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1.3空间几何体的表面积与体积


1.3 间几何体的表面积与体积
1.3.1 柱体、锥体、台体的表面积与体积 1.3.2 球的体积和表面积
目标要求 I.了解柱体、锥体、台体的表面积和体积的计算方法,并能计算简单组合体的表面积和体积. 2.理解并掌握侧面展开图与几何体的表面积之间的关系,并能利用它求几何体的表面积. 3.利用球的表面积公式和球的体积公式解决几何体的度量问题. 4.利用柱体、锥体

、台体、球的表面积和体积公式灵活解决生活中的实际问题.

基础知识
知识点一 棱柱、棱锥、棱台的表面积 1.棱柱、棱锥、棱台的表面积的概念

细解读

棱柱、棱锥、棱台是由多个平面图形围成的多面体.它们的表面积就是各个面的面积的和. 2.棱柱、棱锥、棱台的侧面展开图 几何体 棱柱 棱锥 棱台 侧面展开图 平行四边形,一边是棱柱的侧棱.另一边等于棱柱的底面周长,如图 1.3-10 由若干个三角形拼接而成.如图 1-10 由若干个梯形拼接而成,如图 1.3-1③

3.棱柱、棱锥、棱台的表面积 ⑴

S棱柱 ? S侧 ? 2S底

⑵ S棱锥 ? S侧 ? S底 ⑶

S棱台 ? S侧 ? S上底 ? S下底

拓展 直棱柱、正棱锥及正棱台的侧面积

⑴直棱柱的侧面积 直棱柱的侧面展开图是矩形, 此矩形的长等于直棱柱的底面周长 C , 宽等干直棱柱的高 h (也是侧棱长). 因此,直棱柱的侧面积公式为 S直棱柱侧 ? Ch . ⑵正棱锥的侧面积 正 n 棱锥的侧面展开图是由 n 个全等的等腰三角形组成的. 设正棱锥的底面边长为 a ,底面 h? ,周长为 C,斜高 h? ,则展开图的面积等于 n ? ⑶正棱台的侧面积 正棱台的侧面是全等的等腰梯形,设它的上下底面边长分别是 a?, a ,边数为,斜高 h? ,那么正 n 棱台 的侧面积是 n

1 1 1 a ? h? ? Ch? ,即?正 n 棱锥的侧面积 S正棱柱侧 ? C ? h? · 2 2 2

1 1 ? a ? a? ? h? ? ? na ? na? ? h? ,由于分别是上、下底面的周长 C',C,则有 2 2

S正棱台侧 ?

1 ?C? ? C ? h . 2

例示 已知正四棱台上底面边长为 4 cm ,侧棱和下底面边长都是,求它的表面积.

8 cm 4 cm, 8 cm,侧棱长为 8 cm ,所以斜高 解:因为正四棱台的上、下底面边长分别为 4 cm,
?1 ? h ' ? 8 ? ? ? ? 8 ? 4 ? ? ? 60 ? 2 15 ? cm ? ,所以 ?2 ?
2 2

? 48

1 S表 =S侧 ? S上 ? S下 ? ? ? 4 ? 8 ? ? 2 15 ? 4 ? 4 ? 4 ? 8 ? 8 ? 48 15 ? 80 cm 2 ,故此正四棱台的表面积为 2

?

?

15 ? 80 cm2
知识点二 圆柱、圆锥、圆台的表面积 1.圆柱的表面积 如图 1.3-2 所示,圆柱的侧面展开图是一个矩形.如果圆柱的底面半径为 r ,母线长为 l ,那么这个矩形

?

的长(或宽)等于圆柱底面周长 C ? 2? r ,宽,(或长)等于圆柱侧面的母线长 l (也是高).由此可得,

S圆柱侧 ? Cl =? rl,S圆柱表 =2? r+2? r 2 ? 2? r ? r ? l ?

