 2009---2010 学年度第二学期高考模拟测试 理科数学 参考答案及评分标准
小题, 在每小题给出的四个选项中, 一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,满分 40 分.在每小题给出的四个选项中,只 选择题: 有一项是符合题目要求的. 有一项是符合题目要求的. 题号 答案 1 D 2 D 3 C 4 A 5 C 6 B 7 B 8 C

小题, 14~ 题是选做题, 二、填空题:本大题共 7 小题,每小题 5 分,满分 30 分.其中 14~15 题是选做题,考生 填空题: 只能选做一 题全答的,只计算前一题得分. 只能选做一题,两题全答的,只计算前一题得分. 题号 答案 9 0.8 10 -160 11 12 13 55 14 15

2 ?1

143 288

8 5

3

小题, 解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 三、解答题:本大题共 6 小题,满分 80 分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 解答题:
B A

16. 本小题满分12分 (本小题满分12 16. 本小题满分12分) ( 如图,已知平面四边形 ABCD 中, ?BCD 为正三角形, AB = AD = 2 , ∠BAD = 2θ ,记四边形 ABCD 的面积为 S . (1) 将 S 表示为 θ 的函数; (2) 求 S 的最大值及单调增区间。 解:(1)在 ?ABD 中,由余弦定理得 BD = 8 ? 8 cos 2θ ,……1 分
2

D

C

∴ BD = 4 sin θ ∴S

………………………………………………2 分

= S ?ABD + S ?BCD = 2 sin 2θ + (8 ? 8cos 2θ )sin

1 2

π
3


………………3 分 ………………5 分

∴ S = 2sin 2θ ? 2 3 cos 2θ + 2 3 = 4sin(2θ ? ∴ S = 4 sin(2θ ? ) + 2 3 , θ ∈ ? 0,

π )+2 3 3

π 3

? π? ? ? 2?

………………………………6 分

(2)Q θ ∈ ? 0, ∴当 2θ ?

? π ? ∴ ? π < 2θ ? π < 2 π , ? 3 3 3 ? 2? =

………………………………7 分

π
3

π
2

即θ =

5π 时,S取得最大值,最大值为 4 + 2 3 ………………9 分 12

高三理科数学试题第 5 页(共 7 页)

由∴ ?

π π π 5π < 2θ ? < 得: 0 < θ < , 3 3 2 12
? ? 5π ? ? 12 ?

………………………………10 分

∴S 的单调增区间为 ? 0,

………………………………………………11 分

∴S 的最大值为 4 + 2 3 ,单调增区间为 ? 0,

? ?

5π ? ? ………………………………12 分 12 ?

( 17. 本小题满分 12 分) 如图是两个独立的转盘 ( A)、 ) ,在两个图中的四个扇形区域的圆心角分别为 (B

60o、 o 、90o、90o 。用这两个转盘进行玩游戏,规则是:同时转动两个转盘待指针停下 120
(当两个转盘中任意一个指针恰好落在分界线时, 则这次转动无效, 重新开始) 记转盘 ( A) , 指针所对的区域数为 x ,转盘 ( B ) 指针所对的区域数为 y , x、y ∈ {1, 2, 3, 4} ,设 x + y 的 值为 ξ ,每一次游戏得到奖励分为 ξ . ⑴求 x < 3 且 y > 2 的概率; ⑵某人进行了 6 次游戏,求他平均可以得到的奖 励分。
3 4 2
1 4

3 2 1

解:⑴由题意可知:

(A) )

(B) )

1 1 1 1 P ( x = 1) = , P ( x = 2) = , P ( x = 3) = , P ( x = 4) = ; 6 3 4 4 1 1 1 1 P ( y = 1) = , P ( y = 2) = , P ( y = 3) = , P ( y = 4) = ; 3 4 4 6 1 则 P ( x < 3) = P ( x = 1) + P ( x = 2) = , 2 5 P ( y > 2) = P ( y = 3) + p ( y = 4) = , 12 5 所以 P ( x < 3, y > 2) = P ( x < 3) P ( y > 2) = 。 24 ⑵由条件可知 ξ 的可能取值为: 2、 4 5、、、,则: 3、、 6 7 8 1 1 1 P (ξ = 2) = P ( x = 1) P ( y = 1) = = , 3 6 18 1 1 1 P (ξ = 3) = P ( x = 1) P ( y = 2) + P ( x = 2) P ( y = 1) = + 4 6 3
同理可得:

……………………2 分

……………………4 分 ……………………5 分 ……………………6 分

1 11 = ,………………7 分 3 72

P (ξ = 4) =

∴ ξ 的分布列为:

