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2014石家庄高三质检一试卷及答案(理科)


2014 年石家庄市高中毕业班教学质量检测(一) 高三数学(理科)
( 时间 120 分钟 满分 150 分) 注意事项: 1.本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号 填写在答题卡上. 2.回答第Ⅰ卷时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动,用橡皮擦 干净后,再选涂其他答案标号.写在本试卷

上无效. 3.回答第Ⅱ卷时,将答案写在答题卡上,写在本试卷上无效. 4.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回. 5.考虑到各校的复习进度,本试卷考试内容不包含选修系列 4. 第 I 卷(选择题 60 分) 一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1.已知 i 是虚数单位,则复数 z ? (1 ? i) ? i 3 的共轭复数是 A. ? 1 ? i B. 1 ? i C. ? 1 ? i D. 1 ? i

2.设 a 表示 直线, ?,?,? 表示不同的平面,则下列命题中正确的是

A .若 a ? ? 且 a ? b ,则 b // ?

B .若 ? ? ? 且 ? ? ? ,则 ? // ?

C. 若 a // ? 且 a // ? ,则 ? // ?
2

D. 若 ? // ? 且 ? // ? ,则 ? // ?

3. 若抛物线 y ? 2 px 上一点 P(2 , y 0 ) 到其准线的距离为 4 ,则抛物线的标准方程为 A. y ? 4 x
2

B. y ? 6 x
2

C. y ? 8x
2

D. y ? 10x
2

4.某程序框图如图所示,该程序运行后输出的 k 的值是 A.4 C.6 B.5 D.7
开始 是

k=1

S=1

S <100?


S=S+S2
输出 k

k=k+1
结束

5.把边长为 2 的正方形 ABCD 沿对角线 BD 折起,连结 AC ,得到三棱锥

C ? ABD ,其正视图、俯视图均为全等的等腰直角三角形(如图所示) ,则其

正视图

俯视图

侧视图的面积为 A.

3 2

B.

1 2

C. 1

D.

2 2

? y ≥ x, ? 6.设变量 x, y 满足约束条件: ? x ? 2 y ≤ 2, ,则 z ? x ? 3 y 的最小值 ? x ≥ ?2. ? A. ? 2 B. ?4 C. ? 6 D. ?8
7.袋中装有完全相同的 5 个小球,其中有红色小球 3 个,黄色小球 2 个,如果不放回地依次摸出 2 个小球, 则在第一次摸出红球的条件下,第二次摸出红球的概率是 C A.

3 10

B.

3 5

C.

1 2

D.

1 4

8.函数 f ( x) ? sin x ? ln x 的部分图象(图上加坐标原点)
y x
A B

y x y x x
D

y

C

、B、C 作 截 面 , O 点 到 该 截 面 的 距 离 是 球 半 径 的 一 半 , 且 9.已知球 O ,过其球面上三点 A

AB ? BC ? 2,?B ? 120? ,则球的表面积为
8? 16? C. 4? D. 3 9 10.已知函数 f ( x) ?| log 1 x | ,若 m ? n ,有 f (m) ? f (n) ,则 m ? 3n 的取值范围是
A.

64? 3

B.

2

A. [ 2 3 , ? ? )

B. ( 2 3 , ? ? )
?

C. [ 4 , ? ? )

D. ( 4 , ? ? )

11.已知点 G 是△ ABC 的重心,若 ?A ? 120 , AB ? AC ? ?2 ,则 | AG | 的最小值是

A.

3 3

B.

2 2

C.

2 3

D.

3 4

?1 ? x ? 1( x ? 1) 12.已知函数 f ( x) ? ?10 ,则方程 f ( x) ? ax 恰有两个不同的实根时,实数 a 的取值范围是 ? ?ln x ? 1( x ? 1)
( e 为自然对数的底数)

A. ( ?1 , 0]

B. ( ? 1 ,

1 ) 10

C. ( ? 1 , 0 ] ? [

1 1 , 2) 10 e

D. ( ?1 ,

1 ) e2

第Ⅱ卷(非选择题

共 90 分)

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分. 13.某学校共有师生 3200 人,现用分层抽样的方法,从所有师生中抽取一个容量为 160 的样本,已知从学 生中抽取的人数为 150,那么该学校的教师人数是 . 14.在△ ABC 中,若 BC ? 1 , A ?

?
3

, sin B ? 2 sin C ,则 AB 的长度为_________.

