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相似三角形复习精品资料


相似三角形复习资料
1、 比例线段: 对于四条线段 a、b、c、d,如果其中两条线段的长度的比与另两条线段的长度的比相等,

a c 即 = ,那么,这四条线段叫做成比例线段,简称比例线段 b d
2、 比例中项: a b 2 如果 = 那么 b 叫做 a、c 的比例中项,也可以写成 b =ac b c 【典型例题】 例 1:在比例尺为 1

:400000 地图上,量得甲、乙两地的距离为 15 厘米,求甲、 乙两 地的实际距离。

a b 例 2:线段 a=15 厘米,b=20 厘米,c=75 毫米,d=0.1 米,求: 与 ,这四条线段 b c 会成比例吗?

AD AE 例 3:如图 AB=21,AD=15,CE=40,并且 = ,求:AC 的长 AB AC

【针对性练习】 AC AC CD AC CD 1.(1)根据图示求线段比 、 、 、 、 CD CB DB AD CB (2)指出图中成比例的线段。

3、 比例的基本性质 两条线段的比实际上就是两个数的比,如果 a,b,c,d 四个数满足 反过来,如果 ad=bc(a,b,c,d 都不等于 0),那么

a c ? ,那么 ad=bc, b d

a c ? b d

注意:线段的比有顺序性,四条线段成比例也有顺序性.如 成比例,而不是线段 a、c、b、d 成比例. 【典型例题】 例题(1)如图,已知

a c = 是线段 a、b、c、d b d

a c a?b c?d ? =3,求 和 ; b d b d a c a?b c?d ? (2)如果 ? =k(k 为常数) ,那么 成立吗?为什么? b d b d

4、相似多边形: 观察下面两组图形,(1)中的两个图形相似吗?为什么?(2)中的两个图形呢?

(如果两个多边形不相似,那么它们的各角可能对应相等吗?它们的各边可能对应成 比例吗? 答: (1)中的两个图形不相似. 因为相似形需要满足两个条件,一个是对应角相等,一个是对应边成比例.虽然(1)中 的两个图形对应边成比例,但对应角不相等,所以两个图形不相似. (2)中的两个图形也不相似. 因为它们的对应边不成比例,所以两个图形不相似. 小结:如果两个多边形不相似,那么它们的对应角也可能都相等,如(2)中的两个图形; 如果两个多边形不相似,那么它们的对应边也可能成比例,如(1)中的两个图形对应边 成比例,但对应角不相等. 5、相似三角形的基本概念: 1.相似三角形的定义:对应角相等、对应边成比例的三角形叫做相似三角形。 2.相似比相似三角形的对应边的比,叫做相似三角形的相似比。 △ABC∽△A′B′C′,如果 BC=3, B′C′=2,那么△A′B′C′与 △ABC 的相似比 为_ 6、相似三角形的判定: A ①如果一个三角形的两角分别与另一个三角形的两角对应相等,那么这两个 三角形相似.

A'

?A ? ?A? ? ? ?B ? ?B??

B

B' C

C'

△ABC∽△A′B′C′ ②如果一个三角形的两条边分别与另一个三角形的两条边对应成比例, 并且夹角相等, 那么 这两个三角形相似.

③如果一个三角形的三条边分别与另一个三角形的三条边对应成比例, 那么这两个三角形相 似.

AB AC ? ? ? A?B? A?C ? ? ?A ? ?A? ? ?

△ABC∽△A′B′C′

AB AC BC ? ? A?B? A?C ? B?C ?

△ABC∽△A′B′C′

【典型例题】 例 1 判断 ①所有的等腰三角形都相似. ( ②所有的直角三角形都相似. ( ③所有的等边三角形都相似. ( ④所有的等腰直角三角形都相似. ( 例 2、Rt △ABC 的斜边 AB 上有一动点P(不与点 A、B 重合 ) , 过P点作直线截△ABC,使截得的三角形与△ABC 相似,则满足这样条件的直线共有 多少条,请你画出来。

) ) ) )

【基础练习】 (1)如图 1,当 (2)如图 2,当 (3)如图 3,当

时,△ABC∽ △ADE 时, △ABC∽ △AED。 时, △ABC∽ △ACD。
A

A

A

D

E

D

D
E

B 图1

C

B 图2

C

B 图3 C

小结:以上三类归为基本图形:母子型或 A 型 (3)如图 4,如图 1,当 AB∥ED 时,则△ (4)如图 5,当 时,则△
A C
C'