5 37 13 15 1 , P (ξ = 5) = , P (ξ = 6) = , P (ξ = 7) = , P (ξ = 8) = ,…9 分 24 144 72 144 24
2 3 4 5 6 7 8

ξ

高三理科数学试题第 6 页(共 7 页)

P

1 18

11 72

5 24

37 144

13 72

15 144

1 24

他平均一次得到的奖励分即为 ξ 的期望值:

………………10 分

1 11 5 37 13 15 1 29 + 3× + 4 × + 5 × + 6× + 7× + 8× = ,…… 11 分 18 72 24 144 72 144 24 6 所以给他玩 6 次,平均可以得到 6 Eξ = 29 分。 ………………12 分 Eξ = 2 ×

18.(本小题满分 14 分) ( 如图, 在四棱锥 P ? ABCD 中,?PCD 为等边三角形, 四边形 ABCD 为矩形, 平面 PDC ⊥ 平面 ABCD , M 、N、E 分别是 AB、PD、PC 中点, AB = 2 AD . (1) 求证: DE ⊥ MN ; (2)求二面角 B ? PA ? D 的余弦值. (1) 证明: 连结 NE , EB ∵ ABCD 为矩形, M 、N、E 分别是 AB、PD、PC 中点 ∴ NE // CD // AB ,且 NE =

∴ NE // MB , NE = MB ,…………………2 分 ∴ MNEB 是平行四边形 ∴ MN // BE , ……………………………3 分 ∵ ?PCD 是等边三角形, M 、N、E 是 AB、PD、PC 中点, ∴ DE ⊥ PC , ……………………………4 分 ∵平面 PCD ⊥ 平面 ABCD , BC ⊥ CD , ∴ BC ⊥ 平面 PCD , ∴ DE ⊥ BC , ∴ DE ⊥ 平面 PBC ,……………………………6 分 ∴ DE ⊥ BE , ∴ MN ⊥ DE , ……………………………7 分 (2)解:过 B、D 分别作 BF ⊥ PA 于 F 、 DG ⊥ PA 于 G ,连结 BD 。 则向量 GD 、 的夹角 θ 就是二面角 B ? PA ? D 的平面角,…8 分 FB 设 AD = 1 ,则 AB = DC = PD = PC = 2 , ∴ DG =

1 1 AB , MB = AB , 2 2

uuur uuu r

2 4 1 , BF = , FG = , BD = 5 ,………10 分 5 5 5

由 BD = ? FB + FG + GD 得:

uuu r

uuu uuu uuur r r

uuu 2 r uuu uuur uuur r uuu 2 uuur 2 uuur 2 r uuu uuur r BD = (? FB + FG + GD)2 = FB + FG + GD ? 2 FB ? GD ,……12 分
即 BD = FB + FG + GD ? 2 FB ? GD cos θ ,解得 cos θ = ?
2 2 2 2

1 ……13 分 4

高三理科数学试题第 7 页(共 7 页)

∴二面角 B ? PA ? D 的余弦值为 ?

1 . 4

……………………………14 分

19.(本小题满分 14 分) ( , 在 ?ABC 中,点 A 的坐标为(3,0) | BC |= 2 且两端点 B , C 在 y 轴上区间[-3,3]上滑 动. (1) 求 ?ABC 的外心 P (三边垂直平分线的交点)的轨迹方程; (2) 设直线 l : y = 3 x + b 与点 P 的轨迹交于 E , F 两点,原点 O 到直线 l 的距离为 d ,试求

b 的值,使

| EF | 最大并求该最大值. d
………………1 分

解: (1)设 P ( x, y ) ,不妨设 B (0, t ), C (0, t ? 2) ( ?1 ≤ t ≤ 3) ,

? x 2 + ( y ? t ) 2 = x 2 + ( y ? t + 2) 2 (1) ?| PB |=| PC | 由? 得: ? , 2 2 2 2 ? | PA |=| PB | ? ( x ? 3) + y = x + ( y ? t ) (2)
由(1)得: t = y + 1 (3)

………………2 分

将(3)代入(2)化简得: y 2 = 6 x ? 8 ,…………………………………………4 分 由 t = y + 1 及 ?1 ≤ t ≤ 3 知: ?2 ≤ y ≤ 2 ,…………………………………………5 分 ∴外心 P 的轨迹方程为: y 2 = 6 x ? 8 ( ?2 ≤ y ≤ 2 ) 。 (2)设 E ( x1,y1 )、F ( x2,y2 ) 由? ………………6 分

? y = 3x + b 2 消 x 得: y ? 2 y + 2b + 8 = 0 (*) 2 ? y = 6x ? 8

………………7 分

由题意知: y1、y2 是方程(*)在区间 [ ?2, 2] 上的两个不等实根,则:

? ? = 4 ? 4(2b + 8) > 0 ? 2 ?(?2) ? 2 × (?2) + 2b + 8 ≥ 0 , ? 22 ? 2 × 2 + 2b + 8 ≥ 0 ?
解得: ?4 ≤ b < ?