15.设 F1 , F2 分别是双曲线

x2 y 2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) 的左、右焦点,若双曲线右支 a 2 b2

上存在一点 P ,使 (OP ? OF2 ) ? F2 P ? 0 ( O 为坐标原点) ,且 | PF 1 |? 3 | PF 2 |, 则该双曲线的离心率为_______ 16. 如右图,一个类似杨辉三角的数阵,则第 n ? n ? 2? 行的第 2 个数为______. 三、解答题:本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步 骤. 17. ( 本小题满分 10 分) 已知函数

f ( x) ? sin(4 x ? ) ? cos(4 x ? ) . 4 4

?

?

(Ⅰ)求函数

f ( x) 的最大值; y ? f ( x) 的对称轴,求实数 m 的值.

(Ⅱ)若直线 x ? m 是函数
18. ( 本小题满分 12 分)

已知公差不为 0 的等差数列 {an } 的前 n 项和为 Sn , S3 = a4 + 6 ,且 a1 , a4 , a13 成等比数列. (Ⅰ)求数列 {an } 的通项公式; (Ⅱ)设 bn ? 2
an

? 1,求数列 {bn } 的前 n 项和.

19.( 本小题满分 12 分)

2013 年 12 月 21 日上午 10 时,依据石家庄市大气污染级预警应急响应,石家庄市正式实施机动车尾号限 行,当天某报社为了解公众对“车辆限行”的态度,随机抽查了 50 人,将调查情况进行了整理,制成下表:

年龄(岁) 频数

?15,25?
5

?25,35?
10

?35,45?
15

?45,55?
10

?55,65?
5

?65,75?
5

赞成人数

4

6

9

6

3

4

(Ⅰ)完成被调查人员的频率分布直方图; (Ⅱ)若从年龄 在 ?15, 25? , ? 25,35? 的被调查者中各随机选取两人进行追踪调查,记选中的 4 人中不赞成“车 辆限行”的人数为 ? ,求随机变量 ? 的分布列和数学期望.

频率 组距 0.04 0.03 0.02 0.01 15 25 35 45 55 65 75 年龄

20. (本小题满分 12 分) 如图,四棱锥 P ? ABCD 中,底面 ABCD 是直角梯形, CD ? 平面 PAD , BC // AD , PA ? PD , O 、

E 分别为 AD 、 PC 的中点, PO ? AD ? 2 BC ? 2CD .
(Ⅰ)求证: AB ? DE ; (Ⅱ)求二面角 A ? PC ? O 的余弦值. 21.(本小题满分 12 分) 已知 F1 (?1 ,0) 、 F2 (1 ,0) 为椭圆 C 的左、右焦点,且点 P (1 ,

2 3 ) 在椭圆 C 上. 3
(Ⅰ)求椭圆 C 的方程; (Ⅱ)过 F1 的直线 l 交椭圆 C 于 A、B 两点,则△ F2 AB 的内切 圆的面积是否存在最大值?若存在求其最大值及此时直线方程;若不存在,请说明理由. 22.已知 a 为实常数,函数 f ( x) ? ln x ? ax ? 1 . (Ⅰ)讨论函数 f ( x ) 单调性; (Ⅱ)若函数 f ( x ) 有两个不同的零点 x1 , x2 ( x1 ? x2 ) ,

(ⅰ)求实数 a 的取值范围; (ⅱ)求证:

1 ? x1 ? 1 ,且 x1 ? x2 ? 2 . e

2014 年石家庄市高中毕业班教学质量检测(一)
高三数学(理科答案)
( 时间 120 分钟 满分 150 分) 一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分. 1-5 DDCBB 6-10 DCAAD 11-12 CC

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.. 13 200 14

3 3

15

3 ?1

16

n 2 ? 2n ? 3

三、解答题:本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 17. 解:(Ⅰ) f ( x) ? sin( 4 x ?

?
4

) ? cos(

?
4

? x) ? sin( 4 x ?

?
4

) ? sin(

?
4

? 4 x)

? 2 sin( 4 x ?
所以

?
4

) ……………3 分

f ( x) 的最大值是 2……………5 分

(Ⅱ)令 4 x ?

?
4

? k? ?

?
2

(k ? Z),……………7 分

则x

?

k? ? ? (k ? z ) ,……………9 分 4 16

而直线 x ? m 是函

y ? f ( x) 的对称轴,所以 m ?

k? ? ? (k ? Z)………………10 分 4 16

18. 解: (Ⅰ)设等差数列 {an } 的公差为 d ? 0 . 因为 S3 = a4 + 6 ,所以 3a1 ?

3 ? 2d ? a1 ? 3d ? 6 . 2

① ② ……2 分

因为 a1 , a4 , a13 成等比数列,所以 a1 (a1 + 12d ) = (a1 + 3d )2 .