∽△ ∽△

。 。

B

A' B'

E

D

E' D'

小结:此类图开为基本图开:兄弟型或 X 型
A

4、特殊图形(双垂直模型) ∵∠BAC=90° AD ? BC ∴ ?ADC ∽ ?BDA ∽ ?BAC 射影定理 B 2 2 AD2=BD·CD AB =BD·BC AC =CD·BC 【基础练习】 1、如图 1,已知:DE∥BC,EF ∥AB,则图中共有_____对三角形相似. 2、依据下列各组条件,判定△ABC 与△A?B?C?是不是相似,并说明为什么.

A

D
D

C
E

(1)∠A=120°,AB=7cm,AC=14cm,∠A?=120°,A?B?=3cm,A? B C?=6cm, (2)AB=4cm,BC=6cm,AC=8cm,A?B?=12cm,B?C?=18cm,A?C?=24cm. 3、已知,如图,梯形 ABCD 中,AD∥BC, ∠A=900,对角线 BD⊥CD 求证:(1) △ABD∽△DCB;(2)BD2=AD·BC
A D

F

C

B

C

课后练习:
1、如果△ABC∽△A′B′C′,相似比为 k (k≠1),则 k 的值是( ) A.∠A:∠A′ B.A′B′:AB C.∠B:∠B′ D.BC:B′C′ 2、若△ABC∽△A′B′C′,∠A=40°,∠C=110°,则∠B′等于( ) A . 30 ° B . 50 ° C . 40 ° D.70° 3、三角形三边之比 3:5:7,与它相似的三角形最长边是 21cm,另两边之 和是( ) A.15cm B.18cm C.21cm D.24cm 4、如图 AB∥CD∥EF,则图中相似三角形的对数为( ) A.1 对 B.2 对 C.3 对 D.4 对 5、△ABC∽△A1B1C1,相似比为 2:3,△A1B1C1∽△A2B2C2,相似比为 5: 4,则△ABC 与△A2B2C2 的相似比为( )

A.

B.

C.

D.

6、在比例尺 1:10000 的地图上,相距 2cm 的两地的实际距离是( ) A.200cm B.200dm C.200m D.200km 7、已知线段 a=10,线段 b 是线段 a 上黄金分割的较长部分,则线段 b 的长是( ) A. B. C. D.

8、若

则下列各式中不正确的是( )

A.

B.

C.

D.

9、已知△ABC 中,D、E 分别在 AB、AC 上,且 AE=1.2,EC=0.8,AD=1.5,DB=1,则下 列式子正确的是( )

A.

B.

C.

D.

10、如图:在△ABC 中, A.8:3 11、计算 B.3:8

DE∥AC,则 DE:AC=( ) C.8:5 D.5:8

(1)若



的值.

(2)已知:

且 2a-b+3c=21,求 a,b,c 的值.

12、如图:AD∥BC∥EF,则图中有多少对相似的三角形并写出来.

13、在等边△ABC 中,P 是 BC 上一点,AP 的垂直平分线分别交 AB、 AC 于 M、N,求证:△MBP∽△PCN.

14、如图:某出版社一位编辑在设计一本书的封面时,想把封面划分为四个矩形,以给人一

种和谐的感觉,这样的四个矩形怎样画出来?

15.如图,在矩形 ABCD 中,AB=12cm,BC=6cm,点 P 沿 AB 边从点 A 开始向 点 B 以 2cm/s 的速度移动,点 Q 沿 DA 边从点 D 开始向点 A 以 1cm/s 的速 度移动.如果点 P、 Q 同时出发,用 t(s)表示移动的时间(0≤t≤6),那么当 t 为何值时, 以点 Q、A、P 为顶点的三角形和△ABC 相似?
Q D C

A

P

B

16.如图在 Rt△ABC 中, ∠ACB=90°, △ABC 外作一个 Rt△BCD, 使∠BDC=90°, 设 AB=a, BC=b,CD=c,当 a、b、c 满足什么关系式时,这两个三角形相似?
C D

A

B


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