7 , 2

……………………………………………… 10 分

原点 O 到直线 l 的距离为 d =

|b| ,…………………………………………… 11 分 10

| EF |= (1 +

2 10(?2b ? 7) 1 1 )[( y1 + y2 ) 2 ? 4 y1 y2 ] = (1 + )[22 ? 4(2b + 8)] = 2 k 9 3
…………………… 12 分

| EF | 20 ?2b ? 7 20 ?1 1? 1 ∴ = = ?7 ? + ? + 2 3 3 d b ?b 7? 7
2

高三理科数学试题第 8 页(共 7 页)

由 ?4 ≤ b < ?

7 2 1 1 | EF | 5 知: ? ≤ ≤ ? ,则当 b = ?4 时, 取得最大值,最大值为 。 2 7 b 4 d 3
…………………… 14 分

20.(本小题满分 14 分) ( 已知函数 f ( x) = ?

?? x3 + x 2 + bx + c ( x < 1) 的图象过点 (?1, 2) , 且在点 ( ?1, f ( ?1)) 处的切 a ln x ( x ≥ 1) ?

线与直线 x ? 5 y + 1 = 0 垂直; (1) 求实数 b, c 的值; (2) 求 f ( x ) 在 [ ?1, e] ( e 为自然对数的底数)上的最大值; (3) 对任意给定的正实数 a ,曲线 y = f ( x) 上是否存在两点 P, Q ,使得 ?POQ 是以 O 为 直角顶点的直角三角形,且此三角形斜边中点在 y 轴上? 解: (1)当 x < 1 时, f '( x) = ?3 x 2 + 2 x + b ,………………………………1 分 由题意得: ?

? f (?1) = 2 ? 2?b + c = 2 ,即 ? , ? f '(?1) = ?5 ? ?3 ? 2 + b = ?5

……………………3 分

解得: b = c = 0 。 (2)由(1)知: f ( x) = ?

……………………………………………………4 分

? ? x3 + x 2 ( x < 1) ( x ≥ 1) ? a ln x

①当 ?1 ≤ x < 1 时, f '( x) = ? x(3 x ? 2) ,

2 2 ' ' 解 f ( x) > 0 得 0 < x < ;解 f ( x) < 0 得 ?1 < x < 0 或 < x < 1 3 3
∴ f ( x) 在 (?1, 和 ( , 上单减,在 (0, ) 上单增, 0) 1) 由 f '( x) = ? x(3 x ? 2) = 0 得: x = 0 或 x = ∵

1 3

2 3

2 , ……………………………5 分 3

2 4 f (?1) = 2,f ( ) = ,f (0) = 0,f (1) = 0 , 3 27 ∴ f ( x) 在 [ ?1,1) 上的最大值为 2 。 ……………………………6 分 ②当 1 ≤ x ≤ e 时, f ( x) = a ln x ,
当 a ≤ 0 时, f ( x) ≤ 0 ;当 a > 0 时, f ( x) 在 [1, e] 单调递增; ∴ f ( x) 在 [1, e] 上的最大值为 a 。 ∴当 a ≥ 2 时, f ( x) 在 [ ?1, e] 上的最大值为 a ; 当 a < 2 时, f ( x) 在 [ ?1, e] 上的最大值为 2 。 …………………9 分 (3)假设曲线 y = f ( x) 上存在两点 P, Q 满足题意,则 P, Q 只能在 y 轴两侧,不妨设 ……………………………8 分

P(t , f (t )) (t > 0) ,则 Q(?t , t 3 + t 2 ) ,且 t ≠ 1 。 ∵ POQ 是以 O 为直角顶点的直角三角形

高三理科数学试题第 9 页(共 7 页)

∴ OP OQ = 0 ,即 ?t 2 + f (t )(t 3 + t 2 ) = 0 (*) 是否存在 P, Q 等价于方程(*)是否有解。
3 2

uuu uuur r

…………………10 分
2 3 2 3 2

①若 0 < t < 1 ,则 f (t ) = ?t + t ,代入方程(*)得: ?t + ( ?t + t )(t + t ) = 0 , 即: t ? t + 1 = 0 ,而此方程无实数解,从而 t > 1 ,
4 2