2.圆锥的表面积 如图 1.3-3 所示,圆锥的侧面展开图是一个扇形.如果圆锥的底面半径为 r ,母线长为 l ,那么这个扇 形的弧长等于圆锥底面的周长 C ? 2? r ,半径等于圆锥的母线长 l 、由此可得,它的侧面积是

S圆锥侧 ?

1 Cl =? rl,S圆锥表 =? r 2 +? rl ? ? r ? r ? l ? . 2

3.圆台的表面积 如图 1.3-4 所示, 圆台的侧面展开图是一个扇环. 如果圆台的上、 下底而半径分另为 r , r ? , 母线长为 l , 那么这个扇环的面积为 ? ? r ? r?? l .由此可得圆台的侧而积为

S圆台侧 ? ? ? r ? r ? ? l,S圆台表 =? ? r?2 ? r 2 ? r ?l ? rl ?

拓展 圆柱、圆锥、圆台的侧面积之间的关系

例示 (1)圆柱 OO? 的底面直径为 4,母线长为 6,则该圆柱的侧面积为 为 ; (2)圆锥 so 的底面半径是 1,高为 2,则圆锥的表面积为 ;

,表面积

(3)圆台仪 OO? 的母线长为 6,两底面半径分别为 2,7. 则圆台的侧面积是

.

2 解析: (1)底面半径 r ? 2 , 母线长 l ? 6. S侧 ? 2? rl ? 24? , S表 ? 2? rl ? 2? r ? 2? r ? r ? l ? ? 32? .

(2)底面半径 r ? 1 .高 h ? 2 ,则母线长 l ? 5. S表 ? ? rl十nr ? ? ?1? 5 ? ? ?
2

?

5 ?1 ? .

?

(3)圆台的上底面半径 r ' ? 2 ,下底面半径 r ? 7 ,母线长

l ? 6,S侧 ? ? ? r ? r '? l ? ? ? ? 2 ? 7? ? 6 ? 54? .
答案:(1) 24? ? ? (2) 知识点三

?

5 ? 1 ? (3) 54?

?

柱体、锥体、台体的体积

1.空间几何体的高 (1)棱柱(圆柱)的高 棱柱(圆柱)的高是指两底面之间的距离. 即从一底面上任意一点向另一个底面作垂线, 这点与垂足(垂 线与另一个底面的交点)之间的距离. (2)棱锥(圆锥)的高 棱锥(圆锥)的高是指从顶点向底面作垂线,顶点与垂足(垂线与底面的交点)之间的距离. (3)棱台(圆台)的高 棱台(圆台)的高是指两个底面之间的距离. 辨析 柱体和台体的高均指两个底面之间的距离. 要注意高与侧棱长的区别. 当一个棱柱为直棱柱时, 其侧棱长即为该棱柱的高. 2.柱体、锥体、台体的体积 几何体 体积公式

V ? Sh,S,h 分别为柱体的底面积和高.特别地.圆柱的体积公式
柱体

1 V = sh,s, h 分别为圆柱的底,面半径和高. 3 1 V ? Sh,S,h 分别为锥体的底面积和高.特别地.圆柱的体积公式 3

锥体

1 V = ? r 2 h,s, h 分别为圆柱的底,面半径和高 3
几何体 体积公式

V?
台体

1 S ? SS ? ? S ? h,S,h 分别为台体的底面积和高.特别地.圆台 3 1 ? ? r 2 ? rr ? ? r ?2 ? h,r ?, r , h 分别为圆台的上、下底,面半径 3

?

?

的体积公式 V = 和高.

拓展

柱体、锥体、台体体积之间的关系

s 根据以上关系,在台体的体积公式中,令 s ' ? s ,得柱体的体积公式;令 s ' ? 0 ,得锥体的体积公式, 其关系如下:

例示 如图 1.3 ? 5 ,设圆台的高为 3,在轴截面中母线 AA1 与底面圆直径 AB 的夹角为 60 0 ,轴截面中 的一条对角线垂直于腰,求圆台的体积.

