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贵州省黔东南州2012届高三第一次模拟考试 理科数学试题(2012黔东南一模)


绝密★使用完毕前

2012 年月日 15∶00—17∶00

2012 年黔东南州普通高等学校招生第一次适应性考试

理科数学
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。第Ⅰ卷 1 至 2 页。第Ⅱ3 至 4 页。

第Ⅰ卷
(本卷共 12 小题,每小题 5 分,共 6

0 分)
注意事项
1.每小题选出答案后,用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需改动,用橡皮檫檫干净后, 再选涂其它答案标号,不能答在试题卷上。 2.答题前认真阅读答题卡上的“注意事项” 。 参考公式: 如果事件 A 、 B 互斥,那么 如果事件 A 、 B 相互独立,那么
P ( A ? B ) ? P ( A) ? P ( B )
P ( A ? B ) ? P ( A) ? P ( B )

如果事件 A 在一次试验中发生的概率是 P ,那么 n 次独立重复试验中事件 A 发生 k 次的概率为 k k n?k Pn ( k ) ? C n p (1 ? p ) ( k ? 0 , 1 , 2 ,? , n ) 球的表面积公式: S ? 4 ? R 2 ( R 为球的半径) 球的体积公式: V ?
4 3

?R

3

( R 为球的半径)

在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。

1.在集合 A ? {( x , y ) | x ? 1, y ? 1, x ? y ? 4} 中, x ? 2 y 的最大值是
A .5 B .6
2 1? i
C .7

D .8 .

2. i 是虚数单位,复数
A .0 B .2

? a ? bi ( a , b ? R ) ,则 a ? b ?

C .1
2

D .? 2 .

3.函数 f ( x ) ? 1 ? log
A.y ? 2
x ?1

x ( x ? 0 ) 的反函数是
B .y ? 2
x ?1

(x ? R)

( x ? 1) C . y ? 2

x ?1

(x ? R) D . y ? 2

x ?1

( x ? 1) .

4.正方体 ABCD ? A 1 B 1 C 1 D 1 中,二面角 D 1 ? AC ? D 的正切值为
A .1 B .2
C .

2 2

D.

2 .

5.已知 f ( x ) ? sin( 2 x ?
A .?

?
3

) ,则 f (

/

?
3

)? f (
/

2? 3

) ?

1 2

B .? 1

C .

1 2
2

D .1 .

6.已知向量 a = ( 3 , ? 2 ) ,b = ( x ? 1, 2 ? x ) ,则条件“ x ? 2 ”是条件“a // b”成立的

A .充分不必要条件
C .充要条件

B .必要不充分条件 D .既不充分也不必要条件.

7.函数 f ( x ) ? 2 sin( ? x ? ? )( ? ? 0 ) 的图象经过 A ( ?
A .最大值为 3 B .最小值为 3

?
12

,? 2 ) 、 B (

?
4

, 2 ) 两点,则 ? 的

C .最大值为 6

D .最小值为 6 .

8.圆 C : x ? y
2

2

? 8 上有两个相异的点到直线 y ? x ? 5 的距离为都为 d ,则 d 的取值范围


A .(
1 9 , ) 2 2

B .[

1 9 , ] 2 2

C .(

2 9 2 , ) 2 2

D .[

2 9 2 , ]. 2 2

9.春节期间,某单位要安排 3 位行政领导从初一至初六值班,每天安排 1 人,每人值班两天, 则共有多少种安排方案?
A . 90 B . 120
C . 150

D . 15 .

10.正三棱锥 P ? ABC 中, PA ? 3 , AB ? 2 ,则 PA 与平面 PBC 所成角的余弦值为
A.

2 3 9

B .

6 12

C .

7 12

2

D.

2 4



11.函数 f ( x ) ? | x ? 2 | ? 1 ? mx 的图象总在 x 轴的上方,则实数 m 的取值范围是
A . [ ? 1,
1 2 )

B . ( ? 1,

1 2

)

C . ( ? 1,

1 2

]

D . [ ? 1,

1 2

].

12. 过椭圆 C :

x a

2 2

?

y b

2 2

? 1( a ? b ? 0 ) 的右焦点 F 2 引直线 l , C 的右准线交于 A 点, C 与 与

交于 B 、 C 两点,与 y 轴交于 D 点,若 AB ? BC ? CD ,则 C 的离心率为
1 2

A.