…………………11 分

∴ f (t ) = a ln t ,代入方程(*)得: ?t 2 + a ln t (t 3 + t 2 ) = 0 , 即:

1 = (t + 1) ln t , a

…………………………………………12 分

设 h( x ) = ( x + 1) ln x ( x ≥ 1) ,则 h '( x ) = ln x +

1 + 1 > 0 在 [1, +∞) 恒成立, x

∴ h( x ) 在 [1, +∞ ) 上单调递增,从而 h( x ) ≥ h(1) = 0 ,则 h( x ) 的值域为 [0, +∞ ) 。 ∴当 a > 0 时,方程

1 = (t + 1) ln t 有解,即方程(*)有解。 a

∴对任意给定的正实数 a ,曲线 y = f ( x) 上总存在两点 P, Q ,使得 POQ 是以 O 为直 角顶点的直角三角形,且此三角形斜边中点在 y 轴上。…………………………14 分 21.(本小题满分 14 分) ( 已知函数 f ( x ) = ? cos x , g ( x ) = 2 x ? π ,数列 {xn } 满足: x1 = α (α ∈ ?

? π 5π ? , ), ?6 6 ? ?

g ( xn +1 ) =
(1) 当 α =

2 f ( xn ) (n ∈ N * ) , n

π

2

时,求 x2 , x3 的值并写出数列 {xn } 的通项公式(不要求证明) ;

(2) 求证:当 x ≥ 0 时, ? x ≤ f '( x ) ≤ x ; (3) 求证: x1 ?

π
2

+ x2 ?

π
2

+ x3 ?

π
2

+ L + xn +1 ?

π
2

< π (n ∈ N * ) 。

(1)解: x2 = x3 =

π
2

, xn =

π
2



……………………………………2 分

(2)证明:设 F ( x ) = f '( x ) ? x = sin x ? x ,则 F '( x ) = cos x ? 1 ≤ 0 , ∴ F ( x ) 在 [0, +∞ ) 上为减函数,即 F ( x ) ≤ F (0) = 0 ,即 f '( x ) ≤ x ,………………4 分 设 H ( x ) = f '( x ) + x = sin x + x ,则 H '( x ) = cos x + 1 ≥ 0 , ∴ H ( x ) 在 [0, +∞ ) 上为增函数,即 H ( x ) ≥ H (0) = 0 ,即 f '( x ) ≥ ? x ,………………5 分 ∴当 x ≥ 0 时, ? x ≤ f '( x ) ≤ x 。 ……………………………………6 分

高三理科数学试题第 10页(共 7 页)

(3)由(1)知:当 x ≥ 0 时, | f '( x ) |≤| x | , 同理可证:当 x < 0 时, | f '( x ) |≤| x | ,即对 ?x ∈ R ,恒有: | f '( x ) |≤| x | 。…………7 分 由 g ( xn +1 ) = ∴ xn +1 ?

2 π 1 f ( xn ) (n ∈ N * ) 得: xn +1 ? = cos xn , n 2 n

π
2 ≤

=

1 1 π 1 π * (n∈ N ) cos xn = sin( xn ? ) ≤ xn ? n n 2 n 2

………………8 分

∴ xn ?

π
2

1 π π 1 π π π xn ?1 ? , xn ?1 ? ≤ xn ? 2 ? ,……, x2 ? ≤ x1 ? , n ?1 2 2 n?2 2 2 2 ≤ 1 π α? , (n ? 1)! 2
…………………………………………10 分

从而 xn ?

π
2

x1 ?

π
2

+ x2 ?

π
2

+ x3 ?

π
2

+ L + xn +1 ?

π

1? π ?1 1 1 1 …11 分 ≤ ? + + + +L + ? α ? 2 ?1! 1! 2! 3! n !? 2

1 1 1 ? π ? ≤ ?1 + 1 + + 2 + L + n ?1 ? α ? 2 2 2 ? 2 ? 1 ? π ? 1 ? π ? = ?1 + 2(1 ? n ) ? α ? = ?3 ? n ?1 ? α ? 2 ? 2 ? 2 ? 2 ? <3 α ?
…………………13 分

π π

? π 5π ? < π (α ∈ ? , ? ) 2 ?6 6 ? + L + xn +1 ?

∴ x1 ?

π
2

+ x2 ?

π
2

+ x3 ?

π
2

2

< π (n ∈ N * ) 成立。 …………………14 分

高三理科数学试题第 11页(共 7 页)


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