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圆锥曲线选择题集


雅 QQ1240008362

圆锥曲线选择题精选
一,选择题 1.设 AB 为过抛物线 y
2

= 2 px( p > 0) 的焦点的弦,则 AB 的最小值为(
D.无法确定

)

A.

p 2

B. p

2

C. 2 p

2.若抛物线 y

= x 上一点 P 到准线的距离等于它到顶点的距离,则点 P 的坐标为(
B. ( , ±

)

A. ( , ±

1 4

2 ) 4

1 8

2 ) 4

C. ( ,

1 4

2 ) 4

D. ( ,

1 2 ) 8 4
(
y A

3.如图, 过抛物线 y 2 = 2 px ( p > 0) 的焦点 F 的直线 l 交抛物线于点 A. , B 交其准线于点 C,

若 BC = 2 BF , AF = 3 , 且 则此抛物线的方程为
3 x 2 9 C. y 2 = x 2

)

A. y 2 =

B. y 2 = 3 x D. y 2 = 9 x
O

F B

x

4.设抛物线

y =2x的焦点为F,过点M( 3 ,0)的直线与抛物线相交于A,B两点,与抛物 C

2

S BCF BF S 线的准线相交于C, =2,则 BCF与 ACF的成面积之比 ACF = 4 A. 5
5.点 P 在直线

2 B. 3

4 C. 7

1 D. 2

w

l : y = x 1 上,若存在过 P 的直线交抛物线 y = x 2 于 A, B 两点,且

| PA =| AB | ,则称点 P 为"点",那么下列结论中正确的是
A.直线 l 上的所有点都是" C.直线 l 上的所有点都不是"

点" 点"

B.直线 l 上仅有有限个点是" D.直线 l 上有无穷多个点是"

点" 点"

x2 y2 6.设 F1,F2 分别是双曲线 2 2 = 1 的左右焦点,若双曲线上存在点 A,使∠F1AF2=90° a b
且|AF1|=3|AF2|,则双曲线的离心率等于
A.

(

)

5 10 B. 2 2

C.

15 2

D. 5

1

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x2 y2 =1 4 7.双曲线 3 的实轴长和虚轴长分别是(
A. 2 3 ,4 B.4, 2 3

) D.2, 3

C.3,4

8.若点 P 为共焦点的椭圆

C1 和双曲线 C 2 的一个交点, F1 , F1 分别是它们的左右焦点.设椭
)

1 1 圆离心率为 e1 ,双曲线离心率为 e2 ,若 PF1 PF2 = 0 ,则 2 + 2 = ( e1 e2
A.1 B. 2 C.3 D.4

9.已知点 P 是椭圆

x2 y2 + = 1( x ≠ 0, y ≠ 0) 上的动点, F1 , F2 为椭圆的两个焦点, O 是 16 8 ∠F1 PF2 的角平分线上一点,且 F1M MP = 0 ,则 OM 的取值范围是

坐标原点,若 M 是 ( A. )

[0

,3)

B.

(0

,2 2

)

C.

2 2 ,3

)

D.

[0

, 4]
w. w.w. k.s.5.u.c.o.m

10.已知 p,q,p+q 是等差数列,p,q,pq 是等比数列,则椭圆

x2 y 2 + = 1 的准线方程 p q

A. y = ±2 2 C. y = ±

B. x = ±2 2 D. x = ±

2 6 3
)

2 6 3

y2 11.双曲线 x = 1 的渐近线方程为( 3
2

A, y = ±3 x C, y = ±

B, y = ±

1 x 3

3 x 3

D, y = ± 3 x

12.已知抛物线方程为 y

2

= 2 px ( p > 0) , 过该抛物线焦点 F 且不与 x 轴垂直的直线 AB 交

抛物线于 A, B 两点,过点 A ,点 B 分别作 AM , BN 垂直于抛物线的准线,分别交准线于

M , N 两点,那么 ∠MFN 必是
( )
2

w.w.w.k.s.5.u.c.o.m

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A.锐角
13.已知方程 ax
2

B.直角

C.钝角

D. 以上皆有可能

+ by 2 = ab和ax + by + c = 0(其中ab ≠ 0, a ≠ b, c > 0 ,它们所表示的曲
)

线可能是(

A.
14. 已知椭圆

B.

C.