解:设上、下底面半径和母线长分别为 r,R. l.
0 0 如图 1.3-6,作 A1D ? AB 于点 D. 则 A 1 D ? 3 . ?A 1 AB ? 60 .又因为 BA 1 A ? 90 .所以

?BA1D ? 600 ,所以

A1 D A1 D 3 ? tan 600 ,所以 AD ? ? ? 3 .即 R ? r ? 3 . 0 AD tan 60 3
BD 所以 BD ? A ? tan 600 , tan 600 ? 3 3 , 1D· A1 D

在 Rt? BA1D 中.因为 A 所以 ?BA1D ? 600 , 1D ? 3 , 即 R ? r ? 3 3 .所以 R ? 2 3, r ? 3 . 而 h ? 3 ,所以 V圆台 ? ? h R ? Rr ? r
2

1 3

?

2

? ? 3 ? ?? 2 3 ? ?= 1 ? ? 3

2

? 2 3? 3 ?

? 21? . ? 3? ? ? ?
2

所以圆台的体积为 21? .

知识点四 球的体积和表面积 1.球的体积. 球的体积和表面积 设球的半径为 R ,体积为 V ,则 V ? 2.球的表面积
2 设球的半径为 R ,表面积为 S ,则 S ? 4? R .

4 ? R3 3

警示 在解题过程中, 不要混淆球的体积与表面积公式,注意区别两公式的形式特点. 例示 如果球的表面积扩大到原来的 2 倍,那么体积扩大为原来的多少倍?
2 2 2 2 解:设扩大前半径为 r1 ,扩大后半径为 r2 ,则 S1 ? 4? r 1 , S2 ? 4? r 2 ? 2S1 ,所以 r 1 ? 2r2 ,所以

4 4 4 r2 ? 2r1 ,又因为 V1 ? ? r13 , V2 ? ? r23 ? ? 3 3 3

?

2r1

?

3

? 2 2V1 ,所以体积扩大为原来的 2 2 倍.

应用能力
应用点一 求几何体的表面积

巧提升

例 1 圆锥的高和底面半径相等,它的一个内接圆柱的高和圆柱的底面半径也相等,求圆柱的表面积和 圆锥的表面积的比值. 分析:根据题意可知,这是一个圆锥和圆柱的组合体.可以先画出其轴截面,利用相似三角形求得各 元素之间的关系,再由表面积公式进行解答. 解:设圆锥的底面半径为 R ,圆柱的底面半径为 r ,圆锥的母线长为 l ,则圆柱的母线长为 r ,其两 者组合而成的组合体的轴截面如图 1.3-7.……①

圆锥的表面积为 S圆锥 ? ? ? R ? r ? R ? ? R ? 2R R ?

?

? ?

2 ? 1 ? R2 ,

?

圆柱的表面积为 S圆柱 ? 2? r (r ? r ) ? 4? r 所以

2

Spa=2ztr(r+二)=47Lr2

S圆柱 ? S圆锥

?

4r 2

2 ? 1 R2

?

.

又因为

r R?r ? ……② R R

所以

S r 1 1 ? ,所以 圆柱 ? ? 2 ? 1……③ R 2 S圆锥 2 ?1

过程释疑 ①设出变量,作出截面图,将空间几何问题转变成平面几 何问题. ②利用相似三角形对应边的比相等求出半径比. ③利用半径比求出表面积之比. 轴截面法是解决内接、外切问题的一种常用方法. 例 2 已知长方体共顶点的三个侧面面积分别为 3,5,15 ,则它的外接球表面积为 解析:图 1.3-8 是过长方体的一条体对角线 AB 的截面,……① 设长方体有公共顶点的三条棱的长分别为 x, y, z ,则由已知,得 .