B .

5 3

C .

3 3

D.

2 2



2012 年黔东南州普通高等学校招生第一次适应性考试

理科数学
第Ⅱ卷
(本卷共 10 小题,共 90 分)
注意事项
1.考生不能将答案直接答在试卷上,必须答在答题卡上。 2.答题前认真阅读答题卡上的“注意事项“。

二、填空题:本大题共 4 个小题,每小题 5 分,共 20 分.把答案填写在答题卡中横线上. 13. ( x ?
2 x
2

) 展开式中第三项为

6

. .
OB ?

14. 等差数列 { a n } 中,a n ? 0 ,且 a 1 a 2 ? a 1 a 4 ? a 2 a 5 ? a 4 a 5 ? 36 ,则 a 3 ? 15. ? ABC 中,AC ? 3 ,BC ? 4 ,AB ? 5 ,O 是其内切圆的圆心, OA 则
PA AB
?



16.在一个球的球面上有 P 、 A 、 B 、 C 、 D 五个点,且 P ? ABCD 是正四棱锥,同时球 心和 P 点在平面 ABCD 的异侧,则 的取值范围是 .

三、解答题:本大题共 6 个小题,共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17. (本小题满分 10 分) 在 ? ABC 中,角 A 、 B 、 C 所对的边依次为 a 、 b 、 c ,且 A ? (Ⅰ)求
b c ? c b ? a
2

?
3



的值;
2 2 2

bc

(Ⅱ)当 ? ABC 的面积为 4 3 ,且 a ? b ? c ? 48 时,求 a 、 b 、 c . 18. (本小题满分 12 分) 某项试验在甲、乙两地各自独立地试验两次,已知在甲、乙两地每次试验成功的概率依 次为
2 3



3 4

;不成功的概率依次为

1 3



1 4



P

(Ⅰ)求以上的四次试验中,至少有一次试验成功的概率; (Ⅱ)在以上的四次试验中,试验成功的次数为 ? ,求 ? 的分 布列,并计算 E ? .

D
19. (本小题满分 12 分) 如图,在四棱锥 P ? ABCD 中, PA ? 平面 ABCD ,
PA ? AB ? BC ? 2 , ? DAC ? ? ABC ? 90 , AD ?
0

A

2 .

(Ⅰ)证明: AD ? PC ; (Ⅱ)求 PD 与平面 PBC 所成角的大小. 20.(本小题满分 12 分)
n n

B

C

数列 { a n } 中, a 1 ? ? 2 , a n ? 1 ? 3 a n ? 2 ? 6 , b n ? a n ? 2 ? 3 ( n ? N *) . (Ⅰ)证明:数列 { b n } 是等比数列,并求 a n ;

(Ⅱ)求数列 {

an bn

} 的前 n 项和 S n .

21.(本小题满分 12 分) 已知双曲线 C :
x a
2 2

?

y b

2 2

? 1( a ? 0 , b ? 0 ) 的右焦点为 F 2 , F 2 在 C 的两条渐近线上的

射影分别为 P 、 Q , O 是坐标原点,且四边形 OPF 2 Q 是边长为 2 的正方形. (Ⅰ)求双曲线 C 的方程; (Ⅱ)过 F 2 的直线 l 交 C 于 A 、B 两点,线段 AB 的中点为 M ,问 | MA |? | MB |? | MO | 是否能成立?若成立,求直线 l 的方程;若不成立,请说明理由.

22. (本题满分 12 分) 已知函数 f ( x ) ? 数, e ? 2 . 71 ) . (Ⅰ)求实数 a ; (Ⅱ)求 f ( x ) 的单调区间; (Ⅲ)证明:对于任意的 n ? N * ,都有 ( e ? 立.
1 e )( e
2 n

x ln x

?

a ln x x

( x ? 1) 的图象经过 ( e ,
2

e

2

?

2 e
2

) ( 其中 e 为自然对数的底

2

?

2 e
2

) ? ???? (

e

?

n e
n

) ? (e ?