D

x2 y2 x2 y2 + 2 = 1(a > b > 0) 与双曲线 2 2 = 1(m > 0, n > 0) 有相同的焦点 a2 b m n

(c,0) 和 (c,0) ,若 c 是 a 与 m 的等比中项, n 2 是 2m 2 与 c 2 的等差中项,则椭圆的离心率


(A)

3 . 3

(B )

2 . 2

1 (C ) . 4

1 (D) . 2

w.w.w. k. s.5.u.c.o.m

15.已知椭圆

x2 y2 3 + = 1 上的一点 P 到左焦点的距离为 , P 到右准线的距离为 则点 ( 4 3 2
B. 2 3 C.5 D.3

)

A. 2 5

16.已知点 F1 , F2 分别是双曲线的两个焦点,P 为该曲线上一点,若 PF1 F2 为等腰直角三角

形,则该双曲线的离心率为 A. 3 + 1 B. 2 + 1 C. 2 3 D. 2 2

(

)

17.在三角形 ABC 中, 已知 A( 1,0), C (1,0), 且 sin

A + sin C = 2 sin B, 动点 B 的轨迹方程 (
B.

)

A.

x2 y2 + = 1( x < 0) ; 3 4 x2 y2 + = 1( y ≠ 0) ; 4 3

x2 y2 + = 1( y ≠ 0) ; 3 4 x2 y2 + = 1( x < 0) . 4 3

C.

D.

18.

ABC的顶点是A(4,,B (4,,C,又C是椭圆 0) 0)

x2 y 2 + = 1上异于长轴端点的点, 25 9

3

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sin A + sin B = sin C
A,2. B,

(

)

5 . 4

C,

5 . 34

D,

1 . 2

19.如图,用与圆柱的母线成 60° 角的平面截圆柱得一椭圆截线,

则该椭圆的离心率为 ( A. .
1 2

) C. .
3 2

B. .

3 3

D.非上述结论 .

20. PAB 所在的平面 α 和四边形 ABCD 所在的平面垂直,且

AD ⊥ α , BC ⊥ α , AD = 4, BC = 8, AB = 6, ∠APD = ∠CPB ,

α

P B C

则点 P 在平面 α 内的轨迹是( ) A.圆的一部分 B.椭圆的一部分 C.双曲线的一部分 D.抛物线的一部分

A D

21.设 P ( x, y ) 是曲线

x2 + 25

y2 = 1 上的点, F1 (4, 0) , F2 (4, 0) 则必有…………( 9
B. PF1 + PF2 ≥ 10 D. PF1 + PF2 > 10

)

A. PF1 + PF2 ≤ 10 C. PF1 + PF2 < 10

22.有一矩形纸片 ABCD,按图所示方法进行任意折叠,使每次折叠后点 B 都落在边 AD 上,将

B 的落点记为 B′ ,其中 EF 为折痕,点 F 也可落在边 CD 上,过 B′ 作 B′ H‖CD 交 EF 于点 H, 则点 H 的轨迹为……………………………………………………………………………( )
A.四分之一圆 B.四分之一椭圆 C.双曲线的一部分 D.抛物线的一部分
A E H B F C B' D

23.已知椭圆

x2 y2 + = 1 (a > b > 0) 的左焦点为 F , 右顶点为 A , B 在椭圆上, BF ⊥ x 点 且 a2 b2
)
w.w.w. k. s.5.u.c.o.m

轴, 直线 AB 交 y 轴于点 P .若 AP = 2 PB ,则椭圆的离心率是(

A.

3 2
2

B.

2 2

C.

1 3
1 2

D. )

1 2

24.经过抛物线 y = 4x 的焦点弦的中点轨迹方程是(

A.y2=x-1

B.y2=2(x-1)

C.y2=x-

D.y2=2x-1

4

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25.直线 y =

1 x | x | y2 x + 5 与曲线 + = 1 的交点个数为( 3 9 25

)

A.3 个

B.2 个
x2 a2 y2 b2

C.1 个

D.0 个

26.已知双曲线

= 1 (a>0, b>0)的离心率为 e∈ [ 2 ,2] , 则它的两条渐近线所成的角中

以实轴为平分线的角的大小为( )
π π A. [ , ]
6 2

π π B. [ , ]
3 2

π 2π C. [ , ]
2 3

D. [

2π ,π ] 3

27.正方体 ABCD-A1B1C1D1 的棱长为 1,点 M 在 AB 上,且 AM=

1 ,点 P 是平面 ABCD 上的动 3

点,且动点 P 到直线 A1D1 的距离与动点 P 到点 M 的距离的平方差为 1,则动点的轨迹是( ) A.圆 B.抛物线 C.双曲线 D.直线

28.不论 k 为何值,直线

y = k ( x 2) + b 与双曲线 x 2 y 2 = 1 总有公共点,实数 b 的取值范围
C. ( 2, 2 ) D. [ 2, 2]

是(

)

A. 3, 3
30.直线 y

(

)

B. 3, 3





= 1 x 交抛物线 y 2 = 2 px ( p > 0 ) 于 M,N 两点,向量 OM + ON 与弦 MN 交于点 3 ,则 p 的值为 2 1 1 C. D. 4 2
( )

E,若 E 点的横坐标为 A.2 B.1

31.直线 y

= 1 x 交椭圆 mx 2 + ny 2 = 1 于 M,N 两点,MN 的中点为 P,若 kop =
( C. )

2 (O 为原点), 2



m 等于 n

A.