? xy ? 3 ?x ? 3 ? ? ? ? yz ? 5 ……②解得 ? y ? 1 ? ? ?z? 5 ? ? zx ? 15
所以球的半径 R ?
2

1 1 2 3 AB ? x ? y 2 ? z 2 ? ……③ 2 2 2

所以 S球 ? 4? rR ? 9? 答案: 9?

过程释疑 ①沿体对角面作截面,转化成平面问题. ②正确表达出三个侧面积,列出三元方程组. ③长方体的体对角线长等于其外接球的直径, 另外长方体的体对角线长的平方等于三条棱长的平方和.

正确作出截面图形,是解决此类问题的前提,正确利用好长方体外接球的直径的长度恰好为长方体的 对角线的长度是解题的关键. 应用点二 求几何体的体积

: 2 ,则三棱锥 例 3 如图 1.3-9 所示,在三棱台 ABC ? A1B1C1 中, AB:A 1B 1 ?1
A1 ? ABC,B ? A1B1C,C ? A1B1C1 的体积之比为
A.111 : :
B. 1 : : 12 C. 1 : : 2 4 D. 1 : : 4 4

解析:设棱台的高为 h,S? ABC ? S , 则 S? A1B1C1 ? 4S ,……① 所以 S A1 ? ABC ? 又因为 V台 ?

1 1 1 4 S? ABC h ? Sh,VC ? A1B1C1 ? S? A1B1C1 h ? Sh , 3 3 3 3

VB ? A1B1C

1 7 h ? S ? 4S ? 2S ? ? Sh ,所以 3 3 7 Sh 4 Sh 2 ? V台 ? VA1 ? ABC ? VC ? A1B1C1 ? Sh ? ? ? Sh ……② 3 3 3 3

:2 : 4 .……③ 所以体积比为 1
答案:C

过程释疑, ①两个相似三角形的面积比等于相似比的平方 ②将三棱台分割成三个三棱锥. ③将得到的三个几何体的体积进行求比运算,消去 Sh . 在立体几何中,割补法是重要的方法,三棱柱、三台可以分割成三个三棱锥,分割后可由锥体的 体积求柱体和台体的体积关系. 例 4 已知圆台两底面半径分别为 a, b ? a ? b ? ,求圆台和截得圆台的圆锥的体积比. 分析:先画出圆台和圆台所在圆锥的轴截面,利用三角形相似,求得圆锥的高,再由圆台和圆锥的 体积公式求解. 解:如图 1.3-10 所示,圆锥和圆台的轴截面分别为 ? SAB 和梯形 A 1B 1BA ……①,

O1B1 ? b,OB ? a,OO1 的长为圆台的高(即为 h),SO 的长为圆锥的高.

由 ? SO1 B1 ∽ ? SOB ,得 SO1 : SO ? O1B1 : OB ,所以 SO1 : (SO1 ? h) ? b : a ……② 解得 SO1 ?

bh 1 1 a3 ? bh ? 1 2 2 ,所以 V圆台 ? ? h ? a ? b ? ab ? , V圆锥 ? ? a 2 ? ? ……③ ? h? ? ?h? a ?b 3 3 a ?b ? a ?b ? 3

1 2 2 V圆台 3 ? h ? a ? b ? ab ? a3 ? b3 所以 , ? ? 1 a3 V圆锥 a3 ?h? 3 a ?b
故圆台和截得圆台的圆锥的体积比为

a 3 ? b3 . a3

过程释疑 ①明确轴截面是等腰三角形和等腰梯形,为寻找相似比做准备. ②利用三角形相似,得出对应比例式. ③利用圆台和圆锥的体积公式,得出两几何体的体积. 有关旋转体的体积运算,常用到轴截面,把立体问题转化为平面问题,充分利用好比例关系是解决此 类问题的关健. 应用点三 由三视图求空间几何体的表面积和体积 例 5 ⑴一个几何体的三视图如图 1.3-11 所示,则该几何体的表面积为 .

