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博弈论第1次作业


博弈论第 1 次作业 1、两个人分 4 只乒乓球,每个人同时独立地提出自己想得到的球数。设参与人 1 想得到 s1 只,参与人 2 想得到 s2 只球,分配的规则是:如果 s1 + s2 ≤4,那么 每个参与人均能得到自己想要的数量;如果 s1 + s2 >4,那么两个参与人什么也 得不到。 (1)写出参与人 1,2 的战略空间 S1,S2; (2)画出该博弈的双变量收益矩阵; (3)用划线法找出该博弈的全部纯战略纳什均衡。

2、精神病医生 A、B 同时在一条很长的公路边选择各自的诊所位置,这条公路用 从 0 到 1 的区间表示。公路 0 到 1/4 这个区间属于俄勒冈州,从 1/4 到 1 这个区 间属于加利福尼亚州。医生 A(参与人 1)同时拥有俄勒冈州和加利福尼亚州的 行医执照,而医生 B(参与人 2)只有俄勒冈州的行医执照。假设病人沿这条公 路是均匀分布的, 每个病人都就近看病,每个医生的收益就是到他诊所就诊的病 人比例。设医生 A(参与人 1)的战略空间(选择诊所的位置)为 2 )的战略空间为 S1 ? ?0 , 1 / 8 , 1 / 4 , 3 / 8 , 1 / 2 , 5 / 8 , ? 3;医生 / 4, 7 / B 8(参与人 ,1

S2 ? ?0,1 / 8,1 / ? 4。
(1) 试画出博弈的双变量收益矩阵; (2) 利用划线法找出该博弈的纯战略纳什均衡。 3、在下图所示的战略式表述的博弈中,有没有占优战略均衡?有没有重复剔除 严格劣战略的占优均衡?有没有纳什均衡?如果有,请写出相应的均衡。 参与人 2 L U 参与人 1 M D 4,3 2,1 3,0 M 5,1 8,4 9,6 R 6,2 3,6 2,8

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4、下图是两人博弈的战略式表述形式,其中参与人 1 的战略空间 S1={U,D},参 与人 2 的战略空间 S2={L,R}。

参与人 2

L
参与人 1

M c, d g, h

U D

a, b e, f

这里 a,b,c,d,e,f,g,h 为参数。 (1) 设 S*=(U,L)是此博弈的严格占优战略均衡,问:上述参数之间应满 足哪些条件? (2) 设 S*=(U,R)是此博弈的重复剔除严格劣战略的占优均衡,问:上述 参数之间应满足哪些条件?(用两种剔除顺序讨论) (3) 设 S*=(D,R)是此博弈的纳什均衡,问:上述参数之间应满足哪些 条件? (4) 设 S1*=(U,L)和 S2*=(D,R)是此博弈的纳什均衡,问:上述参数 之间应满足哪些条件?这时两个参与人有无严格劣战略? 5、求下图所示战略式表述的博弈的混合战略纳什均衡。 参与人 2

L
参与人 1

R
0,2 3,0

U D

2,1 1,2

6、试给出下述战略式表述博弈的纳什均衡。 B

L
A

R
2, 5 6, 2

U D

1, 3 4, 1

7、A、B 两企业利用广告进行竞争。若 A、B 两企业都做广告,在未来销售中,A 企业可以获得 18 万元利润,B 企业可以获得 10 万元利润;若 A 企业做广告,B 企业不做广告,A 企业可以获得 30 万元利润,B 企业可以获得 4 万元利润;若 A 企业不做广告,B 企业做广告,A 企业可以获得 13 万元利润,B 企业可以获得 16 万元利润;若 A、B 两企业都不做广告,A 企业可以获得 35 万元利润,B 企业可
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以获得 8 万元利润。 试求: (1)画出 A、B 企业的支付矩阵。 (2)求出该博弈的纯策略纳什均衡。

8、两个厂商生产一种完全同质的商品,该商品的市场需求函数为 Q ? 100 ? P ,设厂商 1 和厂商 2 都没有固定成本。若他们在相互知道对方边 际成本的情况下, 同时作出产量决策是分别生产 20 单位和 30 单位。问这两个厂 商的边际成本各是多少?各自的利润是多少? 9 五户居民都可以在一个公共的池塘里放养鸭子。每只鸭子的收益 v 是鸭子总数

N 的 函 数 ,并 取 决 于 N 是否 超 过 某个 临 界值 N ; 如 果 N ? N , 收 益 v ? v( N ) ? 50 ? N ;如果 N ? N 时, v( N ) ? 0 。再假设每只鸭子的 成本为 c ? 2 元。若所有居民同时决定养鸭的数量,问该博弈的纳什均衡是什
么? 解:设 5 个农户的放养数量分别为 q1,q2,q3,q4,q5 别为: 则 5 个农户的收益分

10、三对夫妻的感情状态可以分别用下面三个得益矩阵对应的静态博弈来表示。 问:这三个博弈的纳什均衡分别是什么?这三对夫妻的感情状态究竟如何? 矩阵 1: 妻子 活着 死了 丈夫 活着 1,1 -1,0 死了 0,-1 0,0

矩阵 2: 妻子 丈夫 活着 死了 活着 0,0 0,1 死了 1,0 0,0

矩阵 3: 妻子 丈夫 活着 死了 活着 -1,-1 0,1 死了 1,0 0,0

11、两个个体一起参加某项工程,每个人的努力程度 ei ?[0,1] (i ? 1, 2) ,成本为
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c(ei ) (i ? 1, 2) ,该项目的产出为 f (e1 , e2 ) 。个体的努力程度不影响到项
目的分配方法,项目的产出在 2 个体之间均分。试回答以下问题: 1、如果 f (e1 , e2 ) ? 3e1e2 , c(ei ) ? ei (i 均衡(即两个个体选择的最优努力程度) 。
2

? 1, 2) ,试求此博弈的的 Nash

2、 如果 f (e1 , e2 ) ? 4e1e2 , c(ei ) 均衡。

? ei (i ? 1, 2) ,试求此博弈的的 Nash

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