2 2

B. 2

2 2

D. 2

32.已知定点 A(3,4) ,点 P 为抛物线

y 2 = 4 x 上一动点,点 P 到直线 x = 1 的距离为 d ,则

|PA|+d 的最小值为( A.4 B. 2 5

) C.6 D. 8 2 3

5

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33.点 P 是双曲线

x2 y2 = 1 右支上一点, F 是该双曲线的右焦点,点 M 为线段 PF 的中 4 5

点.若 OM = 3 ,则点 P 到该双曲线右准线的距离为 ( ) A,

4 3

B,

3 4

C,

3 2

D,

2 3

x2 y2 b 34.过双曲线 2 2 = 1( a > 0, b > 0) 的右焦点 F,作渐近线 y = x 的垂线与双曲线左右 a a b
两支都相交,则双曲线的离心率 e 的取值范围为 ( ) A, 1 < e < 2 B, 1 < e <

2

C, e >

2

D, e > 2

35.定义椭圆

x2 y2 + = 1 的面积为 π ab ,若 U = {( x, y) x, y ∈ R} , a2 b2 x2 + y 2 ≤ 1} , B = {( x, y) x + 2 y 2 < 0} ,则 A ∩ (I B) 所表示图形的面积 4
( B, ) C, 2π 1 D,

A = {( x, y )
为 A,1

π
2

1

3π +1 2

36.一条线段 AB (|AB| = 2a)的两个端点 A 和 B 分别在 x 轴上,y 轴上滑动,则线段 AB 中点 M

的轨迹方程为( ) A.x2 + y2 = a2 (x≠0) C.x2 + y2 = a2 (x≠0 且 y≠0)
37. 如果方程

B.x2 + y2 = a2 D.x2 + y2 = a2

(y≠0)

x2 y2 + = 1 表示双曲线,则下列椭圆中,与该双曲线共焦点的是( p q

)

A.

x2 y2 x2 y2 x2 y2 x2 y2 + = 1 B. + = 1 C. + = 1 D. + = 1 2q + p q 2q + p p 2p +q q 2p +q p

38.已知椭圆的焦点是 F1 , F2 ,P 是椭圆上的一个动点,如果延长 F1 P 到 Q,使得

PQ = PF2 ,那

么动点 Q 的轨迹是 A.圆 B.椭圆
2

( ) C.双曲线的一支 )

D.抛物线

39.经过抛物线 y = 4x 的焦点弦的中点轨迹方程是(

6

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A.y2=x-1

B.y2=2(x-1)

C.y2=x-

1 2

D.y2=2x-1

40.设 P 为双曲线

x2 y2 = 1 右支异于顶点的任一点, 1,F2 为两个焦点, F 则△PF1F2 的内心 16 9
( ) B,x=3 ,(y≠) C,x=5 ,(y≠) D,x=

M 的轨迹方程是 A,x=4, (y≠) ≠)

16 , (y 5

41.双曲线

x2 y2 = 1 中,被点 P(2,1)平分的弦所在的直线方程为( 9 4
B, 8 x + 9 y = 25 C, 4 x 9 y = 6

)

A, 8 x 9 y = 7

D,不存在

42.若双曲线 x

2

y 2 = 1 的右支上一点 P(a,b)到直线 y=x 的距离为 2 ,则 a+b 的值是 1 2 1 2

(

) A,

1 2

B,

C, ±

D, ± 2

43.过点 A( a ,0)作椭圆 C1

:

x2 y2 + = 1 的弦,弦中点的轨迹仍是椭圆,记为 C 2 ,若 C1 和 a2 b2
) . D 不能确定

C 2 的离心率分别为 e 和 e' ,则 e 和 e' 的关系是(
A

e = e'

B

e =2 e'

C

2 e = e'

44.过抛物线 y

2

= 2 px( p > 0) 的焦点作一条直线交抛物线于 A( x1 , y1 ), B( x 2 , y 2 ) , 则

y1 y 2 x1 x 2

为(

) A 4 B -4 C

p2

D

p2

45.已知对称轴为坐标轴的双曲线的渐近线方程为 y



b x, (a > 0, b > 0) , 若双曲线上有一 a
) . D 当 a < b 时在

点 M( x 0 , y 0 ) ,使 a | y 0 |> b | x 0 | ,那双曲线的交点( A 在 x 轴上 B 在 y 轴上 C

当 a > b 时在 x 轴上

y 轴上
7

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46.若直线 y

= x + b 与曲线 x 2 + y 2 = 4( y ≥ 0) 有公共点,则 b 的取值范围是
B. [0, 2] C. [2, 2 2] D. [ 2, 2 2]