⑵一个几何体的三视图如图 1.3-12 所示,则该几何体的体积为

.

解析:(1)由几何体的三视图可知,该几何体是由一个半径为 2 的半球与一个底面边长为 2,高为 3 的长
2 2 方体组合而成的,其表面积为 2? ? 2 ? ? ? 2 ? 4 ? 2 ? 3 ? 12? ? 24 .

(2)由三视图可知该几何体是组合体,……①

2, 1 ;上面是一个圆锥,底面圆半径为 1,高为 3……② 下面是长方体,长、宽、高分别为 3,
2 3 所以该几何体的体积为 3 ? 2 ?1+ ? ?1 ? 3 ? ? 6 ? ? ? m ……③

1 3

答案: ?1?12? ? 24 过程释疑

? 2? 6 ? ?

①结合三视图的特点,明确该几何体是由一个长方体和圆锥构成的. ②分析三视图,得出几何体的各个量. ③利用长方体、圆锥的体积公式,计算体积. 由三视图确定出几何体的结构特征和它们之间的关系,是解决已知三视图求表面积、体积的关键. 应用点四 综合应用
0

例 6 已知圆台的上、下底面半径分别为 10 cm 和 20 cm,它的侧面展开图扇环的圆心角为 180 ,那么 圆台的表面积和体积分别是多少?(结果中保留 ? ) 分析:在直角三角形中先求出高,再利用表面积、体积公式求解. 解:如图 1.3-13,设圆台的上底面周长为 C.
0 因为扇环的圆心角是 180 .所以 C ? ? ? SA . 又因为 C ? 2? ?10 ? 20? ,所以 SA ? 20 cm .

同理 SB ? 40 cm ,所以 AB ? SB ? SA ? 20 ? cm? . 高h ?

AB 2 ? (OB ? O?A) 2 ?? 10 3 ? cm ? ……①

S表 ? S侧 ? S上底 ? S下底 ……②

? ? ? O ' A ? OB ??AB ? ? O A2 ? ? OB ? ? ?10 ? 20 ? ? 20 ? ? ?102 ? 202 ? 1 100? ? cm '3 ? .

1 1 7000 3 V ? ? h ? O ' A2 ? O ' A? OB ? OB 2 ? ? ? ?10 3 ? ?102 ? 10 ? 20 ? 202 ? ? ? ? cm3 ? 3 3 3
故圆台的表面积为 1100? cm ,体积为
2

7000 3 ? ? cm3 ? 3

过程释疑 ①过点 A 向 OB 作垂线.在直角三角形中利用勾股定理求高. ②圆台的表面积是由上、下底面和侧面三部分的面积组成. 在解决棱锥、棱台的侧面积、表面积及体积问题时,往往将已知条件集中到一个直角三角形中求 解.因此解决此类题目.要注意发现图形中的直角三角形,并加以应用. 例 7 已知一个倒立圆锥形容器.它的轴截而是正三角形,在这个容器内注入水并且放入一个半径为 r 的 铁球,这时水面恰好和球面相切,问将球从圆锥内取出后,圆锥内水面的高是多少? 分析:利用体积之间的关系,找出等量关系求解. 解:设球取出后水面高 PH ? x ,如图 1.3-14 所示. 因为 AC ? 3r,PC ? 3r ,所以以 AB 为底面直径的圆锥的容积为

1 1 V圆锥 ? ? ? AC 2 ? PC ? ? 3 3

? 3r ? ? 3r ? 3? r , V
2 3



4 ? ? r3 3

球取出后水面下降到 EF ,水的体积为

1 1 1 V水 ? ? ? EH 2 ? PH ? ? ? PH ? tan 300 ? ? PH ? ? x 3 3 3 9 1 3 4 3 3 而 V水 ? V圆锥 ?V球 ,即 ? x ? 3? r ? ? r ,所以 x ? 3 15r . 9 3
故球取出后水面的高为 3 15r .