由①,②可得: a1 = 3, d = 2 . 所以 an = 2n + 1 .

……………………………………4 分 ……………………………………6 分

(Ⅱ)由题意 bn ? 2 2n?1 ? 1 ,设数列 {bn } 的前 n 项和为 Tn , cn ? 2 2n?1 ,

cn?1 2 2( n?1)?1 ? 2 n?1 ? 4 (n ? N * ) ,所以数列 {cn } 为以 8 为首项,以 4 为公比的等比数列……9 分 cn 2
8(1 ? 4n ) 22 n ?3 ? 8 ?n? ? n. ……………………………………12 分 所以 Tn ? 1? 4 3
19. 解: (Ⅰ)各组的频率分别是 0.1,0.2,0.3,0.2,0.1,0.1 ……………2 分 所以图中各组的纵坐标分别是 0.01,0.02,0.03,0.02,0.01,0.01 ……………4 分
频率 组距

0.03 0.02 0.01 15 25 35 45 55 65 75 年龄

……………5 分

(Ⅱ) ? 的所有可能取值为:0,1,2,3

……………6 分

p ?? ? 0 ? ?

2 2 C6 C4 6 15 45 15 ? ? ? ? = , 2 2 C5 C10 10 45 225 75

2 1 1 1 2 C6 C4 ? C6 C4 C4 4 15 6 24 102 34 p ?? ? 1? ? 2 ? 2 ? 2 ? ? ? ? ? ? = , 2 C5 C10 C5 C10 10 45 10 45 225 75

p ?? ? 2 ? ?

1 1 1 2 2 C4 ? C6 C4 C4 C4 4 24 6 6 66 22 ? ? ? ? ? ? ? ? = , 2 2 2 2 C5 C10 C5 C10 10 45 10 45 225 75

1 2 C4 C4 4 6 12 4 p ?? ? 3? ? 2 ? 2 ? ? ? = , ……………10 分 C5 C10 10 45 225 75

所以 ? 的分布列是:

?
p

0

1

2

3

15 75

34 75

22 75

4 75
……………11 分

所以 ? 的数学期望 E? ?

6 …………………12 分 5

20.解法一: (Ⅰ)设 BD ? OC

? F ,连接 EF , / / PO ,……………1 分

E、F 分别是 PC 、 OC 的中点,则 EF

已知 CD ? 平面 PAD , CD ? 平面 ABCD ,所以平面 ABCD ? 平面 PAD , 又 PA ? PD , O 为 AD 的中点,则 PO ? AD , 而平面 ABCD ? 平面PAFD ? AD ,所以 PO ? 平面 ABCD , 所以 EF

? 平面 ABCD , ? EF ; ……………3 分

又 AB ? 平面 ABCD ,所以 AB 在 ?ABD 中, AB
2

? BD 2 ? AD 2 , AB ? BD ;

又 EF ? BD ? F ,所以 AB ? 平面 BED , 又 DE ? 平面 BED ,所以 AB ? DE . (Ⅱ)在平面 ABCD 内过点 A 作 AH ……………6 分

? CO 交 CO 的延长线于 H ,连接 HE , AE ,
P

因为 PO ? 平面 ABCD ,所以 POC ? 平面 ABCD , 平面 POC ? 平面 ABCD ?

AH ,所以 AH ? 平面 POC ,
E

PC ? 平面 POC ,所以 AH ? PC ;
在 ?APC 中, AP ? 所以 PC

AC , E 是 PC 中点,故 AE ? PC ;

? 平面 AHE ,则 PC ? HE .
A H B O F C D

所以 ?AEH 是二面角 A ? PC ? O 的平面角……………10 分 设 PO ? AD ? 2 BC ? 2CD ? 2 ,

2 7 14 AH ? 而 AE ? AC ? EC , AE ? ,则 sin ?AEH ? , 2 7 2
2 2 2

所以二面角 A ? PC ? O 的余弦值为 解法二:

42 .……………12 分 7

因为 CD ? 平面 PAD , CD ? 平面 ABCD ,所以平面 ABCD ? 平面 PAD , 又 PA ? PD , O 是 AD 的中点,则 PO ? AD ,且平面 ABCD ? 平面PAFD ? AD , 所以 PO ? 平面 ABCD ……………2 分 如图,以 O 为原点,以 OB, OD, OP 分别为 x 轴、 y 轴、 z 轴的正方向建立空间直角坐标系.