A. [ 2, 2]

47.已知抛物线 y

2

= 4 x 的顶点为 O ,抛物线上 A, B 两点满足 OA OB = 0 ,则点 O 到直线
B.2 C.3 D.4

AB 的最大距离为
A.1

48.若双曲线

x2 y2 5 2 = 1 的离心率为 ,则两条渐近线的方程为 2 a b 4
B

A

X Y ± =0 9 16

X Y ± =0 16 9

C

X Y ± =0 3 4

D

X Y ± =0 4 3

49.椭圆的短轴长为 2,长轴是短轴的 2 倍,则椭圆的中心到其准线的距离是

A

8 5 5

B

4 5 5

C

8 3 3

D

4 3 3

50.设双曲线

x2 y2 = 1(a > b > 0) 的半焦距为 C,直线 L 过 (a, 0), (0, b) 两点,已知原点到 a2 b2

直线 L 的距离为

3 C ,则双曲线的离心率为 4 2 3 C 3

A 2 B

2或

2

D

2 3 3

8

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答案

1.C 2.B

解析: 解析:垂直于对称轴的通径时最短,即当 x =

p , y = ± p, AB min = 2 p 2

解析: 解析:点 P 到准线的距离即点 P 到焦点的距离,得 PO = PF ,过点 P 所作的高也是中线

1 2 1 2 ∴ Px = ,代入到 y 2 = x 得 Py = ± ,∴ P ( , ± ) 8 4 8 4
3.B 4.A 5.A 6.B 7.A 8.B 9.B 10.A

2 p = p + ( p + q) 解析:因为 q 2 = p i( pq ) 解析 piq ≠ 0
所以椭圆方程为
11.D 12.B 13.B 14.D 15.C 16.B 17.C 18.B 19.A

所以

p = 2 q = 4

x2 y 2 4 + = 1 ,故准线方程为 y = ± = ±2 2 2 4 2

20.A. 解析 解析:在 Rt PBC 和Rt PAD中, sin ∠CPB = sin ∠APD,∴ ∵

PB = 2 .以 AB 的中点 O 为原 PA
2

点,以射线 OB 为 x 轴,在 α 内建立平面直角坐标系,则

( x 3) + y2 2 ( x + 3) + y2

= 2 ,化简得

( x + 5)
21.A 22.D

2

+ y 2 = 16 ,故选 A.

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23.D 24.B 25.C 26.C 27.B 28.B 29.C 30.D 31.A 32.B 33.A 34.C 35.B 36.解析 解析:因原点即在 x 轴上,又在 y 轴上,故本题无特殊情况,选 D. 37.D 38.A 39.B 40.A 41.答案 答案:D

错解:A 错解 错因:没有检验出 8 x 9 y = 7 与双曲线无交点. 错因

42.答案 答案:B

错解:C 错解 错因:没有挖掘出隐含条件 a > b 错因

43.正解 正解:A.设弦 AB 中点 P( x, y ) ,则 B( 2 x α ,2 y )

a 4( x ) 2 2 2 2 (2 x α ) 4y 2 + 4 y =1*∴ c 2 = a b 由 + 2 =1, 4 4 α2 b a2 b2
2 2

∴e =

a2 b2 a2 b2 2 = ∴ e = e' a a 2

误解:容易产生错解往往在*式中前一式分子不从括号里提取 4,而导致错误. 误解
44. 正 解 : D .

特 例 法 : 当 直 线 垂 直 于 x 轴 时 ,

10

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p p yy p2 A( , p ), B ( , p ), 1 2 = 2 = 4 p 2 2 x1 x2 4
注意:先分别求出 x1 x2 , y1 y2 用推理的方法,既繁且容易出错.

45.正解:B. 由 a

y0 > b x0 得

y0 b > ,可设 x0 > 0, y0 > 0 ,此时 OM 的斜率 x0 a

大于渐近线的斜率,由图像的性质,可知焦点在 y 轴上.所以选 B. 误解:设双曲线方程为

x2 y2 2 = λ ,化简得: b 2 x 2 a 2 y 2 = λ a 2b 2 , 2 a b
2 2 2 2 2 2

代入 ( x0 , y0 ) , b x0 λ a b = a y0 > b x0 ,∴ λ > 0 ,∴ 焦点在 x 轴上.这个方
2 2

法没错,但 λ 确定有误,应 λ < 0 ,∴ 焦点在 y 轴上. 误解:选 B,没有分组.

46.D 47.D 48.解析 解析:C

易错原因:审题不认真,混淆双曲线标准方程中的 a 和题目中方程的 a 的意义.
49.解析 解析:D

易错原因:短轴长误认为是 b 50.解析 解析:D 易错原因:忽略条件 a > b > 0 对离心率范围的限制.

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