总结:与球有关的实际应用题一般涉及水的容积问题,解题的关健是明确球的体积与水的体积之间的 关系,正确建立等量关系,另外正确作出截面图,找出的等量关系也是常用的方法.

多向思想

新拓展

解题技巧
例 1 如图 1.3-15 所示,已知 ABCD ? A 1B 1C1D 1 是棱长为 a 的正方体, E , F 分别为 AA 1 , CC1 的中点, 求四棱锥 A 1 ? EBFD 1 的体积. 分析:本题若直接求解较为困难,这里利用“割”的思想,将四棱锥的体积转化为两个等底的三棱锥的体 积之和,从而简化求解步骤.

5 ?a? a, D1F / / EB , 解:因为 EB ? BF ? FD1 ? D1E ? a ? ? ? = 2 ?2?
2

2

所以四边形 EBFD1 是菱形. 连接 EF ,则 ? EFB≌EFD1 .易知三棱锥 VA1 ?EBFD1 ? 2VA1 ?EFB ? 2VF ?EBA1 . 故 VA1 ?EBFD1 ? 2VF ?EBA ? 2VF ?EBA1 ,又因为 S? EBA1 ? 所以 VA1 ? EBFD1 ? 2VA1 ? EBF ? 2VF ? EBA1 ?

1 1 1 EA1 ? AB ? a 2 ,则 VF ? EBA1 ? a 3 , 2 4 12

1 3 a 6

解后反思:本题首先利用分割的方法,把四棱锥分割为两个全等的三棱锥,然后利用等积转换法,针 对三棱锥几何特点,变换顶点,体积不变,将不容易求体积的三棱锥转化为容易求体积的三棱锥,从而使 问题获解.

易错易混
例 2 把长、宽分别为 4, 2 的矩形卷成一个圆柱的侧面,求这个圆柱的体积.

分析:利用底面的周长,求得底面半径,利用圆柱的体积公式求解.

解:设圆柱的底面半径为 r ,母线长为 l ,高为 h . 如图 1.3-16①所示,当 2? r ? 4, l ? 2 时, r ?

2

?

, h ? l ? 2 ,所以 V圆柱 ? ? r 2 h ? ,h ? l ? 4,

8

?



如图 1.3-16②所示,当 2? r ? 2, l ? 4 时, r ? 所以 V圆柱 ? ? r 2 h ?

1

?

4

?

.

8 4 或 . ? ? 解后反思: 把矩形卷成圆柱时, 可以使 4 为圆柱的底面周长, 2 为圆柱的高; 也可以使 2 为圆柱的底面周长, 4 为圆柱的高.要考虑全面,不要遗漏,
综上所述,这个圆柱的体积为

高效训练 速提能
1.若球的体积与其表面积数值相等,则球的半径等于( A. )

1 2

B. 1

C. 2

D. 3 )

2.已知高为 3 的直棱柱 ABC ? A1 B1C1 的底面为 1 的正三角形,则三棱锥的体积为( A.
1 4

B.

1 2

C.

3 6

D.

3 4

3.若一个圆锥的轴截面是等边三角形,其面积为 3 ,则这个圆锥的表面积是( A. 3? B. 3 3? C. 2? D. 9?



4.已知长方形的一个顶点上的三条棱长分别是 3,4,5,且它的 8 个顶点都在同一球面上,则这个球的表面 积是( ) )

A. 25? B. 50? C. 125? D.以上都不对 5. (2014 安徽高考)一个多面体的三视图如图所示,则该多面体的表面积为(
1 1 1 1 1 1

1 正(主)视图 1

1 侧(左)视图

1

图 1-3-18
1 俯视图 1

A. 21 ? 3

B. 18 ? 3

C. 21

D. 18 )

6.(2014 辽宁高考)某几何体三视图如图所示,则该几何体的体积为( A. 8 ? 2? B. 8 ? ? C. 8 ?