1 1 A(0, ?1, 0) B(1, 0, 0) C (1,1, 0) D(0,1, 0) E ( , ,1) P(0, 0, 2) ……………4 分 2 2 1 1 AB ? (1,1,0) DE ? ( , ? ,1) , AB ? DE ? 0 ,所以 AC ? DE ……………6 分 2 2
(Ⅱ) AC ? (1, 2,0) , PC ? (1,1, ?2) , 设平面 PAC 的法向量为 m ? ( x, y, z ) ,

z P

则?

? ?m ? AC ? 0

? x ? 2y ? 0 ?? ? ? m ? PC ? 0 ? x ? y ? 2 z ? 0

令 x ? 2 ,得

1 m ? (2, ?1, ) .……………8 分 2
又 BD ? PO ? 0 , BD ? OC ? 0 , 所以平面 POC 的法向量 BD ? (?1,1,0) ,……………10 分

E

A B

O C

D y

m ? BD 42 , cos m , BD ? ?? 7 | m || BD |
所以二面角 A ? PC ? O 的余弦值为

x

42 .……………12 分 7
x2 y2 ? ? 1(a ? b ? 0) , a2 b2

21.解: (Ⅰ)由已知,可设椭圆 C 的方程为

因为 | PF 1 | ? | PF2 |?

(1 ? 1) 2 ? (

2 3 2 2 3 2 ) ? (1 ? 1) 2 ? ( ) ? 2 3 ? 2a ,所以 a 2 ? 3 , b2 ? 2 , 3 3

x 2 y2 ? ? 1 ???????4 分 所以,椭圆 C 的方程为 3 2
(也可用待定系数法

1 12 b2 a2 ?1 2 3 ,或用 ) ? ? ? ? 1 a a 3 a 2 9(a 2 ? 1)

? x2 y 2 ?1 ? ? 2 2 2 2 (2)当直线 l 斜率存在时,设直线 l : y ? k ( x ? 1) ,由 ? 3 得 (2 ? 3k ) x ? 6k x ? 3k ? 6 ? 0 , 2 ? y ? k ( x ? 1) ?
3k 2 ? 6 ?6k 2 设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) , x1 x2 ? , x1 ? x2 ? ……………6 分 2 ? 3k 2 2 ? 3k 2

4 3(k 2 ? 1) 所以 | x1 ? x2 |? ( x1 ? x2 ) ? 4 x1 x2 ? , 2 ? 3k 2
2

设内切圆半径为 r ,因为 ?ABF2 的周长为 4a ? 4 3 (定值) ,S 所以当 ?ABF2 的面积最大时,内切圆面积最大,又

ABF2

?

1 ? 4a ? r ? 2 3r , 2

S# ABF2 ?

4 3k 2 (k 2 ? 1) 1 | F1 F2 || y1 ? y2 |?| y1 ? y2 | ?| k || x1 ? x2 | ? ,……………8 分 2 2 ? 3k 2
2

2 令 t ? 2 ? 3k ? 2 ,则 k ?

t ?2 ,所以 3

S

ABF2

4 3k 2 (k 2 ? 1) 4 (t ? 2)(t ? 1) 4 2 1 ……………10 分 ? ?4 ? ? 2 ? ?1 ? 2 2 2 ? 3k 3t t t 3 3
4 4 S 2 ? , S圆 = ? ,此时 r ? 9 3 2 3 3

又当 k 不存在时, | y1 ? y2 | ?

故当 k 不存在时圆面积最大, S圆 =

4 ? ,此时直线方程为 x ? ?1 . ???????12 分 9

(也可以设直线 l:x ? m y ? 1 ,避免对 k 的讨论,参照以上解法,按相应步骤给分) 22.解: (I) f ( x ) 的定义域为 (0, ??) .其导数 f '( x) ?

1 ? a .???1 分 x

①当 a ? 0 时, f '( x) ? 0 ,函数在 (0, ??) 上是增函数;????2 分 ②当 a ? 0 时,在区间 (0, ) 上, f '( x) ? 0 ;在区间 ( , ??) 上, f '( x) ? 0 . 所以 f ( x ) 在 (0, ) 是增函数,在 ( , ??) 是减函数.?????4 分 (II)①由(I)知,当 a ? 0 时,函数 f ( x ) 在 (0, ??) 上是增函数,不可能有两个零点 当 a ? 0 时, f ( x ) 在 (0, ) 是增函数,在 ( , ??) 是减函数,此时 f ( ) 为函数 f ( x ) 的最大值, 当 f ( ) ? 0 时, f ( x) 最多有一个零点,所以 f ( ) ? ln

