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第7篇 第5讲简单几何体的面积与体积


第5讲

简单几何体的面积与体积

基础巩固题组 (建议用时:40 分钟) 一、选择题 1.(2013· 广东卷)某三棱锥的三视图如图所示,则该三棱锥的体积是( ).

1 A.6 2 C.3 解析

1 B.3 D.1 由三视图可知该三棱锥的底面是边长为 1 的等腰直角三角形,高为 2.


1 1 1 由锥体的体积公式可知 V=3×2×1×1×2=3. 答案 B

2.(2013· 湖南卷)已知正方体的棱长为 1,其俯视图是一个面积为 1 的正方形, 左视图是一个面积为 2的矩形,则该正方体的主视图的面积等于( 3 A. 2 C. 解析 2+1 2 B.1 D. 2 ).

易知正方体是水平放置的,又左视图是面积为 2的矩形.∴正方体的

对角面平行于投影面,此时主视图和左视图相同,面积为 2.

答案

D

3. (2014· 南昌模拟)如图所示,一个简单几何体的主视图和左视图都是边长为 1 的正方形,俯视图是一个直径为 1 的圆,那么这个几何体的表面积为( ).

A.4π C.3π 解析 答案

3 B.2π D.2π 3π ?1? 由三视图可知, 该几何体是一个圆柱, S 表=2×π×?2?2+π×1×1= 2 . ? ? B

4. 如图,在多面体 ABCDEF 中,已知 ABCD 是边长为 1 的正方形,且△ADE, △BCF 均为正三角形,EF∥AB,EF=2,则该多面体的体积为( ).

2 A. 3 4 C.3

3 B. 3 3 D.2

解析

如图,分别过点 A,B 作 EF 的垂线,垂足分别为 G,H,连接 DG,

1 3 1 CH,容易求得 EG=HF=2,AG=GD=BH=HC= 2 ,∴S△AGD=S△BHC=2 2 2 1 × 2 ×1 = 4 ,∴ V = VE - ADG + VF - BHC + VAGD - BHC = 2VE - ADG + VAGD - BHC = 3 2 1 2 2 × 4 ×2×2+ 4 ×1= 3 .故选 A. 答案 A

5.(2012· 新课标全国卷)平面 α 截球 O 的球面所得圆的半径为 1,球心 O 到平面 α 的距离为 2,则此球的体积为 A. 6π C.4 6π 解析 B.4 3π D.6 3π ( ).

如图,设截面圆的圆心为 O′,M 为截面圆上任一点,则 OO′= 2,O′M 4 =1,∴OM= ? 2?2+1= 3,即球的半径为 3,∴V=3π( 3)3=4 3π. 答案 B

二、填空题 6.(2013· 辽宁卷)某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积是________.

解析

由三视图可知该几何体是一个圆柱内部挖去一个正四棱柱,圆柱底面

圆半径为 2,高为 4,故体积为 16π;正四棱柱底面边长为 2,高为 4,故体

积为 16,所以几何体的体积为 16π-16. 答案 16π-16

9π 7.(2013· 天津卷)已知一个正方体的所有顶点在一个球面上,若球的体积为 2 , 则正方体的棱长为________. 解析 4 9π 设正方体的棱长为 a,外接球的半径为 R,由题意知3πR3= 2 ,∴R3

27 3 = 8 ,而 R=2. 4 4 ?3? 由于 3a2=4R2,∴a2=3R2=3×?2?2=3,∴a= 3. ? ? 答案 3

8.若圆锥的侧面积为 2π,底面面积为 π,则该圆锥的体积为________. 解析 ?πrl=2π, 设圆锥的底面圆半径为 r ,高为 h ,母线长为 l ,则 ? 2 ∴ ?πr =π,

?r=1, ? ?l=2. ∴h= l2-r2= 22-12= 3. 1 3 ∴圆锥的体积 V=3π·12· 3= 3 π. 答案 3 3π

三、解答题 9.如图,已知某几何体的三视图如下(单位:cm):