? 2

D. 8 ?

? 4

7.若球的半径由 R 增加为 2R ,则这个球的体积变为原来的____倍,表面积变为原来的____倍. 8.圆锥的侧面积展开图是半径为 2 的扇形,其面积是 2? ,则该圆锥的体积为______. 9. (2013 江苏高考)如图 1.3-19, 在三棱柱 ABC ? A1 B1C1 中,
AB, AC, AA1 的中点.设三棱锥 F ? ADE 的体积为 V1 ,三棱柱
D, E , F 分 别 是

ABC ? A1 B1C1 的体

积为 V 2 ,则 V1 : V2 =________.

10.已知底面半径为 3 cm,母线长为 6 cm 的圆柱,挖去 面圆心为顶点,下底面为底面的圆锥,求所得几何体的表面积及体积.

一个以圆柱上底

11.(1)一个四棱台,其上、下底面均是正方形,边长分别为 8 cm 和 18 cm ,侧棱长为 13 cm ,求其表面积; (2) 有一个正四棱台,其体积为 190dm3 ,假如它的两底面边长分别是 60 cm 和 40 cm,则它的高为多少?

12.一个高为 16 的圆锥内接于一个体积为 972? 的球,在圆锥内又有一个内切球,求: (1)圆锥的侧面积; (2)圆锥的内切球的体积.

答案专区
4 1.D 解析:设球的半径为 R ,则 4? R 2 ? ? R3 ,所以 R ? 3 . 3
1 1 3 3 1 3 ?1? ?3? 2.D 解析: S底 ? ? 1? 1 ? ? ? ? ,所以 V三棱锥B1 ? ABC ? ? S底 ? h ? ? . 3 3 4 4 2 4 ?2?
2

1 3. A 解析:设圆锥底面的半径为 R ,则由 ? 2R ? 3R ? 3 得 R ? 1 , 2
所以 S圆锥表 ? ? Rl ? ? R2 ? ? ?1? 2 ? ? ? 3? . 4.B 解析:由已知,得长方体的体对角线 l ? 32 ? 42 ? 52 ? 5 2 ,故球的直径为 5 2 ,球的表面积
2 2

?5 2 ? S表 ? 4? R ? 4? ? ? ? 2 ? ? ? 50? ? ?
5.A 解析:由三视图可知,该多面积为一个边长为 2 的正方体在左下角与右上角各切去一个三棱锥,因
1? 1 6 ? ? 2 ? 21 ? 3 . 此该多面体的表面积为 6 ? ? 4 ? ? ? ? 2 ? 2 2 2 ? ?

6.C

解析:这是一个正方形切掉两个

1 圆柱后得到的几何体,如图 1.3-20 所示,几何体的高为 2, 4

1 V ? 2 ? ? ? ?12 ? 2 ? 2 ? 8 ? ? . 4
7.8 4

4 解析:球的半径为 R 时,球的体积为 V1 ? ? R3 , 表面积为 3

S1 ? 4? R 2

,

4 32 3 半 径 增 加 为 2R 后 , 球 的 体 积 为 V2 ? ? ? 2R ? ? ? R3 , 表 面 积 为 3 3

S2 ? 4? ? 2R ?

2

32 3 ?R S 16? R 2 V1 ? 4 ,即体积变为原来的 8 倍,表面积变为原来的 4 倍. ? 8 , 11 ? ? .所以 ? 3 4 3 S2 4? R 2 V2 ?R 3

8.