1 e

) 成

n

2

n

理科数学参考答案

题号 答案

1 C

2 B

3 A

4 D

5 B

6 A

7 B

8 C

9 A

10 C

11 A

12 B

选择题解答提示: (7)依题意可知 | ? ? ( ? ? ) |? T (其中 T 为 f ( x ) 的周期) ;
4 12 2

(8)依题意 d 大于圆心到直线的距离与半径之差而小于圆心到直线的距离与半径之和; (9)依题意得安排方案共有 C 62 ? C 42 ? C 22 ? 90 (种) ; (10)设 D 为 BC 中点,显然 A 点在平面 PBC 的射影 G 在直线 PD 上, ? APD 即为所求的角,在 三角形 APD 中由余弦定理即得; (11)本题考察数形结合及分类讨论思想,可分 x ? 2 及 x ? 2 讨论;也可将问题转化为 | x ? 2 |
? mx ? 1 恒成立的问题,结合图象即可;

(12)依题意得 x A ? x B ? x B ? x C ? x C ? x D ,又 x D ? 0 , x A ? 则由椭圆的性质知 | BF
2

a

2

c

? xC ?

a

2

3c

, xB ?

2a 3c

2

,

|?

a 3

, CF 2 | ? |

2a 3

, | CF 2 |? 2 | BF 2 | , B 、 在 x 轴上的射影依次为 B 1 、 即 设 C
? x C ? 2 ( x B ? x F2 ) ? e ?
2 2 ,1 ) .

C 1 ,易知 ? BB 1 F 2 与 ? CC 1 F 2 相似,从而 x F

5 3



2

13. 60 ;

14. 3 ;

15. ? 5 ;

16. (

填空题解答提示: (15)由等积法知,三角形 ABC 的内切圆半径为 1 ,以 C 为坐标原点,分别以射线 CA 、 CB 为 x 轴的正 方向建立直角坐标系,可知其内切圆的圆心 O 的坐标为(1,1) ,从而得 OA ( 16 ) 设 底 面 ABCD
? 2 2 AB ? PA ,可得
? OB ? ? 5


1

的 中 心 为 O 1 , 依 题 意 得 PO ? 1
2 2 ? PA AB ? 1.

PA

2

?

1 2

AB

2

? AO

?

2 2

AB , 又

AO

1

17.解: (Ⅰ)余弦定理得 cos A ?
? b c ? c b ? a
2

b

2

?c

2

?a

2

?

1 2

???2 分

2 bc ? b
2

?c

2

?a

2

? 1 ???5 分

bc

bc

(Ⅱ)由(1)知 b 2 ? c 2 ? a 2 ? bc 又由 ? ABC 面积 S ?
1 2 bc sin A ? 4 3 ? bc ? 16

???6 分 ???8 分

故 b 2 ? c 2 ? a 2 ? 16 ①

又a

2

?b

2

?c

2

? 48 ②

由①、②两式及 bc

???10 分 ? 16 解得 a ? b ? c ? 4 18.解(Ⅰ)设至少有一次试验成功的概率为 p 1 ,依题意得
3 2 143 2 ) (1 ? ) ? 3 4 144 (Ⅱ)依题意 ? 可取 0 , 1 , 2 ,3,4 p 1 ? 1 ? (1 ? 2

??5 分 ???6 分 2
37 144

? 的分布列为

?
p
故 E?
? 0? 1 144 ? 1? 10 144

0
1 144

1
10 144

3
60 144

4
36 144

???11 分

? 2?

37 144

? 3?

60 144

? 4?

36 144

?

17 6



???12 分

19.证明: (Ⅰ)由 PA ? 平面 ABCD 知 AC 为 PC 在平面 ABCD 的射影, 由 ? DAC ? 90 0 知, AD ? AC 故 AD ? PC (三垂线定理) ???5 分 解:(Ⅱ)建立如图所示空间直角坐标系 A ? xyz ???6 分 由已知可得 PD
? ( ? 1,1, ? 2 )
? 0 ? n ? (1, 0 ,1) ? ? n ? PB ? 0 ? ? 设平面 PBC 的法向量为 n ,由 ? n ? BC 1

P

z

???10 分

D A
y

则 cos ? n , PD ??

PD ? n | PD || n |

? ?

3 2

???11 分

则 PD 与平面 PBC 所成的角为 20.解: (Ⅰ)
b n ?1 bn ?

?
3


n ?1 n

???12 分
?3 ? 3a n ? 2
n

Bx
n

C

a n ?1 ? 2 an ? 2
n

?2
n

m ?1

?9

?3

an ? 2

?3

?