1 a

1 a

1 a

1 a

1 a

1 a

1 a

1 a

1 a

1 ? 0 ,解得 0 ? a ? 1 ,?6 分 a

此时,

1 a a 1 1 e2 ? ? 2 ,且 f ( ) ? ?1 ? ? 1 ? ? ? 0 , e e e e a a

f(

e2 e2 e2 ) ? 2 ? 2 ln a ? ? 1 ? 3 ? 2 ln a ? (0 ? a ? 1) a a a2

e2 2 e 2 e 2 ? 2a ? ? 0 ,所以 F ( a ) 在 (0 , 1) 上单调递增, 令 F (a) ? 3 ? 2 ln a ? ,则 F ( x) ? ? ? 2 ? a a a a2
2 所以 F (a) ? F (1) ? 3 ? e ? 0 ,即 f (

e2 )?0 a2

所以 a 的取值范围是 (0 , 1) ???????8 分 ②证法一:

a?

1 ? ln x ln x 1 ? ln x1 1 ? ln x2 ( x ? 0) . g '( x) ? ? 2 . .设 g ( x) ? ? x x x1 x2

当 0 ? x ? 1 时, g '( x) ? 0 ;当 x ? 1 时, g '( x) ? 0 ; 所以 g ( x) 在 (0,1) 上是增函数,在 (1, ??) 上是减函数. g ( x) 最大值为 g (1) ? 1 . 由于 g ( x1 ) ? g ( x2 ) ,且 0 ? a ? 1 ,所以 0 ?

1 1 ? ln x1 1 ? ln x2 ? ? 1 ,所以 ? x1 ? 1 . e x1 x2

下面证明:当 0 ? x ? 1 时, ln x ?

x2 ?1 x2 ? 1 h (x) ? ln x ? ( x ? 0) , . 设 x2 ? 1 x2 ? 1

( x 2 ? 1)2 则 h '( x) ? ? 0 . h( x) 在 (0,1] 上是增函数,所以当 0 ? x ? 1 时, x( x 2 ? 1)2
h( x) ? h(1) ? 0 .即当 0 ? x ? 1 时, ln x ?

x2 ?1 .. x2 ? 1

由 0 ? x1 ? 1 得 h( x1 ) ? 0 .所以 ln x1 ?

x1 2 ? 1 . x1 2 ? 1

所以

2 2 1 ? ln x1 2x 2x ? 2 1 ,即 a ? 2 1 , x1 ( ? x1 ) ? 1 , ln x1 ? ln( ? x1 ) ? 0 . a a x1 x1 ? 1 x1 ? 1

又 ax1 ? 1 ? ln x1 ,所以 ax1 ? 1 ? ln( ? x1 ) ? 0 , ax1 ? ln( ? x1 ) ? 1 . 所以 f ( ? x1 ) ? ln( ? x1 ) ? a( ? x1 ) ? 1 ? ln( ? x1 ) ? ax1 ? 1 ? 0 . 即 f ( ? x1 ) ? f ( x2 ) . 由 0 ? x1 ? ②证法二: 由(II)①可知函数 f ( x ) 在 (0, ) 是增函数,在 ( , ??) 是减函数. f ( x) ? ln x ? ax ? 1.

2 a

2 a

2 a

2 a

2 a

2 a

2 a

1 2 1 2 2 ? x2 ,得 ? x1 ? .所以 ? x1 ? x2 , x1 ? x2 ? ? 2 . ???????12 分 a a a a a 1 a 1 a

a a 1 ? 1 ? ? ? 0, f (1) ? 1 ? a ? 0 .故 ? x1 ? 1 e e e 1 2 1 2 第二部分:分析:因为 0 ? x1 ? ,所以 ? x1 ? .只要证明: f ( ? x1 ) ? 0 就可以得出结论 a a a a
所以 f ( ) ? ?1 ?

1 e

2 2 2 1 ? x) ? f ( x) ? ln( ? x) ? a( ? x) ? (ln x ? ax ).(0 ? x ? ) a a a a 1 2 2a ( x ? ) 1 1 a ?0 则: g ?( x) ? ? ? 2a ? 2 x 2 x? x( x ? ) a a 1 1 1 所以函数 g ( x) 在区间 (0, ] 上为减函数. 0 ? x1 ? ,则 g ( x1 ) ? g ( ) ? 0 ,又 f ( x1 ) ? 0 a a a 2 2 2 于是 f ( ? x1 ) ? ln( ? x1 ) ? a( ? x1 ) ? 1 ? f ( x1 ) ? g ( x1 ) ? 0 . 又 f ( x2 ) ? 0 由(1)可知 a a a 2 2 x 2 ? ? x1 .即 x1 ? x 2 ? ? 2 ???????12 分 a a
下面给出证明:构造函数: g ( x) ? f (


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