3 ? 3

解析:由题意,知圆锥的侧面展开扇形的弧长为 l ? 2? ,设圆锥的底面半径为 r ,则 2? r ? 2? ,

所以 r ? 1.圆锥的高 h ? 22 ? 1 ? 3 .
1 1 1 3 ? 所以 V ? Sh ? ? ? r 2 h ? ? ? ? 1 ? 3 ? 3 3 3 3

9.1: 24

解析:设三棱柱 ABC ? A1 B1C1 的底面 ABC 的面积为 S ,高为 h ,则其体积为 V2 ? Sh .因为 D, E 分

1 1 别是 AB, AC 的中点,所以 ?ADE 的面积为 S ,又因为 F 是 AA1 的中点,所以三棱锥 F ? ADE 的高为 h , 4 2

1 1 1 1 1 于是三棱锥 F ? ADE 的体积为 V1 ? ? S ? h ? Sh ? V2 ,故 V1 : V2 ? 1: 24 . 3 4 2 24 24 10.分析:先作出轴截图,确定圆锥的母线长求其侧面积,再求圆柱的侧面积和一个底面积,得其表面积; 圆柱的体积减去圆锥的体积得几何体的体积.
解:作轴截面如图 1.3-21,设挖去的圆锥的母线长为 l ,底面半径为 r ,则 l ? 故几何体的表面积为
S ? ? rl ? ? r 2 ? 2? r ? AD ?? ? 3?3?? ?

? 6 ? ? ? 3?
2

2

? 9 ? 3 ? cm? .

? 3?

2

? 2? ? 3 ? 6

? 3 3? ? 3? ? 6 2? ? 3 3 ? 3 ? 6 2 ? ? cm 2 ?

?

?

几何体的体积为
1 V ? V圆柱 ? V圆锥 ? ? ? r 2 ? AD ? ? r 2 AD 3 1 ? ? ? 3? 6 ? ?? ? 3? 6 3 ? 2 6? ? cm3 ?

? 18 ? 8 ? 11.解(1)由已知可得,四棱台侧面梯形的高 h ? 13 ? ? ? ? 12 ? cm ? ? 3 ?
2

2

1 所以 S侧 ? 4 ? ? ?8 ? 18? ?12 ? 624 ? cm2 ? . 2

S上底 ? 8 ? 8 ? 64 ? cm2 ? , S下底 ? 18 ?18 ? 324 ? cm2 ? ,
于是表面积 S ? 624 ? 64 ? 324 ? 1012 cm2 .

?

?

1 (2) 设正四棱台的高为 h ,则 V正四棱台 ? h S ? 3
h ? 75 ? cm ?

?

1 2 ? ? h 402 ? 402 ? 602 ? 60 , ? 190 ? 103 ,解得 SS? ? S 3

?

?

?

12.分析:作出轴截面,设出外接球半径 R ,利用体积求得半径,利用三角形求出圆锥的底面半径和母线长, 进而求得圆锥的侧面积;设出内切球的半径 r ,利用面积求得半径,再求球的体积. 解: (1)如图 1.3-22 作轴截面, 则等腰三角形 CAB 内接于 ? O ,
? O1 内切于 ?ABC ,

4 设 ? O 的半径为 R ,由题意,得 ? R3 ? 972? , 3
所以 R3 ? 729 , R ? 9 ,所以 CE ? 18 已知 CD ? 16 ,所以 ED ? 2 . 连接 AE ,因为 CE 是直径,所以 CA ? CE , 所以 CA2 ? CE ? CD ? 18 ? 16 ? 288 ,所以 CA ? 12 2 , 已知 AB ? CD ,所以 AD2 ? CD ? DE ? 16 ? 2 ? 32 , 所以 AD ? 4 2 ,

S圆锥侧 ? ? ? 4 2 ?12 2 ? 96? .
(2)设内切球 O1 的半径为 r ,因为 ?ABC 的周长为 2 12 2 ? 4 2 ? 32 2 ,

?

?

1 1 所以 S?ABC ? r ? 32 2= ? 8 2 ?16 ,解得 r ? 4 . 2 2 4 256 所以内切球 O1 的体积 V球 ? ? r 3 = ? ?. 3 3


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