3( a n ? 2 an ? 2

? 3) ?3

n

? 3 ???3 分

又 b 1 ? 3 ,知 { b n } 是以 3 为首项、3 为公比的等比数列
? b n ? 3 ,即 a n ? 2
n n

???4 分

?3?3

? an ? 3 ? 2
n

n

? 3 ( n ? N *) .
an bn ? 3 ?2
n n

???6 分
?3 2 n 1 n ?1 ? 1? ( ) ? ( ) 3 3

(Ⅱ)由(Ⅰ)知

???8 分

3

n

故S

n

?

a1 b1

?

a2 b2

? ??? ?

an bn

2 n 3 1 n ???12 分 ? n ? 2?( ) ? ?( ) ? . 3 2 3 2 21.解: (Ⅰ)依题意知 C 的两条渐近线相互垂直,且 F 2 点到任一条渐近线的距离为 2 ,

2 n 1 n [1 ? ( ) ] 1 ? ( ) 3 3 3 ? n? ? 2 1 1? 1? 3 3 7

2

???10 分

b ?b ? a ? (? a ) ? ?1 ?a ? 2 ? ? ? ? ? bc ?b ? 2 ? 2 ? ? a2 ?b2 ?

故双曲线 C 的方程为

x

2

?

y

2

?1.

???5 分 ???7 分 ???8 分 ???9 分
2

4

4

(Ⅱ)这样的直线不存在,证明如下: 当直线 l 的斜率不存在时,结论不成立 由 | MA |? | MB |? | MO | 知 OA ? OB
? y ? k(x ? 2 2 ) 2 2 2 ? (1 ? k ) x ? 4 2 k x ? 8 k ? 2 2 x ? y ? 4 ?
2 ? 4 2k ? x1 ? x 2 ? 2 则? k ?1 ? 2 ? x x ? 8k ? 4 2 ? 1 2 k ?1 ?

当直线 l 斜率存在时,设其方程为 y ? k ( x ? 2 2 ) ,并设 A ( x 1 , y 1 ) 、 B ( x 2 , y 2 )

? 4 ? 0(k

2

? 1 ? 0)

???10 分

故 OA
? (k

? OB ? ( x 1 , y 1 )( x 2 , y 2 ) ? ( k
2

2

? 1) x 1 x 2 ? 2 2 k ( x 1 ? x 2 ) ? 8 k
2

2

? 0 ???11 分

? 1)( 8 k k
2

2

? 4)

?1

?

16 k k
2

4

?1

? 8k

2

? 0 ? k

2

? ? 1 这不可能

综上可知,不存在这样的直线. 22.解: (Ⅰ)由 y ? f ( x ) 的图象过点 ( e 2 ,
e
2

???12 分
? 2 e
2

)得

2

e

2

?

2 e
2

?

e

2 2

?

a ln e e
2

2

? a ? 1.

???2 分 ???4 分

2

ln e

(Ⅱ) f / ( x ) ? ln x ? 1 ? 1 ? ln x ? (ln x ? 1)( x ? ln x )( x ? ln x ) 2 2 2 2
(ln x ) x x (ln x )

x ?1 由 x ? 1 知 x ? ln x ? 0 ,令 g ( x ) ? x ? ln x ? g / ( x ) ? ? 0 ,故 g ( x ) 在 (1, ?? ) 上为增函数,当 x ? 1 2 2

x (ln x )

x

时, g ( x ) ? x ? ln x ? g (1) ? 0 令 f / ( x ) ? 0 得 x ? e ,令 f / ( x ) ? 0 得, x ? e ,令 f / ( x ) ? 0 得 1 ? x ? e 故 f ( x ) 的增区间为 ( e , ?? ) ,减区间为 (1, e ) . ???7 分 (Ⅲ)由(2)知, f ( x ) 在区间 (1, ?? ) 上的最小值为 f ( e ) ? e ? 即当 x ? 1 时, f ( x ) ? e ?
1 e
1 e

???8 分

恒成立
1 e

当 n ? N * 时,令 x ? e n ? e ? 1 ,则有 f ( e n ) ? e ? 即
e
n

?

n e
n

? e?

1 e

? 0

???10 分
e
n

n

故 (e ?

1 e

)(

e

2

?

2 e
2

) ? ???? (

?

n e
n

) ? (e ?

1 e

n ) 成立.

???12 分

2

n


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