(1)画出这个几何体的直观图(不要求写画法); (2)求这个几何体的表面积及体积. 解

(1)这个几何体的直观图如图所示. (2)这个几何体可看成是正方体 AC1 及直三棱柱 B1C1Q-A1D1P 的组合体. 由 PA1=PD1= 2 cm,A1D1=AD=2 cm,可得 PA1⊥PD1.故所求几何体的表 面积 1 S=5×22+2×2× 2+2×2×( 2)2=22+4 2(cm2), 1 体积 V=23+2×( 2)2×2=10(cm3). 10.有一个倒圆锥形容器,它的轴截面是一个正三角形,在容器内放一个半 径为 r 的铁球,并注入水,使水面与球正好相切,然后将球取出,求这时容 器中水的深度.



如图所示,作出轴截面,因轴截面是正三角形,根据切线性质知当球在

容器内时,水的深度为 3r,水面半径 BC 的长为 3r,则容器内水的体积为 1 V=V 圆锥-V 球=3π( 3r)2· 3r - 4 3 5 3 3πr =3πr , 将球取出后,设容器中水的深度为 h, 3 则水面圆的半径为 3 h,从而容器内水的体积为

1 ? 3 ? 1 3 V′=3π? h?2h=9πh3,由 V=V′,得 h= 15r. ?3 ? 能力提升题组 (建议用时:25 分钟) 一、选择题 1.已知球的直径 SC=4,A,B 是该球球面上的两点,AB= 3,∠ASC=∠BSC =30° ,则棱锥 S-ABC 的体积为 A.3 3 C. 3 B.2 3 D.1 ( ).

解析

由题意知,如图所示,在棱锥 S-ABC 中,△SAC,△SBC 都是有一

个角为 30° 的直角三角形,其中 AB= 3,SC=4,所以 SA=SB=2 3,AC 1 3 =BC=2, 作 BD⊥SC 于 D 点, 连接 AD, 易证 SC⊥平面 ABD, 因此 V=3× 4 ×( 3)2×4= 3. 答案 C

2. (2013· 西安模拟)具有如图所示的主视图和俯视图的几何体中,体积最大的几 何体的表面积为 ( ).

A.3 7 C.2π

B.7+3 2 D.14

解析

由主视图和俯视图可知,该几何体可能是四棱柱或者是水平放置的三

棱柱,或水平放置的圆柱.由图可知四棱柱的体积最大.四棱柱的高为 1, 底面边长分别为 1,3,所以表面积为 2(1×3+1×1+3×1)=14. 答案 D

二、填空题 3. 如图,已知正三棱柱 ABC-A1B1C1 的底面边长为 2 cm、高为 5 cm,则一质点 自点 A 出发,沿着三棱柱的侧面绕行两周到达点 A1 的最短路线的长为 ________cm.

解析

根据题意,利用分割法将原三棱柱分割为两个相同的三棱柱,然后将

其展开为如图所示的实线部分,则可知所求最短路线的长为 52+122 = 13 (cm).

答案

13

三、解答题 4.如图 1,在直角梯形 ABCD 中,∠ADC=90° ,CD∥AB,AB=4,AD=CD= 2,将△ADC 沿 AC 折起,使平面 ADC⊥平面 ABC,得到几何体 D-ABC, 如图 2 所示.

(1)求证:BC⊥平面 ACD; (2)求几何体 D-ABC 的体积. (1)证明 在图中,可得 AC=BC=2 2,从而 AC2+BC2=AB2,故 AC⊥BC,

又平面 ADC⊥平面 ABC, 平面 ADC∩平面 ABC=AC,BC 平面 ABC, ∴BC⊥平面 ACD. (2)解
-ACD

由(1)可知,BC 为三棱锥 B-ACD 的高,BC=2 2,S△ACD=2,∴VB

1 1 4 2 =3S△ACD· BC=3×2×2 2= 3 ,由等体积性可知,几何体 D-ABC 的

4 2 体积为 3 .


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